Оценка числа эллиптических секторов, примыкающих к особой точке кубической системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925/. 926; 517.938 ББК 22.161.61 У 95

Д.С. Ушхо

Оценка числа эллиптических секторов, примыкающих к особой точке кубической системы

(Рецензирована)

Аннотация:

В статье находятся необходимые условия существования 2m - 1 эллиптических секторов, примыкающих к особой точке Ат - системы. С использованием этих результатов доказывается, что для кубической дифференциальной системы на экваторе сферы Пуанкаре верна оценка числа эллиптических секторов, данная В.В. Морозовым при m > 1.

Ключевые слова:

Особая точка, эллиптический сектор, О - ветвь кривой.

Впоследствии В.В. Морозов [2] пришел к заключению, что справедливо неравенство

в £ 2m - 2 (3)

В работе [3] доказано, что существуют системы (1), имеющие 2m - 1 эллиптических секторов, примыкающих к началу координат 0(0,0). Так, к особой точке 0(0,0) системы

= (у + х2)(У + 3х2) • ...• (у + (2т - 1) х2),

т

= ху(у + 2 х2) • ...• (у + 2(т - 1) х2)

т

примыкают 2т - 1 эллиптических секторов, т.е. ни при каком значении т не выполняется неравенство (3).

Придерживаясь терминологии [3,4], систему (1) будем называть Ат - системой. В упомянутой работе [3] доказана теорема 1, согласно которой для Ат - системы (1) верна оценка в £ 2т - 1, и она не улучшаема. В заметке [4] найдены все пары чисел (в, И), которые соответствуют классам, порождаемым Ат - системами при фиксированном т, и в каждом классе установлена топологическая структура неустойчивой особой точки с минимальным для данного класса числом параболических секторов, примыкающих к точке 0(0,0). Здесь И - число гиперболических секторов.

В настоящей работе находятся необходимые условия того, что Ат - система

Рассмотрим автономную

дифференциальную систему

— = Рт (х, у) + ф (х, у) ° Р(х, у), — =

Ш т У Л (1)

= ^(х У) + У (х у) ° Q(x, у)

где Р, Q - аналитические функции,

(Р, Q) = 1, Рт, Qm - однородные многочлены степени т > 1,

|Рт.| + |Qm| ° 0 Ф = о(гт),

У = о(гт), Г = х2 + у2.

Достаточно малая окрестность особой точки системы (1), отличной от центра и фокуса, состоит из конечного числа эллиптических, гиперболических и

параболических секторов. Именно они определяют топологическую структуру особой точки. Кроме того, индекс Пуанкаре особой точки определяется числом эллиптических и гиперболических секторов, примыкающих к ней. Вот почему важно знать число эллиптических секторов, расположенных в достаточно малой окрестности сложной изолированной особой точки системы (1).

И. Бендиксон [1] показал, что число в эллиптических секторов, примыкающих к точке покоя (0,0) системы (1), удовлетворяет неравенству

в £ 2т (2)

(1), обладающая инвариантной прямой у = 0, имеет ровно 2т - 1 эллиптических секторов. С использованием этих условий, доказывается, что кубическая дифференциальная система не имеет на экваторе сферы Пуанкаре сложной особой точки, к которой примыкают 2т - 1 эллиптических секторов, т.е. доказывается справедливость оценки (3) при т > 1.

Лемма 1. Пусть Q(х,0) ° 0. Если в = 2т - 1 -число эллиптических секторов, примыкающих к особой точке 0(0,0) Ат - системы (1), то

^(хУ) ° °.

Доказательство. Следуя терминологии [4], всякое связное подмножество 0 - ветви, для которого точка 0(0,0) является предельной, будем называть существенной частью этой ветви. Пусть х = х(:), у = у(:) (4) - одна из траекторий эллиптического сектора, примыкающего к точке 0(0,0). Тогда как при t ® + “ , так и при t ® - ¥

у^) ® 0, — ® 0. Это означает, что функция т

У = У(/) имеет, по крайней мере, один экстремум и две точки перегиба. Поэтому справедливо утверждение о том, что каждый эллиптический сектор, примыкающий к точке 0(0,0), содержит существенную часть хотя бы одной 0 - ветви изоклины нуля Q(х, у) = 0 и существенные части хотя бы двух 0 - ветвей кривой ^ X у)0,'у(X У) + Р( X У)&х (x, У) = 0.

Так как по условию прямая у = 0 является инвариантной для системы (1) и в = 2т - 1, то к началу координат примыкают не менее чем 2т + 1 0 - ветвей кривой Q(х, у) = 0 . Иначе говоря, индекс ветвления [5] кривой Q( х, у) = 0 в точке 0(0,0) не меньше 2т + 1. Принимая во внимание лемму из работы [3], приходим к выводу, что Qm (х, у) ° 0. Лемма доказана.

Замечание 1. Если в формулировке леммы 1 заменить условие Q(х.0) ° 0 условием Р(0, у) = 0, то будет выполнено равенство Рт (х, у) ° 0.

