Особенности модели ФитцХью-Нагумо Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9 ББК 22.161.6

У 95

Ушхо А.Д.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики инженерно-физического факультета Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593908, е-шаН: uschho76@mail.ru Феклистов Г.С.

Кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры теоретической физики инженерно-физического факультета Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593908, е-шаН: german@mail.ru

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593905, e-mail: damirubych@mail.ru

Аннотация. Определен характер состояний равновесия и вопросы существования предельных циклов дифференциальной системы ФитцХью-Нагумо. Установлены картины поведения траекторий системы в ограниченной и бесконечно удаленных частях фазовой плоскости, построены фазовые портреты.

Ключевые слова: система ФитцХью-Нагумо, особая точка, узел, фокус, фазовая плоскость, сфера Пуанкаре, преобразование Пуанкаре.

Ushkho A.D.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Theoretical Physics Department of Engineering-Physics Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593908, e-mail: uschho76@mail.ru Feklistov G.S.

Candidate of Pedagogy, Senior Lecturer of Theoretical Physics Department of Engineering-Physics Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593908, e-mail: german@mail.ru Ushkho D.S.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics, Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593905, e-mail: damirubych@mail.ru

Abstract. The character of equilibrium states and questions related to the existence of limit cycles of a differential system FitzHugh-Nagumo are found. Patterns of behavior of the system trajectories in a bounded and infinitely remote parts of the phase plane are established, and phase portraits are constructed.

Keywords: FitzHugh-Nagumo system, singularity, knot, focus, phase plane, Poincare sphere, Poincare transformation.

Работа [1] посвящена изучению поведения решений дифференциальной системы ФитцХью-Нагумо в различных областях фазовой плоскости при существующих ограничениях на значения параметров. Однако в этой работе не получили полного освещения некоторые особенности. В частности, осталось неисследованным поведение решений при граничных значениях параметров, картина вблизи особых точек. Этим и другим вопросам посвящена данная статья.

*

Будем рассматривать систему ФитцХью-Нагумо в виде [1] :

Ушхо Д.С.

Особенности модели ФитцХью-Нагумо

(Рецензирована)

Feature of FitzHugh-Nagumo model

. at

Все обозначения такие же, как и в работе [1].

ISSN 2410-3225 Ежеквартальный рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 4 (191) 2016 Особые точки системы (1) найдем из системы

а - bul у,

о ■ о

b(1 - u) l у - au + (a + 1)u2 - u3 - 0. I u = 1 v b l у + u2 - au = 0.

U = 1, Ju = ui, Ju = u2,

v ■ v ■ где u12 =

[а = b ly. [а = buj у. [а = bu2ly,

а = bul у, 1 v b у

a + -y¡a2 - 4b у

a2 - 4b у> 0. (2)

Таким образом, при a2 - 4b / у > 0 система (1) имеет три особые точки:

4ц; boj у), ВЦ; boj у), C (l; b/у). Выясним характер состояния равновесия С:

u — u +1,

b о

а — а+—,

у

du dt dа dt

= (a - 1)u -а + (a - 2)u2 - u3, = bu-уа.

(3)

Из (3) получаем соотношения а = а -1 -у < 0. Тогда, согласно [2], точка С является простым устойчивым узлом или фокусом системы (1).

Точка В(о2; Ьо2 / у) представляет собой простое седло системы (1), так как на изоклине нуля ю = Ьо / у нет особых точек самой изоклины и по теореме 36 [3] на ней состояния равновесия, для которых А < 0 (то есть седла), чередуются с состояниями равновесия, для которых А > 0 (то есть узлами, фокусами или центрами).

Для выяснения характера состояния равновесия А совершим в системе (1) параллельный перенос

Го —> о + о1, [ю — ю + Ьо1 /у.

В результате получим систему вида:

du 2

— = (2цц -u1 +u1 - u2)u-а+ (p2(u,а), dt

dа dt

(4)

= bu-уа,

где ср2(р,ю) = (о2 -2о1 + 1)о2 -о3.

Для состояния равновесия системы (4) имеем, что

а = 2о1о2 - о12 + о1 - о2 - у.

