ОПЕРАТОРЫ ДРОБНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ПЕРЕМЕННОГО ПОРЯДКА В ПРОСТРАНСТВАХ ГЕЛЬДЕРА Hω(X,T) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 4, С. 3-11

УДК 517.519

ОПЕРАТОРЫ ДРОБНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ПЕРЕМЕННОГО ПОРЯДКА В ПРОСТРАНСТВАХ ГЕЛЬДЕРА Иш(*'х)

Б. Г. Вакулов, Е. С. Кочуров

В работе рассматриваются пространства обобщенной переменной гёльдеровости функций, заданных на отрезке действительной оси, локальный обобщенный модуль непрерывности которых имеет мажоранту, изменяющуюся от точки к точке. Доказываются теоремы о действии операторов дробного интегрирования переменного порядка из пространств обобщенной переменной гёльдеровости в пространства с «лучшей» мажорантой и операторов дробного дифференцирования из таких же пространств в пространства с «худшей» мажорантой. Переменный порядок принимает действительные значения между нулем и единицей.

Ключевые слова: операторы дробного интегрирования, операторы дробного дифференцирования, обобщенный модуль непрерывности, обобщенные пространства Гельдера с переменными характеристиками.

1. Введение

В последнее время сильно возрос интерес к изучению пространств переменного порядка, когда параметры, определяющие пространство, обычно постоянные, могут изменяться от точки к точке. Типичным примером такого пространства является обобщенное пространство Лебега с переменным показателем, определяемое модуляром ^ |/(х)|р(х)^х.

Другим примером является обобщенное пространство Гельдера И л» переменного порядка, определяемое условием ш(/,Ь, х) ^ сЬЛ(х), х £ Ж", где локальный модуль непрерывности ш(/,Ь,х) функции / равен йир|ь|<^ |/(х + Н) — /(х)|. Известны и более общие пространства, а именно, пространства функций, удовлетворяющих условию ш(/, Ь, х) ^ еш(Ь, х), где мажоранта х) — функция типа модуля непрерывности (см. [8, с. 50]) по переменной Ь (для каждого х £ [а, Ь]). Такие пространства носят название обобщенных пространств Гельдера с переменной характеристикой. В случае, когда характеристика ш(Ь,х) = ¿Л(х), получаем пространство ИЛ(,).

Мы рассматриваем оператор дробного интегрирования

х

/«(•) /(х) = 1 [ /(Ь)М (1 1) 1а+ 1 = Г[а(х)] / (х — Ь)1-а(х) (Ь1)

а

и оператор дробного дифференцирования

х

£«(•) /(х) = __ | а(х) / /(х) — /(Ь) (1 2)

7(х) Г[1 — а(х)](х — а)а(х) + Г[1 — а(х)] У (х — Ь)1+а(х) аъ (1.2)

© 2010 Вакулов Б. Г., Кочуров Е. С.

на обобщенных пространствах Гельдера H^()([a,b]) с характеристикой ш = w(t,x), 0 < t < b — a, зависящей от точки x G [a, b] С R. Основная цель — исследовать зависимость отображений, осуществляемых операторами |• и D^ \ от локальных значений a(x) и w(t,x). Мы рассматриваем функции w(t,x), принадлежащие классу Зигмунда — Бари — Стечкина по t равномерно по x. Центральным результатом здесь является получение теорем о действии операторов дробного интегрирования и дифференцирования, определенных на том или ином пространстве Гельдера, в пространство подобной природы. Для этого мы используем метод оценок типа Зигмунда. В нашем случае эти оценки носят локальный характер и зависят от точек x G [a, b].

Дробные интегралы и дробные производные постоянного порядка a(x) = a = const в пространствах переменной гёльдеровости рассматривались ранее в работах Н. К. Ка-рапетянца и А. И. Гинзбург [7, 9]. Там же был получен изоморфизм этих пространств, осуществляемый дробным интегралом.

Дробные интегралы переменного порядка в пространствах переменной гёльдеровости рассматривались в работах Б. Росса и С. Г. Самко [11], С. Г. Самко [12].

