CC BY
15
Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2005, Том 7, Выпуск 2
УДК 517.518
СФЕРИЧЕСКИЕ ОПЕРАТОРЫ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГЕЛЬДЕРА ПЕРЕМЕННОГО ПОРЯДКА
Б. Г. Вакулов
Посвящается выдающемуся математику, нашему Учителю, академику Сергею Михайловичу Никольскому
В работе описываются образы оператора типа сферического потенциала Ка, Ке а > 0, и сферических сверток с ядрами, зависящими от скалярного произведения, и имеющих мультипликатор по сферическим гармоникам заданной асимптотики на бесконечности. На основании теорем о действии этих операторов и им обратных в пространствах переменной гёльдеровости строятся изоморфизмы этих пространств. Рассматривается сначала безвесовой случай, а затем с его помощью случай степенного веса.
Введение
В работе исследуются сферический оператор типа потенциала Kа, Re а > 0,
(Kaf)(x) =-^ / !-^т—— da, x е Sn-i, (0.1)
V ' ' Yn-i(a) J |x - a|n-1-a n ь v ;
Sn-1
где Yn-i(а) — нормировочная константа и а = n — 1,n +1,..., и связанный с ним сферический гиперсингулярный интеграл Da, 0 ^ Re а < 2 (см., например, [1-7]),
(Df)(x)=in-by ь / iX—f da' x е Sn-i- (02)
Sn-1
|x-<r| ^e
Наряду с операторами Ka и Da рассматриваются также операторы
1 Г/n-1-a\
Da = — I + Da, bn = —7—, (0.3)
bn ' n Г (n^ta) V '
для которых при 0 ^ Re а < 2, а = 0, справедливы соотношения
DaKa = I, KaDa = I (0 < Reа< 2);
VieV-ie = I (i9 е R \{0}).
© 2005 Вакулов Б. Г.
Операторы (0.1)-(0.3) изучаются в безвесовых и весовых пространствах переменной тельдеровости (вес p(x) = |x — Re а — [Re а] + А+ < р < n — 1 + А_). Центральным результатом здесь является получение изоморфизмов (0 < А_ ^ А(x) ^ А+ < 1, А_ = inf А(ж), А+ = sup А(ж)):
x6Sn-l x€Sn-1
Ka[HA(x)(S )] = HA(x)+{Rea} ( S ) K [Hk (Sn_l)] = Hfc+[Re a] (Sn_l),
D+гв[HfcA(x)(S„_i)] = HfcA(x)(sn_i) (e e R \{0}),
Ka[HfcA(x)(p, sn_i)] = HkA+xReORe a}(P, sn_i),
V±ie [HA(x)(p,S„_i)]= HA(x)(p,S„_i),
(0.4)
(0.5)
'к
при условиях Re а > 0, А+ + {Re а} < 1, ив предположении, что А(ж) удовлетворяет условию
|А(у) - А(ж)| < с| 1п |ж - у||-1, ж, у £ Бп-1, |ж - у| < 1 (0.6)
для выполнения изоморфизмов (0.5) требуется также, чтобы А(а) = А+.
Пространства переменной тельдеровости высших порядков понимаются в смысле принадлежности сферических производных порядка к классическим пространствам Гельдера. Ранее в работах [2-6] для сферических операторов (0.1)-(0.2): сферического потенциала Ка, гиперсингулярного интеграла при Reа = 0 и Пгв (0 £ Ж\{0}) при Reа = 0 выяснялось их действие в обобщенных классах Гельдера Иш(5га-1). Там предполагалось, что характеристика принадлежит классу Ф^ типа Бари — Стечкина, причем в и 5 определяются в зависимости от п и Re а.
На основе полученных результатов, в частности при = ¿л, показывалось, что оператор Ка с 0 ^ Re а < 1 осуществляет следующий изоморфизм:
Ка[ИЛ(5„-1)] = Ил+Кеа(5„-1), 0 < А, Re а< 1, А + Re а< 1, (0.7)
V±гв [ИЛ(5„-1)]= И Л(Бп-1) (0 £ Ж\{0}, 0 < А < 1). (0.8)
В [4-7] эти результаты обобщены также на случай степенного веса.
Отметим еще, что дробные интегралы и дробные производные на отрезке вещественной оси в пространствах Гельдера переменного порядка ранее рассматривались в [8-11]. При изучении дробной производной, а следовательно, и при установлении соответствующего изоморфизма и там возникало условие типа (0.6).
Все встречающиеся ниже постоянные, если не оговорено, будем обозначать одной буквой с. Кроме того, считаем п ^ 3. Случай п = 2 несколько отличается технически, но также может быть рассмотрен.
