CC BY
40
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.91/93 ББК 22.161.61
У 95
Д.С. Ушхо, О.А. Пономарёва
Особые точки кубической дифференциальной системы на экваторе сферы Пуанкаре
(Рецензирована)
Аннотация:
В работе изучены все возможные типы особых точек кубической системы на бесконечности в случае, когда их число равно четырем. Установлено, что ранее полученный результат Шарипова Ш.Р. является лишь частным случаем результатов, полученных в настоящей заметке.
:
Особая точка, состояние равновесия, точка покоя, узел, седло, седлоузел, топологический узел, тополо-.
где а > 0, ß > 0 , однозначно определяется посредством исследования состояний равновесия этой системы на . -вание предельного цикла и его устойчивость для системы (1) удается благодаря знанию поведения траекторий (1) на бесконечности.
,
(1) , -торому посвящена предлагаемая нами работа, имеет весьма большое значение.
Впервые попытка исследования бесконечно удалённых особых точек дифференциальной системы
^- = £ аг]хг у1 = р(х,у), ^у = £Ьг]хгу] = Q(х,у) (2)
dt г+1=о dt i+j=o
При исследовании качественной структуры разбиения на траектории у автономной дифференциальной системы
* = Р(х,у), ± = Q(х,у)
dt dt ^ 77
(1)
с аналитическими правыми частями важную роль играют сведения о поведении её траекторий в бесконечно удаленных частях фазовой плоскости. Так, например, поС 1 \
ведение сепаратрис седла
d^ _ dy
dt у , dt
—-;0
^ и ,
системы [1]:
2 2
-х — осу — /их — у ,
dx
была предпринята в заметке [2]. Однако, как оказалось, автором [2] получены лишь некоторые частные случаи более общих результатов исследования системы (2), про.
Отметим один любопытный факт, который, по сути , .
(2), -
дающей шестью инвариантными прямыми, в работе [3]
,
^ = х(х — \)(екх + у + с), dу = у (у dt dt
— 1)((с — ск +1) х + су — 2с — 1)
1
при с = -2, к = —— имеет на бесконечности четыре состояния равновесия: два простых дикритических узла, одно простое седло и одно сложное состояние равновесия типа « седлоузел». Вместе с тем по утверждению автора [2] (2)
бесконечности не допускается наличие сложных точек покоя. Таким образом, теорема 1 [2], вообще говоря, не.
В данной работе ограничимся рассмотрением случая
(2) . этом будем считать выполненными условия:
(3)
г+1=3
i+1=3
a03u
+ (а12 -¿0з)и + (а21 -Ъ12)и + (азо -¿21 )и -Ьзо ^ 0
Кроме того, система, полученная в результате парал- Так как рассматриваемая нами система (2) является
лельного переноса начала координат в исследуемую точ- полиномиальной, то согласно [1] удобно пользоваться
ку покоя, имеет невырожденную линейную часть. преобразованиями Пуанкаре:
1 u v 1 Применяя преобразование (5) к системе (2), получа-
x =~,у =~ (5); x = ~, у = ~. (6) ем систему:
z z z z
^ = Ь30 + (Ь21 — а30 )u + Ь20z + (Ь12 — a21 )u" + (Ь11 — a20 К + Ь10Z" + (Ь03 — al2)u' +
аХ
+ (Ь02 — а11)и2 z + (Ь01 — а10)иг2 + Ь00 z3 — а03и 4 — а02и3 z — а01и2 z2 — a00uz3, (7)
22 233 22 34
— — —а3оz — a2lUz — а2оz — а12и z — а^иг — аюz — а.3и z — а.2и z — а.-^иг — аооz дХ
Известно [1], что все бесконечно удаленные особые образование (6) применяем к системе (2) лишь для уста-точки системы (2Х кроме одной («концов оси у »X явля- давления характера точки покоя V = z = 0 системы: ются состояниями равновесия системы (7). Поэтому пре-
^ = а03 + (а12 — Ьо3 )V + а02z + (а21 — b12)v2 + (а11 — Ь02 К + а01Z " + (а30 — Ь21 )v' +
аХ
+ (а20 — b11)v2 Z + (а10 — b01)VZ 2 + а00Z 3 — b30v4 — Ь20^ Z — b10v2 Z 2 — b00Vz3, (8)
сЪ
—- = —Ь03z — Ь12У1 — Ь02z 2 — b2lv 2 .г — Ь11vz 2 — Ь01z 3 — bзоV 3 z — b20v 2 z 2 — Ью^3 — Ьооz 4
аХ
(7) :
г = 0, /(и) = Ь30 + (Ь21 — а30)и + (Ь12 — а21)и2 + (Ь03 — а12)и3 — а03и4 = 0 (9)
В силу нашего предположения (4) окружность круга Теорема 1. Если система (2) имеет на бесконечности
Пуанкаре состоит из траекторий системы (7). Поэтому эта четыре состояния равновесия, и все они простые, то они система не имеет состояний равновесия типа фокуса и не могут быть одновременно сёдлами.
