Об инвариантных множествах полиномиального векторного поля -ой степени[*] Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.2/.3 ББК 22.161.61 Т 49

Тлячев В.Б.

Доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой теоретической физики инженерно-физического факультета Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 59-39-08, e-mail: [email protected] Ушхо А.Д.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики инженерно-физического факультета Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 5939-08, e-mail: [email protected] Ушхо Д.С.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 59-39-05, e-mail: [email protected]

Об инвариантных множествах полиномиального векторного поля п -ой степени

(Рецензирована)

Аннотация. Определена количественная связь между инвариантными множествами, состоящими из параллельных между собой инвариантных прямых с некоторым угловым коэффициентом, и инвариантными прямыми полиномиального векторного поля п-ой степени. Приведены примеры возможных расположений инвариантных прямых. Доказано, что во множестве полиномиальных систем при и=4, имеющих определенные инвариантные множества, существуют системы с девятью инвариантными прямыми.

Ключевые слова: инвариантное множество, векторное поле, инвариантная прямая, изоклина бесконечности (нуля), система с вырожденной бесконечностью, проективно особая система.

Tlyachev V.B.

Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of Theoretical Physics Department of Engineering-Physics Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-08, e-mail: [email protected] Ushkho A.D.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Theoretical Physics Department of Engineering-Physics Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-08, e-mail: [email protected] Ushkho D.S.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics, Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-05, e-mail: [email protected]

Invariant sets of the n-th order polynomial vector field

Abstract A quantitative relationship is determined between the invariant sets consisting of mutually parallel invariant lines with some slope and invariant lines of the polynomial vector field of the n -th order. Examples are given of possible configurations of invariant lines. It is proved that systems are available with nine invariant lines in the set of polynomial systems with n = 4, having certain invariant sets.

Keywords: invariant set, vector field, invariant line, infinity (zero) isocline, the system with degenerate infinity, the projective special system.

Рассматривается система дифференциальных уравнений

dx "

• !Т (!)

at TZ

* Работа частично выполнена в рамках Госзадания Министерства образования и науки Российской Федерации, проект № 451

где Р,(х,у)= (Л0 = 1, йщ{Р\х,у) + 01{х,у)) = 2п,

neN\{ 1,2}.

Исследованию векторного поля, заданного системой (1), на предмет изучения его инвариантных прямых и связанных с ними смежных вопросов посвящены работы [1-6]. Так, в работе [1] дается оценка сверху количества инвариантных прямых системы (1). Авторами статей [2-5] доказано, что полиномиальное векторное поле (1) при п = 4 имеет не более девяти инвариантных прямых. В статье [6] доказано, что число инвариантных прямых системы (1) с вырожденной бесконечностью при наличии у нее инвариантных множеств М*(к) и М" не превосходит 2п + 1 (2п + 2), если п - четно (нечетно).

Напомним, что система (1) называется системой с вырожденной бесконечностью (проективно особой) по терминологии [3-5] ([7]), если выполняется условие хап{х,у)-уРп{х,у) = 0.

Как и в работе [6], под символом Мк8(к) (мгА) будем понимать инвариантное

множество, состоящее из 51 параллельных между собой инвариантных прямых с угловым коэффициентом к (из г инвариантных прямых, инцидентных состоянию равновесия А этой системы).

В данной работе изучается система (1), имеющая инвариантное множество (к0) и максимальное число инвариантных множеств М* (&), где к0Ф к.

Теорема 1. Пусть система (1) имеет инвариантное множество М*°(к0) и хотя бы одно инвариантное множество М^{к), где к0,к& 7?, к0Ф к. Тогда посредством аффинного преобразования переменных х и у можно привести систему (1) к системе

с&

— = х(х-\)Рп_2(х,у),

сГ (2)

т

где 0 < ах <... < апХ, Рп2 (х,у) - многочлен степени, не выше п - 2, п е К \ {1,2}.

Доказательство. Под углом между множествами М*°(к0) и М2 (к1) условимся

понимать угол между положительным направлением прямой Ье Мпк° (к0) и прямой

/е М2к' (£;), отсчитываемый от положительного направления прямой Ь до прямой I в направлении против хода часовой стрелки. Обозначим углы между множеством М*°(к0) и множествами М2 ), Мк2 (к2), ..., Мк2(кт) через (рх,(рг,...,(рт соответственно.

