Операторы сферической свёртки со степенно-логарифмическим ядром в пространствах обобщённой переменной гельдеровости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518

ОПЕРАТОРЫ СФЕРИЧЕСКОЙ СВЁРТКИ СО СТЕПЕННО-ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЯДРОМ В ПРОСТРАНСТВАХ ОБОБЩЁННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ГЕЛЬДЕРОВОСТИ

© 2006 г. Б.Г. Вакулов

In the framework of weighted (with power weights) and unweighted generalized Holder spaces of variable order, we investigate the ranges of some spherical convolution operators with power-logarithmic kernel, namely, potential-type operators Ka'v and shperical hypersingular operators Da'v . As the main tool in our investigations, we apply Zygmund-type estimates for the operator Ka'v and the estimates for finite differences defined on the range of the operator Da'v .

В настоящей работе изучаются операторы порядка у, 0 < Яе у < 1, типа сферического потенциала со степенно-логарифмическим ядром

(кУУ/ )(х) = г /(а) ыу т

£ Iх

IX-a|

-da .

(1)

, n+1

X e Sn с Rn

и сферические гиперсингулярные интегралы со степенно-логарифмическими ядрами вида

(DYV f)(x) = lim J

e^-0 <

|x-a|>£

f (a) - f (x) 1 x-a|

n+Y

lnv

1 x-a|

■ da.

|х|= 1, (2)

где V е К1, т>3 - фиксировано. Цель работы - дать описание образов операторов (1), (2) и выявить зависимость от а, V свойств указанных операторов в пространствах обобщённой переменной гёльдеровости. При V = 0 операторы сферической свёртки и связанные с ними гиперсингулярные операторы с этой точки зрения с большой полнотой изучены в пространствах обобщённой гёльдеровости в [1-5]. В этих работах

для операторов Кг'0, были получены оценки

типа Зигмунда, на основании которых и явного вида мультипликаторов Фурье-Лапласа по сферическим

у 0 V 0

гармоникам для операторов К^' , устанавли-

валось, что Кг'0 = Кг осуществляет изоморфизм между обобщенными весовыми пространствами Гельде-

ра Н а(Бп, р) и НЮг (Б„, р), где р(х) =\х - а / или

Р(x) = П I X - a j |

j=0

x, aj e Sn, j = 1,...,m .

Sn с R

n+1

т.е. справедлив изоморфизм

K Y(H a(Sn, p)) = H m (Sn, p), Yt) = tRe Ym (t), а характеристика класса co(t) удовлетворяет условиям типа Бари-Стечкина,

m(f, t)

HY(Sn) = jf: f e C(Sn), sup

I 0<t, xeSn m(t)

■<ж)

co( f, t) = sup | f (x) - f (a) | - традиционный мо-

| x-a|< t x,aeSn

дуль непрерывности функции f .

Позже в [6-8] в этих пространствах было изучено действие операторов (1), (2). Так как, к сожалению, при произвольных а и v Ф 0 мультипликаторы опе-

раторов (1), (2) явно не просчитываются, то основным методом исследования здесь является метод оценок типа Зигмунда. Поэтому в этих работах получены только теоремы о действии, а вопрос об изоморфизме остаётся открытым.

В настоящей работе получены аналогичные результаты для пространств обобщенной переменной гёльдеровости в безвесовом и весовом (для степенного веса) случаях.

Ранее в [9-11] для оператора Кг'0 = Кг получены изоморфизмы для пространств Гёльдера переменного порядка.

Обозначения и вспомогательные сведения

В работе используются стандартные обозначения многомерного анализа на сфере и в Я "+1 (см. например, [1-8]): х = (хь...,х„+1); | х \=^х\ + ••• + х^ .

Пусть а(f,t,х) = 8иР 1 /(х) -/(ст)| - обоб-|х-ст|</,

ае$п

щённый модуль непрерывности функции /, зависящий от конкретной точки сферы х. Будем также использовать обозначения (А/)(х, у) = /(х) - /(у) для

разности;

kYv(t) = tY-n=1lnV

t > 0 для ядра;

р(х) =| х - а ^ при 0 < / < п +1 для веса.

Встречающиеся ниже константы обозначим одной буквой с и считаем т > 3.

