О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью. I Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.925

О ЛИНЕЙНЫХ ЧАСТНЫХ ИНТЕГРАЛАХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ С ВЫРОЖДЕННОЙ БЕСКОНЕЧНОСТЬЮ. I

© 2010 г. М.В. Долов, С.А. Чистякова

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Поступила в редакцию 16.09.2010

Доказывается, что полиномиальное векторное поле четвертой степени с вырожденной бесконечностью имеет не более 9 линейных частных интегралов, в том числе и с комплексными коэффициентами.

Ключевые слова: полиномиальные векторные поля, алгебраические дифференциальные уравнения, частные интегралы, инвариантные множества, вырожденная бесконечность.

1. Введение

При решении различных задач теории дифференциальных уравнений линейные частные интегралы эффективно использовались в работах Л. Эйлера, К. Якоби, Ф.Г. Миндинга, Н.Н. Баутина, В.Н. Горбузова, Н.И. Вулпе, М.Н. Попа,

К.С. Сибирского, А.С. Шубэ и других авторов.

Постановка задачи в данной работе связана с [1-5].

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

= Р{х, у), = Q(х, у), С1.1)

at at

где P и Q - взаимно простые полиномы, max(deg P, deg Q) = n. В статье [6] показано, что при n =3 существуют вещественные системы

(1.1) с восемью вещественными линейными частными интегралами. Изучая общий случай, когда коэффициенты полиномов P и Q и переменные x, y в (1.1) комплексные, в [2] доказывается, что максимальное число различных линейных частных интегралов системы (1.1) при n = 3 равно 8.

По определению, система (1.1) вырождена на бесконечности, если

xQn (X У) - Урп (X У) = 0 (1.2)

где Pn и Qn - однородные полиномы степени n, содержащиеся в P и Q соответственно. Обозначим An совокупность систем (1.1) с вырожденной бесконечностью. В статье [4] доказано, что для системы (1.1) из A3 с взаимно простыми P и

Q максимальное число различных линейных частных интегралов равно 6.

В работе [5] доказана

Теорема. Наибольшее число интегральных прямых системы (1.1), где Р и Q - взаимно простые вещественные полиномы четвертой степени, равно 9, притом существует 10 различных связок по 9 интегральных прямых в каждой.

В [5] при доказательстве этой теоремы рассматриваются интегральные прямые у = кх + Ь, х = кку + а и утверждается, что «общее число различных к и к'-направлений не превосходит 5».

Следует заметить, что если система (1.1) из А4, то различных к и к'-направлений может быть больше пяти, в чем убеждает система

— = (х - 4)(х + 2)(у2 + х -1), щУ = ху(у2 - 9) ш ш

и ее частные интегралы: х = 4, х = -2, у = 0, у = 3, у = -3, у = х - 1, у = -х + 1, у = х/2 + 1, у = -х/2 - 1.

Кроме того, вещественная система (1.1) может иметь линейные частные интегралы с комплексными коэффициентами. Например, система

— = х(х -1) (х2 - 3х + 3),

Л

Лу = у(у -1)(у2 - Ъу + 3)

Л

допускает одиннадцать линейных частных интегралов: х = 0, х = 1, у = 0, у = 1, х = (з ± г'л/З )/ 2 ,

у = (з ±/л/з)/2, у = х, у-

1 - /л/3 3 - /л/3

У =------------х + -

і + /л/3 з + /73

-х +-

2

2

2

2

Основным результатом настоящей работы является

Теорема 1.1. Для системы (1.1) из А4 число линейных частных интегралов не более 9.

Работа состоит из трех частей. В I части доказана теорема 1.1 в случае, когда система (1.1) из А4 имеет инвариантное множество Ь, являющееся объединением четырех различных инвариантных множеств Ф4 = 0, deg Ф4 =1 таких, что для любых двух множеств Ф4 = 0, Фу = 0 из Ь выполнено условие ^(Ф ^ , Ф у )/ 0( X, у) = 0. Другие случаи изучаются частях II и III.

2. Вспомогательные утверждения

Если система (1.1) из Ап, то в силу (1.2) правые части (1.1) имеют вид

р = хф„-1 (х, у) + рп-1( х, у) + • • • + ро, б = УФп-1( X у) + %-1( X У) + • + #о ’

где фу, р qj - однородные полиномы степени у.

