Интегралы и производные дробного порядка в классах Гельдера на прямоугольнике Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983.2

ИНТЕГРАЛЫ И ПРОИЗВОДНЫЕ ДРОБНОГО ПОРЯДКА В КЛАССАХ ГЕЛЬДЕРА

НА ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ

© 2015 г. А.П. Чеголин

Чеголин Андрей Петрович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра дифференциальных и интегральных уравнений, Институт математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: apchegolin@mail. ru

Chegolin Andrei Petrovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Institute of Mathematics, Mechanics and Computeral Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]

Изучаются интегралы и производные дробного порядка в классах Гельдера в двумерном случае на прямоугольнике. Эти операторы вводятся по аналогии с одномерным случаем. Доказано полугрупповое свойство для дробных интегралов и представления в форме Маршо для дробных производных. Исследовано действие указанных операторов в классах Гельдера, а также в специально вводимых модифицированных гельдеровских классах. Основные результаты получены на основании соответствующих утверждений о действии операторов с одной нулевой составляющей порядка. Эти утверждения приведены в классах гельдеровских функций, вырождающихся на отрезках лучей, исходящих из вершины прямоугольника, и параллельных координатной оси.

Ключевые слова: дробный интеграл, дробная производная, мультииндекс, класс Гельдера, полугрупповое свойство, представление в форме Маршо.

This paper is devoted to the study of integrals and derivatives of fractional order in Holder classes on rectangle in the two-dimensional case. These operators are introduced by analogy with the one-dimensional case. The semigroup property of the fractional integrals and representations in the Marco form for the fractional derivatives are proved. The action of these operators in Holder spaces and in specially inserted modified Holder classes is investigated. The main results are obtained on the basis of appropriate statements about the action of the operators with one zero component of the order. These statements are given in classes of Holder functions degenerated on a segments of the beams outgoing from a vertex of the rectangle and parallel to a coordinate axis.

Keywords: fractional integral, fractional derivative, multiindex, Holder class, semigroup property, representation in Marco form.

Постановка задачи

Данная работа посвящена изучению дробных интегралов и производных в классах Гельдера в двумерном случае на прямоугольнике. В основу этих исследований положены результаты для одномерного случая, наиболее подробно изложенные в книгах [1, 2] (статьи [3-7]). Многомерный случай в этом направлении, по сути, до сих пор не исследован. Основная цель работы - описать действие исследуемых операторов в классах Гельдера, а также в некоторых модифицированных гельдеровских классах на прямоугольнике.

Введем обозначения. Пусть О = [я1,й1]х [о^Ъ] -основной прямоугольник; х = (х1?. Для муль-тииндекса а = (а1? а2 ), а2 > 0, определим

ха = х^ ха2, а гамма-функцию будем понимать следующим образом: г(а) = г(а^г(а2).

Напомним, что класс Гельдера порядка ^, 0 < 1, в одномерном случае на отрезке [о,Ь]

определяется как множество всех функций у, удовлетворяющих условию |у(х1)-у(х2)< А^ -Х21^ для любых хьх2 е [01,Ъ], где А - некоторое число. Введем пространство Гельдера функций двух переменных по аналогии с одномерным случаем.

Будем говорить, что непрерывная на прямоугольнике О функция ф(/) удовлетворяет условию Гельдера порядка Х = (^1, ^2), 0 <^1 < 1, 0 <^2 < 1, если для любых / = (?!,¿2и т = (т1,Т2)еО выполняется неравенство

|ф(/ )-ф(т)< A\ti-Til^ + \t2-т2|

(1)

где А - некоторое число. Данное определение эквивалентно равномерной гельдеровости:

||ф(?1 + ¿2Ьф^¿2}< С^^

[|ф(/ь ¿2 + К2 ЬФ('Ъ ¿2 Ь С2^Ч

где числа С1 и с2 не зависят от ¿1, , К, . Множество всех функций ф(/), удовлетворяющих усло-

вию (1), обозначим Н^(Ц) и будем называть классом Гельдера на прямоугольнике в двумерном случае.

Дробным интегралом порядка а = (а15 а,2) функции ф е Н ^(Ц) назовем конструкцию

(сф)*)=(еа2 ф)-)=^ х

ф(/ )

xdt,

(2)

[-1.-1 №2.-2 ](- - / )(1"а1,1"а 2 ) ' где а = (^1.^2), - ей, а1 > 0. а2 > 0 . Такое определение является естественным обобщением хорошо известного дробного интеграла в одномерном случае (см., например, книги [1] или [2]). Кроме того, введение указанным образом классов Гельдера позволяет говорить о сохранении основных свойств дробного интегрирования в этих пространствах по сравнению с одномерным случаем. Это касается как некоторых аналогий, связанных с действием операторов дробного интегрирования в этих классах, так и справедливости на функциях из Н^(Ц) полугруппового свойства дробного интеграла:

4%РФ = Л .