Пусть (р = тш^эд ,<р2,... срт), причем 0 <(р1<тг, 1 = 1, т, k = tg((p + (p0), где к0 = tg(p0. Здесь (р0 - угол между прямой Ь и положительным направлением оси абсцисс, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс в направлении против хода часовой стрелки.

Совершим в системе (1) преобразование

\х = X + у,

\ _ _ (3)

[у = к0х + ку.

Согласно работе [8], преобразование (3) переводит инвариантные прямые множества Мк(к) (Мк° )) в изоклину бесконечности (нуля) системы

Щ- = {х- (х - а2)Рп_2{х,у), dt

dt

(4)

где Рп_2(х,у) - многочлен степени, не выше п-2, ахФа2, Д </32< ...< /Зп.

\ц = х-ах,

В результате параллельного переноса \ _ п система (4) преобразуется в

[п = у-А

систему

^ = Ц{Ц-(0)Рп_2{Ц,Г]), dt

dt

где РпХ {¡х, г]) - многочлен степени, не вьппе п — 2, со Ф0, 0 < а^ < а2 <... < ап_х.

[¡и = аж,

Наконец, применив к системе (5) преобразование < получим систему

[Т} = У,

^ = х(х-\)Рп_2(х,у), dt

dt

(5)

(6)

где 0 < ах <... < ап_х, Рп 2(л?,}0 - многочлен степени, не вьппе п-2. Теорема доказана.

Далее рассмотрим систему (6) в старых обозначениях фазовых переменных, а именно систему

dx

— = х{х-\)Рп_2{х,у), dt

С^ = у(у-а1)-...-(у-ап_1). dt

(7)

Система (7) имеет инвариантные множества

М1ф) = {у = Ъ,у-а,=Ъ,...,у-ап_1=0\, М2~(оо) = {дс = 0,дс-1 = 0}. Сформулируем в виде утверждений свойства системы (7), вытекающие из процедуры доказательства теоремы 1.

Утверждение 1. Если существует инвариантная прямая Ь0 системы (7), проходящая через точку (0,0) и отличная от осей координат, то Ь0 е Нх и7У3 и{(0,0)}, где Нх (Нъ) - первая (третья) координатная четверть.

Утверждение 2. Если М2{к) инвариантное множество системы (7), где £еД\{0},то £<0.

Теорема 2. Пусть М2 ), М2г(к2), ..., М2т(кт) - инвариантные множества сис-

_ \п-\

темы (7), причем кх е Я\{о}, 1=1,т. Тогда т < —

Доказательство. Условимся считать, что прямые у - к^ - Ъ/ = 0, г = 1, т, f = 1;2, принадлежат инвариантному множеству М2(к¡). Поскольку прямые у — к1х — Ъ/= 0

являются инвариантными для системы (7), то имеет место система

у/{у) = к,х(х -1 )Рп_2{х,у) + {у- к,х - Ь\){у - к,х - Ь?Щ(х,у), у/{у) = к2х{х -1 )Рп_2 {х, у) + {у- к2х - Ъ\ )(> - к2х - Ъ22 {х, у),

у (у) = Кх(х ~ 1)Рп-2(х,у)Ну- Кх ~ ь1)(у ~ Кх ~ (*,>>),

(8)

где у/{у) = у(у-ос1)-...-(у- ап]), (х, у), г = 1, т, - многочлен степени, не выше п- 2. Полагая в системе (8) х = 0, получим

>00 = СУ-Ъ\){у-%Щ0,у),

у/{у)^{у-Ь\){у-Ь22)К2ф,у),

(9)

VWHy-bDiy-bDR^y). Из (9) следует, что у — Ъ{, i = \,m, f = 1;2, является делителем многочлена у/{у).

Поэтому, учитывая условия b( Ф 0, i = \,т, f = 1,2, получим оценку т <

п-1

. Теоре-

ма доказана.

Из теоремы (2) с учетом того, что система (7) имеет инвариантные множества М° (0), М2(оо), получаем

Следствие 1. Если система (1) имеет инвариантное множество М*°(к0), то максимальное число N инвариантных множеств М2{к) этой системы удовлетворяет нера-

венству N<

п-1

+ 1, neN,n>3,

Теорема 3. Пусть система (1) при п = 3 имеет инвариантные множества М*°(к0), М21 (£,), М2г(к2), где к0,кг,к2 е Я, (к0 -)(к0-к^к^-к2)Ф$. Тогда эта система имеет восемь инвариантных прямых.