Пусть система (1.1) из Ап имеет частный интеграл

Ф j (х, у) = ajх + bjу + = 0 , (2.1)

где ау, Ьу, Су е С, тогда для всех х

а у (хфп-1 + рп-1 + к + Ро ) +

+ Ъ і (ууп_і + дп_і + к + д0) =

(а х+ъ у)( м-2 - мП-2) -

= (С - С)Фи-1(X У)-Поскольку тах (ёе§ Р, ёе§ 2) = п , то

ф„_1 (X, у) ф 0 . Поэтому полином ф„_!(X, у) , deg фп_і = п -1 делится на а^х + Ъуу. Теорема доказана.

Теорема 2.2. Пусть система (1.1) из Ап имеет инвариантное множество Ь\, являющееся объединением п различных инвариантных множеств (2.1) с условием (2.3). Тогда всякое инвариантное множество Ь, пересечение которого с Ь\ не содержит инвариантных множеств (2.1), не может быть объединением хотя бы двух инвариантных множеств (2.1) с условием

(2.3).

Доказательство. Пусть это не так. Тогда наряду с Ь\ инвариантное множество Ь содержит хотя бы два инвариантных множества (2.1), не входящих в Ь[ и удовлетворяющих условию

(2.3). Без ограничения общности можно считать, что Ь\ = 0 {у = а у}, где а, попарно раз-

у=1

личны, Ь = {х = 0} и {х = в} , р Ф 0. Отсюда и из тожеств вида (2.2) следует, что

^ х, у) = Х( у-а!)( у-а2)...(у-а„) X = соші;,

Р( х, у) -

(2.4)

(2.2)

= (|ау х + Ъу у + су ) х

X (фп-1 + Мп-2 + к + м0>).

Здесь М1 ^ ^ - однородные полиномы степени 5, 5 = 0,1,...,п-2.

Теорема 2.1. Если система (1.1) из Ап имеет инвариантные множества Ь8, являющиеся объединением инвариантных множеств (2.1) таких, что для любых двух множеств Ф4 = 0 м Фу = 0, содержащихся в Ьв, выполнено условие

Б(Ф ,, Ф V)/ х, у) = 0, (2.3)

то попарно различных величин к = а^Ь5 не более п-1.

Доказательство. Так как частные интегралы системы (1.1) определены с точностью до постоянного множителя, то в силу условия (2.3) ау = ац, Ьу = Ьв и су Ф св. Полагая в тождестве (2.2) у = V, у = 5 и сравнивая в этих тождествах однородные полиномы степени п-1, будем иметь

= х х -Р)(Рп-2 (X У) + к + Ро (X У)) = где Ру(х,у) - однородные полиномы степени у. Согласно (2.4) и (1.2), имеем

Хуп-1 = хрп-2 (X, у) = фи-!(X, у).

Следовательно, фп(х, у) = 0. Получили противоречие. Теорема доказана.

Из теоремы 2.2 и приведенных выше рассуждений вытекает

Лемма 2.1. Пусть система (1.1) из Ап имеет инвариантное множество Ь, являющееся объединением п различных инвариантных множеств (2.1), удовлетворяющих условию (2.3), и у (1.1) есть хотя бы одно инвариантное множество (2.1), не принадлежащее Ь. Тогда линейной невырожденной заменой переменных с точностью до обозначений система (1.1) приводится к виду

X = х( уп 1 + р( х, у)) = Р( х, у),

У = (У - а1)(У - а2)к(у -ап) = б(х,у),

(2.5)

где

а, = соп8І

попарно

различны,

deg р(х, у) < п - 2, при этом у (2.5) нет част-

ных интегралов у = кх + I, у = кх + 11, к Ф 0, к Ф да, 1\ Ф I.

3. Системы (1.1) из А4 с инвариантным множеством, являющимся объединением

четырех инвариантных множеств (2.1) с условием (2.3)

Всюду в дальнейшем рассматриваются системы (1.1), принадлежащие А4, и изучается вопрос о наибольшем числе линейных частных интегралов (2.1) таких систем. При п = 4 всякое инвариантное множество, объединяющее инвариантные множества (2.1) с условием (2.3), содержит не более 4 инвариантных множеств (2.1). Поэтому возможны случаи:

1) Среди Фу = 0 есть 4 полинома, удовлетворяющих условию (2.3), т.е. с точностью до обозначений а1 = а2 = а3 = а4, Ь1 = Ь2 = Ь3 = Ь4, а Су, 7 = 1,4 , попарно различны.