1. Обозначения и основные определения
Будем использовать следующие стандартные обозначения многомерного анализа на сфере 5га-1 в :
ж = (жьж2,... ,ж„); |ж| = у/ж1 + ж2 +-----+ жП; ж • у = жщ + ж2У2 +-----+ ж„у„;
и
и
Бп-1 = {ж : ж £ Ж", |ж| =1}; |£п_1| = 2п~Г
Г_1 / п — 1
П-! /а\ „-1 ( п — 1 - а
7га_1(а) = 2а Г(^-]Г 2
Отметим, что для придания смысла нормировочному коэффициенту 7п_1(а) при И,е а ^ 0, а = 0, —2 ..., следует в его выражении множитель Г (а/2) понимать как аналитическое продолжение по а. Приведем некоторые факты, которыми будем пользоваться. Известен следующий частный случай формулы Функа — Гекке, называемый также формулой Ка-талана (см. например [13, с. 20]):
1
У /(ж ■ а) йа = С"!/(¿)(1 — ¿2)(га_3)/2 (И, ж £ Бп_1, (1.1)
уп _1
где Сп = |5п_2| = 2п(п_1)/2Г-1 ((п — 1)/2) означает площадь единичной сферы в Жп_1. С помощью метода вращений, который используется для доказательства формулы (1.1), и с учетом того, что |ж — а| = \/2(1 — ж ■ а), вычисляются и оцениваются интегралы вида
J(а,Ь, ж) = J д(|ж — а|,х) йа, ж £ Бп_1, (1.2)
а<|ж_<г|<Ь
где 0 ^ а < Ь ^ 2. А именно, справедлива
Лемма 1.1. Пусть п ^ 2, тогда с учетом (1.2), имеем
ь
J(а, Ь, ж) = 23_пСп ! д(и, ж)ип_2(4 — и2)2-2 йи, (1.3)
а
и, в частности, при п ^ 3
ь
1,1 (а, Ь, ж)| ^ Сп ! |д(и,ж)|ип_2 (и. (1.4)
а
Из формулы (1.3), в частности, следует, что
йа
1-1—1—= 7п_1(а), Ке а> 0.
Sn-1
Отметим еще, что
! д(|ж — а|,ж) (а = J д(|у — а|,ж) йа ж, у £ Бп_1. (1.5)
а<|ж_<г|<Ь а<|у_<г|<Ь
Следующая оценка, представляющая интерес при 7 > п — 1, выводится из формулы (1.4):
г (а < / Т^^Г < Ф — у|_7+п_1, 7 > п — 1, (1.6)
У |а — у|^ У |а — у|т
|у_ст|>2|ж_у| |у_ст|>|ж_у|
см. подробности в [4-7].
5
п-1
В дальнейшем нам понадобятся известные классические числовые неравенства, которые мы приведем здесь для случая комплексных показателей:
|жм - уМ| ^ с|ж - у|жКеж ^ о, Ке^ ^ 0;
|жм - ^ с|ж - у|уКеж ^ у > 0, Яер ^ 1; (1.8)
|жм - уМ| ^ с|ж - у|Кеж> 0, у > 0, 0 < Яер ^ 1; (1.9)
|жм - уМ| ^ с|ж - у| (ж + у)Кеж > 0, у > 0, Яер ^ 1. (1.10)
При оценке сферических операторов возникает необходимость в оценках на части сферы, определяемой неравенством |ж - и| ^ 2|ж - у|.
Лемма 1.2. Пусть ж, у £ £п-1 и
|ж - и| ^ 2|ж - у|. (1.11)
Тогда при И,е 7 > 0 справедливо неравенство
||ж - ^Г1 - 1-у- И-'I <с| ж _ „|кет(|ж-у| + | ж - у | ) <с- (1-12)
< Для доказательства леммы 1.2 вначале заметим, что из упомянутых выше числовых неравенств (1.7)—(1.10) выводится следующее: пусть а > 0, Ь > 0 и, кроме того, а ^ 21Ь - а|, Яе7 > 0, тогда справедливо неравенство
|а-7 - Ь-71 ^-тС---|а- Ь' ,. (1.13)
1 1 аке7 а + |а - Ь| у ;
Чтобы вывести отсюда лемму 1.2, полагаем а = |ж - и|, Ь = |у - и|, так что условие а ^ 21Ь - а| выполнено в силу (1.11). Остается применить (1.13) и воспользоваться монотонным возрастанием по £ функции (а > 0, £ > 0), что приводит к (1.12), подробности см. в [7]. >
Определение 1.1. Через Нл(х)(5га-1) обозначим банахово пространство непрерывных на 5га-1 функций, для которых конечна норма
If (x) - f (y)| = If (x) - f (y)| x.yeZ-i |x - у|Л(ж) ^JL |x - у|Л(у) '
Л = ||f Ус + Af, Af = sup ——,Л(ж) = sup
0 < A- ^ A(x) ^ A+ < 1, A- = inf A(x), A+ = sup A(x).
Определение 1.2. Весовым пространством переменной гёльдеровости назовем следующее банахово пространство
HЛ(ж)(р,5„_1) = { f : pf G HЛ(х)(5„-1), lim pf = 0).
Пусть K оператор сферической свертки инвариантный относительно всех вращений на сфере
(Kf)(x) = J k(x ■ a)f (a)da, x G
Sn-1
Если обозначить fmv коэффициенты f (x) G C^(Sn_i) при ее разложении в ряд Фурье — Лапласа по сферическим гармоникам, то известно, что на сферических гармониках его
действие сводится к умножению fmv на последовательность {km}^=o, называемую мул-типликатором Фурье — Лапласа оператора K и определяемую через ядро по формуле
1
km = | Sn-21 J k(t)Pm(t)(l - t2) TT dt, (1.14)
-1
n—2 n—2
где Pm(t) = (Cm+n-a)-1Cm2 (t) и Cm2 (t) — многочлены Гегенбауэра (см., например, [12-14]).
Определение 1.3. Через Wa,n обозначим класс мультипликаторов {km}^=o по сферическим гармоникам |km| < то, допускающих асимптотику вида
N
km = cjmA-j + O(mX-N-£), m ^ то, j=0
где co = 0, £ > 0 и A G C, N = 0,1,... (см., например, [15, 16]). Еще нам понадобятся следующие две леммы.
