О числе инвариантных прямых одного класса полиномиальных векторных полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 517.9 ББК 22.161.6 Т 49

Тлячев В.Б.

Доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой теоретической физики инженерно-физического факультета Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593908, email: stvb2006@rambler.ru

Ушхо А.Д.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики инженерно-физического факультета Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593908, email: uschho76@mail.ru Ушхо Д.С.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593905, e-mail: damirubych@mail.ru

О числе инвариантных прямых одного класса полиномиальных векторных полей

(Рецензирована)

Аннотация. Доказано, что полиномиальное векторное поле n -й степени, обладающее двумя определенными инвариантными множествами, каждое из которых состоит из n -1 параллельных между собой инвариантных прямых с различными угловыми коэффициентами k1 и k2 соответственно, имеет при n четном (нечетном) не более 2n - 1 (n) инвариантных прямых.

Ключевые слова: инвариантное множество, полиномиальное векторное поле, инвариантная прямая, угловой коэффициент, параллельные прямые, аффинное преобразование, узловая точка.

Tlyachev V.B.

Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of Theoretical Physics Department of Engineering-Physics Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593908, e-mail: tlyachev@adygnet.ru Ushkho A.D.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Theoretical Physics Department of Engineering-Physics Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593908, e-mail: uschho76@mail.ru Ushkho D.S.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics, Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593905, e-mail: damirubych@mail.ru

The number of invariant lines of a class of polynomial vector fields

Abstract. It is proved that a n -th order polynomial vector field having two specific invariant sets, each consisting of n -1 parallel invariant straight lines with different angular slopes k1 and k2, respectively, has at even (odd) n no more than 2n - 1 (n) invariant straight lines.

Keywords: invariant set, polynomial vector field, invariant straight line, angular slope, parallel straight lines, affine transformation, nodal point.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

dx n

— = £ aijx'yJ = P( X y),

dt i + j-o

i+; 0 (1) f =±bjxiy - Q(x,yX

^ i+J-0

где a, bj eR, (P,Q) - 1, n > 3.

В работе [1] была дана оценка числа инвариантных множеств М^(к) системы (1),

имеющей инвариантное множество Мкпа (к0) (к Ф к0) . Под символом Мк(к) понимается так

называемое инвариантное множество [1], то есть множество, состоящее из ^ параллельных между собой инвариантных прямых с угловым коэффициентом к. Введение понятия инвариантного множества позволяет, например, проводить оценку числа инвариантных прямых, что дает возможность упростить процедуру качественного исследания динамических систем.

Лемма 1. Пусть система (1) имеет два инвариантных множества Мк^-1(к1) и М^(к2), где к1, к2 е Я, к1 Ф к2. Тогда систему (1) можно посредством аффинного преобразования переменных х и у привести к виду

йх

йг йу

■ = х(х - а1 )•... • (х - ап-2 )(Ах + By + C),

(2)

-f = y(y-ß)•...•( ßn-2)M + Ny + L), dt

где 0 < а < . < ап-2, 0 < ß < . < ß

yn-2 :

BM * 0.

Доказательство. Прежде всего, отметим, что указанное условие принадлежности к1 и к2 множеству Я не уменьшает общности рассмотрения леммы. Следуя работе [2], применим

(3)

к системе (1) преобразование

[х = х + у, [ у = кгх + к2 у

и замену переменной г = (к2 - к1)т . В результате система (1) трансформируется в систему

= ( - ах - ап-1 )(о1 х + а2у + аз),

йт

^ = ( - Ь - Ьп-1х + ¿2 у + ¿3 }

йт

где ¿а2 Ф 0, а1 < а2 < ... < ап-1, Ь1 < Ь2 < ... < Ьп-1.

Таким образом, согласно [2], преобразование (з) переводит инвариантные прямые множества М^-1(к1)(М^-1(к2)) в изоклины нуля у - bi = 0 (в изоклины бесконечности

(4)

х - а. = 0), i = 1, к -1.

Применим к системе (4) операцию параллельного переноса

I ^х — X ,

= У -¿1.

В результате получим систему

dX

— = у (у -а1) •... • (у - ап-2)(у + Ву + С), йт

^ = у (У-А )■... •(-Д-2 )(М~+^у + ь), ат

где 0 <а1 < ... < ап-2, 0 < Д < . < Ап-2, ВМ Ф 0 . Лемма доказана.