2) Наибольшее число инвариантных множеств (2.1), удовлетворяющих условию (2.3), равно 3.

3) Наибольшее число инвариантных множеств (2.1) с условием (2.3) есть 2.

4) Среди Фу = 0 нет полиномов, удовлетворяющих (2.3).

В п. 3 изучается случай 1). В силу теоремы 2.2 и леммы 2.1 справедлива

Лемма 3.1. Пусть система (1.1) из А4 имеет не менее пяти линейных частных интегралов, при этом а1 = а2 = а3 = а4, Ь1 = Ь2 = Ь3 = Ь4, су

для 7 = 1,4 попарно различны. Тогда линейной невырожденной заменой с точностью до обозначений система (1.1) приводится к виду

йх /32 2

= х( у + «20 х + апху + а02 у +

Ж

+ аю х + ао\у + аоо ) = р йу

= (у-а1)(у-а2) х

а02 (кх +/) + (а\§ + каох) х + + аоо ) —

= (кх +1 - а,1)(кх +1 - а2)х х (кх +1 - аз) (кх +1 - а4 ).

Отсюда следует, что I е {а1, а2, а3, а4}. Полагая I = 0/ и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях этого тождества, можно убедиться, что справедлива

Лемма 3.2. 1) Для того чтобы система (3.1) допускала частный интеграл у = кх + а1, к Ф 0, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

2

Аф + 0цк + 0-20 = 0,

Ах + В) к + а^а + 010 = о, (3.2)

где

Аа + + аоо + = 0,

А = а02 + а2 + аз + а4,

— ^2^3 — ^2^4 — а^а4 ■

(3.3)

12а4

*,30,4 ■

2) Система (3.1) имеет инвариантное множество у = кх + а2, к Ф 0, тогда и только тогда, когда

2

А2к + ацк + ^20 — 0,

(2а2 А2 + В2) к + ^11^2 + а^ — 0, (3.4)

где

А2а2 + Вг аг + а00 + а1аза4 — 0,

Аг = а0 2 + а +аз + а4,

В2 — ^01 — ща — — 0304.

(3.5)

3) Система (3.1) имеет инвариантное множество у = кх + а3, к Ф 0 в том и только том случае, если

2

А3 к + ацк + «20 = 0,

(2аз А3 + Б3) к + а11аз + а10 = 0, (3.6)

(3.1)

Аза3 + Взаз + а00 + а^а4 = 0,

где

х (у-аз)(у-а4 ) = где Р и Q - взаимно просты, ау попарно различны, а j е С, при этом у (3.1) нет частных интегралов у = кх + I, у = кх + 11, IФ 11, к Ф 0, к Ф да.

В силу тождества (2.2) система (3.1) допускает частный интеграл у = кх + I, к Ф 0, к Ф да тогда и только тогда, когда

I 3 2

Ах1(Ах + /) + ^20 х + ацх (кх + /) +

В3 — а01 — а-^о — ата^ — аоа^.

(3.7)

4) Система (3.1) имеет инвариантное множество у = кх + а4, к Ф 0 тогда и только тогда, когда

2

А4к + ацк + а20 — 0,

(2а4 А4 + В4) к + а^а4 + аш — 0, (3.8)

где

А4а4 + В4а4 + аоо + а1а2аз — 0,

А4 — + а- + ат + аз

02 + а1

1а2

В 4 — ^01 — а-а2 — а-аз — а2аз.

(3.9)

+

Лемма 3.3. Пусть система (3.1) имеет инвариантные множества у = к[ ^ х + а j,

у = х + а j, к}7'^ Ф к2, к}7'^7'^ Ф 0 . Тогда

(к}^ ^) Л]- + ап = 0, (3.10)

(3.11)

(3.12)

2 А аі + В = °:

а11 а j + а10 = 0 ,

Аі(к1(1) )2 + а11к1(1) + а20 = 0, А1(к21) )2 + а11^21) + а20 = 0, (2 А1а1+вх) к1 + — 0,

чию с взаимной простотой правых частей (3.1). Лемма доказана.