Доказательство. Не уменьшая общности, рассмотрим систему дифференциальных уравнений

dx

— = jc(JC-1 ){Ах + Ву + С), dt

С^ = у(у-а1)(у-а2), 0<а,<а2, dt

(Ю)

имеющую, кроме инвариантных множеств (0) = {у = 0, у - ах = 0, у - а2 = 0} и М;(°о) = {х = 0; х -1 = 0}, инвариантное множество М2{к), где А:<0. Покажем, что к = -ах, а2 = 2ах. Для этого обратимся к рисунку 1.

Пусть инвариантное множество М2{к) состоит из прямых 11:у-кх-Ь1= 0, 12\у -кх-Ъ2= 0, причем 0 < < 62. В силу утверждения 1 прямая /, не проходит через начало координат и к < 0 по утверждению 2. Следовательно, /, проходит через точку (0,ц). Через точку (0,а2) /, не может проходить, т.к. в противном случае /2 пересечет ось ординат в точке, расположенной выше точки (0,а2). Это недопустимо в силу того,

что на прямой /2 система (10) имеет не более трех состояний равновесия. Тем самым приходим к выводу, что /, проходит через точки (0,) и (1;0), а /2 -через точки (0,а2) и (1,^).

к к у Хг, х = \ у = а,

\ F \ G у = ал

R ХЧЧ\

О Т N. N. X k

Рис. 1. В силу параллельности прямых /, и /2 равны прямоугольники ORST и RFGS

В силу параллельности прямых 1Х и /2 равны прямоугольники ОЯБТ и ЯРСБ. Следовательно, а2 = 2ах, к = -ах.

Таким образом, система (10) имеет инвариантные прямые 1х:у + ахх-ах = 0 и /2: у + ахх - 2ах = 0.

Учитывая этот факт, путем несложных вычислений убедимся в том, что А = -2, В = -Ъах, С = 4ах, а значит система (10) имеет вид:

dx

— = х(х-1)(-2 а?х - Ъаху + 4 а?), dt

^- = y{y-V){y-2ax). .dt

(П)

Но для системы (11) прямая у + 2ахх - 2ах =0 является инвариантной. Ссылка на работы [1, 9], согласно которым система (11) имеет не более восьми инвариантных прямых, завершает доказательства теоремы.

Пример 1. Система дифференциальных уравнений

dx

— = х(х-1)(-2х-Зу + 4), dy

~Т = У(У ~ !)(>*- 2) dt

(12)

имеет, кроме очевидных инвариантных множеств

М2~(°о) = {х = 0,х-1 = 0} и Л^з(0) = {у = 0;^-1 = 0;^-2 = 0}, инвариантное множество М21 (-1)={у + х-1 = 0;^ + х- 2 = 0} и инвариантную прямую

у + 2х — 2 = 0.

Впрочем, система (12) - частный случай системы (11) при ах= 1.

В случае п = 4 система (1), имеющая инвариантные множества (к0), М*1 (&,),

М2г (к2), не всегда имеет инвариантную прямую Мк" (&0) иА/^' (^иМ,'(к2), где

(к0-кх){к0-к2){кх-к2)ФЪ.

Пример 2. Множество всех инвариантных прямых системы дифференциальных уравнений

ах

— = 2х(х - 1)(8х2 + 4ху - у2 - 18х + Ъу - 5), &

Ц- = у{у-2){у-Ъ){у-5) т

представляет собой объединение множеств

М4°(0) = {у = 0;у-2 = 0;у-3 = 0;у-5 = 0}, М~( оо) = {х = 0;х -1 = 0}, М~\-2) = {у + 2х - 2 = 0;у + 2х-5 = 0}. Пример 3. Система дифференциальных уравнений

(¡X

— = х(х- 1)(2х2 + 2ху - у2-5х + 2у- 3), &

^ = У(У-1)(У-2)(У-3) т

не имеет инвариантной прямой Ь£ (к0)иМ2(°°)иМ2](-1), где

М°(0) = {у = 0;у-1 = 0;у-2 = 0;у-Ъ = 0\ М2~(°°) = {х = 0;х-1 = 0}, М~х (-1) = {у + л: -1 = 0; >> + л: - 3 = 0}.