Учитывая лемму 1, будем в дальнейшем рассматривать систему

йх _

— = х(х-^1 -а„-2 )((у + С ру),

йг

й- = у(у-А1),.. •(-Ап-2 )(Мх+Ь)ё (х, у), йг

(5)

являющуюся частным случаем системы (2) и имеющую два инвариантных множества: М°-!(0) = {у = 0, у-Л = 0,..., у-рп_2 = 0}, м;чЮ = {х = 0, х-а, = 0,..., х= 0}.

В силу взаимной простоты Р (х, у) и Q (х, у) справедливы условия на коэффициенты системы (6): СЬ * 0, аг * -Ь / М, Л * -С / В, I = 1, п - 2.

Для удобства дальнейших рассуждений будем называть состояние равновесия и системы (6) узловой точкой, если через точку и проходят две инвариантные прямые множества Мп0-1(0) и М;_, (;). Состояние равновесия V системы (6), не являющееся узловой точкой, будем называть внеузловой точкой. Очевидно, что система (6) имеет единственную внеузло-вую точку V(-Ь/М;-С/В), причем через точку V не проходит ни одна инвариантная прямая, принадлежащая множеству М^,(0) и М;__,(;) .

Теорема 1. Пусть система (6) имеет инвариантную прямую g, не принадлежащую множеству М°-1(0) иМ;__,(;) . Тогда: 1) g проходит через вершины прямоугольника П, образованного инваринатными прямыми х = 0, х -ап-2 = 0, у = 0, у - Лп-2 = 0;2) g проходит через внеузловую точку V(-Ь /М;-С /В) .

Доказательство. Пусть g - инвариантная прямая системы (6), причем g £ М°-1(0) и МП°-1(;). Тогда g пересекает каждую инвариантную прямую множества

" п-1 V / ^ п-1 Г о riw | | Л

Мп-1(0) иМ°-1 (;) в точке, являющейся состоянием равновесия системы (6). Однако каждое

состояние равновесия системы (6) является либо узловой точкой, либо внеузловой точкой.

Так как единственной внеузловой точкой системы (6) является точка V (-Ь / М ;-С / В), через которую не проходит ни одна инвариантная прямая, принадлежащая множеству М„°-1(0) и Мп°-1(°), то g пересекает инвариантные прямые множества М^°-1(0) и М;-1(°) только в узловых точках, а значит, проходит через вершины 0(0;0), Г (0; Лп-2), О(ап-2; Лп-2), Н (ап-2;0) прямоугольника П .

В силу того, что g не параллельна ни одной из главных изоклин Ь0 : Мх + Ь = 0 и Ь; :Ву + С = 0, прямая g пересекает обе изоклины Ь0 и Ь; в точке V(-Ь/М;-С/В). Теорема доказана.

Следствие 1. Система (6) имеет не более 2п инвариантных прямых.

Следствие 2. Если состояние равновесия V (- Ь / М ;-С / В) системы (6) не принадлежит ни одной из прямых ОО и ГН, то эта система не имеет инвариантной прямой, не принадлежащей множеству М^°-1(0) и М^Д;) .

Пример 1. Система дифференциальных уравнений

dx dt dy

dx = x(x - 5)(y - 2),

. = у (у - 7)(х + 3) dt

имеет внеузловую точку V(-3;2), через которую не проходит ни одна из прямых ОО : 5у - 7х = 0 и ГН :5у + 7х - 35 = 0.

Согласно следствию 2 система не имеет инвариантной прямой, не принадлежащей множеству {х = 0, х - 5 = 0, у = 0, у - 7 = 0}.

Теорема 2. Если система (6) имеет инвариантные прямые £ 1 : ух = 0,

«n-2

£2 : y + ßn 2 x-ß -2 = 0, то n - нечетно.

ап-2

Доказательство. Так как по условию 11 и 12 инвариантные прямые системы (6), то

выполняются равенства:

(ß, л

\ап-2

-х-ßi

ßn-2

1

J Л (

ß Л ( ß Л

^X-ßn-2 (Mx + L) = (х-а1 )•...• B^-2X + C

\ап-2

V аn-2

V аn-2

X + ß,

n- 2

ßn

V аn-2

-X + ßn-2 -ß1

J

ß Л

— X + ßn-2 ßn-3 (MX + L ) =

V аn- 2

( ß л

-Bi^X+Bßn-2 + с (х-а)•...•(-«n-2).