Многомерные потенциалы и гиперсингулярные интегралы в пространствах переменной и обобщенной переменной гёльдеровости рассматривались в работах Б. Г. Вакуло-ва [2-5, 14], Н. Г. Самко и Б. Г. Вакулова [6].

Наиболее общие результаты о действии операторов типа потенциала и соответствующих гиперсингулярных операторов в рамках обобщенных пространств с переменными характеристиками были получены в работе Н. Г. Самко, С. Г. Самко и Б. Г. Вакуло-ва [6], где рассматривались пространства функций, определенных на однородных пространствах.

Рассматриваемые в настоящей работе объекты — операторы дробного интегрирования и дифференцирования — имеют, в сравнении с операторами типа потенциала и гиперсингулярными интегралами, одностороннюю природу (переменный предел интегрирования), что приводит к некоторой специфике исследования и получаемых результатов.

2. Вспомогательные утверждения

Всюду ниже предполагается, что ж) — функция типа модуля непрерывности по переменной Ь для каждого ж £ [а, Ь]. Тогда, как известно,

< 2, Ь>Н. (2.1)

В наших основных результатах мы предполагаем также, что ш(Ь,ж) равномерно по ж, не зануляется вне начала координат:

И ш(Ь,ж) > 0, 5> 0. (2.2)

х 6 [а,Ъ],

Ье(5,Ъ-а)

Определение 2.1. Через Иш(' )([а,6]) обозначим пространство функций / £ С ([а, 6]) таких, что ш(/, Ь, ж) ^ сш(Ь,ж) для всех ж £ [а, 6], где с > 0 не зависит от ж и Ь. Это пространство банахово относительно нормы

1Ш1 + в11П ^(/,Ь,ж)

я-(-)(М) = 11/Ус (М1) + вир .

жб[а,Ь] г>0

Через H0^( )([а, b]) обозначим подпространство функций из Нш()([а, b]), обращающихся в нуль в точке а.

Лемма 2.1. Пусть w(t, x) — функция типа модуля непрерывности по переменной t для каждого x Е [а, b] и шо := infш(Ь — а, ж) > 0. Оператор умножения на функцию

g Е Lip([a, b]) ограничен в Нш() ([а, b]) и Н^)([а, b]).

< Достаточно проверить, что существует постоянная c > 0 такая, что h ^ cw(h, x). Это вытекает из (2.1) при выборе t = b — а, так что c = 2(^qa). >

Определение 2.2 [10]. Говорят, что w(t,x) принадлежит по переменной t обобщенному классу Зигмунда — Бари — Стечкина ^e(-), гДе 0 ^ 6(x) < ß(x), x Е [а, b], если:

1) w(t, x) непрерывна и почти возрастает по t на [0, b — а] равномерно по x Е [а, b] и

lim w(t, x) = 0 для каждого x Е [а, b]; t—

2) J (|)5(x) ^Xl dt < cw(h,x); о t t

b—a

3) J (|)в(х) dt < cw(h,x),

h

где 0 < h < b — а, постоянная c не зависит от h и x Е [а, b]. Через мы также

обозначаем соответствующий класс, для которого выполняется только условия 1 и 2, а через Ф^О) — класс с условиями 1 и 3, так что Ф^О = Ф5() ^ Ф/3().

Подобные классы Ф^ в случае функций ш = w(t) и показателей ß, 6, не зависящих от параметра x, были представлены в статье Бари — Стечкина [1] с 6 = 0, ß = 1, 2, 3,... Классы Ф^ с постоянными 0 ^ 6 < ß были рассмотрены в [13], а их подробное исследование можно найти в [10].

Всюду в дальнейшем предполагаем, что зависящие от x параметры ß и 6, определяла^ )

ющие класс Ф^ '), удовлетворяют условиям

ß,6 Е C([а, b]), min [ß(x) — 6(x)] > 0. (2.3)

xg[a,b]

Заметим, что последнее условие гарантирует непустоту класса Ф^ Нам понадобятся следующие очевидные факты.

