Об одном классе кубических систем дифференциальных уравнений с сингулярным интегрирующим множителем Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.92

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ КУБИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С СИНГУЛЯРНЫМ ИНТЕГРИРУЮЩИМ МНОЖИТЕЛЕМ

© 2009 г. А.А. Алексеев

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]

Поступила в редакцию 05.12.2008

Доказывается существование кубических систем дифференциальных уравнений, допускающих интегрирующий множитель специального вида, сингулярный вдоль кривой второго порядка. Тип этой кривой может меняться при изменении параметров, входящих в правые части системы.

Ключевые слова: динамические системы, интегрирующий множитель, предельные циклы.

В работе рассматривается система дифференциальных уравнений

Шх 3

— = Е а]кх1ук = р( х у )

Ш ]+к=0

^ = Е Ь]кх1ук = ^х у X

Ш j+k=0

(1)

допускающая интегрирующий множитель

*х'у)=<2) где Я(х, у), 2(х, у) - полиномы 2-й степени.

Проблема существования первого интеграла и интегрирующего множителя типа Дарбу для системы (1) рассматривалась в [1, 2]. В [3, 4] решалась проблема существования у системы (1) с интегрирующим множителем (2) предельных циклов. В [5, 6] получены необходимые и достаточные условия наличия у системы (1) интегрирующего множителя вида (2). При этом задача существования интегрирующего множителя решалась отдельно для случаев, когда уравнение

2 (х, у) -

2 2 (3)

- Ах + 2 Вху + Су + 2 Dx + 2 Еу + F = 0 определяет нераспадающуюся кривую 2-го порядка эллиптического, гиперболического или параболического типа.

В настоящей работе решается вопрос о наличии у системы (1) интегрирующего множителя (2) для случая, когда тип кривой (3) может меняться при изменении параметров системы

(1). При этом происходят существенные изменения в поведении фазовых траекторий системы.

В [4] показано, что система (1) допускает интегрирующий множитель (2), где Я(х,у) и 2 (х, у) - полиномы, в том и только в том случае, если существует полином М (х, у), такой, что имеют место тождества

2'Х-Р + 2'у-б - 2-М, (4)

Я'х-Р + Я'у-б - Я-М = - 2 ■ (Р'х+ б у). (5)

При этом (3) - частный алгебраический интеграл системы (1).

Поскольку правые части системы (1) остаются полиномами 3-й степени при любой линейной невырожденной замене неизвестных функций, то уравнение кривой (3) с помощью такой замены можно привести к виду

2 (х, у) = х2 + ау2 + 2 у = 0.

(6)

Соотношение (6) - частный алгебраический интеграл системы (1), тип кривой (6) определяется знаком параметра а, от которого в конечном итоге зависят коэффициенты системы (1). При переходе значений параметра а через нуль меняется тип этой интегральной кривой 2-го порядка, вдоль которой имеет особенность интегрирующий множитель (2).

Основным результатом работы является следующая

Теорема 1. Система (1) допускает интегрирующий множитель (2), где 2(х, у) имеет

вид (6), а Я(х, у) - полином 2-й степени, в том и только в том случае, если она имеет вид:

Шх , _ч 2

— = аоо - 2Ь20х + (ааоо - 2)у + амх -

Ш

- 2аЬ20 ху + (а21 - аа20 - 3а) у2 + а30 х3 +

Ц( х, У) =

+ 2а11 - 4а30 + аЬ20 - аа10) + Ь30х3 +

+ Ь21 х2У + ху 2 (2021 - а02 + «01 - аЯ00 ) + + ау3(Ь21 - 2а30 + ап - ааш).

При этом М (х, у) = 2[а30 х2 + (а21 + аЬ30) ху +

+ 2ау 2(Ь21 - 2а30 + а11 - аа10) +

2х Еа,кх]ук + (2ау + 2) £ЬjkXJyk =

j +к=0 .2 . ,2

j+k=0 22

(7)

+ а21х у - аа30 ху - а у ;

^ = -аоо х - 262о у + 620 х2 + 2 ху (а20 + 2) -dt

- у 2(2а30 + аЬ20) + х3 + а30х2у +

+ ху 2(а21 + 2а) - аа30 у3;

При этом система (7) имеет интегрирующий множитель

= (х + ау + 2у)(Ьх + сху + ф + рх + qy +1).