(5)

Так как 2цц = 2b l у, u1 - u2 = a2 - 4b !у ,

-u1 ='

aja2 - 4b l у + 2b !у

-a

то вы-

ражение (5) запишется в виде

g =

4b у- a2 + 2l у(Ь -у2) + J a2 - 4b у (a - 2)

2

(6)

Пусть b < у2, тогда в силу неравенств 0 < a < 1, a2 - 4b / у > 0 выражение (6) отрицательно. Поэтому точка A(oj; boj / у) - это простой устойчивый узел или фокус. Тем самым и доказана

Теорема 1. Если 0 < a < 2Л[у , 0 < b < a2у/4, у> 0, Ja = b/у, то система (1) имеет в ограниченной части фазовой плоскости три простых состояния равновесия, в том числе:

2

2

Ъи ^

и;—

v У

C

\ Ъ1

v У)

устойчивые узлы или фокусы, B

Ъи2

У )

- седло.

Так как узлы и фокусы кубической системы могут быть окружены предельными циклами [3], то естественно возникает вопрос об их существовании. Для разрешения этого вопроса выясним знак функции

ч Ъо-усо Ко,®) = —-(——5-3 (7)

Ъ/у-с-ао + (а + 1)о -о

в квадрантах, на которые разбиваются достаточно малые окрестности точек А, В, С главными изоклинами системы (1) (см. рис. 1).

Рис. 1. Достаточно малые окрестности состояний равновесия А,В, С системы (1). Символом + (-) обозначен знак функции 4/(0, с) в квадрантах указанных окрестностей

Дивергенция векторного поля системы (1) задается равенством: Р'0 (о, ®) + (о, ®) = -3о2 + 2(а + 1)о — а - у.

(8)

Пусть 0 <у< 1/4. Тогда дискриминант квадратного трехчлена (8) является отрицательным, и поэтому дивергенция векторного поля отрицательна. По признаку Бендиксона [2] система (1) не имеет ни замкнутых траекторий, ни замкнутых контуров, составленных состояниями равновесия и сепаратрисами.

Справедлива

Теорема 2. Если 0 < а < , 0 <Ъ <а2у/4, 0<у< 1/4, Ja = Ъ/у, то система (1) ациклична.

Выясним характер расположения траекторий в бесконечно удаленных частях фазовой плоскости.

Применим к системе

du Ъ 2 з

— =--а- au + (a + 1)u -и ,

dt и

d( dt

(9)

= Ъи-уа

преобразование Пуанкаре и = 1/ z, а = u / z [2]. В результате получим систему

= u - (a + 1)uz + bz2 + (a - y)uz2 + u2z2 - buz3 = P4(u, z)

У

du dt dz

— = z - (a +1)z2 + az3 + uz3 - — z4 = Q4(u, z). dt у

Ъ

Состояния равновесия системы (10) находим из системы

Г Р4(и,0) = 0, Ги = 0, |&(и,0) = 0. ^ = 0.

Таким образом, точка W1 (0;0) - бесконечно удаленное состояние равновесия системы (9) («концы» оси Ox ).

Применяя к системе (9) второе преобразование Пуанкаре о = ¡и/ z, ю = 1/z [2] к системе (10), получим систему

— = -z2 - ¡3 + (а + 1)и2z + (у - a)иz2 + — z3 - Ъ\х2z2 = P4 (и, z),

( у (11) (Ъ —

— = уz3 - —и3 = Q4(и, z). dt

Состояние равновесия системы (11) находим из системы

|Р4(и,0) = 0, ^ Ги = 0,

104(и,0) = 0^ I z =0.

Следовательно, точка W2(0;0) - бесконечно удаленное состояние равновесия системы (9) («концы» оси Оу ).

Таким образом, система (1) имеет на экваторе сферы Пуанкаре [2] два состояния равновесия.

Для состояния равновесия W1 (0;0) имеют место величины А = 1 > 0, а = 2 > 0. Поэтому, согласно [2], точка Ж1(0;0) - простой неустойчивый узел. Состояние равновесия W2(0;0) характеризуют величины А = 0, а = 0. Поэтому точка W2(0;0) представляет собой сложное состояние равновесия.

Так как сумма индексов Пуанкаре всех состояний равновесия системы (1), расположенных как в ограниченной части фазовой плоскости, так и в бесконечно удаленных ее частях, равна +1 [4], то индекс Пуанкаре состояния равновесия Ж?(0;0) равен —1. Отсутствие эллиптических секторов в окрестности точки Ж2(0;0) следует из того, что к этой точке, кроме полупрямых прямой z=0, не примыкает ни одна ветвь изоклины нуля Q4 (¡и, z) = 0

е - к

системы (11). По формуле Бендиксона I = 1 н—^— [2], где I - индекс состояния равновесия,

е(к) - число эллиптических (гиперболических) секторов, примыкающих к точке Ж2(0;0). Так как I = -1, е = 0, то из формулы Бендиксона следует, что к = 4 . Таким образом, к состоянию равновесия Ж2(0;0) в достаточно малой его окрестности примыкают четыре гиперболических сектора. Мы не исключаем того, что к точке W2 (0;0) могут примыкать, вообще говоря, параболические (узловые) секторы, количество которых не влияет на индекс.