Доказана теорема о действии операторов (2) в

классах Гельдера Н^(Ц). Однако для более наглядного представления о действии этих операторов доказываются соответствующие утверждения в модифицированных классах Гельдера Н~(Ц) - классах гель-деровских функций, обращающихся в нуль на частях лучей, выходящих из точки а параллельно координатным осям.

По аналогии с одномерным случаем введем дробные производные порядка а в общем случае 0 <а1 < 1, 0 <а2 < 1:

к f Ы^ f >

д

,2

f (t )

dxldx2 [аьxl]x[a2,x2] (x -1)(<Xl'a2)

■dt,

(3)

l

1 f (tj,X2)dtj

k J A) r(l-aj) dxj olj (xj -tj)Xi

f Vx) = -* — Xj2 f (x1, ^ )dt2

Va2 J * ) r(l-X2)dX2 J2 (X2 -12)X2

(4)

(5)

в форме Маршо. Доказана теорема о действии дробных производных в классах Гельдера и модифицированных гельдеровских классах.

Основные результаты получены на основании соответствующих утверждений о действии операторов с одной нулевой составляющей порядка а в пространствах гельдеровских функций, вырождающихся на отрезках лучей, исходящих из вершины прямоугольника - точки а, и параллельных оси ординат или оси абсцисс.

Двумерные дробные интегралы в классах Гельдера на прямоугольнике

Рассмотрим оператор /% (2) в классе Н ^(Ц). Для этого оператора имеет место полугрупповое свойство, а именно справедлива

Теорема 1. Пусть ф е Н, а > 0, р > 0. Тогда

/а%РФ = /аа+РФ .

Для доказательства основной теоремы о действии оператора /% в классе Н^(Ц) в первую очередь получены соответствующие результаты для этих же операторов с одной нулевой компонентой в мульти-индексе:

^ ФД) Г(а1) -1 (-1 - /1 )1-а1 1' Ф(-1. Ч)

(а4

(la'X 2 Ф^-Ц 1

Г(Х2 ) aJ2 (Х2 -12 )l-X2

dt

2

- ей. Специально для рассмотрения таких операторов, а в дальнейшем и для соответствующих дробных производных введем в рассмотрение модифицированные классы Гельдера Н.,0 и Но,. - классы гельдеров-ских функций, вырождающихся на отрезках лучей, исходящих из точки а = (а1, а2), и параллельных оси ординат или оси абсцисс соответственно:

Н^(П) = {р е Н : ф(аь -2 ) - 0,

У-2 е [а2.Ь2]}, 0 < < 1, 0 < Х2 < 1,

-2 [а1.-1 ]х[

- ей, а также в случае одной нулевой компоненты мультииндекса:

^.(Q)={peHX(Q):p(xba2) = ° ,

0 <а1 < 1, 0 <а2 < 1, - ей. Дробные производные (4) и (5) представляют самостоятельный интерес. В частности, для них в введенном классе Гельдера справедливы представления, являющиеся аналогами хорошо известного в одномерном случае представления

Н0

V- е [а1,й1]}, 0 < < 1, 0 < Х2 < 1.

Лемма 1. Пусть 0 < < 1, 0 < а, < 1, / = 1.2 . Тогда:

1) если фе Н.^2 (ц), то

/Л^е Н.^1^2 (Ц;

2) если ф е Н^1^2 (ц), то (/а0,а2 ф)(-)е Н^ +а2 (Ц).

На основании леммы 1 доказывается теорема о действии дробных интегралов в пространствах Н ^(ц) .

x

Теорема 2. Пусть фе НХ(о), О^а^Ъ^х^Ъ],

Х = (ХЬХ2), 0 <Х1 < 1, 0 <Х2 < 1, а = (а1,а2), 0 <а1 < 1, 0 <а2 < 1. Тогда справедливо представление

Ы(х) = -^

Г(1 + а)

(х - а)а +

I У1(х1) (,„ п )а2 ,

+г(г+ао2)(х2 - 02) +

+ (хг - аг)а1 +V1,2(х),

Г(1 + аг)

где ^(х^, У2 (х2), У1,2 (х) - некоторые функции из

пространств Н

Аг +аг

([«1, bD,

H

+а2 ([«2,bD

Двумерные дробные производные в классах Гельдера на прямоугольнике

Рассмотрим сначала дробные производные (4), (5) с одной нулевой составляющей мультииндекса в показателе степени на функциях / е Н Х(о) , X = (^1, ^2), 0 <^1 < 1, 0 <^2 < 1; для них справедливы представления, являющиеся аналогами хорошо известного в одномерном случае представления в форме Маршо:

(р^,0 / )(х) =-ДхО-_ +

г(1 — а1 )(х1 - о )а1

, а1 х1 / (х) — / (¿1, х2 )

Н Х+а(О) соответственно, причем У1(х1)< ^(х — а^1 +а,

У2 (х2 )< ^2 (х2 — 02 +а2 , У1,2 (х)< — а^1 +а\ ^ — а2 ^ +а2},

а , , ^3 - некоторые числа.

Доказательство этой теоремы основывается на следующих представлениях для функций У!^),

У2 (х2 ) > У1,2 (х) :

У1(х1) = С1'0 (ф(?Ь а2) —Ф(a))(x1, а2 ) > У2 (х2 ) = !аа2 (Ф(a1, ¿2 ) —Ф(a))(a1, х2 ) >

Уз(х) = 1аф)(х) > где ~(х) = ф(/) + ф(а)—ф(?1, а2 ) — ф(а1, ¿2 ).

Пусть п = («1,^2)еО. Введем модифицированный класс Гельдера НХ(О), состоящий из функций фе Н Х(о), удовлетворяющих условию

ф(ьа2) = ф(а1,¿2) = 0 для любого t е[а1,С1]х[а2,С2], т.е. обращающихся в нуль на частях лучей, выходящих из точки а параллельно координатным

осям. В частности, класс Нх(ц) представляет подкласс гельдеровских функций с условием ф(а) = 0, когда лучи вырождаются в точку. Другой крайний случай представляет класс НХ(О), когда требуется обращение в нуль на сторонах основного прямоугольника О, выходящих из точки а. Действие

дробных интегралов в пространствах Нх(о) более наглядно, а именно справедлива

Теорема 3. Пусть ф е НХ (ц), О = [а1, Ъ1 ]х [а2, Ъ2 ],

с еЦ , 0 < Х1 < 1, 0 < Х2 < 1, 0 <а1 < 1, 0 <а2 < 1, Х +а1 < 1, Х2 +а2 < 1, а = (а1,а2). Тогда 1а ф е НиХ+а(ц).

Г(1 -аг) «г (хг - /г )1+аг

■dU

f )(х) =

f (х)

Г(1 -а2 )(х2 - Ü2 )

J

" а2 )(х2 а2 ? f (х)- f (хг,/2)dt2_

|а2

г(1 — а2 ) а2 (х2 — ¿2 )1+а2

0 < а1 < Х1, 0 < а2 < Х2 .

Для получения основного результата о действии дробных производных в пространствах Гельдера сначала доказываются следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 2. Пусть / е Н х(о), Х = (ХЬ Х2),

0 < а1 < Х1 < 1, 0 < а2 < Х2 < 1.

Тогда

f (хг, х2 )- f («г,

х2) е н-а1,А*-а1

(П),

где

(х — а1)а1

/ (xl, х2 ) — / (xl, а2) е НХ*—а2,Х2 —а2 (ц)

(х2 — а2 )а2

X* = шт{Х1, Х2}.

На основании этой леммы выводится следующее утверждение для дробных производных (4), (5) в модифицированных гельдеровских классах функций, вырождающихся на отрезках лучей, параллельных оси ординат или оси абсцисс соответственно. Лемма 3. Пусть 0 < а, < X, < 1, / = 1,2 . Тогда

1) если / е Н.^2 (о) , то

Р^0/)(х)е НХ0—а1,Х*—а1 (О);

2) если / е Н^2 (о), то

р0аа ф)(х)е Н0Х>,Х2 —а2 (О).

Действие дробных производных (4), (5) в пространствах Н Х(о) описывает

Теорема 4. Пусть / е Н х(о) , Х = (Х1, Х2), 0 < а1 < Х1 < 1, 0 < а2 < Х2 < 1.

Тогда справедливы представления

и

+

&ifif )м=

(p0a f )x)=

f (оЬ x2 )

Г(1 -a1)(x1 - o1)ttl

f (xh 02 )

Г(1 -a2 )(x2 - 02 )a2

+ Y1(x),

+ Y2 (x) >

где - еЦ; У1(-), у 2 (-) - некоторые функции из классов

Н ^ -^д*-«1 (ц) и н ^^Яг -аг (ц) соответственно.