Приравнивая коэффициенты однородных полиномов одной и той же степени в левой и правой частях, получим

(8)

- 4а30ху - 2у (а21 + а) - 4Ь20х - 4у(а20 +1) + 2а0, х + ау + 2 у при всех а є ^.

Замечание. Нетрудно показать, что квадратичная система указанным свойством не обладает.

Докажем предварительно следующее утверждение:

Лемма. Система (1) имеет частный алгебраический интеграл (6), т.е. выполняется тождество (4), в том и только в том случае, если она имеет вид

Шх 2

— = °00 + °10х + а10 У + а20х + °11хУ +

Ш

2 3 2

+ а02 У + а30 х + а12 ху +

+ аху2(а11 -а30 -аа10) +

+ ау3 (а02 - а12 + а(а^ - а01 + о«00));

^ = -а00х + 2 У(Ь20 + а10) + Ь20х 2 +

+ ху(2Ь30 + 2а20 - аю + о«00) + У2(2Ь21 +

2а30 = Ь 2аЬ30 + 2а21 = с 2а12 + 2аЬ21 = Ш + аЬ 2а03 + 2аЬ12 = ас 2аЬ03 = аШ

2а20 2Ь30 = Р

2а11 + 2аЬ20 + 2Ь21 = q + 2Ь 2а02 + 2аЬ11 + 2Ь12 = 2с + ар 2аЬ02 + 2Ь03 = 2Ш + aq

2а10 + 2Ь20 = ^

2а01 + 2Ь11 + 2аЬ10 = 2 р 2аЬ01 + 2Ь02 = 2q + аі

Ь10 + а00 = 0 аЬ00 + Ь01 = '

Ь00 = 0 .

Из (11) и (14) получаем:

(9)

Ь00 = 0, Ь10 = а00, ^ = Ь01,

Ь = 2а30, Ш = 2Ь03, с = 2(а21 + аЬ30).

Отсюда и из (11) находим:

а12 = Ь03 + а(а30 - Ь21);

а03 = а(а21 - Ь12 + аЬ30);

р = 2(Ь30 + а20);

5 = 2(Ь21 + аЬ20 + а11 - 2а30); и, поскольку

Ь12 = а(3Ь30 + а20 - Ь11) + 2а21 - а02, Ь03 = а(2а30 + Ь02 - Ь21 - а11 - аЬ20),

то

(10)

+ х(Ь30 + а20) + у(Ь21 + аи - 2а30 + аЬ^) +

+ Ь20 + а10].

Доказательство: тождество (4) для системы (1) записывается в виде

(11)

(12)

(13)

(14)

Ь = 2а30 с = 2(а21 + аЬ30)

Ш = 2а(2а30 + Ь02 - Ь21 - а„ - аЬ20)

р = 2(Ь30 + а20)

q = 2(Ь21 + а11 + аЬ20 - 2а30)

а12 = а(3а30 - 2Ь21 + Ь02 - а11 - аЬ02 )

а03 = а(а02 - а21 + а(Ьп - ам - 2Ь30))

Ь12 = 2а21 - а02 + а(3Ь30 + а20 - Ь11) Ь03 = а(2а30 + Ь02 - Ь21 - а11 - аЬ20).