Лемма 3.5. Система (3.1) может иметь не более четырех инвариантных множеств вида у = к1х + а л, у = х + а ^,

&00 + / ау — ауАу — 0, (3.13)

где у = 1, 2, 3, 4; А1, В1 имеют вид (3.3), А2, В2 -вид (3.5), А3, В3 - вид (3.7) и А4, В4 - вид (3.9), при этом Ау Ф 0.

Доказательство. При у = 1, согласно лемме 3.2, имеем

к1 Ф к2, к^ Ф 0; у = кзх + а j, у = к4х + аj кз Ф к4, кзк4 Ф 0,

(3.17)

(3.14)

(3.15)

где 5,у є {1,2,3,4}, 5 Фу.

Доказательство. Допуская противное, без ограничения общности считаем 5 = 1, у = 2. Пусть наряду с (3.17) при 5 = 1, у = 2 система

(3.1) имеет инвариантные множества у = к5х + аз, у = квX + аз,

(3.18)

к5 ф к6 ’ к5к6 ф 0 Тогда в силу леммы 3.3 имеем

(2 А1а1 + В1) к21} + ОцО*! + — 0,

+ Б1а1 + а00 + а2«з«4 = 0. (3.16)

Из равенств (3.14) и из условия Ф

получаем (3.10). При к1(1) Ф из (3.15) следует (3.11) и (3.12) для у = 1. Из соотношений

(3.16) и (3.11) вытекает равенство (3.13). Допустим А1 = 0. Тогда, в силу (3.10)-(3.14), параметры а11 = а10 = а20 = В1 = 0, а00 = -а2а3а4. Для А1 = В1 = 0, согласно (3.3), а01 = а2а3 + а2а4 + + а3а4, а02 = -(а2 + а3 + а4). Следовательно, в

(3.1) полином 3 2 2

у + «20 х + апху + а02 у + а10 х + а01 у + а00 =

= (У-а2 )(У-а3 )(у-а4 )■

Поэтому правые части (3.1) имеют общий делитель (у -а,2)(у — аз)(у -а4). Полученное противоречие доказывает, что А1 Ф 0.

В случаях у = 2, 3, 4 доказательство аналогично изложенному выше. Лемма доказана.

Лемма 3.4. Состояние покоя (0,ау), у = 1,4,

системы (3.1) наряду с х = 0, у = ау может принадлежать не более чем двум инвариантным множествам у = к1х + ау, у = к2х + ау, к1 Ф к2, к1к2 Ф 0.

Доказательство. Допустим противное. Тогда без ограничения общности полагаем у = 1. Так как первое уравнение (3.2) имеет не менее трех решений, то (в силу леммы 3.2) А1 = а11 = а20 = 0. Отсюда для у = 1, согласно (3.11) и

(3.12), имеем В1 = а10 = 0. Далее повторяем рассуждения леммы 3.3 и приходим к противоре-

2 А^а^ + Ві — 2 ^2^2 + В2 —

— 2 Азаз + В3 — 0.

(3.19)

(3.20)

Подставляя в (3.19) вместо Ау, Ву их значения из (3.3), (3.5) и (3.7), получаем

(2^02 + Заз + 3^4 )(а^ — а2) — 0, (2а02 + За2 + За4 )^ — аз) — 0.

Из равенств (3.20) вытекает, что выполнено хотя бы одно из соотношений а1 = а2, а1 = а3, а2 = а3. Последнее невозможно, ибо в (3.1) величины ау парно различны. Лемма доказана.

Лемма 3.6. Пусть система (3.1) имеет инвариантные множества

у = к^х + а1з у = ^2х + щ, к-^ Ф к2, к-^к2 ф 0, у = кзх + а2, у = £4х + а,2,

(3.21)

кз Ф £4, к^к4 Ф 0.

