CC BY
23
УДК 517.925 ББК 22.161.6 У 95
Ушхо А.Д.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики инженерно-физического факультета Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593908, e-mail: [email protected] Феклистов Г.С.
Кандидат педагогических наук, доцент кафедры теоретической физики инженерно-физического факультета Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593908, e-mail: [email protected]
Об инвариантных прямых полиномиальных векторных полей на плоскости
(Рецензирована)
Аннотация. Приводятся результаты исследования плоского полиномиального векторного поля п -й степени, обобщающие ранее доказанные факты об инвариантных прямых и особых точках кубической дифференциальной системы.
Ключевые слова: инвариантная прямая, сфера Пуанкаре, состояние равновесия.
Ushkho A.D.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Theoretical Physics Department of Engineering-Physics Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593908, e-mail: [email protected] Feklistov G.S.
Candidate of Pedagogy, Associate Professor of Theoretical Physics Department of Engineering-Physics Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593908, e-mail: german [email protected]
On invariant straight lines of polynomial vector fields on the plane
Abstract The paper gives the results of research of a flat polynomial vector field of the n degree generalizing earlier provedfacts in evidence about invariant straight lines and special points of cubic differential system. Keywords: invariant straight line, Poincare's sphere, equilibrium state.
Еще со времен Дарбу [1] известно, что наличие достаточного количества алгебраических инвариантных кривых системы дифференциальных уравнений
Л- "
(!)
dt tt где
РХх,у)=£агХУ, £(*,>>)= ars,brsGR, deg(P2 +Q2) = 2n, (P,Q) = 1,
r+s=i r+s=i
позволяет записать ее общий интеграл элементарными средствами, не прибегая к операции интегрирования. Кроме того, знание хотя бы одной алгебраической инвариантной кривой упрощает полное качественное исследование системы (1) и дает возможность обнаружения новых свойств этой системы. В этой связи возникает задача об оценке числа р алгебраических инвариантных кривых системы (1). Если р = оо, то систему (1) принято называть алгебраически интегрируемой.
Представлена на Первой международной конференции «Осенние математические чтения в Адыгее», посвященной памяти профессора КС. Мамия. 8-10 октября 2015 г. Конференция приурочена к 75-летию Адыгейского государственного университета.
Определение 1. Действительным частным алгебраическим интегралом системы
(1) или, что то же самое, дифференциального уравнения — = ^Х' ^ фазовых траекто-
dx Р(х, у)
рий системы (1) называется алгебраическая кривая F(x,y) = 0, удовлетворяющая ра-
г)Т?(х тЛ г)Т?(х v^
венству — Р(х,у) н-- Q(x, у) = F(x, y)R(x, у) (2), где R(x, у) - многочлен
дх ду
степени п — 1, называемый кофактором.
Понятия «алгебраический частный интеграл» и «алгебраическая интегральная кривая» являются синонимами [2].
Вместо термина «алгебраический частный интеграл» воспользуемся термином «алгебраическая инвариантная кривая», прочно закрепившимся в современной литературе по дифференциальным уравнениям.
В работе М.В. Долова [3] доказана теорема: если среди интегральных кривых дифференциального уравнения траекторий системы (1) содержится конечное число р попарно различных, неприводимых над полем комплексных чисел алгебраических кри-и2 + п + 2 ...
вых, то р <---(3), причем оценка (3) точна для п — 2.
Важное место в вопросе об оценке числа алгебраических инвариантных кривых системы (1) занимает задача об оценке сверху числа инвариантных прямых.
Определение 2 [4]. Прямая линия ах + Ъу + с = 0 называется инвариантной прямой линией системы (1), если выполняется равенство
аР(х, у) + bQ(x, у) = (ах + by + c)R(x, у), где R(x, у) - многочлен степени не выше п -1.
