CC BY
18
УДК 517.9 ББК 22.161.6 Т 49
Тлячев В.Б.
Доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой теоретической физики инженерно-физического факультета Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593908, e-mail: stvb2006@rambler.ru Ушхо Д.С.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593905, e-mail: damirubych@mail.ru
Некоторые вопросы качественной теории автономных полиномиальных дифференциальных систем второго порядка
(Рецензирована)
Аннотация. Излагаются результаты исследования кубической дифференциальной системы по вопросам: оценки числа особых точек второй группы, оценки числа прямых изоклин, сосуществования особых точек второй группы и предельных циклов, а также сосуществования инвариантных прямых и предельных циклов.
Ключевые слова: особая точка, предельный цикл, инвариантная прямая.
Tlyachev V.B.
Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of Theoretical Physics Department of Engineering-Physics Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593908, e-mail: stvb2006@rambler.ru Ushkho D.S.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics, Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593905, e-mail: damirubych@mail.ru
Some questions of the qualitative theory of the second order autonomous
polynomial differential systems
Abstract Results of research of cubic differential system related to the following questions are stated: estimate of number of special points of the second group, assessment of number of straight line isoclines, coexistence of special points of the second group and limit cycles, as well as coexistence of invariant straight lines and limit cycles.
Keywords: special point, limit cycle, invariant straight line.
Качественная теория дифференциальных уравнений, основоположниками которой по праву считаются А. Пуанкаре и А.М. Ляпунов, возникла в конце 80-х годов XIX-го столетия. Она получила свое дальнейшее развитие в трудах зарубежных и отечественных математиков, таких, как Д. Биркгоф, И. Бендиксон, Г. Дюлак, М. Фроммер, А.А. Андронов, JI.C. Понтрягин, В.В. Степанов, В.В. Немыцкий, Е.А. Леонтович, А. А. Витт, С.Э. Хайкин, А.Г. Майер, И.И. Гордон и др.
Если качественная теория возникла из потребностей в основном небесной механики, то, уже начиная с 30-х годов ХХ-го столетия, она стала математическим аппаратом для изучения процессов, происходящих в электрических цепях и радиотехнических устройствах, а также для решения задач теории устойчивости.
Достаточно широк круг вопросов (прикладных и теоретических), изучение которых приводит к необходимости качественного интегрирования двумерных динамических систем аналитического класса:
Представлена на Первой международной конференции «Осенние математические чтения в Адыгее», посвященной памяти профессора КС. Мамия. 8-10 октября 2015 г. Конференция приурочена к 75-летию Адыгейского государственного университета.
dt dt
(1)
Многие радиотехнические, механические, гидродинамические, экологические, биологические и иные реальные системы моделируются с помощью системы (1), где Р, Q — многочлены вполне определенной степени с действительными коэффициентами. Так, например, отдельные вопросы химической кинетики, астрофизики, математической биологии приводят к системе специального вида [1]:
dx . .
— = х(а00 + а10х + ату), dt
ßt
Изотермический реактор непрерывного действия, в котором протекает обратимая химическая реакция, моделируется системой [2]:
d* it \ ■ 2
— = Л(х0-х) + у-х ,
dt j
— = ЧУ0-У)-У+Х2-.dt
Обобщенная модель «хищник-жертва» представлена системой уравнений (1), где Р, Q — многочлены третьей степени [3].
Много применений автономных полиномиальных систем второго порядка в биологии можно найти в работе [4].
Большой интерес математиков к изучению полиномиальных векторных полей на плоскости обусловлен их фундаментальной ролью в теории дифференциальных уравнений [5].
Различные вопросы качественной теории применительно к системе (1) изучались в трудах А.Ф. Андреева, H.A. Сахарникова, К.С. Сибирского, Н.Ф. Отрокова, М.И. Альмухамедова, H.A. Лукашевича, А.Н. Берлинского, A.A. Черкаса, М.В. Долова и многих других.