Следствие 1. Если число в эллиптических секторов, примыкающих к особой точке

0(0,0) Ат - системы (1), удовлетворяет условию в = 2т - 1, то Р 2(0, у) + Q 2(х,0) ° 0.

Лемма 2. Пусть Q(х,0) ° 0. Если число в эллиптических секторов, примыкающих к особой точке 0(0,0) Ат - системы (1), удовлетворяет условию в = 2т - 1 , то Р'тх (X, У) ° 0.

Доказательство. Так как Q(х,0) ° 0 и в = 2т - 1, то по лемме 1 система (1) имеет вид

т = Рт (х у) +Ф(x, y), Ш =У(x, у) (5)

Ш Ш

где

Рт (х, у) ° 0, ф = о(гт ),У = о(гт), г = ^х2 + У2 .

Согласно работе [3] каждый эллиптический сектор, примыкающий к особой точке (0,0), содержит существенные части, по крайней мере, двух 0 - ветвей кривой

(Ртх(X У) + Ф х(X У))(Рт(X У) + Ф (x, У)) = 0 (6) и существенную часть, по крайней мере, одной 0 - ветви кривой

Рт (X У) +Ф (x, У) = 0 (7)

Пусть (4) - траектория эллиптического сектора, примыкающего к точке покоя (0,0) .

Введем обозначения: /- существенная

часть 0 - ветви кривой (7), состоящая из точек экстремумов функций х(), / - существенная часть 0 - ветви кривой (6), состоящая из точек перегиба функций х^). Очевидно, I п / = 0 . По условию существует не менее 2т - 1 0 -ветвей кривой (7) с существенной частью I и не менее 4т - 2 0 - ветвей кривой (6) с

существенной частью I . Учитывая, что индекс ветвления кривой (7) в точке (0,0) не превосходит 2т (см. [3]), приходим к выводу, что индекс ветвления кривой

Р'па (х, У) + Ф х (х, У) = 0 не менее чем 4т - 3. Поэтому согласно лемме из работы [3] Ртх (х, У) ° 0 . Лемма доказана.

Замечание 2. Условие Ртх (х, у) ° 0 с учетом Рт (х, у) ° 0 равносильно тождеству Рт(х,у) = аут, а е R, а Ф 0. Последнее

тождество является условием касания всех 0 -

траекторий системы (5) оси х в точке (0,0) и 0 - ветвей изоклины бесконечности.

Из работы [3] и доказанных выше лемм следует

Теорема 1.

Если Q(х,0) ° 0, Q2т (х, у) + РтКх, у) ° 0, то для Ат - системы (1) верна оценка (3) числа эллиптических секторов, примыкающих к особой точке (0,0) .

Далее рассмотрим систему

дифференциальных уравнений

Шх

— = Е аих1у] ° Р3(x,у) — = Е ьих1у] ° Qз(хУ)

Шу

т.

i + ] = 0

т,

i + ] = 0

(8)

где а],ь]е К,(Р3’Q3) = 1 Е к- > 0, Е Ь] > 0.

/ + ]= 3 I + ]= 31

Для исследования характера её бесконечно удаленных особых точек воспользуемся преобразованием Пуанкаре х = 1/ 2, у = и / г [6]:

— = ь30 + (Ь21 - а30)и + Ь202 + (Ь12 - а21)и2 + (Ь11 - а20)иг + ¿1022 + (Ь03 - а12)и3 + т (9)

3 —

а00иг ° Р (и, г),

2 2 3 4 3 2 2

+ (Ь02 - а^)и г + (Ь01 - аю)иг + Ь00г - а0^и - а02и г - а0^и г

Шг 22 233 22 3 4 /^/ч

— = - а30г - а21иг - а20г - а12и г - а11иг - а10г - а03и г - а02и г - а01иг - а00г ° Q (и, г)

т.

Введем обозначения:

P2(u, г) = (Ь12 - а21)и 2 + (Ь„ - а20)иг + Ьюг 2

— 3 2

Р3(и, г) = (Ь03 - ап)и + (Ь02 - ап)и г +

23 + (Ь01 - а10)иг + Ь00г

— 2 Q2(u, г)= - а21иг - а20г ,

— 2 2 3

Qз(u, г) = - а^^и г - ациг - а^г

Теорема 2. Система дифференциальных уравнений (8) не имеет на экваторе сферы Пуанкаре [6] сложной особой точки, к которой примыкают более двух эллиптических секторов (более четырех эллиптических секторов), если выполняется условие

Р22(и, г) + Q22(u, г) ° 0 (10) (условие (10) не выполняется, но выполняется неравенство Р32(и, г) + Q32(u, г) ° 0 (11)).