В работе рассматриваются следующие пространства

(Sn) =1 f : f e C (Sn X suP I 0<t, xeS,

безвесовое,

H a(\Sn,P) =

m( f, t,x) m (t, x)

< да У -

f: pf e Hm(Sn), lim pf = 0

У=1,...,т

весовое.

В них изучается действие операторов (1), (2) в случае, если характеристика а (т) принадлежит

обобщённому классу Ф^, в>8> 0, типа Бари -

Стечкина и удовлетворяет условию, обобщающему известную (см., например, [9-11]) для пространств Гёльдера переменного порядка «логарифмическую» гёльдеровость. При этом, например, для безвесового случая 8 = 0, р = 1 - Яе ^ .

m

t

x^a

Определение 1. Будем говорить, что a (t, x) е W(Q), где Q = [0,1] х Sn , если a (t, x) определена на Q, непрерывна по t для каждого x е Sn и существуют a- (t) = inf a(t, x), a+ (x) = sup a(t, x);

xeSn

xeSn

а (t, x) > 0 при t >0 и lim а (t, x) = 0 для каждого x e Sn ; а (t, x) почти возрастает для каждого x е Sn .

Определение 2. Пусть Ф^ , ß>S> 0 - обобщенный класс типа Бари-Стечкина, т.е. класс функций а (т, x) е W(Q), удовлетворяющих условиям:

j| — I a(t,x)t~ldt < cc—,x);

1 (tY 1

J^-j CO(t, x)t dt < c2®(t, x)

(3)

для всех х е Sn, где C2 - не зависят от г и х.

Класс, когда выполнено только первое (второе) из условий (3), обозначим Ф8 (Фр ) соответственно.

Таким образом, получим Ф^ = Ф8 п Ф^

Приведём также несколько важных лемм. Лемма 1 [10,11]. Пусть 0 < a < Ь < 2, тогда

ь

J(а,Ь,х) = |g(| х-а|,х)4а<$g(u,х)un~ du , (4)

а<|х-а|<Ь а

^(I х-а|^а = Jg(| у-а^а, х,у е Sn . (5)

а<|х-а|<Ь а<|х-а|<Ь

Лемма 2 [8]. Пусть х,у,ае Sn и

Сферические операторы свёртки со степенно-логарифмическим ядром в пространствах обобщённой переменной гёльдеровости

Пусть | х - у |= к < 1. Справедлива

Теорема 1. Для оператора Кг'у, 0 < Яех< 1,

уе Я1 и / е С) справедливы следующие оценки типа Зигмунда:

(0(К^/, к,х) < скыу т го(-;?,х) А, 0, у к к t2-Ке^ ' '

0(К^/, к, х) < ск 2°1/;и х) ыу mdt, 0.

к t2-Ке^ t '

Доказательство. Используя обозначение для ку у (t) и учитывая (5), получаем

(ДК^/)(х,у) = $(Д/)(а,х)кГЛ,(\ х-а | dа-

| х-а|<2к

- $ (Д/)(а, х)куу (| у - а | dа +

| х—а|< 2к

+ $(Д/)(а,х){кг.к(| х - а | -

|х-а|> 2к

-к7Л у-а |}dа = ¡1 + ¡2 + ¡3 . Для ¡1 с учётом (4) и леммы 4 имеем

, ,, 2гко(/,и,х) V т ,Яег, V т

| ¡11< с $ , Веу 1п ск Пп — о(/,к,х).

0 и1 Кег и к

Слагаемое ¡2 оценивается аналогично ¡1, если применить неравенство треугольника | х - а|<| у - а | +1 у - х |, воспользоваться полуадди-

| х -а|> 2| х - у |. Тогда при Яеа> 0 и vе Я1 тивностью обобщённого модуля непрерывности и

заметить, что {а :| х - а |< 2к} с {а :| у - а |< 3к}. Оста-

справедливо неравенство (m 1 > 2):

x -aj-" lnv

m

j x-aj

-jy-aj~a lnv

m

j У-aj

ётся оценить I3 . На основе (6) получаем

jI3j< ch J f ,\x~a^ <

< c j x - У j lnv ml

I ,, „ I«+1-Rer

-j> 2h j X -aj 7

j x-aj

Re«+1

j x-aj

(6)

Лемма 3 [8]. Пусть x,y e Sn, de ^\{0},v> 0 и

< ch J

fx^inv m.