Лемма 1.3. Если {km}„=0 G WA,N и km = 0, m = 0,1,..., то {km1}„=0 G WA,N. Если {km}„=o G Wa,n, {£ m o G Wß,N, то {km^m}m=o G WA+^,N. < Доказывается непосредственной проверкой. >
Лемма 1.4. Если {km}~=0 G W-a,n, где Re A > 0, A = n - 1 + 2k, k = 0,1, 2,..., N ^ [(n + 1)/2], то оператор отвечающий этому мультипликатору имеет вид
Ap = KA(al + B)p = KA^ap + J k(x • a)p(a)d^j, (1.15)
Sn—1
где k(t) G L1 f[-1,1], (1 - t2)^r) и a = lim mAkm. Если N>n - 1+2a - Re A, 0 <a ^ 1,
lA
то оператор отвечающий этому мультипликатору имеет вид
N
Ap = k(x • a)p(a)da + ^ cjKA+jp,
J А_П
j
S 1 j=o
Sn—1
в случае Re A > 0 и
N
Ap = c0p + J k(x • a)p(a)da + ^ CjKjp, (1.16)
j
S 1 j=1
Sn—1
в случае A = 0. Здесь k(t) G Ha([-1,1]), c0 = lim mAkm.
< Лемма 1.4 следует из вида мультипликатора по сферическим гармоникам для оператора (0.1):
k r(m +(n - 1 - a)/2) (117)
km = r(m +(n - 1 + a)/2) (1 ^
известного асимптотического представления для r(z + a)/r(z + b) при z ^ то ([17, с. 20]) и леммы 1.3 (подробнее см. [4, 15]).
Определение 1.4. Пространство CA(Sn-i), Re А > 0, — это замыкание пространства C(Sn-i) по норме ||/||c(sn-i) + l|DA/Ус(Sn-i), где DA произвольный оператор сферического дифференцирования (сферический оператор свертки) с мультипликатором класса , N ^ [П+1] ([•] — целая часть числа).
Определение 1.5. Пространствами переменной гёльдеровости старших порядков на сфере Sn-i назовем пространство
HfcA(x)(S„-i) = { / : / (а) G Ck (S„-i); A^/ < k = 1, 2, •••} ,
где Dk — сферический оператор дифференцирования с мультипликатором из Wk,N, N > n - 1 + 2А+.
Определение 1.6. Весовыми пространствами переменной гёльдеровости старших порядков на сфере Sn-i назовем пространства
HkA(x)(p, S„-i) = {/ : pDk/ G HA(x)(S„-i), lim pDk/ = 0, k = 1, 2,.. .1 ,
где Dk — сферический оператор дифференцирования с мультипликатором из Wk,N, N > n + 1.
В этих случаях пространство CA(H^(x)) с точностью до эквивалентности норм не зависит от выбора оператора DA (Dk). Это доказывается с помощью леммы 1.4 и рассуждений аналогичных тем, что проводятся для обобщенных пространств Гельдера (см. [2, 3]). Через H0A(x)(Sn
-i) и -i) естественно обозначить H A(x i) и
HA(x)(p, Sn-i).
Различные варианты пространств такого типа ранее рассматривались в одномерном случае в работах [8-11, 18-20]. В многомерном случае на сфере ранее рассматривались только различные варианты обобщенных пространств Гельдера, см. [2-7, 21, 22].
2. Сферические операторы в пространствах HA(x)(Sn-i)
Теорема 2.1. Пусть / £ Нл(х)(5„-1) и 0 < Л+, Ие а, Л+ + Ие а < 1. Тогда Ка/ £ Н л(х)+Ке а(£га-1).
< Вначале приведем одно важное представление для разности (Ка/)(ж) — (Ка/)(у). Ясно, что нормировочный множитель 7—-1(а) войдет при оценках разности мультипликативно в константу в правых частях. По этой причине достаточно рассматривать оператор Ка/ без него, что мы и будем предполагать. Кроме того, всюду в дальнейшем будем считать 0 < Н < 1/2 и обозначать |ж — у| = Н. С учетом того, что
Г ёа Г ёа
J |ж - a|n-i-a J |y - a|n-i-a '
Sn— 1 Sn— 1
имеем
/ (а) - / (ж), Г / (а) - / (ж)
(К/)(ж) - (к/)(У)= / |X(-)a|n-i!i da -
|ж - a|n-i-a J |y - a|n-i-a
da
+ f [/(а) - /(ж)] (|ж - a|a-n+i- |y - a|a-n+i) da = Ii + /2 + /3.
(2.1)
|x-CT|>2h
В (2.1) каждое слагаемое оценивается по отдельности по аналогии с оценками для А1, А2, А4 в нижеследующей теореме для гиперсингулярного интеграла ^а/. >
Теорема 2.2. Пусть / £ НЛ(х) (5п_1), 0 < А_, Яе а, А_ —И,е а < 1 и выполнено условие (0.6), тогда ^а/ £ НЛ(х)_Кеа(5п_1).