Пример 4. Система дифференциальных уравнений ах

- = х(х- 1)(20х2 +12ху-у2- ЪЯху - Ъу +12), &

~т~= У(У ~ !)(>*~~ 2)(у ~ 3) т

имеет инвариантные множества

^4°(0) = {У = 0;^-1 = 0;^-2 = 0;^-3 = 0}, М"(оо) = {х = 0;х -1 = 0}, М~2{- 2) = {у + 2х - 2 = 0;у + 2х - 3 = 0},

но не имеет инвариантной прямой Ь£ (0) и М2 (°о) и М22 (-2).

Однако существуют полиномиальные векторные поля четвертой степени, имеющие инвариантные множества М*°(к0), М2 ), Мк2 (к2) и инвариантную прямую

I г мк; (к0) и Мк2' (к1) и мкг (к2).

Покажем это, для чего по теореме 1 рассмотрим дифференциальную систему

dx

— = х(х-1 ){ах2 + ßxy + уу2 + & + Лу + со), dt

^- = у{у- cc^iy - а2){у - аъ), dt

где 0 < ах <... < аъ, имеющую инвариантные множества

М = {у = 0, у-ах = 0, у-а2 = 0, у-аъ = О}, М?{х = 0, х -1 = О}. Возможные расположения инвариантных прямых множества М2,(к), где к < 0 исчерпываются конфигурациями, изображенными на рисунках 2-5.

к \ у к

\

1 \ ,

O

Рис. 2. Девятая инвариантная прямая Ь, если она существует, непременно проходит через точки (0,«3) и (1,0)

к у к

\

\

O 1 \ X

Рис. 3. Девятая инвариантная прямая Ь проходит либо через точки (0,«2) и (1,«1),

либо через точки (0,«3) и (1,0)

к У \ \ к

а2 \

а 1

O

Рис. 4. L пересекает не менее пяти инвариантных прямых

В случаях конфигураций, изображенных на рисунках 4 и 5, система (13) имеет восемь инвариантных прямых. В самом деле, предполагая существование инвариантной

прямой Ь системы (13), которая не принадлежит множеству М4°(0) иМш(да) иЫ21 (к),

мы тем самым допускаем, что Ь пересекает не менее пяти инвариантных прямых, что недопустимо для полиномиального векторного поля четвертой степени.

Обратимся к конфигурации, изображенной на рисунке 2. Девятая инвариантная

прямая L системы (13), если она существует, непременно проходит через точки (0, аъ) и (1,0). В силу параллельности инвариантных прямых из множества М^^-а^) выполняется условие а3=а]+а2.

Найдем условия того, что система (13) имеет инвариантные прямые 1Х :у + а1х-а1 = 0 и 12 :у + а1х-а1 -а2 =0.

Несложные вычисления показывают, что коэффициенты системы (13) удовлетворяют условиям:

а = 3а* + yaf; /? = 4а* + 2уах;

8 = -5а\ - 2а?а2 - уаха2 - 2уа?; (14)

Л = -2а] - уа2 - 2уах; со = уа\ + уаха2 + а\а2 - аха2 + 2а\.

С учетом (14) перепишем систему (13):

- = х(х- 1)[(зог,3 + yal )bc2 + (4^ + 2уах ]ху + уу2 - (5а\ + 2а?а2 + уаха2 + 2ya? )bc -dt

- ¡2af + уа2 + 2уа1 )у + уа\ + уаха2 + а\а2 - аха2 + 2af ], (15)

^- = у{у- а,)(у - а2){у -а,- а2), dt

где 0 < ах < а2.

Система (15) при заданных ах и а2 представляет собой однопараметрическое семейство дифференциальных систем, имеющих три инвариантных множества: м1®)={у = Ъу-а1=Ъу-а2=Ъу-а1-а2=Ъ\

М2°°(оо) = {х = 0;х-1 = 0}, М2а' (-а]) = {у + а]х-а] =0 ;у + а1х-а1-а2 = О}.