2-Re Y U

j x - y j= h < 1. Тогда

j A(h) j=

J

da

x-a>2h j У - a j

n+i0

lnv

m

j У-aj

< c lnv m. (7) h

Лемма 4 [8]. Пусть е,у е Я1. Функция

т

^ —, 0 < t < 2 почти убывает, если е< 0 или

е = 0, V > 0, и почти возрастает е > 0 или

£ = 0, V < 0 .

Лемма 5 (ср.: [8]). Пусть 8 > 0, в < 1, тогда всегда верны неравенства о(/,^ х) < с$| — I о(/,^ х)t;

к и

Собирая полученные оценки, с учётом знака V и

левого из неравенств в (8), получаем нужное.

Теорема 2. Для конечной разности первого порядка оператора , 0 < 1, vе Я1 и / е С^п) справедливы следующие оценки:

(ADY,7 )(x, y)

h

< c J 0

a(f ,t, x) + a(f, t, y) t1+Rey

lnv — dt, t

;-y| = h , V > 0;

0

(ADr,Vf)(x, y)

<c lnvmha(f,t,x)+^f,t,y) d,

h 0 t1+ReY

' 0

: - y| = h , v < 0 .

1 (Aß 1

?(f,t, x) < ®(f,t, x)t ldt.

Доказательство. Используя обозначение для (8) ), получим следующее разбиение конечной

разности первого порядка оператора В7^

(bDY,v/)(х, y) = J (Д/ )(a, x)k—yV (| x -a| da-

| x-a|< 2h

- J(Д/)(a,y)k-y V(| y-a| da +

\x-a\<2h

+ J(Д/)(a, x){k- (| x - a | -k v (| y - a | }da +

\x-a\>2h

+ (Д/)(x, y) J

da

-lnv

m

(Dfx, y)

< c J

т(/,t, x) +т(/ ,t, y) , v m

lnv- dt+ t

+hlnv-J-

L J

m .a(f,t,x) +т(/,t,y)

h]

dt,

c-y =h.

arv(t, x) = m(t, x)tReY lnv

Y, v

(t, x) =

®еФ

1-Re y

имеем

(KY,v/, h, x) < Ch inv mm j/y1 h h t2 ReY

dt <

|х-<т|> 2А | у -^|п+г | у

= А1 + А2 + А3 + А4. (9)

Оценки слагаемых А1 - А3 проводятся по аналогии с оценками /1 - /3 в теореме 1, при этом лишь необходимо принять во внимание почти убывание функции а(/, t, х)/1 для каждого х е Бп, а при у< 0

ещё и лемму 5. Наконец А4 оценивается, согласно второму утверждению леммы 4, с учётом правого неравенства (8) и знака V . Теорема доказана.

Теорема 3. Для конечной разности первого порядка оператора Б1в,у , у> 0 , в е К1 \ {0}

и / е С(Бп) справедлива следующая оценка:

< ^ ^ х)|| / |на(.)(^п ),

что и требовалось доказать.

Теорема 5. Пусть ве К1\{0}, у> 0. Если

0 1 в а е Ф1 и выполнено условие (10), то оператор Б

ограничен из На()(Бп) в Н а()(Бп).

Доказывается аналогично теореме 4.

Сферические операторы свёртки со степенно-логарифмическим ядром в весовых пространствах обобщённой переменной гёльдеровости

Пусть Я/ (I, х, а) = а(рр, t, х) + а(рр, I, а).

Справедлива теорема

Теорема 6. Для оператора К7'у, 0 < Яеп< 1,

уе К1 и рр е С(Бп), (р/)(а) = 0, справедливы следующие оценки типа Зигмунда:

/ г 1 ч< /¿1 V т 2 Я/(1,х,а) а(рКг' /, п, х) < сп 1п — -т ш ,

п Л-Яе у+1 '

п 1

0 < / < n, l = min(1, /), v > 0 .