В последнее десятилетие прошлого столетия активно занимались проблемой оценки числа алгебраических инвариантных прямых системы (1). Так, в статье [4] доказано, что число инвариантных прямых системы (1) не превосходит Зп -1 (п > 1). В работе [5] доказано, что система (1) при п — А имеет не более девяти инвариантных прямых, разумеется, речь идет о вещественных инвариантных прямых. Интерес исследователей к обсуждаемой проблеме не ослабевает и в наши дни. Как показали авторы [6, 7], система (1) может иметь более девяти инвариантных прямых, если учитывать инвариантные прямые с комплексными коэффициентами. Так, в статье [6] приводится система
rix
- = х{х-\){хг-Ъх + Ъ), dt
^ = у(у-1)(у2-3у + 3), ßt
допускающая одиннадцать инвариантных прямых:
х - 0, х -1, у - 0, у -1, у-х,
З^л/З. 3 л/3 . З + гЧ/З 1 + г'л/З З-гЧ/З 1-гЧ/З
х- — ±—I, у- — ±—I, у----х, у----X.
22 22 2 2 2 2
Прежде чем формулировать основной результат работ [6, 7] приведем
Определение 3 [6]. Система (1) называется вырожденной на бесконечности, если
xQn(x,y)-yPn(x,y) = 0 (4).
По терминологии [8] система (1) при выполнении (4) называется проективно особой. Согласно [6, 7] справедлива теорема: если система (1) при п — А является вырожденной на бесконечности, то число ее инвариантных прямых не более девяти (с учетом инвариантных прямых с комплексными коэффициентами). Автором заметки [5] доказано, что число
вещественных инвариантных прямых системы (1) при п — 4 не более девяти.
Из числа более поздних работ можно отметить статьи [9-11]. В [9] приводится классификация кубических дифференциальных систем, имеющих максимальное число инвариантных прямых. В статье [10] доказано, что плоское полиномиальное векторное поле п -й степени при п — четном (нечетном) и п > 3 имеет не более 2п +1 (2п + 2) инвариантных прямых, если оно имеет п параллельных между собой инвариантных прямых, а также особую точку, которой инцидентны п +1 инвариантных прямых.
Долгое время считалось, что дифференциальная система
где ау,Ъу&Я, (Р3,£}3) = 1, может иметь инвариантные прямые не более четырех различных направлений. Такой позиции придерживается автор статьи [12], в которой доказано, что максимальное число действительных инвариантных прямых системы (5) равно восьми. Однако в работе [13] приведен пример системы (5), имеющей инвариантные прямые шести различных направлений. Нами проведено качественное исследование системы (5), имеющей инвариантные прямые шести различных направлений. В результате установлено:
1) если О - множество, состоящее из инвариантных прямых шести различных направлений, то О содержит ровно шесть прямых;
2) все инвариантные прямые (5) принадлежат множеству О;
3) в ограниченной части фазовой плоскости система (5) имеет семь состояний равновесия, в том числе четыре простых узла М, И, Р, О, и три простых седла
4) система (5) не имеет на экваторе сферы Пуанкаре состояний равновесия;
5) система интегрируется в форме Дарбу.
Особенность состояний равновесия М, И, Р, О, в том, что через каждое из них проходят три инвариантные прямые. Поэтому возможны две различные конфигурации, образованные семью состояниями равновесия системы (5):
а) состояния равновесия М, Ы, Р, () образуют невыпуклый четырехугольник;
6) состояния равновесия М, Ы, Р, () образуют выпуклый четырехугольник.
В соответствии с этими конфигурациями возможны два фазовых портрета системы (5) (см. рис. 1 и рис. 2).
(5)
F, G, Н ;
t
\
\
/
Рис. 1. Фазовый портрет системы (5), у которой состояния равновесия М, Ы, Р, () образуют выпуклый четырехугольник
Рис. 2. Фазовый портрет системы (5), у которой состояния равновесия М, Ы, Р, () образуют невыпуклый четырехугольник
Замечание. Окружность круга Пуанкаре на рисунках 1 и 2 изображена пунктирной линией в знак того, что экватор сферы Пуанкаре системы (5) не состоит из траекторий системы.
В некотором смысле обобщением результатов работы [14] являются выводы, сделанные нами при исследовании системы (1), имеющей два инвариантных множества МА и Мпв, частным случаем которой является система (5).
Под символом Мд следует понимать множество, состоящее из 8 инвариантных прямых системы (1), проходящих через ее состояние равновесия Я.