Лемма 2.2. Пусть supx6[a b] a(x) < 1 и функция w(t,x) неотрицательна. Если w(t, x) почти возрастает по t равномерно по x, то

b—a

, a(x) , i w(t,x) dt b — а . ,,

ha(x)w(h,x) < ch J t2—J{X) , 0 < h < 2 , (2.4)

h

а если ^(t'x) почти убывает по t равномерно по x, то

к

Н-а(хЦн,ж) < с/^+ХХг' 0 <Л<Ь - а, (2.5)

о

для всех ж Е [а, 6], где с не зависит от Н и ж.

Заметим, что в случае, когда ж) = 0 < 1п£х6[а;ь] а(ж) ^ а(ж) ^

8иРжб[а,ь] а(ж) < т£х6[а;ь] А(ж) ^ А(ж) ^ 1 для всех ж Е [а, 6], интеграл в правой части неравенства (2.5) сходится абсолютно. В противном случае он может как сходиться условно, так и расходиться. Но в любом случае неравенство (2.5) остается верным.

Лемма 2.3. Пусть w(t,x) — функция типа модуля непрерывности по переменной t для каждого x Е [a, b]. Тогда для всех А > 0, x Е [а, b] справедливо неравенство

w(At,x) < (А + 1)w(t,x). (2.6)

< Утверждение леммы доказывается аналогично соответствующему результату для случая, когда функция ш = w(t) не зависит от x (см., например, [8, с. 51]). >

Мы воспользуемся ниже числовыми неравенствами

|xM - yM| < H|x - y| ■ [min{x,y}]M-1 , x> 0, y> 0, ^ < 1; (2.7)

|xM - yM| < H|x - y| ■ [max{x,y}]M-1 , x> 0, y > 0, ^ ^ 0. (2.8)

Неравенства (2.7) и (2.8) общеизвестны, мы сошлемся на [6], где такие неравенства были доказаны для случая, когда ^ может принимать комплексные значения (с заменой ^ на Re^ в показателях степеней в правых частях), см. [6, (2.24)].

Далее все получаемые константы будем обозначать одним и тем же символом с.

3. Основные результаты

В теоремах 3.1 и 3.2 мы даем оценки типа Зигмунда для разностей функций, являющихся дробными интегралами или дробными производными соответственно.

Всюду ниже мы предполагаем, что

a Е Lip([a,b]), 0 < inf a(x) ^ sup a(x) < 1. (3.1)

x£[a,b} x£[a,b]

В силу леммы 2.1 и условий (3.1), при рассмотрении оператора (1.1) оценку типа Зигмунда достаточно получить для интеграла

x x—a

f* =/f(г;)Д. (3.2)

' J (ж - t)1—a(x) J t1—a(x) v '

/ (4) ^ [ / (ж - 4) ^

£1 — а(х)

0

Мы используем обозначения

ж) := ж), Ш—а(4, ж) := а(х)^(4, ж).

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (3.1). Если / £ Яо(0([а,&]), то для функции ^ справедлива следующая оценка типа Зигмунда

Ь—а

№(ж + h) - р(ж)| < chj^^Xr ' 0, (3.3)

h

где с не зависит от ж, Н и /.

< В силу (2.2), оценку (3.3) достаточно доказать при малых Н. Будем считать, что

' 1 Ь—а

\ 2 , 2

0 < h < min (1, Ь^). Имеем |^(ж + h) - ^(ж)| ^ |1i| + 1121 + 1131, где

x—a

/1 = J [f (ж - t) - f (ж)] ■ [(t + h)a(x+h) —1 - ta(x) —1] dt,

0 0

—h

/2 -I Mf dt. /3 = f (ж)

(ж + h - a)°(x+h) (ж - a)a(x)

а(ж + h) а(ж)

Для 1\ получаем

х—а

|Л| Ч / Ц4,ж) |(4 + КГ(х+")—1 - ¡"«"^Д ||/||я- Ч (К, + К2)||/||н.

