О точности оценки числа алгебраических кривых алгебраически неинтегрируемых полиномиальных векторных полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.925

О ТОЧНОСТИ ОЦЕНКИ ЧИСЛА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИ НЕИНТЕГРИРУЕМЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

© 2013 г. М.В. Долов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Поступила в редакцию 21.01.2013

Доказано, что для алгебраически неинтегрируемых полиномиальных векторных полей степени выше четырех точная оценка числа неприводимых алгебраических инвариантных кривых не достигается в классе полей, имеющих только линейные частные интегралы.

Ключевые слова: алгебраическая интегрируемость, частные интегралы, алгебраические дифференциальные уравнения, полиномиальные векторные поля, алгебраическая кривая.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

= P(x, УX ту = ^ У% (1)

си т

где Р и Q - взаимно простые полиномы, коэффициенты которых и переменные х, у в общем случае комплексные, max(deg Р, deg Q) = п.

По определению система (1) алгебраически интегрируема, если все инвариантные множества системы (1) - алгебраические.

Теорема 1 [1]. Если система (1) имеет конечное число 5(п) различных неприводимых над полем комплексных чисел алгебраических инвариантных кривых, то S(п) < (п2 + п + 2) / 2, причем оценка точная для п = 2.

Точность оценки S(3) доказана в [2, 3], при этом установлено, что равенства S(2) = 4, S(3) = 7 достигаются в классе систем (1) с линейными частными интегралами, коэффициенты которых могут быть комплексными в случае вещественных систем.

Вопрос о точности оценки 5 (п) <

< (п2 + п + 2) / 2 при п > 4 открыт. Для доказательства точности оценки достаточно показать, что при любом конечном п > 4 существует алгебраически неинтегрируемая система (1) с (п2 + п + 2) / 2 различными неприводимыми алгебраическими инвариантными кривыми. Система (1) алгебраически неинтегрируема, если имеет хотя бы одну трансцендентную инвариантную кривую. Для вещественных систем (1) трансцен-

дентные кривые существуют, если у (1) есть либо состояние покоя типа фокус, либо предельный цикл, в частности, особый предельный цикл.

При исследовании алгебраической неин-тегрируемости эффективно могут использоваться первые интегралы Дарбу, в частности, лемма 1 и теорема 1 из [4] и теорема Миро-ненко [5, с. 40].

Основной результат данной работы содержит

Теорема 2. Для п > 5 не существует системы (1) с взаимно простыми полиномами Р и Q с п (п +1) / 2 различными линейными частными интегралами.

Отсюда следует, что если при п > 5 оценка для S(n) в теореме 1 точная, то число различных линейных частных интегралов меньше п (п +1) / 2 и алгебраически неинтегрируемая система (1) допускает не менее двух неприводимых алгебраических частных интегралов степени не менее двух.

Алгебраически интегрируемые системы

Теорема 3. Для алгебраической интегрируемости системы (1) необходимо и достаточно, чтобы система (1) допускала общий интеграл F (х, у) = CG(x, у), (2)

где F(x,y) и G(xy) - взаимно простые полиномы, С е C .

Доказательство. Необходимость. Пусть система (1) алгебраически интегрируема. Тогда берем S = (п2 + п + 2) / 2 различных неприво-

димых над полем комплексных чисел алгебраических частных интегралов ф 7 (х, у) = 0,

7 = 1,5 . По первой теореме Дарбу [6, с. 288] система (1) допускает первый интеграл Дарбу

г, = ф1Р1...фРк = с, (3)

где Р 7 ф 0 , р 7 є C, 1 < к < 5 .

Если с точностью до обозначений Р7 / Р1,

7 = 1, к, есть действительные рациональные числа, то утверждение доказано. В противном случае берем другую совокупность различных неприводимых алгебраических частных интегралов ф 7 (х, у) = 0, 7 = 1,5, причем такую, что среди ф нет полинома ф1, содержащегося в Гь

Как и в предыдущем случае, согласно первой теореме Дарбу система (1) наряду с (3) имеет первый интеграл Дарбу: Г2 =ф“1 ...ф“' = С, где а ф 0, а 7 є C, 1 < г < 5 . Тогда по лемме [1]

система (1) допускает первый интеграл в классе рациональных функций. Необходимость доказана.

Достаточность. Так как в общем интеграле (2) F(x,y) и G(x,y) - полиномы, то всякое инвариантное множество системы (1) - алгебраическое. Теорема доказана.

Считая в общем случае коэффициенты полиномов Р и Q и переменные х, у комплексными и используя теорему 3, как и в [5], можно показать, что имеет место

Теорема 4 (Мироненко В.И.). Если г различных неприводимых над полем комплексных чисел алгебраических кривых RJ (х, у) = 0, 7 = 1, г , deg ^ = т;, инвариантны для системы (1) и

j=1

mj > -1 m (m + 1)(m + 2) x x (8 + 3(m + 3)(n -1)),

(4)

где m = max m;, то система (1) алгебраически интегрируема и порядок кривых не выше т.