В семействе (15) (при фиксированных с^и а2) содержится одна и только одна система, обладающая девятью инвариантными прямыми, а именно, система, соответствующая значению параметра

а1

у = — -3а1-а2. (16)

а2

При выполнении условия (16) прямая у + (а1 +а2)х-а1 -а2 =0 является инвариантной для системы (15).

Пример 5. Система дифференциальных уравнений dr

— = х(х- 1)(-12х2 - 2Ъху - 9у2 + 12х + 64у -108), dt (1?)

^- = у{у-2){у-А){у-в) dt

имеет три инвариантных множества:

(0) = {у = 0;у-2 = 0;у-4 = 0;у-6 = 0\ М~(°°) = {х = 0;х-1 = 0}, М22(-2) = {у + 2х-2 = 0;у + 2х - 6 = О}, а также инвариантную прямую у + 6х-6 = 0.

Система (17) получена из системы (15) при ах = 2, а2 = 4, у = -9.

Если система (13) имеет инвариантные прямые, образующие конфигурацию, изображенную на рисунке 3, то девятая инвариантная прямая L проходит либо через точки (0,а2) и (1,0), либо через точки (0,аъ) и (1,аА).

Прямые у + сс2х -а2 = 0, у + а2х -ах-а2 =0 являются инвариантными для системы (13), если и только если выполняются условия:

а = Ъа2 + уа2, Р = \а2 +2уа2,

д = -Ъа\ - 2аха\ - 2уа\ - уаха2, (18)

Л = -2а\ -2уа2 -уах, а> = аха2 -а2а2 + 2а\ + уа2 + уаха2. Систему (13) с учетом (18) перепишем в виде (Их

■ = х(х - 1)[(3а2 + уа2) х2 + + 2 уа2) ху + у у2 - (5 о?2 + 1аха2 + уаха2 + 2 уа2) х -

dt

dy

-(2а2 + уах + 2уа2)у + аха2 -а2а2 + 2а\ + уа\ + уа^2],

(19)

-j- = y{y- ссх){у - а2){у -а,- а2). dt

При заданных ах и а2 система (19) представляет собой однопараметрическое семейство дифференциальных систем, имеющих инвариантные множества МЦЪ) = \у = 0 \у-ах =0;у-а2 = 0 ¡у-а,-а2= 0}, м; (°о) = {х = 0; х -1 = О}, М2аг (~а2 ) = {у + а2х-а2 =0 ;у + а2х-а1 -а2 =0}. Как показывают вычисления, в семействе (19) при заданных ах и а2 содержатся только две системы, имеющие девятую инвариантную прямую: одна при

а9

у = --ах-Ъа2, а,

(20)

а другая - при

аг,

у = ах —--За,

а,

(21)

При выполнении (20) система (19) запишется в виде:

dt

i 4

Л '2а?

v^i

х2 +

V

- 2а2 - 2аха2

ху +

2 а4

--- + af а2

х +

_ о _ о

Ъа2--- + 5аха2 + ах

а

f1 — -ах- Ъа2

f

а

у + — ~ Ъаха2 - 2а[а2 ], (22)

а

^ = у(у- 0СХ ){у -а2)(у-ах- а2). dt

Система (22) имеет инвариантную прямую у + (а1+а2)х-а1-а2=0. Значению параметра у, определяемому по формуле (21), соответствует дифференциальная система

dt

.4 Л

а—

х2 +

' 2азЛ '

2аха2 - 2а\ - 2

< +

2а4

2а\ - + —- - а] а.

\

\ г х +

а,

ху +

ах —--Ъа,

а

а,

У

2 а3

Ъа\ + аха2 + —- - а2

\

а,

а,

у - аха2 - 2а2 - (23)

ос,

сО- = у{у- a^iy - а2){у -а,- а2). dt

Система (22) имеет инвариантную прямую у + (а2 -а1)х-а2= 0. Таким образом, доказана

Теорема 4. Во множестве систем (1) при п = 4, имеющих инвариантные множества Мк°(к0), М2' (£,), М2г(к2), где к0,кх,к2 е Я, (к0 -)(к0 -к2){кх -к2)Ф$, существуют системы с девятью инвариантными прямыми.