< Как и в теореме 2.2 используется запись для ^а/ без мультипликативной постоянной 7п"_1(—а). Имеем
/(а) — /(ж) [ /(а) — /(у) (а
(^а/)(ж) — (^а/)(у)= / ¿(—)а|п_1+а (а —
|ж — а|п_1+а У | у — а|п_1+а
— 1 — 1
[ / (а) — / (ж) , = А1 + А2 + А3 + А4 = у 'ж — а|п11+1 (а
|ж_ст|<2Ь
[ /(а) — /(у) (а + [/ (ж) — / (у)] /' (а
(2.2)
J |у — а|п_1+а и у 7 п J |а — у|п_1+а
|ж_ст|<2Ь |ж_ст|>2Ь
+ / [/(а) — /(ж)] (|ж — а|_а_п+1 — |у — а|_а_п+1) (а.
|ж_ст|>2Ь
Для А1 с учетом (1.4) имеет место оценка
|А11 < I | — ^У,^., (а < с/ ¿Л(х)_Кеа_1 ^ ^ с
_ ™|Л(ж) />2Ь г.Л(ж)_Ке а _а— ж| ^ с / 4Л(х)_Иеа_1 ^ с Л
|ж — |
|ж_ст|<2Ь
|ж — а|п_1+Ке а У0 А(ж) — Яе а'
Так как А_ — Яе а > 0, то
|А1| < сЛ.Л(х)_Кеа. (2.3)
При оценке А2 имеем:
|А2| < С I , |а , (а < сЛ.Л(у)_Кеа.
1 2 ^ I а — у п_1+Ие а ^
|У_^|<3Ь
Здесь мы учли, что {а : |ж — а| < 2Л} С {а : |а — у| < 3Л} и оценку (2.3). Далее при А(у) — А(ж) ^ 0 очевидно, что
|А2| < сДЛ(х)_Кеа. При А(у) — А(ж) < 0 с учетом (0.6) получаем
|А2| < сДЛ(х)_Ке а ехр(|А(у) — А (ж) || 1п Л|_1) < сДЛ(х)_Ке а.
Для А3 ввиду оценки (1.6) имеем
|А3| < сДЛ(х)_Кеа. При оценке А4, используя (1.12), находим, что
2
Г \х — а|Л(х) Г иЛ(х)
|А4| ^ сЛ -1-т1-?;—(а ^ сЛ 5—(и. (2.4)
1 41 У |ж — а|п+Кеа У и2+Кеа у ;
|ж_ст|>2Ь 2Ь
Далее, вычисляя интеграл в (2.4), получаем
г А (ж)-Ие а
< е, " ^— < сЛА(х)-Кеа. (2.5)
1 41 1 - А (ж) + Яе а v ;
Собирая полученные оценки, получаем нужное. >
Рассмотрим теперь оператор в случае, когда а = ±¿9 — чисто мнимое, понимая его, как и при Яе а > 0, в виде (0.2). Оператор обладает свойствами как сфериче-
ского потенциала, так и гиперсингулярного интеграла.
Для дальнейшего нам понадобится следующая вспомогательная
Лемма 2.1 ([6, 7]). Пусть 9 £ Ж \ {0}. Тогда (Л = |ж - у|)
вир |1 (Л)| < то, I(Л) = / --. , .„.
Теорема 2.3. Пусть / £ НА(х)(5га-1) и выполнено условие (0.6), тогда / £ Н А(х)(5„-1).
< Здесь также используется представление (2.2) справедливое и при а = ±¿9 (в силу (0.3)). Далее нужно только проанализировать схему доказательства теоремы 2.2 применительно к этому случаю. Ясно, что оценки для |А | и сохраняются. При оценке |А41 мы приходим к оценкам типа (2.4), (2.5) и на этом останавливаемся. Наконец, оценивая А3, например, для случая а = ¿9, имеем |Аз| ^ ЛА(х)|/(Л)| и остается воспользоваться леммой 2.1, что приводит к оценке |Аз| ^ сЛА(х). Объединяя все оценки, получаем требуемое. >
3. Сферические операторы в пространствах НА(х)(р,5га-1)
Всюду в дальнейшем будем иметь в виду, что вес р(ж) = |ж — а|^, И,е а — [Яеа] + А+ < р < п — 1 + А-). Кроме того, учитывая, что ниже в оценках интегралов по различным частям сферы от одинаковых подынтегральных функций конечные оценки оказываются совпадающими, будем отождествлять все эти оцениваемые интегралы одним пронумерованным символом. Сформулируем теперь теоремы о действии операторов (0.1)-(0.3) в пространствах переменной гёльдеровости. Доказательство, ввиду однотипности, приведем лишь для теоремы 3.3.
Теорема 3.1. Пусть / £ НА(х) (р, й^-О и 0 < А+, Яеа, А+ + Яеа < 1, А(а) = А+, тогда
Ка/ £ нА(х)+Иеа(р, йга-1). (3.1)
Теорема 3.2. Пусть / £ НА(х) (р, £„-1), 0 < А-, Яе а, А- - Яе а < 1, А(а) = А+ и выполнено условие (0.6), тогда
£ нА(х)-Иеа(р, £„-1). (3.2)
Теорема 3.3. Пусть / £ НА(х)(р, £п-1), А(а) = А+ и выполнено условие (0.6), тогда
^/ £ На(х)(£„-1).
(3.3)
< В силу (0.3) доказательство достаточно провести для оператора 0±гв. Используя обычное обозначение
ф (ж) = |ж - а|/(ж), Re а - [Re а] + А+ <р<п - 1 + А-, (3.4)
имеем
р(ж)(Яг0 / )(ж) = (^0 ф)(ж) + 5(ж), (3.5)
где
, , / |ж - а|м - |а - а|м , . . , . .