Результаты проведенного выше исследования позволяют построить фазовый портрет системы (1) в условиях теоремы 2. Он изображен на рисунке 2.

Далее рассмотрим случай Ja = аЪ/у в системе (1). В этом случае систему (1) запишем в виде

(о аЪ 3 2 \

— =--о + (а + 1)о - ао-ю = г (о,ю),

Л у (12)

— = Ъо-ую = G (о, ю). Л

Пусть т < а < п , тогда имеет место неравенство

а2 - а + Ъ / у < 0. (13)

Рис. 2. Фазовый портрет системы ФитцХью-Нагумо (1) в круге Пуанкаре при выполнении условий 0 < а < 2л/у , 0 < Ъ < а 2у/4, 0 <у< 1/4, Ja = Ъ / у

В силу выполнения неравенства (13) выражение

F

a;-

aЪ

У

g а

оЪ a; —

. У

- G'

)

r aЪл a;—

v у

f а

v

йЪ

a;— у

= у(a2 - a + Ъ / у)

отрицательно. Следовательно, состояние равновесия Ж3 (а; аЪ / у) - простое седло [2]. Так как система (12) удовлетворяет условиям теоремы 36 [3], то Ж4(т;Ът /у) и Ж5(п;Ъп/у) -простые состояния равновесия (не обязательно грубые) с индексом Пуанкаре, равным +1.

При переносе начала координат системы (12) в точку Ж4 (т; Ът / у) по формулам

Го —> о + т, [с ^ с + Ът / у. получаем новую систему дифференциальных уравнений:

4Ъ „ _ ч 6Ъ , 1--(1 - 2a) +--1

у у

du = и ~dt ~ ~2 ^

d- = Ъи-уа = G (и, ю).

+ ■

и

3

4Ъ Л ,

1--+ 2a -1

-и3 -ю = H(и,ю),

(14)

Для системы (14) имеем, что

ст(0,0) = H 'и (0,0) + G(0,0) =

4Ъ

6Ъ

(1 - 2a) +

у у

2 у-1

(15)

Д =

H 'и (0,0) H(0,0) G'и (0,0) G(0,0)

=Ъ

4Ъ . . 6Ъ ,

—(1 - 2a) +--1

уу

(16)

Пусть, для определенности, a =

2л/1 - 4Ъ / у 1Ц

1 4Ъ 6Ъ „ ,

1--+--2у -1

уу

— a *. В этом случае

выражение (15) равно нулю, а выражение (16) равно Ъ - у2. Таким образом, если а = а * и Ъ >у2, то точка (0,0) - состояние равновесия типа «центр» или «фокус» системы (14). Так как 0 < а* < 1, то можно записать ограничения на коэффициенты системы (14) в виде:

2

у

у

2

1

у < b/у <

6b/у-2у-^ 1 -4b/у < 1, 6b/у-2у + д/1 -4b/у > 1.

(17)

При выполнении неравенств (12) точка Ж4 (да; ¿да / у) является сложным фокусом или центром системы (14) [2, 3]. Для различения центра и фокуса вычислим третью фокусную величину [3]:

а3(0,0) =

к

8ß3

у

2a *-1 + 3

i

1 - 4b

у

+ 6(у2 - b)

(18)

где р = д/А(0,0) > 0.

Из (15) следует, что о'а (0,0) = -д/ 1 - 4Ь / у < 0, то есть сг(0,0) - убывающая функция параметра а.

Для установления характера состояния равновесия Ж5 (п; Ьп / у) совершим в системе (12) параллельный перенос

[и — и + п, [с — с + Ьп /у. В результате получаем новую систему:

11

1 - 4Л(2a -1) + ® -1

у у

du о dt 2

da _ dt

При a = a * система (19) примет вид:

о 2

f 4b )

2a -1 - 3 1--

1 У у J

-о3 -а = b(v,a),

(19)

= bu-уа = G (u,a).

du dt

f

6b

у

л

- у-1

о + -

о

2

2a *-1 - 3

1-

4b

у

-о -a,

da

— = bu-уа. dt

(20)

Для состояния равновесия (0,0) системы (20) имеют место следующие величины:

ст(0,0) = 6Ь/у-2у -1 и А (0,0) = Ь-у(бЬ/у-у-1).