(3.22)

Тогда

к\ + к2 = кз + к4 = а а = а10 = 0, (3.23)

2^02 + 3(аз + а4) = 0, а01 = 30,30,4, (3.24) 2(а!а2 + аза4) = (а! + а2)(аз + а4), (3.25)

2а00 = 2^0.2 - 2а1а3а4 - а^аз - а^а4. (3.26) Доказательство. В силу леммы 3.3, с учетом

(3.12) имеем ацЫ1 = ацЫ2 . Отсюда получаем

а11 = 0, так как в (3.1) величины ау попарно различны. При а11 = 0, согласно (3.12), а10 = 0, и в силу первых уравнений (3.2) и (3.4) к + к2 = кз + к 4 = 0. Следовательно, выполнены равенства (3.23).

Полагая в (3.13)у = 1, 2 и заменяя А1 и А2 из

(3.3) и (3.5), будем иметь

а^2 + аза4 + (а! + а2) (а0 2 +а3 +а4) = 0.

Отсюда и из первого соотношения (3.20) следует равенство (3.25). Первое соотношение (3.24) вытекает из (3.20). Поэтому 2 А = = 2а2 — аз -а4 . Отсюда с учетом (3.25), (3.11),

(3.3) находим а01 = 3аза4 .

Равенство (3.26) вытекает из (3.11), (3.5) и из первого соотношения (3.25). Лемма доказана.

Система дифференциальных уравнений

Шх ,з 2 ч Шу

— = х (у3 + х2 - 3 у), аі аі

(у2 +1)( у2 -1),

2а02 + 3а! + 3а4 = 2а02 + 3а! + Заз = 0. Последнее невозможно. Поэтому ац Ф 0. Из формул (3.3), (3.5), (3.7) и (3.9) имеем

А — Аі + а і — а, А3 — Аі + а і — аз,

2, ^з А4 — Аі + аі — а4,

(3.30)

допускающая частные интегралы х = 0, у = -і,

у = I, у = 1, у = -1, у = г + V - г х, у = 7 - V - 7х ,

у = 41 х - г, у = -л/7 х - г, удовлетворяет как условиям, так и утверждению леммы 3.6.

Лемма 3.7. Если система (3.1) имеет инвариантные множества (3.17), то максимальное число различных линейных частных интегралов системы (3.1) равно 9.

Доказательство. Достаточно показать, что у системы (3.1) нет других инвариантных множеств вида у = кх +1, к Ф 0, отличных от (3.17). Допустим противное, при этом, как и в лемме 3.5, считаем 5 = 1, у = 2. Согласно лемме 3.4,

IФ а1, IФ а2, и при этом, в силу леммы 3.1, к Ф ку, ] = 1,4 . Поэтому без ограничения общности полагаем I = а3. По лемме 3.6 а11 = а10 = 0. Отсюда с учетом (3.2), (3.4) и (3.6) получаем

(3.19) и (3.20). Следовательно, либо а1 = а2, либо а1 = а3, либо а2 = а3. Полученное противоречие доказывает лемму.

Лемма 3.8. Система (3.1) не может иметь одновременно 5 частных интегралов вида у = к1х + а1, у = к2х + а1, у = к3х + а2, у = к4х + а3, у = к5х + а4, где ку Ф 0 и попарно различны.

Доказательство. Допустим противное. Тогда, в силу лемм 3.2 и 3.3, имеем

2+ В1 = 0, аца1 + @10 = 0, (3.27)

А2к3 + ацк3 + а2о = 0,

Азк4 + ацк4 + а20 = 0, (3.28)

А4к2 + ап^5 + а20 = 0,

(2^2 А2 + В2 ) + ац (а — 0*1) = 0,

(2аз А3 + В3 ) + ац(аз — а,1) = 0, (3.29)

(2а4 А4 + В 4 ) + ац (а — ) = 0,

где Ау, Ву определяются из формул (3.3), (3.5), (3.7) и (3.9) соответственно, при этом, согласно лемме 3.2, А1 Ф 0. Покажем, что ац Ф 0. Допустим, что а11 = 0, тогда из (3.29) имеем

2а2 А2 + В*2 — 2аз А3 + В3 — 2а4 А4 + В4 — 0.

Отсюда с учетом (3.5), (3.7) и (3.9) следует,

что

в2 - В1 + (аз + ^4 )(^2 —

В3 - В1 + (а2 + а4 )(аз — а1),

В4 - В1 + (а2 +аз )(а4 — а!).