Рассмотрим теперь вопрос о действии дробных производных (3) в классах Н^(ц). Для описания образа этих операторов введем в рассмотрение весовые модифицированные классы Гельдера на прямоугольнике. Будем рассматривать вес р(-), / = 1.2, который имеет степенной характер, и говорить, что функция ф(-) принадлежит классу Н..0 (Ц.р), если функция р- )ф(-) принадлежит классу Н..0 (ц) . Аналогично определяется класс Но..(Ц. р).

Теорема 5. Пусть / е Н^ (ц) , Ц = [а1. ¿1 ]х [а2. ¿2 ], п = (и1.Й2)еЦ, Х = (^1.), 0 <а1 < 1, 0 < а2 < ^2 < 1. Тогда справедливо представление

= ^Т/(а)Т + ^1(-)+ ^2 (-) + Гэ (-)),

+ a)lv(x - о)

гДе ^.oa1' a1 Р1)' Р1(х2) = *2 - 02 :

Х2 е [о2,Ь2], Л2(x)eHf.-a2,X2-a2 (п,Р2), X е [01,b]

Р2(x1)= x1 -о1 > Пэ(х)е Hc

X -a,X -a

1(п), a = a1 +a2.

Утверждение теоремы получено на основании следующих представлений для функций г(-), Г2 (-),

Гэ(-):

■П1(х)=

П2 (x) =

pgiS) (f (t1,02)-f (o))(x1,02) (X2 - O2 )a2 '

D0ga2 (f (01, t2 )- f (о))(о1, X2 )

(X1 - 01)a1

(x) = ipOi1 '°D0'a'2 f)x),

■'а ^а

где /(/) = /(/) + / (а)-/а, /2 )-/(/1. а2 ).

Литература

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987. 688 с.

2. Самко С.Г. Гиперсингулярные интегралы и их прило-

жения. Ростов н/Д , 1984. 280 с.

3. Карапетянц Н.К., Рубин Б.С. Радиальные потенциалы

Рисса и операторы дробного интегрирования // Докл. АН СССР. 1982. Т. 263, № 6. C. 1299-1302.

4. Краснов В.А. О дробных производных функций многих

переменных // Краевые задачи электродинамики производящих сред. Киев, 1976. С. 240-243.

5. Гинзбург А.И., Карапетянц Н.К. Дробное интегродиф-

ференцирование в гёльдеровских классах переменного порядка // Докл. АН. 1994. Т. 339, № 4. С. 439-444.

6. Ross B., Samko S.G. Fractional integration operator of vari-

able order in the Holder spaces H // Intern. J. Math. and Math. Sci. 1995. Vol. 18, № 4. P. 777-788.

7. Вакулов Б.Г., Самко Н.Г., Самко С.Г. Операторы типа

потенциала и гиперсингулярные интегралы в пространствах Гельдера переменного порядка на однородных пространствах // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвыпуск. Актуальные проблемы мат. гидродинамики. 2009. С. 40-45.

References

1. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka i nekotorye ikh prilozheniya [Integrals and derivatives of fractional order, and some applications]. Minsk, 1987, 688 p.

2. Samko S.G. Gipersingulyarnye integraly i ikh prilozheniya

[Hypersingular integrals and their applications]. Rostov-on-Don, 1984, 280 p.

3. Karapetyants N.K., Rubin B.S. Radial'nye potentsialy Rissa

i operatory drobnogo integrirovaniya [Radial Riesz potentials and operators of fractional integration]. Dokl. AN SSSR, 1982, vol. 263, no 6, pp. 1299-1302.

4. Krasnov V.A. O drobnykh proizvodnykh funktsii mnogikh

peremennykh [Fractional derivatives of functions of several variables]. Kraevye zadachi elektrodinamiki proizvodyashchikh sred. Kiev, 1976, pp. 240-243.

5. Ginzburg A.I., Karapetyants N.K. Drobnoe integro-

differentsirovanie v gel'derovskikh klassakh peremennogo poryadka [Fractional integro differentiation in Holder classes of variable order]. Dokl. RAN, 1994, vol. 339, no 4, pp. 439-441.

6. Ross B., Samko S. Fractional integration operator of varia-

ble order in the Holder spaces H (x). International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 1995, vol. 18, no. 4, pp. 777-788.

7. Vakulov B.G., Samko N.G., Samko S.G. Operatory tipa

potentsiala i gipersingulyarnye integraly v prostranstvakh Gel'dera peremennogo poryadka na odnorodnykh prostranstvakh [Operators of potential type and hypersingular integrals in Holder spaces of variable order on homogeneous spaces]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. Spetsvypusk: Aktual'nye problemy mat. gidrodinamiki, 2009, pp. 40-45.

Поступила в редакцию

22 декабря 2014 г.