При этом из (13) и (14) получаем

Ь01 = 2(Ь20 + а10)

Ь11 = 2(Ь30 + а20) - а01 + аа00 Ь02 = 2(Ь21 + а11 - 2а30) + а(Ь20 - а10),

так что окончательно имеем:

Ь = 2а30 с = 2(а21 + аЬ30)

Ш = 2а(Ь21 - 2а30 + а11 - аа10)

р = 2(Ь30 + а20)

І = 2(Ь20 + а10) q = 2(Ь21 + а„ + аЬ20 - 2а30) а12 = а(ап - а30 - ааю) а03 = а(а()2 - а21 + а(а2() - аш + аа00))

Ь12 = 2а21 - а02 + а(Ь30 - а20 + а01 - аа00)

Ь03 = а(Ь21 - 2а30 + а„ -ааш)

Ь11 = 2(Ь30 + а20) - а10 + аа00

Ь02 = 2(Ь21 + а11 - 2а30) + а(Ь20 - а10)

Ь01 = 2(Ь20 + а10)

Ь10 - а00, Ь00 = 0 .

Таким образом, система (1) с частным алгебраическим интегралом (6) имеет вид (9), а М (х, у) - вид (10). Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1.

Система (9) допускает интегрирующий множитель

hx2 + 2кху + ту2 + 2пх + 2гу + 5 I

ц( х, У) = ехрі

х2 + ау2 + 2 у

h2 + к2 + т2 Ф 0.

ехР і

х2 + ау2 + 2 у

=ехр№)-ехр{ 2Ьу+щу'+2 пх+угу+»},

[ х + ау + 2 у

то, не нарушая общности, считаем к = 0,

k2 + ш2 Ф 0.

Тогда тождество (5) для системы (9) запишется в виде:

(2£у + 2п )[а00 + а10 х + а10 у + а20 х2 +

2 3 2

+ аиху + а02у + а30х + а1Хх у +

+ аху2(а11 -а30 -аа10) +

+ ау 3(а02 - а21 + а (ам - а01 + аа00))] +

+ (2&х + 2шу + 2г )[-а00 х + 2 у(Ь20 + а10) +

+ Ь20х2 + ху(2Ь30 + 2а20 - а01 + аа00) +

+ У2 (2Ь21 + 2а11 - 4а30 + а(Ь20 - а10)) +

+ Ь30 х3 + Ь21 х2 у + ху 2(2а21 - а02 +

+ а(Ь03 - а20 + а01 - аа00)) + ау3(Ь21 - 2а30 +

+ а11 - аа10)] - 2(2кху + ту2 + 2пх + 2гу +

+ 5)[а30 х2 + (а12 + аЬ30) ху +

+ ау 2(Ь21 - 2а30 + а11 - аа10) +

+ х(Ь30 + а20) + у(Ь21 + а„ - 2а30 + аЬ20) +

+ Ь20 + а10] = -(х 2 + ау 2 + 2 у )[3а10 + 2Ь20 +

+ х(2Ь30 + 4а20 - а01 + аа00) +

+ У(4Ь21 + 5а11 - 8а30 + 2а(Ь20 - а10) +

+ х2 (3а30 + Ь21) + 2 ху (3а21 - а02 +

+ 2а(Ь30 - а20 + аю - аа00)) + ау2(3Ь21 -

- 7а30 + 4а„ - 4ааю)].

Приравнивая коэффициенты однородных полиномов 4-й степени, получим

2кЬ30 = -3а30 - Ь21;

к (Ь21 - а30) + тЬ30 = -3а21 + а02 +

+ а(а20 - а01 - Ь30 + аа00);

к(а21 - а02 - аа20 - аЬ30 + аа01 - а ^) +

+ т(Ь21 - а30) = 2а(а30 - *21 - ап + ааю);

ак(а30 - Ь21> +

в том и только в том случае, если имеет место тождество (5). Поскольку

кх2 + 2^ ху + ш 1 у2 + 2п 1х + 2г1 у + 51 I

(15)

+ ш(ааю - а^ - о«20 + 021 - «02) =

= -о(3«21 - о«20 + а2а00 + а02 - о«01 - аЬ30); 2к(а02 - а21 + о«20 - ааю + а2а00) =

=-а(3Ь21 - 7а30 + 4а11 - 4аа10).