По лемме 1 из [4] для алгебраически неин-тегрируемых, но интегрируемых по Дарбу систем (1) сумма степеней неприводимых алгебраических инвариантных кривых, определяемых неприводимыми полиномами, не содержащимися в аналитическом выражении интеграла Дарбу, не более п - 1. Отсюда и из первой теоремы Дарбу и из теоремы 1 [4] следует

Теорема 5. Если для алгебраически неинтег-рируемой системы (1) оценка S(n) в теореме 1 точная, то система (1) имеет первый интеграл

n — n + 4 7 n + n + 2

Дарбу (3), в котором ------------< k <---------,

величины P ф О и такие, что при любом v из {1,2, ,k} среди чисел Pj/ Pv для 1 < j < k есть

хотя бы одно отличное от вещественного рационального.

Примером к теореме 5 является алгебраически неинтегрируемая система [4]: X = х + ху + у2,

у = у - ху + х2 + 2у2, допускающая первый интеграл Дарбу (у- х + 1)(х + гу)-г/2 (х-/у)'/2 = С и частные интегралы ф1 = у - х +1 = 0, ф2 = х + гу = 0, ф3 = х - гу = 0, ф4 = у - х = 0.

Доказательство теоремы 2

Лемма. Если дифференциальное уравнение Q(х, y)dx - Р(х, у^у = 0 , где Р и Q - полиномы, max(deg Р, deg Q) = п > 2, допускает общий интеграл (2), где F(x,y) и G(x,y) - линейные функции, то Р и Q имеют общий делитель, тождественно не равный постоянной.

Доказательство аналогично [3, с. 29]. Однопараметрическое семейство кривых (2) при , G) / Б(х, у) ф 0 является общим решением уравнения (х + Р) dy - (у + а) dx = 0, где

а,Ре C, а при ,G)/Б(х,у) = 0 - уравнения

dy = у dx, где у е C, получающихся исключением параметра С из (2) и из результата дифференцирования (2) по х в предположении, что у = у(х). Так как (2) является общим решением одного из найденных уравнений и уравнения Q(х, y)dx - Р(х, у^у = 0 , то полиномы Р и Q не могут быть взаимно простыми, ибо (х +Р) Q = (у + а)Р либо Q = уР соответственно. Лемма доказана.

Эта лемма и теорема 4 существенно используются при доказательстве теоремы 2.

Допустим существование систем (1) с взаимно простыми Р и Q и с п(п +1) / 2 различными линейными частными интегралами. Полагая в (4) т^) = т = 1, г = п(п +1) / 2, получим неравенство п2 - 5п + 2 > 0, выполняющееся при п > 5 . Отсюда и из теоремы 4 следует, что при п > 5 и наличии п(п +1) / 2 линейных частных интегралов система (1) алгебраически интегрируема и имеет общий интеграл (2), где F(x,y) и G(x,y) - линейные функции. Согласно лемме, у полиномов Р и Q есть общий делитель, тождественно не равный постоянной. Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы 2.

В монографии [7, гл. 2, § 3] содержится

Теорема 6 (Худай-Веренов М.Г.). Если система (1) при п > 3 имеет п(п + 3) / 2 линейных

частных интегралов а х + Ъ у + с. = 0 , то все интегралы алгебраические.

Замечание. 1. При наличии п(п + 3) / 2лю-бых различных неприводимых алгебраических инвариантных кривых система (1) алгебраически интегрируема в силу теоремы 1.

2. По теореме 2 для взаимно простых полиномов Р и Q при п > 5 не существует систем (1) с п(п + 3) / 2 линейными частными интегралами.

3. Для п = 3 максимальное число различных линейных частных интегралов (в том числе с комплексными коэффициентами) системы (1) равно 8 [8, 9]. Поэтому при п = 3 нет систем (1) с девятью линейными частными интегралами.

4. Для п = 4 с точностью до линейного обратимого преобразования найдены системы (1), допускающие 11 линейных частных интегралов. Все эти системы алгебраически интегрируемы.

Список литературы

1. Долов М.В. О числе алгебраических инвариантных кривых полиномиальных векторных полей // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 6. С. 838-839.

2. Долов М.В., Бубнова И.В. Системы с линейными частными интегралами // Изв. РАЕН. Дифференц. уравнения. 2006. № 11. С. 79-80.

3. Дружкова Т.А. Алгебраические дифференциальные уравнения с алгебраическими интегралами. Ч. I. Метод. пособие. Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2005. 37 с.

4. Долов М.В., Косарев В.В. Интегралы Дарбу и аналитическая структура решений дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. № 4. С. 697-700.

5. Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. Минск: Изд-во БГУ. 103 с.

6. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. II. 1936. М.-Л. 563 с.

7. Худай-Веренов М.Г. О функциях, определяемых дифференциальными уравнениями. Ашхабад: Ылым, 1990.

8. Долов М.В., Павлюк Ю.В. К вопросу об алгебраической интегрируемости полиномиальных векторных полей // Тр. СВМО. 2004. Т. 6. № 1. С. 40-50.

9. Долов М.В., Чистякова С.А. О числе линейных интегралов кубической системы с вырожденной бесконечностью // Тр. СВМО. 2007. Т. 9. № 2. С. 62-74.

ON AN ACCURATE ESTIMATE OF THE NUMBER OF ALGEBRAIC CURVES OF ALGEBRAICALLY NONINTEGRABLE POLYNOMIAL VECTOR FIELDS

M. V. Dolov

It is proved that for algebraically nonintegrable polynomial vector fields of a degree greater than 4 an accurate estimate of irreducible algebraic invariant curves is not achieved in the class of fields having only linear particular integrals.

Keywords: algebraic integrability, particular integrals, algebraic differential equations, polynomial vector fields, algebraic curve.