5(ж) = / |а - а|ф - а|"-1+геф(а)^ (3.6)
Sn-1
Оценка для первого слагаемого в правой части (1.6) уже получена в безвесовом случае (см. теорему 2.3). Остается оценить разность д(ж) - д(у). Используя для удобства обозначение
. , , ж а ^ а а ^ .
А(ж, а) = 1-—:-:-Г-ГТТ7 , (3.7)
представим д(ж) - д(у) в виде
0(ж) - 5(у) ^ У А(ж,а)ф(а)^а - J А(у,а)ф(а)^а
|ж-ст|<2Ь |ж-ст|<2Ь
(3.8)
+ {А(ж, а) - А(у, а)} ф(а)^а = /1 + /2 + /3.
|ж-ст|>2Ь
Далее необходимо оценить каждое слагаемое в (3.8). Это удается сделать за счет специальных разбиений сферы.
а) Случай 1 ^ р < п - 1. С учетом (1.7) и (1.14) имеем
(1-л"^—Гп^т, |ж — а| ^ Iа — аI;
2' 1 " (3.9)
|^-а|п-1 , |ж - а| > |а - а|,
так что оценка в правой части (3.9) не зависит от р.
Для /1 с учетом (3.9) при |ж - а| ^ |а - а|, (1.4) и А(а) = А+ имеем
|/11 < с [ , |а - й|Л(а) 2 ^а < с [ —<И < сЛЛ(а) < сЛЛ(ж). У |а - а||ж - а|Л-2 У 4
|ж-ст|<2Ь 0
|х-<т|<|<т-а|
Если |ж - а| > |а - а|, то из второго неравенства (3.9) с учетом {|а - а| < |а - ж| < 2Л} С {|а - а| < 2Л} , (1.4) и А(а) = А+ получаем
|/11 < с [ |а - а|Л(а1 ^а < с [ — <И < сДЛ(а) < сДЛ(ж). 1 11 У |а - а|Л-^ У 4
|ст-а|<2Ь 0
Таким образом,
|/1| < сДЛ(х). (3.10)
Аналогично оценивается интеграл /2. Перейдем к оценке /3.
Прежде всего оценим |Д(ж, а) — Д(у,а)|. С использованием неравенств (1.7), (1.10), (1.12), простых оценок |ж — а| ^ |ж — а| + |а — а| и |у — а| ^ Н + |ж — а| и предположения |у — а| < |ж — а|, найдем
|Д(ж,а) — Д(у, а)| ^-Г7СН-:—г ^--СН-:-. (3.11)
1 7 л |а — а||ж — а|(-1 |а — а|^|ж — а|(-^ у 7
Последнее более удобно переписать по аналогии с (3.9):
|ж — а| ^ |а — а|
I — I . ио - и и - и* .
|Д(ж, а) — Д(у, а)| < еН1 |ет-а||х-' '>' И (3.12)
I , |ж — а| > |а — а|.
Для /з при |ж — а| < |а — а| из первого неравенства (3.12) с учетом (1.4) имеем
2
Г |ж-а|Л(х) Г 7/Л(х)
|/з| < сН Щ—(а < сИ^ (п < сНЛ(х). (3.13)
' з 3 |ж — а|( У п2 " ^ ;
|ж-ст|>2Ь Ь
Если же |ж — а| > |а — а|, то рассматриваем две возможности |ж — а| > |а — а| > 2Н и |ж — а| > 2Н > |а — а|. Вновь на основе (3.12) имеем
|/з| < сН / |а— (а + сНм-га+1+Л(а) х [ , (а , . (3.14)
1 з| 3 |а — а|( 3 |а — ^ ;
|а-ст|>2Ь |ст-а|<2Ь
Отсюда с учетом (1.4) и условий А(а) = А+, р < п — 1 легко приходим к оценке в правой части (3.13).
Объединение оценок для /1, /2 и /3 дает (3.3) при 1 ^ р < п — 1.
б) Случай 0 < р ^ 1. В этом случае с учетом (1.7)-(1.8) для |Д(ж,а)| имеем оценку
|Д(ж, а)| < С
|а — а||ж — а|(-2
и нетрудно видеть, что правая часть этой оценки совпадает с правой частью в оценке (3.9) при |ж — а| < |а — а| и оценивается тем же выражением с|а — а|1-га, что было и в случае (3.9) при |ж — а| > |а — а|. Следовательно, оценки |/11 и |/21 сохраняются. Чтобы оценить |/з|, заметим, что с учетом (1.7), (1.8) и (1.12) легко показать, что
|Д(ж, а) — Д(у, а)| ^-л-:—. (3.15)
1 у ' 7 л |а — а||ж — а|(-2+^ у 7
При |ж — а| < |а — а| с учетом (1.4) из (3.15) получаем
2
Г |т _ а|Л(х) г /-Л(х) ,, ,
|/з| < сН^ , |ж а | (а < сНМ < сНЛ(х). (3.16)
131 3 |ж — а|(-1+^ 3
|ж-ст|>2Ь Ь
Если |ж — а| > |а — а|, то при |ж — а| > |а — а| > 2Н, и вновь учитывая (1.4), имеем как и в (3.16):
2
Г |а _ а|Л(а) Г /-Л(а) ,, ,
|/з| < сН^ —аЦ— (а < сНМ (И < сНЛ(х).