Нами установлены следующие факты:
1) если система (1) имеет два инвариантных множества МА и Мпв, то существует аффинное преобразование, приводящее (1) к системе
где <2^х,у) (г = 1,2,...,и-1) - однородные многочлены степени г, причем <2„_1(х,у)Ф 0, Рп_2(х,у) - однородный многочлен степени п- 2 и Рп_2(х,у) Ф {2„_2(х,у), Ь е 7?, то есть система (1) является проективно особой;
2) если система (1) имеет два инвариантных множества МА и М"в, то прямая (АВ) является инвариантной;
3) если система (1) имеет инвариантные прямые более чем п +1 направлений, то система (1) является проективно особой;
4) если система (1) имеет два инвариантных множества МпА и Мпв, то при п — четном (нечетном) эта система имеет не более 2п +1 (2п) инвариантных прямых;
5) если система (1) имеет два инвариантных множества МА и Мпв, но не имеет параллельных инвариантных прямых, то эта система имеет на экваторе сферы Пуанкаре не более одного состояния равновесия, которое (если оно существует) расположено на концах прямой АВ.
Так, например, система
— = A.Qn-1 (х, у) + Р„_ 2 (х, у) + Q„_ з (x,y) + ... + Q1 (х, у) + Ь00 ], dt
ir = y[Qn-1 (х, у) + Qn-1 (х, у) + Qn-ъ (x,y) + ... + Q1 (X, у) + ¿00 ]
(6)
dx
- = x[2y2-3xy + 4x-6y + 8], dt
^ = у[2у2 - Зху + Sx-10j> + 8]
(7)
имеет два инвариантных множества:
Мъы = {х-2у + 2 = 0,2х-у + А = 0,у = 0\ # = (-2;0),
М^ = {;у-л: = 0,л: = 0,;у = 0}, 0 = ( 0;0).
Система (7) имеет на экваторе сферы Пуанкаре единственное состояние равновесия на «концах» прямой у = 0, в то же время не имеет инвариантной прямой Ь, где
LeMl^Ml.
Фазовый портрет системы (7) изображен на рисунке 3.
Рис. 3. Единственное состояние равновесия системы (7) на экваторе сферы Пуанкаре изображено точками и (Г2, расположенными на «концах» прямой у = 0
В связи с приведенными выше фактами, изложенными в пунктах 4) и 5), естественным образом возникает вопрос: есть ли у системы (1), имеющей два инвариантных множества МпА и М"в, но не имеющей параллельных инвариантных прямых в случае максимального числа инвариантных прямых, состояния равновесия на бесконечности?
Примечания:
1.Darboux M.G. Mémoire sur les equations différentielles algebriques du premier ordre et du premier degre // Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronom. Paris, 1878. P. 60-96, 123-144,151-200.
2. Дружкова T.A. Алгебраические дифференциальные уравнения с алгебраическими интегралами: метод, пособие. Ч. 1. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2005. 37 с.
3. Долов М.В. О числе алгебраических инвариантных кривых полиномиальных векторных полей // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, № 6. С. 838-839.
4. Artes Joan С., Grunbaum В., Llibre J. On the number of invariant straight lines for polynomial differential systems // Pacific Journal of Mathematics. 1998. Vol. 184, No. 2. P. 207-230.
5. Sokulski J. On the number of invariant straight
References:
l.Darboux M.G. Memoire sur les equations différentielles algebriques du premier ordre et du premier degre // Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronom. Paris, 1878. P. 60-96, 123-144,151-200.
3. Druzhkova TA. The algebraic differential equations with algebraic integrals. A manual. Pt. 1. Nizhny Novgorod: Publishing House of the Niz-hny Novgorod University, 2005. 37 pp.
3. Dolov M.V. On the number of algebraic invariant curves of the polynomial vector fields // Differential Equations. 2004. Vol.. 40, No. 6. P. 838-839.
4. Artes Joan C., Grunbaum B., Llibre J. On the number of invariant straight lines for polynomial differential systems // Pacific Journal of Mathematics. 1998. Vol. 184, No. 2. P. 207-230.