Потребуем выполнения равенства сг(0,0) = 0, тогда А(0,0) = Ь -у2 > 0. Для состояния равновесия (0,0), являющегося сложным фокусом или центром, третья фокусная величина имеет вид

к

а3(0,0) = ^3 3 8ß3

у

2a *-1 - 3.

V

1-

4b

+ 6(у2 - b)

где Р=л/А> 0.

Из условия 6Ь /у- 2у-1 = 0 следует, что а* = 1/2. Из (19) следует, что о'а(0,0) = +у] 1 - 4Ь /у > 0, то есть ст(0,0) - возрастающая функция параметра а .

Для состояний равновесия Ж4 и Ж5 при а* = 1/2 третья фокусная величина одна и

2

2

2

У

та же, равная

Ъл(2у + 3у- 14b)

-Г2)3

Теорема 3. Пусть а = 1/2, 0< у < 1/4, Ь = (2у2 + у) /6, тогда система (12) имеет в ограниченной части фазовой плоскости три состояния равновесия, в том числе: Ж3(а;аЬ/у) - простое седло, Ж4(т;Ьт/у), Ж5(п;Ьп/у) - сложные однократные неустойчивые фокусы.

1 2

Теорема 4. Пусть a

11

v 2 2 у

2у +у

0 < у < —, b =-^-> где ^ > 0 - сколь угодно

малое число. Тогда система (12) имеет в ограниченной части фазовой плоскости три состояния равновесия: Ж3 (а; аЬ / у) - простое седло, Ж4 (т; Ьт / у) - простой неустойчивый

фокус, Ж5 (п; Ьп / у) - простой устойчивый фокус, окруженный неустойчивым предельным циклом.

Как было показано выше, система (1) имеет два состояния равновесия на бесконечности, а именно «концы» оси Ох представляют собой простой неустойчивый узел, а «концы» оси Оу - сложное четырехсепаратрисное седло.

В условиях теоремы 4 траектория, скручивающаяся при t ^ ю с неустойчивого предельного цикла, окружающего устойчивый простой фокус Ж5 (п; Ьп / у), может либо войти в

седло Ж3(а;аЬ/у), либо совершать по спирали бесконечное множество витков, удаляясь от точек Ж3,Ж4,Ж5. Вместе с тем такая траектория не может уйти на бесконечность, так как при t ^ ю траектории системы (1) стремятся к области, содержащей состояния равновесия Ж3,Ж4,Ж5. Другими словами, по принципу кольца [5] существует хотя бы один устойчивый предельный цикл, к которому стремятся при t ^ ю как траектории, скручивающиеся с неустойчивого предельного цикла, окружающего простой устойчивый фокус Ж5, так и траектории, идущие из бесконечности.

Теорема 5. Если система (1) удовлетворяет условиям теоремы 4, то любая траектория этой системы, идущая из бесконечности при t ^ +ю, стремится к устойчивому предельному циклу Ь, внутри которого расположены простое седло Ж3, Ж4 - простой неустойчивый фокус, Ж5 - простой устойчивый фокус, окруженный хотя бы одним неустойчивым предельным циклом. Фазовый портрет системы (1) в условиях теоремы 5 изображен на рисунке 3.

I

Рис. 3. Внутри предельного цикла Ь расположены седло Ж3, неустойчивый фокус Ж4 и устойчивый фокус Ж5 и окружающий его неустойчивый предельный цикл

Примечания:

1. Ушхо А. Д., Феклистов Г.С. Исследование дифференциальной модели ФитцХью-Нагумо // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2016. Вып. 3 (186). C. 11-16. URL: http://vestnik.adygnet.ru

2. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов [и др.]. М.: Наука, 1966. 568 с.

3. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А.А. Андронов [и др.]. М.: Наука, 1967. 488 с.

4. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. 496 с.

5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1959. 915 с.

References:

1. Ushkho A.D., Feklistov G.S. Study of FitzHugh-Nagumo differential model // The Bulletin of the Ady-ghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 3 (186). P. 11-16. URL: http://vestnik.adygnet.ru

2. Qualitative Theory of Second-Order Dynamical Systems / A.A. Andronov [et al.]. New York: John Wiley and Sons, 1973. 568 pp.

3. Bifurcation theory of dynamical systems on the plane / A.A. Andronov [et al.]. M.: Nauka, 1967. 488 pp.

4. Bautin N.N., Leontovich Е.А. Methods and techniques of the qualitative study of dynamical systems on the plane. M.: Nauka, 1976. 496 pp.

5. Andronov A.A., Vitt A.A., Khaykin S.E. Theory of vibrations. M.: FIZMATGIZ, 1959. 915 pp.