(7)

(8)

а

n-2

J

Перепишем равенства (7) и (8) в виде: (а Лn-2 ( ~ Л ( ~ Л

ß

n-2

Van-2 J

X-ß1

а

n-2

ß

X-ß

а

n- 2

n-3

ß

n-2 J

(- 1)n-2

ß

n-2

n-2 J V

Л n- 2 (X -(n-2а

(Mx + l) = (x-а1 -«п-з)

B ^ x + C

V аn-2 J

V

ßn- 2 ßn

(

V

Л

X (ßn-2 ßn-3 ) а X--(X„

ß

n-2

V «п-2

(MX + L ) =

(9)

(10)

V

- B-^n 2 а„

"х + ВДп-2 + С (х-«1 К^(х-^п-3 ) ^п-2 У

Приравнивая коэффициенты при хп-2 в правой и левой частях равенств (9) и (10), имеем:

С Д \п-2

M

ßn

V аn-2 J

= B

ßn-2

M(- 1)n-2

ßn

V аn-2 J

а

= - B

ßn

а

(11)

(12)

n-2

Из (11) и (12) получаем, что (-1)п 2 = -1, откуда следует, что п - нечетно. Теорема доказана.

Лемма 2. Система (6) не имеет изолированных периодических решений, а состояние равновесия V(- Ь /М;-С / В) этой системы является центром или седлом.

Доказательство. Единственным состоянием равновесия системы (6), не принадлежащим ни одной инвариантной прямой множества М^°-1(0) и является V(- Ь /М;-С / В), причем это состояние равновесия простое. Поэтому воспользуемся критерием Дюлака, взяв в качестве функции Дюлака функцию вида Б( х, у) = где а0 = Д0 = 0.

n-2

П( X-а.)(y-ß.)

г =0

-1

Так как (DP )X + (DQ )' =

By + C

n-2

П0( y-ßi)

г=0

+

MX + L

n-2

П0( х-а)

г=0

= 0, то система не имеет изоли-

рованных периодических решений, а простое состояния равновесия V(- Ь /М;-С / В) может быть только центром или седлом [3]. Лемма доказана.

Следствие 3. Если через внеузловую точку V (- Ь / М ;-С / В) проходит хотя бы одна инвариантная прямая системы (6), то эта точка непременно является простым седлом. Пример 2. Система дифференциальных уравнений

I = х(х - 4)у -1),

dy dt

= y(y - 2)(х - 2)

n-2

х

имеет инвариантные множества М2 (0) = {у = 0, у - 2 = 0} и М; (;) = {х = 0; х - 4 = 0}, а также две инвариантные прямые 2у - х = 0, 2у + х - 4 = 0, проходящие через внеузловую точку V (2;1) - простое седло.

Пример 3. Кроме очевидных четырех инвариантных прямых, система дифференциальных уравнений

dх ( А 8 ^

- = х(х - «Ь - 31,

dy dt

= y(y - 4)(x - 2)

имеет лишь одну инвариантную прямую 3у + 2х -12 = 0, проходящую через внеузловую

точку V^2;3^ . Согласно следствию 3 эта точка - простое седло.

Вернемся к примеру 1 и покажем, что внеузловая точка V(-3;2) является центром. С помощью параллельного переноса

Гх ^ х - 3,

1 у ^ у + 2

система из примера 1 приводится к системе

dx „ „ 2

— = 24y - 11xy + x2y, dt

dy dt

(13)

= -10 x - 3xy + xy2

A(0;0) =

равновесия (0;0) системы (13) находим, что ст(0;0) = 0, = 240 > 0. Поэтому точка (0;0) является центром или кратным фокусом

Для состояния 0 24 -10 0

[3]. Принимая во внимание лемму 2, приходим к выводу, что (0;0) - центр. Отметим, что (0;0) - центр в том числе и потому, что векторное поле системы (13) симметрично относительно прямой у = 0.

Пример 4. Для системы дифференциальных уравнений

^ = х(х - 5Ху - 2)

dy dt

= y(y - 7)((x - 3)

внеузловая точка V (3;2) является простым седлом и через эту точку не проходит ни одна из прямых 5у + 7х - 35 = 0 и 5у - 7х = 0. Следовательно, данная система не имеет инвариантной прямой, не принадлежащей множеству {х = 0, х - 5 = 0, у = 0, у - 7 = 0}.