. .
(9) (8) , ,
система (2) на бесконечности имеет не более четырёх уравнения особой точки (и ,0) системы (7) определяют. :
\ (и ) = —а30 — а21и — а12и2 — а03и3 ,Я2(й) = / '(й) (10)
а особой точки (0,0) системы (8) - по формулам: (Ь21 — а30 )(а12 — Ь03) ф 0 (13),
Л(о) = —Ьо3,^2(о) = а12 — Ьо3 (11) Ь12 — а21 = а12 — Ь03 + а30 — Ь21 (14),
Не нарушая общности рассуждений, считаем, что ь — а
¿/’2 1 ^^30
А(и = г = 0), В(и = 1, г = 0), С (и = и., г = 0), ио = Ь
Ь03 а12
г = о) - простые состояния равновесия системы Корни характеристических уравнений особых точек
(2) на бесконечности, разумеется, при условии ио ф 1;0. А, В и С с учётом (10) запишутся, соответственно, в Тогда по необходимости выполняются условия: виде:
Ь3о = а.3 = 0 (12),
^1(0) а30,^"2(0) Ъ21 а30 (16);
^1(1) _ —а30 — а21 — а12,^2(1) _ а30 — Ъ21 + Ъ03 — а12 (17),
^1(и0) = ^2 (и0 ) _
а12(Ъ21 а30) + а21(Ъ21 а30) + а
/-Ь \2 г. ™30
V (Ъ03 а12) Ъ03 а12 У
_ (Ъ21 — а30)(Ъ21 — а30 + а12 — Ъ03)
Ъ03 — а12
(18).
Простая особая точка, как известно [1], является сед- рицательно. С учетом (11), (16) - (18) А, В, С, Б - пролом, если произведение её характеристических чисел от- стые сёда, если имеет ме(Ж) шстема неравенств
Ъ03 (а12 Ъ03 ) > 0, а30 (Ъ21 а30 ) > 0, (а30 + а21 + а12 )(а30 Ъ21 + Ъ03 а12 ) > 0,
(Ъ21 а30)(Ъ2
а30 + а12
Ъ03) а12(Ъ21 а30) I а21(Ъ21 а30)
Ъ03 а12
V (Ъ03 а12)
+
Ъ03 а12
■ + а,
> 0
(19)
Но система (19) не совместна Теорема доказана Теорема 2. Если система (2) имеет на экваторе сферы Пуанкаре четыре состояния равновесия, то среди них не более трёх сложных.
Доказательство. Так как по условию система (2) имеет четыре состояния равновесия на бесконечности, то согласно (13) ни один из коэффициентов Ъ21 — а30 и
а12 — Ъ03 в уравнении (9) не равен нулю. Если же пред, : А, В, С, Б - , , -
, . Поэтому а30 _ Ъ03 _ 0. Но в силу (11) и (16)
Ъ21а12 Ф 0 . Более того, Ъ21 + а12 Ф 0 (в противном случае В и С сов падут). Итак, Х1 (1) Ф 0, но
Л(1) _
а
а12 _ 0 ,
НО
Л(и0) _ —
ґ и 2 а12Ъ21
а21Ъ21
а,
12
а.
0 . -
12 У
НЄНИИ
а21 + а12
: К, — а, _ 0
Ь21 + а12 = 0, противоречащее тому, что В и С - несовпадающие состояния равновесия. Теорема доказана.
Теорема 3. Если система (2) имеет на экваторе сферы Пуанкаре четыре состояния равновесия, то среди них нет ни одного с двумя нулевыми характеристическими .
. (2) -ры Пуанкаре четыре состояния равновесия, то сложные из них могут быть седлоузлами, либо топологическими , ( . . 65
[1, .379]).
Теорема 4. Если система (2) имеет на бесконечности три сложных состояния равновесия и одно простое, то простое состояние равновесия непременно является уз.
Для краткости дальнейшего изложения введём обозначения: у - простой узел; с - простое седло; су - седло,
параболический секторы; ту - топологический узел (сложная точка покоя, достаточно малая окрестность и£
которой не содержит ни эллиптических, ни гиперболических секторов так, что любая траектория, проходящая через и Е, стремится к этой точке в определённом направ); - ( , к которой примыкают четыре гиперболических сектора); -
(сложная точка покоя, к которой примыкают один гипер-
).
Теорема 5. Если система (2) имеет на бесконечности четыре состояния равновесия, из которых три сложных, то возможны следующие случаи распределения сложных состояний равновесия: а) 3 су; б) 3 тс; в) 3 ту; г) 2 су, 1 ту;
) 2 , 1 ; ) 1 , 2 ; ) 1 , 2 ; ) 1 , 1 , 1 ; )
2 ту, 1 тс; к) 2 тс, 1 ту.