1 31 3 |а — а|(-1+^ 3
|ж-ст|>|а-ст|>2Ь Ь
Наконец, если |ж —а| > 2Н > |а—а|, то правая часть в (3.15) оценивается как сН2 п|а —а|
1-1
и мы получаем
|1з| < сЛ:
2-п
\а—ст\<2Ь
|а — а|Л(а) |а — а|
(а < сНЛ(х).
(3.17)
Собирая полученные при 0 < ^ ^ 1 оценки, приходим к (3.3).
Рассмотрим теперь случай «больших» ^ (^ ^ п — 1). В этом случае для сферического гиперсингулярного оператора Огв (0 £ Ж \ {0}) справедлива оценка
|0(я) — 5(У)| < с | Н^
-п+1
¿Л(х)
п+2
(И + Н
¿Л(х)
(3.18)
Поэтому условие ^ < п — 1 + Л- обеспечивает сходимость первого интеграла. В результате получаем нужное. >
В заключение отметим весьма важное дополнение к теоремам этого параграфа, которое необходимо при рассмотрении вопроса об изоморфизме.
Теорема 3.4. Пусть р(ж) = |ж — а|м и пусть р(ж)/(ж) £ С(5п-1), причем (р/)(а) = 0. В условиях теорем настоящего параграфа оценки для сферических потенциалов (сферических гиперсингулярных интегралов) могут быть дополнены утверждением Ит(рКа/)(ж) = 0 (Ит(р^а/)(ж) = 0, соответственно).
х^а х^а
< Доказательство теоремы рассмотрим на примере теоремы 3.3 в чисто мнимом случае. Покажем, что Ит(р^г0/)(ж) = 0, при этом можно даже считать, что р(ж)/(ж) £
х^а
¿^(5п-1). Это следует из того, что интегралы определяемые функциями, стоящими в правой части равенства (3.5) абсолютно сходятся. Поэтому функция в левой части (3.5) непрерывна и непосредственная подстановка ж = а дает (р^гв/)(а) = 0, что и требовалось. >
Интересно отметить, что в некоторых случаях вывод теоремы 3.4 может быть сделан и без предположения вида (р/)(а) = 0. Приведем одно из подобных утверждений для сферического оператора типа потенциала.
Теорема 3.5. Пусть р(ж) = |ж — а|м, 0 <^<п — 1, 0 < Яе а < 1 и р(ж)/(ж) £ С (5п-1). Тогда Ит(рКа/)(ж) = 0.
х^а
Доказательство теоремы 3.5 предварим следующей леммой (см. [7]). Лемма 3.2. Пусть £ < п — 1, п < п — 1, Л £ Ж. Тогда
5п-1
|ж — а| + |у — а| |ж — а|* |у — а|п
Л
-(а < с <
|ж 1п
— у|-(«+п-Л-п+1), £ + п — Л > п — 1, £ + п — Л = п — 1, £ + п — Л<п — 1,
|х у\ ■
(3.19)
|ж — а| + |у — а|) |ж — а|* |у — а|п
-(а ^ с1 <
|ж 1п
— у|-(«+п-Л-п+1), £ + п — Л > п — 1, £ + п — Л = п — 1, £ + п — Л<п — 1.
\х—у\ '
< Доказательство теоремы 3.5. Воспользуемся оценкой (3.19). Из нее следует, что |(рКа/)(ж)| ^ с||р/||с(5п-1)|ж — а|Ш1п(^'Кеа)—е с произвольным е > 0, что и завершает
доказательство. >
л
2
1
Л
1
5
п-1
4. Изоморфизм пространств переменной гёльдеровости
Здесь сформулируем основные результаты.
Теорема 4.1. Пусть / £ Н^^бП-!) и Ие а > 0, А+ + {Ие а} < 1 и выполнено условие (0.6). Тогда Ка осуществляет изоморфизм между пространствами Н^^бП-!) и Н^Х+О^6(^п_1), а оператор сохраняет пространство НЛ(х)(5га-1), т. е. справед-
ливы представления (0.5).
< Пусть 0 < Ие а < 1, к = 0. Первое утверждение теоремы 4.1 следует из теорем 2.1, 2.2, представления (0.7) и вложений Нл+ (5п_1) С Нл(х) (5п_1) С НЛ- (5п_1), а второе — из теоремы 2.3 и представления (0.8).
Случай Ие а ^ 1, к ^ 1 сводится к случаю 0 < Ие а< 1, к = 0 путем выбора В [Ке а]:
В[Кеа]ка _ К®_[Ке®] ^
Теорема 4.2. Пусть оператор Аа имеет мультипликатор {кто}^=0. Если {кт}^=о £ , Ие а > 0, N > п — 1 + 2Л+,кт = 0,т = 0,1,... ,а = п — 1,п+1,..., Л+ + {Ие а} < 1 и выполнено условие (0.6). Тогда
Аа(НЛ(ж)(5„_1)) = НЛ+*Д а(5„_1).
< Здесь также достаточно рассмотреть случай к = 0 и 0 < Ие а< 1, так как случай Ие а ^ 1, к ^ 1 получается за счет выбора В[Кеа]: В[Кеа]Аа = Аа_[Кеа]. Для оператора Аа в силу (1.16) из леммы 1.4 справедливо представление
Аа = Ка(с/ + В).