К=/ш(('ж) |((+ЛГ<х+")—1 - ((+Л)а(х)—1

О

х—а

К = I ш(г, ж)|(4 + Л)а(х)—1 - ¿а(х)—11

(И,

Оценим К1. Имеем

х—а

К1 Ч с / ^ + /ж) (4 + Л)а(х+") - (4 + Л)а(х)

и t + д О

х+"—а

Ч с [ х) ¿а(х) ^а(х+")—а(х) _ 1

4

"

В случае, когда ж + / — а Ч 1, к разности в подынтегральном выражении применим неравенство (2.7). А при ж + / — а > 1 разобьем промежуток интегрирования на два: от / до 1 и от 1 до ж + / — а. К первому из полученных интегралов применим формулу (2.7), а ко второму — формулу (2.8). Будем иметь

Ь—а Ь—а

, Г ж) а , Г ж) К1 Ч с/ „( м Ч с/ 1 ( ' )

^2—а(х+") I £2—а(х)

Рассмотрим теперь К2:

1 1

К2 Ч /а(х) [ ж)(/) + На(х) [ + /а(х^ Ш(1Н, ж) (4 + 1)«(х) —1 - ¿«(х) —1 Л.

J (4 +1)1 а(х) J 41 а(х) J

О О 1

В силу неравенства (2.6), первое и второе слагаемые нетрудно оценить величиной с/а(х)ш(/,ж). Для третьего же слагаемого, учитывая (2.6) и (2.7), имеем

да(х)/ цад |(4 + 1Г(х)—1 -1

Ч /а(х) / Ч //«'ММ) / ^^ Ч е/^Ц/.ж).

2—а(х) ^ ^ ' / ¿2—а(х)

11

Поэтому, применяя неравенство (2.4), получаем

хЬ-а

К2 Ч с// "^¿т. "

х—а

Итак, мы оценили слагаемое /1. Оценка для /2 очевидна. Действительно — Ь—а

I/21 < ^(К,ж)/ II/»я« < сК"(хЧК,ж)||/|Н < ^Т

Н«.

Для /3 имеем: |/31 < с (К3 + К4 + К5)/||я«, где

К3 = и(ж - а, ж) (ж + К - а)а(х+—) - (ж - а)а(х+—)

К = и(ж - а, ж) (ж - а)а(х+—) - (ж - а)а(х) ,

К5 = ш(ж - а, ж)(ж - а)а(х)|а(ж + К) - а(ж)|.

Получить оценки для слагаемых К4 и К5 легко, если следовать схеме работы [9]. При оценке К3 отдельно рассмотрим случаи ж - а < К и ж - а > К. Для ж - а < К, учитывая неравенства (2.8) и (2.4), имеем

а(х+—) / сШ(К,ж)К

К < сш(К, ж) (ж + К - а)а(х+—) - (ж - а)а(х+—) <

(ж + К - а)1—а(х+—) а

МК,ж)К"(х+—) < сш(К ж)К«(ж) < Г ^(у,ж) ^

ж—а а1-«(х+—) ^ У ' У ^ У у2—«(х)

Ь—а

^ | ж' 4 ' ' " I У

Пусть теперь ж - а > К. Тогда, применяя неравенство (2.7), получаем

К < сш(ж - а, ж)(ж - а)а(х+—)

К

а(х+—)

1 + - - 1

жа

<

Ь—а /м / \ сш(ж - а,ж)К < , ( ) [ уа(х+—)—а(х)^у

(ж - а)1—а(х+—) < СКш(ж - а,ж) ^ у2—а(х) '

Нетрудно видеть, что величина уа(х+—) а(х) под знаком интеграла ограничена. Поэтому

Ь—а Ь—а

К < сК / < сК /

J у2—а(х) J у2—а(х)

х—а —

Таким образом, мы оценили слагаемое /3. Собирая оценки для /1, /2 и /3, приходим к неравенству (3.3). >

Как и выше, в силу леммы 2.1 и условий (3.1), при рассмотрении оператора дробного дифференцирования достаточно получить оценку Зигмунда для множителя

*(ж) = (^ЗД (3-4)

во внеинтегральном выражении из (1.2) и для интеграла

х х—а

т := / /М/Л = / (3.5)

У (ж - ¿)1+«(х) у ¿1+«(х) у 7

х-а

Теорема 3.2. Пусть выполнены условия (3.1). Если / £ Я^}([а,6]), то для функций

g(x) и 0(x) справедливы следующие оценки

h

|g(x + h) - g(x)| « cj <«!l/Ли-, (3.6)

|»(x + h) - «(x)|< c/

h

w(t,x) w(t,x + h)

t1+a(x) + tl+a(x+h)

H- ;

(3.7)

где c не зависит от x, h и /.