Теорема 6. Если система (2) имеет на бесконечности четыре состояния равновесия, в том числе два простых и , -деления: а) 2 су, 1 с, 1 у; б) 2 су, 2 у; в) 1 су, 1 ту, 1 с, 1 у; ) 1 , 1 , 2 ; ) 1 , 1 , 1 , 1 ; ) 1 , 1 , 2 ;
) 2 , 1 , 1 ; ) 2 , 2 ; ) 1 , 1 , 1 , 1 ; ) 1 ,
1 тс, 2 у; л) 2 тс,1 с, 1 у; м) 2 тс, 2 у.
Теорема 7. Если на экваторе сферы Пуанкаре система (2) имеет четыре состояния равновесия А, В, С, И , в
том числе одно кратное, то остальные три одновременно не могут быть сёдлами.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда А -кратное состояние равновесия (в случае В, С, И - крат).
Допустим, что В, С, И - простые сёдла Тогда имеет место система:
а30 0, (а21 + а12)(Ъ03 Ъ21 а12) < 0, Ъ03(а12 Ъ03) < 0
Ґ 7 2
а12Ъ21
(Ъ03 а12 )2
+
аЪ
21 21
Ъ03 а12 У
Ъ12 (Ъ21 + а12 Ъ03)
Ъ03 а12
< 0.
Преобразуем эту систему к равносильной системе:
(а21 + а12 )(Ъ21 + а12 — Ъ03) < 0 (20),
а,-Аі
1221 + а21 > 0 (24).
Ъ21 (Ъ21 + а12 Ъ03)
(Ъ03 а12)
а12Ъ21 V Ъ03 — а12
+а
21
> 0 (21),
Ъ03 (Ъ03 а12 ) < 0 (22). Пусть Ъ21 + а,2 —Ъ03 > 0 (в случае Ъ21 + а12 —Ъ03 < 0 рассуждения аналогичны). Тогда из (21) и (22) следуют
неравенства: а21 + а12 < 0 (23),
Ь03 — а12
Умножая обе части неравенства (23) на (—1) и складывая с неравенством (24), получаем неравенство
— а12 > 0, из которого следует неравенство
Ь03 — а12
а12 (Ь03 — а12) > 0 (25). Умножив обе части неравенства
(25) (—1) (22), -
2
2
выполнимое неравенство (Ъ03 — а12)2 < 0 . Теорема до.
Из теоремы 7 следует
Теорема 8. Если система (2) имеет на бесконечности четыре состояния равновесия, в том числе одно сложное, то возможны следующие случаи их распределения: ) 1 , 3 , ) 1 , 2 , 1 , ) 1 , 2 ,1 , ) 1 , 3 ,
д) 1 ту, 2 с,1 у, е) 1 ту, 2 у, 1 с, ж) 1 тс, 3 у, з) 1 тс, 2 с, 1 у, ) 1 , 2 , 1 .
В заключение приведём примеры систем дифферен-(2),
теореме 1 [2].
Пример 1. Система дифференциальных уравнений
Іх 2 Іу ^ 2 ~ 2 2
— _ х + 3х у + ху , — _ 3ху + у + 3х у + ху
имеет на бесконечности четыре точки покоя:
А(и _ г _ 0) - тс, Б(у _ г _ 0) - су, С (и _ —3, г _ 0) - ту, В(и _ 1, г _ 0) - у.
Пример 2. А(и _ г _ 0) и Б(у _ г _ 0) - топологические узлы, В(и _ 1, г _ 0) и С (и _ —3, г _ 0)
-
х — у + х2 у + ху2, — = 4 х — у + 3х2 у — ху2
т т.
.
Пример 3. Для дифференциальной системы
Сх 2 2 Су „ 2 „ 2 „ 3
— = х + х у + ху , — = х + у — 4 х у + 4 ху + 2 у
т т
А(и = г = 0) - ту, В(и = 1, г = 0) - с,
С (и = —4, г = 0) - с, Б(у = г = 0) - у.
Примечания:
1. Андронов А А. Качественная теория динамических систем второго порядка / А А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, АГ. Майер. - М.: Наука, 1966. - 568с.
2. Шарипов Ш.Р. О распределении особых точек на экваторе сферы Пуанкаре / Ш.Р. Шарипов // Труды Самаркандского гос. ун-та имени Алишера Навои. - Самарканд: Изд-во гос. унта, 1964. - Вып. № 144. - С. 89-92.
3. Ушхо Д.С. О характеристиках кубической дифференциальной системы с шестью линейными интегралами / Д.С. Ушхо // Труды ФОРА - Майкоп: Изд-во АГУ, 2004. - №9. - С. 88-105.