Так как оператор В имеет структуру
г N
В = к(ж ■ а)^(а)ёа + ^ с?К ^ ¿=1
где к(£) £ НЛ+ ([—1,1]), а К — потенциалы целого порядка ], то, очевидно, что оператор (с/ + В) обратим, сохраняет переменную гёльдеровость и поэтому в силу теоремы 2.4 и изоморфизма (0.4) мы получаем нужное. >
Справедливы также аналогичные весовые теоремы.
Теорема 4.3. Пусть / £ нл(х) (р, £„_1) и Ие а > 0, А+ + {Ие а} < 1, Л(а) = А+ и выполнено условие (0.6). Тогда Ка осуществляет изоморфизм между пространствами НЛ(х) (р, 5п_1) и Н+ХК+аК6а}(р, £п_1), а оператор сохраняет пространство Н^^ (р, 5П_1), т. е. справедливы представления (0.5).
< Пусть 0 < Ие а < 1, к = 0. Первое утверждение теоремы 4.3 следует из теорем 3.1, 3.2, представления аналогичного (0.7) для весового случая и вложений НЛ+ (р, 5П_1) С Нл(х)(р, 5П_1) С НЛ- (р, 5п_1), а второе из теоремы 3.3 и представления аналогичного (0.8) для весового случая.
Случай Ие а ^ 1, к ^ 1 сводится к случаю 0 < Ие а< 1, к = 0 за счет выбора В[Ке а]: В[Кеа]к® _ Ка_[Кеа] ^
Теорема 4.4. Пусть оператор Аа имеет мультипликатор {кто}^=о. Если {кт}^=о £ , Ие а > 0, N > п +1, кт = 0 при т = 0,1,..., а = п — 1, п +1,..., Л+ + {Ие а} < 1, Л (а) = Л+ и выполнено условие (0.6), то
Аа(нл(х)(р, 5„_1))=н^к+ке а(р, йп_1).
< Здесь также достаточно рассмотреть случай к = 0 и 0 < Ке а < 1, так как случай Ке а ^ 1, к ^ 1 получается за счет выбора "1; = Аа-[Ке Ч Для оператора
Аа в силу (1.16) и леммы 1.4 справедливо представление
Аа = К а(с/ + В).
Так как оператор В имеет структуру
N
В =
J к (ж ■ + ^ с, К
<? 1 ¿=1
где к(£) £ С 1([-1,1]), а К — потенциалы целого порядка у, то, очевидно, что оператор (с/ + В) обратим, сохраняет переменную гёльдеровость с весом и поэтому в силу теоремы 3.4 и изоморфизма (0.5) мы получаем нужное. >
Замечание. Утверждения теорем 4.2, 4.4 означают существование и единственность решения многомерного интегрального уравнения первого рода, порождаемого оператором Аа, в пространствах гёльдеровских функций переменного порядка.
К операторам, удовлетворяющим условиям теоремы 2.5, относится ряд известных операторов сферической свертки, см. например [12, 14-16];
где
1
(К?/)(ж) = Щ /(1 - г)а-1Рг / (^г, Ке а > 0, о
(К/)(ж) = ГО) / (1п1) Рг/(^г, Ке а > 0,
о
Рг/(ж) = - / (1, Г )п/(а)^, ж' = -Ж г = |ж|, ж £ Ж", с„ у |гж - а|п |ж|
а сп — хорошо известная нормировочная постоянная для оператора Пуассона,
1 + ж ■ а"
(К3/)(ж)= у )/
где
**(*) = Х2 ((в0 < г < 1, (в); = в(в + 1)... (в + У - 1),
с мультипликаторами по сферическим гармоникам
к1 = 1 к2 = Г(т +1) кз = Г((т + п - а)/2)Г(т/2)
кт /__| 1 \а , кт т-ч__11 I „ \ , кт
(т + 1)а' т Г(т + 1 + а)' т Г((т + а)/2)Г((т + п)/2) соответственно.
Рассмотрим также двуполюсный потенциал
(Ка/)(ж) = |ж - + а|„-.-а ^ ж £
где п ^ 3, И,е а> 0 и с — некоторая нормировочная постоянная, имеющий мультипликатор по сферическим гармоникам (см. [23]):
кт = с2а-п+1 |5„-2|(-1)т^ЛЩц3^2 (-т, т + п - 2, |, а, 1
откуда после несложных преобразований получаем
г( т+1 )р( т-а+га-1 )
= С1 [1 + (-1)т]Г^1 )г( 1+тт+а ) ~ , т - ТО (4.1)
где С1 = с2а-п|£„-2|п-1Г()Г(|)Г(^^) вт (га-"2-1)п.
Обозначим А = 2 (/ + где Q оператор отражения на сфере, действующий по правилу )(ж) = /(-ж). Ясно, что оператор А имеет мультипликатор вида — 0, если т нечетное и = 1, если т четное.
Лемма 4.1. Пусть И,е а> 0,а = п - 1, п + 1,... Тогда
Ка = А(с2/ + В1)Ка, (4.2)
где С2 — некоторая константа, порождаемая асимптотическим разложением мультипликатора оператора Ка, а оператор В сохраняет переменную гёльдеровость.