Так как В1 = —2а^, то

2 ^2^2 + В2 = (^2 — а у) X х (2 Ау — 2а2 + аз + ) =

= (а2 —ау)(2а02 + 3аз + 3а4 ),

2 Азаз + В3 = (аз — х х (2 Ау — 2аз + а2 + а4 ) =

= (аз — а^ )(2а02 + 3а2 + 3а4 ),

2 + В4 = (^4 — ) х

х (2 Ау — 2а4 + а2 + аз ) =

= (а4 —а!)(2а02 + 3а2 + 3аз ). Используя эти равенства, согласно (3.29), имеем

к'з = —ац / (2а02 + Заз + 3а4 ^4 = —ац / (2а02 + За2 + За4 кз = —ац / (2а02 + За2 + Заз )■ Подставляя найденные значения кз, к4, к5 в уравнения (3.28) и учитывая (3.30) и (3.3), будем иметь

а 11 (а02 + 2аз + 2^4 — =

2

= а20 (2^02 + 3аз + 3а4 ) ,

2

а 11 (ао2 + 2а2 + 2а4 — а^) =

2

= а20 (2а02 + 3а2 + 3а4 ) 5 2

а 11 (а02 + 2а2 + 2аз — а^) =

2

= а20 (2а02 + 3а2 + 3а3) ■

Если из первого равенства вычесть второе и третье, то с учетом неравенства ау Ф ал у Ф 5, получим 2

2а 11 = 3^20 (4^02 + 3а,2 + Заз + 6а4 ) =

= 3^20 (4^02 + За2 + +6аз + За4 ).

Отсюда следует, что а3 = а4. Полученное противоречие доказывает лемму.

Теорема 3.1. Максимальное число линейных частных интегралов системы (3.1) с взаимно простыми правыми частями равно 9.

Доказательство. Приведенный после леммы 3.6 пример показывает, что существуют систе-

мы (3.1) с девятью линейными частными интегралами.

Допустим, что система (3.1), кроме х = 0, у = а1, у = а2, у = а3, у = а4, имеет не менее 5 частных линейных интегралов у = кух + 1у, ] = 1, 5, где ку Ф 0 и, в силу леммы 3.1, попарно различны. Так как 1у е {а1,а2,а3,а4}, то среди 1у есть равные. Если равны только две величины 1у, то, в силу лемм 3.4 и 3.8, число различных линейных частных интегралов не более 9. В противном случае, в силу лемм 3.4, 3.5 и 3.7, максимальное число различных линейных частных интегралов системы

(3.1) равно 9. Теорема доказана.

Работа поддержана грантом НК-13П-13.

Список литературы

1. Долов М.В. О числе алгебраических инвариантных кривых полиномиальных векторных полей // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 6. С. 838-839.

2. Долов М.В., Павлюк Ю.В. К вопросу об алгебраической интегрируемости полиномиальных векторных полей // Тр. СВМО. 2004. Т. 6, № 1. С. 40-50.

3. Долов М.В., Бубнова И.В. Системы с линейными частными интегралами // Изв. РАЕН. Дифференц. уравнения. 2006. № 11. С. 79-80.

4. Долов М.В., Чистякова С.А. О числе линейных интегралов кубической системы с вырожденной бесконечностью // Тр. СВМО. 2007. Т. 9, № 2. С. 62-74.

5. Латипов Х.Р., Косс М.Ш. Об интегральных прямых одного дифференциального уравнения // IX Межд. конф. по нелинейным колебаниям. Качественные методы теории нелинейных колебаний. Киев: Наукова думка, 1984. Т. 2. С. 219-222.

6. Любимова Р.А. Об одном дифференциальном уравнении с интегральными прямыми // Дифференц. и интегральные уравнения. Горький: ГГУ, 1977. С. 19-22.

ON LINEAR PARTIAL INTEGRALS OF POLYNOMIAL VECTOR FIELDS OF THE FOURTH DEGREE WITH DEGENERATE INFINITY. I.

M.V. Dolov, S.A. Chistyakova

It is proved that a polynomial vector field of the fourth degree with degenerate infinity has no more than nine linear partial integrals including those with complex coefficients.

Keywords: polynomial vector fields, algebraic differential equations, partial integrals, invariant sets, degenerate infinity.