' п I

Доказательство. Используем представление (9) с учётом того, что теперь у = 1в и далее проанализируем, где нужно модифицировать доказательство. Хотя оценки слагаемых А1 - А3 и проводятся по аналогии с предыдущим случаем, в конечной оценке остаются два слагаемых, а не одно, как в теореме 2. Что касается А4 , то здесь имеем

| А4 |<| А(П) | а(/,П,х), где А(П) оценивается согласно лемме 3, и остаётся использовать лемму 5.

Далее на основе полученных в теоремах 1-3 оценок выясним вопросы о действии операторов (1), (2) в

пространствах На(\Бп). Обозначим

т

Г; g/(t, x, a) v m

(PKY,V/, h, x) < c^ MRe y+l

h t 7

0 < и < n, l = min(1, /), v < 0 , m(pKY,v/, h,x) <

,2 g , (t x a) - h.

lnv

dt,

< cWm2g^ dt + hU+ReY-nhg^ln- dtl

I 1 2-ReY J /-n+1

h h t2-ReY n < и < n +1 - ReY, v> 0. m(pKY,v/, h,x) < 2

0 t

, m t

< c<

h) ln^m dt + hU+ReY-nh Z/^nv^

J 2-ReY J /-n+1

h 12-ReY t

0t

Пусть также выполнено условие С1а(| х - у |, у) <а(| х - у |, х) < С2а(| х - у |, у), (10) где С1, С2 не зависят от х, у.

Теорема 4. Пусть 0 < Яе^< 1, уе К1. Если

аеФ1-Яег, то оператор ограничен из На()(^п)

в Н ^О^). Если аеФReY и выполнено условие (10), то оператор DY'V ограничен из На()(£п) в

а п/,, (•)

Н '(Бп).

Доказательство. Докажем, например, первое утверждение для V > 0. В силу теоремы 1 и условия

п < /и < п +1 - Яеп, V < 0. Кроме того, в условиях

теоремы (рК /)(а) = 0 .

Доказательство теоремы 6 в силу представления

(рКпг/)(х) = (Кп>)(х) + ср(х), где у(х) = (р/)(х),

P(x) =Jg(x,a)da, g(x,a) =

| x - a U | a-a К

-1

kY,v(| x -a|)

существенно использует утверждения теоремы 1, специальные разбиения сферы, привязанные к весу, для оценки второго слагаемого <р(х), и проводится по аналогии с доказательством оценок типа Зигмунда оператораКп'у, 0 < Яеп< 1, для об^гчн^1х модулей непрерывности (см., например, [6-8]).

Аналогичные оценки получены для конечных разностей первого порядка оператора , 0 < Яе п < 1.

Пусть

Я/(I,х,у,а) = ®(р/Лх) +®(р/Лу) + а(рр,I,а).

со

t

t

n

Теорема 7. Для оператора Dr'v , 0 < Re^< 1,

ve R1, 1 = min(1, /), Z =/-« - Ref и pf e C(Sn), (pf )(a) = 0 , справедливы следующие оценки:

< chZ lnv m J

(ApDY,vf)(x, y) n + Re у < /< n +1, v < 0 (ApDY,vf)(x, y)

Igf (t, x, y, a)

,1+/-п

dt.

< ChZ) gf ^ a) lnv m

J Л+u-n f

0 ^ t

dt

n + Re у < /< n +1, v> 0.

(ApDr'v f)(x, y)

< cht lnv m 2 ^+h gf a) lnv mdt}

l hh t1+1+ReY 0 t1+ReY t j

0 < / < n + Re y , v> 0,

(ApDr'v f)(x, y)

< clh1J

\gf (t, x, y, a)

h

11+1+Re у t

. v , г

lnv — dt + J

0

gf (t, x, y, a)

t1+Re у

lnV jdt

h

0 < / < n ,

t

(ApDW'vf)(x, y)

2

< clMn^J

gf (t, x, y, a)

h

h

j ,acgf(t,x,^a). v m,

dt + h" J ..-ln — dt

0

Л+а

i0,v

для обычных модулей непрерывности (см., на-

D

пример, [6-8]).

Пусть выполнено условие

Сo(| х - у |, а) <о(| х - у |, х), х, у е Sn, (11)

где С не зависит от х, у .