< Доказательство (4.2) вытекает из представления (4.1) для мультипликатора Ка, известного асимптотического представления для (см. [17, с. 20]) и леммы 1.4 (подробнее см. также [4]). >
Теорема 4.5. Пусть / £ (р, £п-1), И,е а > 0, А+ + {Яе а} < 1, А(а) = А+, тогда справедливо вложение
ка(НА(х)(р, йп-1)) - НА^;И+{аИе а}(р, £„-1). (4.3)
< Утверждение теоремы следует из представления (4.2), теоремы 4.4 и того факта, что операторы А и В сохраняют, в силу леммы 4.1, переменную гёльдеровость. >
Замечание. Очевидно, что оператор Ка не удовлетворяет одному из условий теоремы 4.4, а именно тому, что = 0, т = 0,1,..., поэтому вместо изоморфизма мы имеем одностороннее вложение (4.3). Однако, если рассматривать только четные функции, то для них соответствующий изоморфизм имеет место при условии (0.6). >
Литература
1. Павлов П. М., Самко С. Г. Описание пространств L'¡¡(iS„-1) в терминах гиперсингулярных интегралов // Докл. АН СССР.—1984.—Т. 276, № 3.—С. 546-550.
2. Вакулов Б. Г. Операторы типа потенциала на сфере в обобщенных классах Гёльдера // Изв. вузов. Математика.—1986.—№ 11.—С. 66-69.
3. Вакулов Б. Г. Операторы типа потенциала на сфере в обобщенных пространствах Гельдера.— Ростов-на-Дону: Ростовский университет, 1986. Деп. в ВИНИТИ 06.05.86, № 1563-В.
4. Вакулов Б. Г. Сферические операторы типа потенциала в обобщенных пространствах Гельдера с весом на сфере // Изв. вузов. Сев. Кавк. регион. Естеств. науки.—1999.—№ 4.—С. 5-10.
5. Вакулов Б. Г., Карапетянц Н. К., Шанкишвили Л. Д. Сферические потенциалы комплексного порядка в обобщенных пространствах Гельдера с весом // Докл. РАН. Математика.—2002.—Т. 382, № 3.—С. 1-4.
6. Vakulov B. G., Karapetians N. K., Shankishvili L. D. 8рЬепса1 hypersingular operators of imaginary order and their multipliers // Frac. Calculus and Appl. Analysis.—2001.—V. 4, №. 1.—P. 101-112.
7. Vakulov B. G., Karapetians N. K., Shankishvili L. D. Spherical potentials of complex order in generalized Holder spaces // Izvestiya NAN Armenii.—2001.—V. 36, № 2.—P. 54-78.
8. Гинзбург А. И., Карапетянц Н. К. Дробное интегродифференцирование в гёльдеровских классах переменного порядка // Докл. РАН. Математика.—1994.—Т. 339, № 4.—С. 439-441.
9. Karapetians N. K., Ginzburg A. I. Fractional integrals and singular integrals in the Holder classes of variable order // Integral Transforms and Special Functions.—1994.—V. 2, № 2.—P. 91-106.
10. Ross B., Samko S. Fractional integration operator of variable order in the Holder spaces H A(x) // Intern. J. Math. & Math. Sci.—1995.—V. 18, № 4.—P. 777-788.
11. Гинзбург А. И., Карапетянц Н. К. Дробные интегралы в весовых пространствах гёльдеровских функций переменного порядка // В сб.: Интегро-дифференциальнные операторы и их приложения. Вып. 2.—Ростов-на-Дону: Изд-во ДГТУ.—1997.—С. 94-98.
12. Самко С. Г. Сингулярные интегралы по сфере и построение характеристики по символу // Изв. вузов. Математика.—1983.—№ 4.—С. 28-42.
13. Самко С. Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения.—Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ.—1984, 208 с.
14. Samko S. G. Hypersingular Integrals and their Applications. Series «Analytical Methods and Special Functions».—London-New-York: Taylor & Francis.—2002.—V. 5.—358+ xvii p.
15. Samko S. G., Vakulov B. G. On equivalent norms in fractional order functions spaces of continuous functions on the unit sphere // Fract. Calculus and Appl. Analysis.—2000.—V. 3, № 4.—P. 401-433.
16. Вакулов Б. Г. Об эквивалентных нормировках в пространствах функций комплексной гладкости на сфере // Тр. ин-та мат. НАН Беларуси.—2001.—Т. 9.—С. 41-44.
17. Люк Ю. Специальные математические функции их аппроксимации.—М.: Мир, 1980.—606 с.
18. Daodi K., Levy Vehel J., Meyer Y. Construction of continuous functions with prescribed local regularity // Constructive Approximation.—1998.—V. 14, № 3.—P. 349-385.
19. Мамедханов Д. И., Нерсесян А. А. О конструктивной характеристике класса H'0+a(x0, [—п, п]) // В сб.: Исслед. по теории линейных операторов.—Баку.—1987.—С. 74-78.
20. Плещинский Н. Б. О построении функций, удовлетворяющих условию Гельдера с заданным показателем // Изв. вузов. Математика.—1984.—№ 8.—С. 74-77.
21. Никольский С. М., Лизоркин П. И. Приближение сферическими полиномами // Тр. МИАН СССР.—1984.—Т. 166.—С. 186-200.
22. Никольский С. М., Лизоркин П. И. Оценки для производных гармонических многочленов и сферических полиномов в Lp // Acta. Sci. Мath.—1985.—Т. 48.—С. 406-416.
23. Вакулов Б. Г., Карапетянц Н. К. Операторы типа потенциала на сфере с особенностями на полюсах // Докл. РАН. Математика.—2003.—Т. 392, № 2.—С. 151-154.
Статья поступила 12 ноября 2004 г-
Вакулов Борис Григорьевич, к. ф.-м. н. Ростов-на-Дону, Ростовский государственный университет E-mail: [email protected]