Среди автономных систем второго порядка с алгебраическими правыми частями наиболее полно изучены квадратичные (в системе (1) Р, Q — многочлены второй степени). Здесь решены проблема центра-фокуса, вопрос о числе особых точек второй группы и числе инвариантных прямых и т.д. Вместе с тем число работ по изучению системы (1) с кубическими правыми частями сравнительно невелико. Проблема центра-фокуса здесь решена лишь для системы
г, / ч
— = ~У + Рз(х,у), dt
ßt
где Ръ, Q3 - однородные многочлены третьей степени.
Наряду с такими классическими проблемами качественной теории, как проблема центра-фокуса, предельных циклов, поставленными А. Пуанкаре, в последние десяти-
летия возникли новые проблемы качественной теории плоских полиномиальных дифференциальных систем. К ним можно отнести проблемы: оценки числа алгебраических инвариантных кривых, оценки числа особых точек второй группы, оценки числа прямых изоклин, сосуществования особых точек второй группы и изолированных периодических решений, сосуществования инвариантных прямых и предельных циклов и др.
Приведем некоторые результаты исследования кубической дифференциальной системы по этим проблемам.
Утверждение 1. Существуют кубические дифференциальные системы, имеющие четыре инвариантные прямые и предельный цикл.
Утверждение 2. Число особых точек второй группы кубической дифференциальной системы не превосходит пяти.
Утверждение 3. Существуют кубические дифференциальные системы, имеющие три состояния равновесия и предельный цикл.
Утверждение 4. Максимальное число прямых изоклин кубической дифференциальной системы равно десяти.
Утверждение 5. Существуют кубические дифференциальные системы с вырожденной бесконечностью, имеющие на экваторе сферы Пуанкаре состояние равновесия.
Замечание. Во всех выше приведенных утверждениях под кубической дифференциальной системой следует понимать систему (1), где P,Q — взаимно простые многочлены третьей степени над полем R.
Примечания: References:
1.Дружкова Т.А. Алгебраические дифференци- l.Druzhkova Т.A. The algebraic differential equa-альные уравнения с алгебраическими интегра- tions with algebraic integrals. A manual. Pt. 1. лами. Нижний Новгород: Изд-во Нижегород. Nizhny Novgorod: Publishing House of the Niz-ун-та, 2005. 37 с. hny Novgorod University, 2005. 37 pp.
2. Вольтер Б.В., Сальников И.Е. Устойчивость 2. Volter B.V., Salnikov I.E. Stability of operating режимов работы химических реакторов. М.: modes of chemical reactors. M.: Chemistry, 1981. Химия, 1981.200 с. 200 pp.
3. Huang X., Wang Y., Cheng A. Limit cycles in a 3. Huang X., Wang Y., Cheng A. Limit cycles in a cubic predator-prey differential system // J. Korean cubic predator-prey differential system // J. Korean Math. Soc. 2006. Vol. 43, No. 4. P. 829-843. Math. Soc. 2006. Vol. 43, No. 4. P. 829-843.
4. Llibre J., Vails C. Analitic first integrals of the Fitz 4. Llibre J., Vails C. Analitic first integrals of the Fitz Hugh-Nagumo systems // Zeitschrift fur Ange- Hugh-Nagumo systems // Zeitschrift fur Angewandte Matematik und Physik (ZAMP). 2009. wandte Matematik und Physik (ZAMP). 2009. Vol. 60. P. 237-245. Vol. 60. P. 237-245.
5. Немыцкий В.В. Некоторые современные про- 5. Nemytskiy V.V. Some modern problems of the блемы качественной теории обыкновенных qualitative theory of the ordinary differential equa-дифференциальных уравнений // УМН. 1965. Т. tions // UMN. 1965. Vol. 20, Iss. 4(124). P. 3-36. 20. Вып. 4 (124). С. 3-36.