С помощью оценок в теоремах 6-8 изучается действие операторов (1), (2) в весовых пространствах обобщённой переменной гёльдеровости и доказываются следующие теоремы о действии:

Теорема 9. Пусть 0 < Яе^ < 1, V е Я1,

o)еФf-ReY, 1 = шт(1, /), если ReY<л<п , либо

ю e ФИ n , если n < /< n +1 - Re y , и выполнено ус-

-n

1-ReY

ловие (11), тогда оператор K r'v ограничен из

Ha()(Sn,р) в H^'vV7(Sn,р).

Теорема 10. Пусть 0 < Re^< 1, ve R1, a e , 1 = min(1, ¡л), если 0 < ¡л < n + Re^, либо

a e Фл~п, если n + Re y < л< n +1, выполнены условия (10), (11), тогда оператор Dr'v ограничен из Ha(-)(Sn ,р) в Ha-rv(\sn, р).

Теорема 11. Пусть ве R1 \{0}, v> 0, аеФ", а = max(0, n), 1 = min(1, ¡), если 0 < л < n +1 и выполнены условия (10), (11), то оператор D,e'v ограничен из Ha( )(Sn,р) в Ha( )(Sn,р).

Доказательство теорем 9-11 проводится по аналогии с доказательством теоремы 4.

Литература

1. ВакуловБ.Г. // Изв. вузов. Матем. 1986. № 11. С. 66-69.

2. Вакулов Б.Г. // Изв. вузов Сев.- Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. № 4. С. 5-10.

3. Vakulov B.G., Karapetians N.K., Shankishvili L.D. // Izves-tiya NAN Armenii, 2001. Vol. 36. № 2. P. 54-78.

4. Vakulov B.G., Karapetiants N.K., Shankishvili L.D. // Fract. Calculus and Apll. Analysis. 2001. Vol. 4. № 1. P. 101-112.

5. Вакулов Б.Г., Карапетянц Н.К., Шанкишвили Л.Д. // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 3. С. 301-304.

6. Вакулов Б.Г., Шанкишвили Л.Д. Операторы со степенно-логарифмическим ядром в обобщенных пространствах Гельдера. / РГУ. Ростов н/Д. 1999. 26 с. Деп. ВИНИТИ 17.03.99 № 819-B99.

7. Вакулов Б.Г., Карапетянц Н.К., Шанкишвили Л.Д.// Тез.УШ Междунар. конф.: Матем. Эконом. Образ. Новороссийск. 1999.

8. Вакулов Б.Г., Карапетянц Н.К., Шанкишвили Л.Д.// Изв. вузов. Матем. 2003. № 2. С. 3-14.

9. Вакулов Б.Г.// Докл. РАН. 2005. Т. 400. № 1. С. 7-10.

10. Вакулов Б.Г. // Владикав. матем. жур. 2005. Т. 7. № 2. С. 26-40.

11. Vakulov B.G. // Integr. Transf. and Special. Funct. 2005. Vol. 16. № 5-6. P. 489-497.

®r,v( '),

0 </< п + Я^, V < 0. Кроме того, в условиях теоремы (pDY'V/)(а) = 0 .

Доказательство теоремы 7 существенно использует утверждения теоремы 2, специальные разбиения сферы, привязанные к весу, и проводится по аналогии с доказательством оценок типа Зигмунда оператора

DY'V, 0 < 1, для обычных модулей непрерыв-

ности (см., например, [6-8]).

7 Й V

Теорема 8. Для оператора В ' , v> 0,

Йе Я1\{0}, 1 = шт(1, /), а = /- п и р/ е С^п ), (рр)(а) = 0 , справедливы следующие оценки:

(дД/В1Й'V)(х, у)

< ык ^ т 2 М^+уа! л+к ^х,у,а) ^ 1

t™ t j в условиях теоремы

к t

п < /л < п +1. Кроме того (рВ1в,х'/)(а) = 0.

Доказательство теоремы 8 существенно использует утверждения теоремы 3, специальные разбиения сферы, привязанные к весу, и проводится по аналогии с доказательством оценок типа Зигмунда оператора

Ростовский государственный университет

25 ноября 2005 г.

h

h

0