Замечание 1. В работе [4] построена кубическая система дифференциальных уравнений, имеющая предельный цикл и четыре инвариантных прямых. В терминах инвариантных множеств необходимое условие существования предельного цикла у кубической системы, обладающей четырьмя инвариантными прямыми, заключается в том, что эта система имеет два инвариантных множества М2 (к1) и М2 2 (к2), где к1 * к2. При этом предельный цикл расположен внутри параллелограмма, образованного инвариантными прямыми множества М 2к1(к1) и М 2к2(к2).

Впрочем, кубическая система не имеет предельных циклов, если она обладает не менее пятью инвариантными прямыми [5].

Будем говорить, что система (1) индуцирует направление т на прямой изоклине Ь, если угловой коэффициент касательных к траекториям системы (1) в точках прямой Ь равен т .

Теорема 3. Пусть система (1) имеет два инвариантных множества Мкк-1(к1) и Мкп-1(к2), а также две прямые изоклины Ь1 : у - к1 х - Ъ1 = 0, Ь2 : у - к2 х - Ъ2 = 0, где к1, к2 е Я, к1 * к2. Если на прямой Ь1 (Ь2) индуцировано направление к2 (к1), то система (1) при п четном (нечетном) имеет не более 2п -1 (2п ) инвариантных прямых.

Справедливость теоремы следует из леммы 1 и теоремы 2.

Пример 5. Система дифференциальных уравнений

| = х(х - 1)х - 2) + 5),

d^ dt

имеет

два

инвариантных

= у(у - 1Ху - 2)(х + 5)

множества М30(0) = {у = 0, у -1 = 0, у - 2 = 0}, М3; (;) = {х = 0, х -1 = 0, х - 2 = 0} и одну инвариантную прямую у - х = 0, не принадлежащую множеству М30 (0) и М; (;) .

Пример 6. Система дифференциальных уравнений

— = х(х - 1)(х - 2)(х - 3)(2 х - 3), dt

± = у(у -1) - 2) - 3)2у - 3)

dt

имеет

два

инвариантных

множества

M 4Ш (да) = {x = 0, x -1 = 0, x - 2 = 0, x - 3 = 0}

и

M 40(0) = {y = 0, y -1 = 0, y - 2 = 0, y - 3 = 0}, две инвариантные прямые y - x = 0,

y + x - 3 = 0, не принадлежащие множеству M0 (0) U M4° (да) .

Примечания:

1. Тлячев В.Б., Ушхо А. Д., Ушхо Д.С. Об инвариантных множествах полиномиального векторного поля n-й степени // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2014. Вып. 4 (147). С. 22-33. URL: http://vestnik.adygnet.ru

2. Ушхо Д.С. О прямых изоклинах кубической дифференциальной системы // Труды ФОРА. 2003. № 8. С. 7-21. URL: http://fora.adygnet.ru

3. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. Изд. 2, доп. М.: Наука, 1990. 488 с.

4. Ушхо Д.С., Ушхо А.Д. О сосуществовании предельных циклов и линейных частных интегралов кубических дифференциальных систем на плоскости // Труды ФОРА. 2004. № 9. С. 20-24. URL: http ://fora.adygnet.ru

5. Горбузов В.Н., Тыщенко В.Ю. Частные интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Математический сборник. 1992. Т. 183, № 3. С. 76-94.

References:

1. Tlyachev V.B., Ushkho A.D., Ushkho D.S. Invariant sets of the n -th order polynomial vector field // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2014. Iss. 4 (147). P. 22-33. URL: http://vestnik.adygnet.ru

2. Ushkho D.S. On straight isoclinal lines of cubic differential system // Works of Physical Society of Ady-ghea Republic. 2003. No. 8. P. 7-21. URL: http ://fora.adygnet.ru

3. Bautin N.N., Leontovich E.A. Methods and techniques of the qualitative study of dynamical systems on the plane. 2nd ed., enl. M.: Nauka, 1990. 488 pp.

4. Ushkho D.S., Ushkho A.D. About existing of limiting cycles and line particular integrals of cubic differential systems on plane // Works of Physical Society of Adyghea Republic. 2004. No. 9. P. 20-24. URL: http ://fora.adygnet.ru

5. Gorbuzov V.N., Tyshchenko V.Yu. Particular integrals of systems of ordinary differential equations // Mat. Sb. 1992. Vol. 183, No. 3. P. 76-94.