< Проводится аналогично доказательству теоремы 3.1. Мы также считаем, что 0 < h < min (1, • Тогда при оценке g(x) получаем |g(x + h) — g(x)| ^ |A11 + |A2|, где

Ai = [/(x + h) — /(x)] (x + h — a)""(x+h),

A2 = /(x) — /(a)] ■ [(x + h — a)"a(x+h) — (x — a)-a(x)].

А для функции 0(x) имеем |0(x + h) — 0(x)| ^ |A3| + |A4| + |A5|, где

A3 = J [/(x) — /(x — t)] ■ [(t + h)-1—a(x+h) — t-1—a(x)] dt, 0

0 ж—a

Г [/(x + h) — /(x — t)l , r [/(x + h) — /(x)]

} (Ь + Д)1+«(х+^) ' ° } (Ь + Д)1+«(х+^) '

-Ь О

Слагаемые А1— А5 оцениваются согласно схеме доказательства теоремы 3.1. Мы опускаем детали доказательства. >

Оценки (3.3), (3.6) и (3.7) позволяют нам получить следующие теоремы о действии операторов дробного интегрирования и дифференцирования в пространствах обобщенной переменной гельдеровости.

Теорема 3.3. Пусть выполнены условия (3.1), функция ж) является функцией типа модуля непрерывности по Ь для каждого ж £ [а, 6] и ж) £ Ф1-а(х). Тогда оператор ) ограниченно действует из пространства ) ([а, 6]) в пространство ( ) ([а, 6]).

< Пусть / £ Яда( • )([а, 6]). В обозначениях (3.2) имеем /а+ )/(ж) — г[с((Х;)]' Из леммы 2.1 следует, что оценку достаточно получить для функции ^>(ж). В силу оценки (3.3), имеем

м* + h) — V(x)|<ch j

b—a

w(t,x) dt

t2—a(x) Л/|H -

Тогда по определению класса $1-а(х) :

|р(ж + Л) - р(ж)| < сЛа(х)и(Л,ж)||/||н-. Равенство же ^>(а) — 0 сразу следует из оценки

|р(ж)| < сш(ж - а, ж)(ж - а)а(х) ||/||н-. >

x— a

Теорема 3.4. Пусть выполнены условия (3.1), функция ^(Хг является функцией типа модуля непрерывности по Ь для каждого ж £ [а, 6], ж) £ Фа(х) и

ш(Н,ж + Н) ^ сш(Н,ж), Н > 0, (3.8)

где с не зависит от ж и Н. Тогда оператор ) ограниченно действует из пространства И^( • ) ([а, 6]) в пространство И^-а( • ) ([а, 6]).

< Доказательство теоремы 3.4 получается также, как и для теоремы 3.3, при помощи оценок (3.6), (3.7) из теоремы 3.2 и неравенства (3.8). >

Замечание. Теорема 3.4 доказывается при дополнительном условии (3.8), которое позволяет говорить о действии оператора дробного дифференцирования из пространства с характеристикой ж) в пространство с естественным образом записываемой характеристикой ^(Х) . Можно опустить условие (3.8), но тогда нужно будет говорить о действии в пространство с модифицированной характеристикой ш_а(Ь, ж) = 8иру.|у—ш_а(Ь, у), как это сделано в [6] в случае пространственных гиперсингулярных интегралов (неодносторонней природы). Заметим, что характеристики с5_а(Ь, ж) и ш_а(Ь,ж) эквивалентны при условии (3.8): ш-а(Ь, ж) ^ ш-а(Ь, ж) ^ 2сш_а(Ь,ж), где с — постоянная из (3.8).