Пример 6. Система дифференциальных уравнений

с1х

— = (х- 1)х(12х2 + 4ху - Зу2 -18* + Ту), &

~г = у(у ~ 1)0*~~ 2)Су _ 3),

ш

полученная из системы (22) при ах= 1, а2= 2 имеет инвариантные множества

М40(0) = {у = 0;>;-1 = 0;>;-2 = 0;>;-3 = 0}, М~(°°) = {х = 0;х-1 = 0}, М~2 {-2) = {у + 2х-2 = 0\у + 2х-Ъ = 0}, а также инвариантную прямую у + Зх - 3 = 0.

Пример 7. Система дифференциальных уравнений (Ь

— = {х- 1)х(-12х2 - 20ху - 9 у2 + 42х + 37>; - 36), IЬ.

~т~= У(У ~ 1)0*- 2)СУ _ 3),

ш

полученная из системы (23) при ах = 1, аг =2, имеет инвариантные множества

МЦ0) = {у = 0-,у-1 = 0-,у-2 = 0-,у-3 = 0}, М2~(°о) = {х = 0;х-1 = 0}, М~2 {-2) = {у + 2х-2 = 0\у + 2х-Ъ = 0}, а также инвариантную прямую у + х-2 = 0.

Примечания:

1. Artes J., Griinbaum В., Llibre J. On the number of invariant straight lines for polynomial differential systems // Pacific Journal of Mathematics. 1998. Vol. 184, No. 2. P. 207-230.

2. Sokulski J. On the number of invariant straight lines for polynomial vector fields // Nonlinearity. 1996. No. 9. P. 479-485.

3. Долов M.B., Чистякова C.A. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью. I // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2010. № 6. С. 132-137.

4. Долов М.В., Чистякова С.А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью. П // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 1. С. 139-148.

5. Долов М.В., Чистякова С.А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью. Ш // Вестник Нижегородского

References:

1. Artes J., Griinbaum B., Llibre J. On the number of invariant straight lines for polynomial differential systems // Pacific Journal of Mathematics. 1998. Vol. 184, No. 2. P. 207-230.

2. Sokulski J. On the number of invariant straight lines for polynomial vector fields // Nonlinearity. 1996. No. 9. P. 479-485.

3. Dolov M.V., Chistyakova S.A. On linear particular integrals of polynomial vector fields of the fourth degree with degenerate infinity. I // Bulletin of Nizhny Novgorod University of N.I. Lobachevsky.

2010. No. 6. P. 132-137.

4. Dolov M.V., Chistyakova S.A. On linear particular integrals of polynomial vector fields of the fourth degree with degenerate infinity, n // Bulletin of Nizhny Novgorod University of N.I. Lobachevsky.

2011. No. l.P. 139-148.

5. Dolov M.V., Chistyakova S.A. On linear particular integrals of polynomial vector fields of the fourth degree with degenerate infinity. HI // Bulletin of Nizhny Novgorod University of N.I. Lobachevsky.

университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 2. С. 123-129.

6. Тлячев В.Б., Ушхо А.Д., Ушхо Д.С. О прямых изоклинах векторных полей на плоскости // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2014. № 2. С. 148-156.

7. Горбузов В.Н. Проективный атлас траекторий дифференциальных систем второго порядка // Вестник Гродненского государственного университета. Сер. 2. 2011. № 2 (111). С. 15-26.

8. Ушхо Д.С. О прямых изоклинах кубической дифференциальной системы // Труды ФОРА. 2003. № 8. С. 7-21. URL: http://fora.adygnet.ru

9. Любимова P.A. Об одном дифференциальном уравнении с интегральными прямыми // Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький: Изд-во ун-та, 1977. Вып. 1. С. 19-22.

2011. No. 2. P. 123-129.

6. Tlyachev V.B., Ushkho A.D., Ushkho D.S. On straight isoclines of vector fields on the plane // Bulletin of Nizhny Novgorod University of N.I. Lobachevsky. 2014. No. 2. P. 148-156.

7. Gorbuzov V.N. Projective atlas of trajectories of differential systems of the second order // Bulletin of Grodno State University. Ser. 2. 2011. No. 2(111). P. 15-26.

8. Ushkho D.S. On straight isoclines of a cubic differential system // FORA Works. 2003. No. 8. P. 721. URL: http://fora.adygnet.ru

9. Lyubimova R.A. On one differential equation with integral straight lines // Differential and Integral Equations. Gorky: University Publishing House, 1977. Iss. 1. P. 19-22.