Отсюда получаем равенства

2ak(Ь21 - а30) + ш(а02 - а21 +

+ а(Ь30 -а01 + а20 + аа00)) = 0 - 2k (а02 - а21 +

+ а(Ь30 -а01 + а20 + о«00)) +

+ ш(Ь21 - а30) = 0,

из которых при k2 + ш2 Ф 0 следует, что

Ь21 = а30, а02 = а21 + а(а01 - Ь30 - а20 - аа00) •

Тогда равенства (15) принимают вид:

kb30 = -2а30

шЬ30 = -2а21 - 2аЬ30 0 = 2а (-а11 + аа10) ашЬ30 = -2а(а21 + аЬ30)

- 2аkb30 = 4а(а30 - а11 + аа10) и будут выполняться при а е Я , если

Ь21 = а30, а02 = а21 - а(Ь30 + а20 - а01 + аа00), а11 = аа10, kbзо = —2а30,

шЬ30 = -2(а21 + аЬ30).

При Ь30 = 0 все коэффициенты системы (1) равны нулю, поэтому Ь30 Ф 0. Поскольку один из коэффициентов системы (1) может быть выбран произвольно за счет изменения параметризации, положим 630 = 1; тогда

k = -2а30;

ш = -2(а21 + а)

Ь21 = а30;

а02 = а21 + а(а10 - 1 - а20 - аа00).

(17)

Приравнивая в (5) коэффициенты однородных полиномов 3-й степени, с учетом (16), получим равенства

2г - 2па30 = 4а30Ь20 - аа00 - 2 + а01 - 4а20 2га30 + 2п(а21 + 2а) = -4а30а20 +

+ 4а30а01 + 4а30 - 4аа30а00 - 2аЬ20 +

+ 3ааю - 4а21Ь20 ;

2га21 - 2апа30 = 6а + 4аа30Ь20 - 4аа21а00 +

+ 4а21 + 3аа01 - 3а 2аоо + 4а21ао1 - 4а21а2о ;

2га30 - 2па = -3аа10 - 2аЬ20 + 4а30 +

+ 4а30а01 - 4а30а20 - 4аа30а00 ,

которые, после введения обозначений

а = г - 2(а01 - а20 +1 - аа00), в = п + 2Ь20 ,

записываются в виде:

2а - 2а30в = -3(а01 + 2 - аа00)

2а30а + 2в(а21 + 2а) = 3а(а10 + 2Ь20)

2а21а- 2аа30в = 3а (а01 + 2 - аа00)

2а30а - 2ав = -3а(а10 + 2Ь20).

Отсюда, как следствие, получаем однородную линейную систему

Г а(а21 + а) - 2аа30в = 0 [2а30а + Р(а21 + а) = 0

определитель которой (а21 + а)2 + 4аа30 не может быть равен нулю при всех а е Я , следовательно, а = в = 0, т.е.

г = 2(а01 - а20 +1 - аа00), п = -2620, и тогда

а01 = аа00 - 2, а10 = -2Ь20.

Таким образом, равенства (17) могут выполняться при всех а е Я в том и только в том случае, если

а10 = —2Ь20, а01 = аа00 - 2, п = -2Ь20, г = -2(а20 +1).

Приравнивая в (5) коэффициенты 2-й, 1-й и 0-й степени, получим равенства

2гЬ20 - 2п(2Ь30 + а20) -

— 2kаоо — 2saзо = —2Ь20 — 3аю; kalо - шаоо + г(ааоо - ао1) -

— п(2Ь21 + аи — 4а3о + 2аЬ2о) —

- s(a2l + аЬ30 ) = ао1 - 2Ь30 - 4а20 - аа00;

2ka01 + 2па02 + 2ш(Ь20 + а10) -(16) - 2аг(а10 + 2Ь20) - 2as(b21 - 2а30 + а11 - аа10) =

= аа10 - 6аЬ20 - 8Ь21 - 10а11 + 16а30;

га оо + п(2Ь2о + аю) + s(bзо + а2о) = 0;

kaоо + пао1 -s(b2l + а„ -2«3о + аЬ2о) =

= 2Ь20 - 3а1о; паоо -s(b2о + аю) = 0, которые, с учетом предыдущего, принимают вид:

а3о( s - 2аоо) = 0

(а21 + а)( s - 2аоо) = 0 2аа30(s - 2а00) = 0 (а2о +1)( s - 2а оо) = 0

(18)

(а30 + аЬ20)( 5 - 2а(Х)) = 0 Ь20(5 -2а00) = 0.