Литература

1. Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. общества.—1956.—Т. 5.—С. 483-522.

2. Вакулов Б. Г. Сферические потенциалы в весовых пространствах Гельдера переменного порядка // Докл. АН.—2005.—Т. 400, № 1.—С. 7-10.

3. Вакулов Б. Г. Сферические операторы типа потенциала в весовых пространствах Гельдера переменного порядка // Владикавк. мат. журн.—2005.—Т. 7, № 2.—С. 26-40.

4. Вакулов Б. Г. Операторы сферической свертки со степенно-логарифмическим ядром в пространствах обобщенной переменной гёльдеровости // Изв. вузов Сев.-Кавк. рег. Естеств. науки.—2006.— № 1.—С. 7-10.

5. Вакулов Б. Г. Операторы сферической свертки в пространствах переменной гёльдеровости // Мат. заметки.—2006.—Т. 80, № 5.—С. 683-695.

6. Вакулов Б. Г., Самко Н. Г., Самко С. Г. Операторы типа потенциала и гиперсингулярные интегралы в пространствах Гельдера переменного порядка на однородных пространствах // Изв. вузов. Сев.-Кавк. рег. Естеств. науки. Актуальные проблемы мат. гидродинамики. Спецвыпуск.— 2009.—С. 40-45.

7. Гинзбург А. И., Карапетянц Н. К. Дробное интегродифференцирование в гёльдеровских классах переменного порядка // Докл. АН.—1994.—Т. 339, № 4.—С.439-441.

8. Гусейнов А. И., Мухтаров Х. Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных уравнений.—М.: Наука, 1980.—416 с.

9. Karapetyants N. K., Ginzburg A. I. Fractional integrodifferentiation in Holder classes of arbitrary order // Georg. Math. J.—1995.—Vol. 2, № 2.—P. 141-150.

10. Karapetyants N. K., Samko N. G. Weighted theorems on fractional integrals in the generalized Holder spaces HW (q) via the indices rnw and Mw // Fract. Calc. Appl. Anal.—2004.—Vol. 7, № 4.—P. 437-458.

11. Ross B., Samko S. G. Fractional integration operator of variable order in the Holder spaces HA(x) // Intern. J. Math. and Math. Sci.—1995.—Vol. 18, № 4.—P. 777-788.

12. Samko S. G. Differentiation and integration of variable order and the Spaces // Contemporary Math.—1998.—Vol. 212.—P. 203-219.

13. Samko S. G., Murdaev Kh. M. Weighted Zygmund estimates for fractional differentiation and integration, and their applications // Proceedings of the Steklov Institute of Math.—1989.—№ 3.—P. 233-235.

14. Vakulov B. G. Sрherical potentials of implex order in the variable Holder spaces // Integral Trans. and Spec. Funct.—2005.—Vol. 16, № 5-6.—P. 489-497.

Статья поступила 11 августа 2009 г.

Вакулов Борис Григорьевич Южный федеральный университет, доцент кафедры дифференц. и интегр. уравнений РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, старший научный сотрудник лаб. вещественного анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: [email protected]

Кочуров Евгений Сергеевич Южный федеральный университет, аспирант кафедры дифференц. и интегр. уравнений РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8a E-mail: [email protected]

FRACTIONAL INTEGRALS AND DIFFERENTIALS OF VARIABLE ORDER IN HOLDER SPACES

Vakulov B. G., Kochurov E. S.

We consider generalized Holder spaces of functions on the segment of real axis, whose local continuity modulus has a dominant which may vary from a point to point. We establish theorems on the mapping properties of fractional integrals of variable order, from such a variable generalized Holder space to another one with a «better» dominant, and similar mapping properties of fractional differentials of variable order from such a space into the space with «worse» dominant. Variable order can take values between zero and unity.

Key words: fractional integrals, fractional differentials, generalized continuity modulus, generalized Holder spaces with variable characteristics.