Доказательство. Предположим, что

условие (10) не выполняется, но выполняется

(11), и при этом система (9) имеет сложную

особую точку, к которой примыкают пять эллиптических секторов (согласно [3] число эллиптических секторов не более пяти). Не сужая общности, считаем, что исследуемая особая точка есть В(0,0) . Согласно замечанию 2 к лемме 2, в правой части первого уравнения системы (9) равны нулю все члены, предшествующие одночлену Ь00 г3, Ь00 Ф 0. В правой же части второго уравнения этой системы равны нулю все слагаемые до третьего измерения включительно. Поэтому не выполняется ограничение на коэффициенты

Е Ь5| >0.

Тем

самым

г+ ] = 3

доказана

невозможность существования у системы (9) пяти эллиптических секторов, примыкающих к точке покоя В (0,0) .

Пусть теперь выполняется (10), причем к точке В(0,0) примыкают три эллиптических сектора. Согласно замечанию 2 к лемме 2, система (9) имеет вид

= Ь10г 2 + (¿03 - а12)и 3 + (Ь02 - а11)и 2 г + (¿01 - аю)иг 2 + Ь00г 3 - а03и ' - «02и'г -

Ш

- а01и2г2 - а00иг3 ° Р (и, г),

где

'10

dz

dt

Ф0

— - - a12u2z - a11uz2 - a10z3 - a03u3z - a02u2z2 - a01uz3 - a00z4 ° Q (u, z)

Так как z = 0 - инвариантная прямая системы(12), то нетрудно убедиться в том, что к точке B(0,0) примыкают ровно четыре O - ветви изоклины бесконечности. Поэтому, согласно [3] имеет место равенство

P (u, z) ° (Z -a J (u))( z - a 2 (u))(1 + m (u, z)) , где a i (u) - голоморфные в окрестности точки u = 0 функции, a t (0) = a i (0) = 0, i = 1,2, m (u, z) - аналитическая функция, m (0,0) = 0. Впрочем, отсюда следует, что b03 - a12 = 0 (13).

Можно утверждать, что a 1(u) = r2u2 + ■■■,a 2(u) = s2u2 + •••, где r2s2 Ф 0. Если допустить, что r2s2 = 0, то P(u,0)

содержит наименьшую степень u , не меньшую пяти, это противоречит виду (12).

Покажем, что a12 = 0. Допустим, что это не так. Тогда Q (u,a t (u)) - функция, разложение которой начинается с четной степени u. Это означает, что для всех u, удовлетворяющих неравенству 0 < |u| < d , d - сколь угодно малое положительное число, вектор поля системы

(12) направлен вертикально вверх или вниз на кривой z = a i (u), i = 1,2.

Относительно взаимного расположения кривых z = a 1(u) и z = a 2(u) возможны два предположения:

а) обе кривые расположены в одной из полуплоскостей z > 0 и z < 0 (ради определенности полагаем 0 £ a j(u) £ a 2 (u), \u\ < d );

б) кривые расположены в разных полуплоскостях (ради определенности полагаем 0 £ a j (u), 0 > a 2 (u), \u\ < d ).

В каждом из случаев а) и б) не существует эллиптического сектора, содержащего существенную часть O - ветви кривой u = 0. Следовательно, найдутся два смежных эллиптических сектора, расположенных либо выше, либо ниже прямой z = 0, разделенных осью z .

В случае а) указанные секторы содержат существенные части O - ветви кривой z = a 2 (u), а в случае б) - существенные части O - ветвей либо кривой z = a 1(u), либо z = a 2 (u). В случае а) параболический сектор между двумя смежными эллиптическими секторами содержит существенную часть хотя бы одной O - ветви кривой P (u, z) = 0, т.е. к точке B(0,0) примыкают не менее пяти ветвей изоклины бесконечности системы (12). Это противоречит лемме из работы [3], согласно которой индекс кривой P (u, z) = 0 в точке В(0,0)не более четырех. Аналогично рассуждаем в случае б). Итак, a12 = 0. Возвращаясь к равенству (13),

получаем условие b03 = 0. Это же означает, что в системе (8) нарушено условие X |by I > 0 .

i + j = 3

Теорема доказана.

Следствие 2. Число эллиптических секторов, примыкающих к особой точке B(0,0) системы (9) в случае выполнения (10) не превосходит двух, а при выполнении (11) - не превосходит четырех.

Таким образом, для системы (9) верна оценка (3), полученная В.В. Морозовым [2] при выполнении неравенства m > 1.

Примечания:

1. Bendixson J. Sur les courbes definies par des equations differentielles // Acta Math. 1901 (24). P. 1-88.

2. Морозов В.В. О кривых, определенных дифференциальным уравнением // Труды Казанского института инженеров коммунального строительства. 1936. Вып. 4.

3. Берлинский А.Н. О числе эллиптических областей, примыкающих к особой точке // Доклады Академии наук СССР. 1967. Т. 178, № 4. С. 759-762.

4. Берлинский А.Н. К вопросу о структуре окрестности особой точки двумерной автономной системы // Доклады Академии наук СССР. 1969. Т. 187, № 3. С. 502-505.

5.Пархоменко А.С. Что такое линия. М., 1952. 236 с.

Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. М., 1966. 568 с.