При 5 Ф 2а00 получаем вырожденную сис-

тему

Гх = (1 + ау)(а00 - 2У -ау2 - х2)

[у = -х(а00 - 2у - ау2 - х2) с особой линией х2 + ау2 + 2 у = а00 и общим интегралом х2 + ау2 + 2у = С .

При 5 = 2а00 все равенства (15), (17) и (18) выполняются, система (1) имеет вид (9) и допускает интегрирующий множитель (10). Теорема доказана.

Замечание. В [3] доказана следующая

Теорема 2. Пусть функции Р, Q, R и 2 голоморфные в некоторой односвязной области D и такие, что система (1) допускает интегрирующий множитель (2). Тогда (1) в D не имеет предельных циклов.

На ее основании можно сделать заключение, что система (9) не имеет на фазовой плоскости

а11 = аа10 ;

предельных циклов при любых значениях параметров.

Полученные результаты позволяют как непосредственно методами [7], так и с помощью программы WInSet [8] провести полное качественное исследование и изучить бифуркации системы (1) с интегрирующим множителем (2) при различных по знаку значениях параметра а и при фиксированных значениях остальных параметров.

Так, например, непосредственные вычисления показывают, что справедлива

Теорема 3. Система дифференциальных уравнений

Гх = 1 + (а - 2)у - 3ау2 - а2у3

[ y = - x + 4 xy + x3 + 2axy2

с интегрирующим множителем

,2

(19)

, ч | 2ay + 4у - 2

ц( x, у) = exp<j---------2--------------

x2 + ay2 + 2 у

имеет:

- пять состояний равновесия в конечной

части плоскости при а > 0 : в| 0,—1

а

-1 + V a +1

- центры, D1.

a + 2 1

- седла;

- единственное состояние равновесия типа центр 0,-2^ - при а = 0 ;

- три состояния равновесия при а е (—1;0): Й - седло, С12 - центры;

- единственное состояние равновесия В типа центр при a е [-2; -1];

- три состояния равновесия при а < -2: В - седло, D12 - центры.

Кроме того, из теоремы 2 следует, что система (19) не имеет на фазовой плоскости предельных циклов при любых значениях параметра a е R .

Список литературы

1. Долов М.В. О дифференциальных уравнениях, имеющих интеграл Дарбу // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14, № 10. С. 1765-1774.

2. LLibre J., Pantazi C. Polynomial differential system having a given Darbouxian first integral // Bull. Sci. Math. 128 (2004). Р. 775-788.

3. Долов М.В., Алексеев А.А. Об отсутствии предельных циклов динамических систем с интегрирующим множителем специального вида // Дифференциальные уравнения. 1994. Т 30, № 6. С. 947-953.

4. Долов М.В., Лисин Б.В. Интегрирующий множитель и предельные циклы // Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький: Горьк. гос. ун-т, 1984. С. 36-41.

5. Алексеев А.А. Кубические системы дифференциальных уравнений с интегрирующим множителем, сингулярным вдоль кривой второго порядка. Деп. в ВИНИТИ 19.10.04. № 1637-В. 2004.

6. Алексеев А.А., Савелова Л.А. Кубические системы дифференциальных уравнений с сингулярным интегрирующим множителем. Деп. в ВИНИТИ 15.01.03. № 98-В. 2003.

7. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Физматгиз, 1966.

8. Морозов А.Д., Драгунов Т.Н. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем. М.-Ижевск: Инст-т компьютерных исслед., 2003.

0.

a

a

a

ON A CLASS OF CUBIC SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH A SINGULAR INTEGRATING MULTIPLIER

A.A. Alekseev

We prove the existence of cubic systems of differential equations admitting a special integrating multiplier which is singular along the second-order curve. The type of the curve can vary with the change of the parameters in the system’s right parts.