5. Sokulski J. On the number of invariant straight
lines for polynomial vector fields // Nonlinearity. 1996. No. 9. P. 479-485.
6. Долов M.B., Чистякова C.A. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью. I // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевсого. 2010. № 6. С. 132-137.
7. Долов М.В., Чистякова С.А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью. II // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 1. С. 139-148.
8. Горбузов В.Н. Проективный атлас траекторий дифференциальных систем второго порядка // Вестник Гродненского государственного университета. Сер. 2. 2011. № 2 (111). С. 15-26.
9. Llibre J., Vulpe N. Planar cubic polynomial differential systems with the maximum number of invariant straight lines // Rocky Mountain Journal of Mathematics. 2006. Vol. 36, No. 4. P. 1301-1373.
10. Тлячев В.Б., Ушхо А.Д., Ушхо Д.С. Оценка сверху числа инвариантных прямых полиномиального векторного поля п -й степени // Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, №2. С. 171-178.
11. Bujac С., Vulpe N. Cubic systems with invariant lines of total multiplicity eight and with four distinct infinite singularities. Preprint. Universität Autonoma de Barcelona, 2013. No. 10. P. 1-51.
12. Любимова P.A. Об одном дифференциальном уравнении с интегральными прямыми // Дифференциальные и интегральные уравнения: межвуз. сб. Горький: Изд-во гос. ун-та, 1977. Вып. 1. С. 19-22.
13. Putuntica V.M. The cubic differential system with six real invariant straight lines along six directions // Материалы международной конференции, посвященной столетию H.H. Боголюбова и 70-летию H.H. Нагнибиды. Черновцы: Изд-во Черновицкого гос. ун-та, 2009. С. 245247.
14. Ушхо А.Д. Траектории кубической дифференциальной системы на плоскости, имеющей инвариантные прямые шести различных направлений // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Физика. Математика. 2012. № 2. С. 224-231.
lines for polynomial vector fields // Nonlinearity. 1996. No. 9. P. 479-485.
6. Dolov M.V., Chistyakova S.A. On linear particular integrals of polynomial vector fields of the fourth degree with degenerate infinity. I // Bulletin of Nizhny Novgorod University of N.I. Lobachevsky.
2010. No. 6. P. 132-137.
7. Dolov M.V., Chistyakova S.A. On linear particular integrals of polynomial vector fields of the fourth degree with degenerate infinity. II // Bulletin of Nizhny Novgorod University of N.I. Lobachevsky.
2011. No. l.P. 139-148.
8. Gorbuzov V.N. Projective atlas of trajectories of differential systems of the second order // Bulletin of Grodno State University. Ser. 2. 2011. No. 2(111). P. 15-26.
9. Llibre J., Vulpe N. Planar cubic polynomial differential systems with the maximum number of invariant straight lines // Rocky Mountain Journal of Mathematics. 2006. Vol. 36, No. 4. P. 1301-1373.
10. Tlyachev V.B., Ushkho A.D., Ushkho D.S. The upper estimate of the invariant straight lines of the polynomial vector field of the n-th degree // Proceedings of Saratov University. Ser. Mathematics. Mechanics. Computer Science. 2015. Vol. 15, No. 2. P. 171-178.
11. Bujac C., Vulpe N. Cubic systems with invariant lines of total multiplicity eight and with four distinct infinite singularities. Preprint. Universität Autonoma de Barcelona, 2013. No. 10. P. 1-51.
12. Lyubimova R.A. On one differential equation with integral straight lines // Differential and Integral Equations: the interuniversity proc. Gorky: University Publishing House, 1977. Iss. 1. P. 1922.
13. Putuntica V.M. The cubic differential system with six real invariant straight lines along six directions // Proceedings of the international conference dedicated to the centenary of N.N. Bo-golyubov and the 70th anniversary of N.N. Nag-nibida. Chernovtsy: Publishing House of the Chernivtsi National University, 2009. P. 245-24
14. Ushkho A.D. Trajectories of cubic differential systems on the plane having invariant straight lines of six different directions // Bulletin of Voronezh State University. Ser. Physics. Mathematics. 2012. No. 2. P. 224-231.
