Краевая задача несимметричной деформации цилиндрического резервуара с жидкостью в температурном поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Краевая задача несимметричной деформации цилиндрического резервуара с жидкостью в температурном поле // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2017. - № 2. - С. 60-77. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.2.04

Gur'jyanov N.G., Tyuleneva O.N. Boundary value problem of nonsymmetrical deformation of cyliundrical vessel with liquid in thermal field. PNRPU Mechanics Bulletin, 2017, no.2, pp. 60-77. DOI: 10.15593/perm.mech/2017.2.04

ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА

№ 2,2017 PNRPU MECHANICS BULLETIN

http://vestnik.pstu.ru/mechanics/about/ini7

001 10.15593/регш.шесЬ/2017.2.04 УДК 539.3

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА НЕСИММЕТРИЧНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО РЕЗЕРВУАРА С ЖИДКОСТЬЮ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ

Н.Г. Гурьянов, О.Н. Тюленева

Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань, Россия

О СТАТЬЕ АННОТАЦИЯ

Строится точное решение несимметричной краевой задачи теории упругости для цилиндрического резервуара с жидкостью, находящегося в температурном поле. Термоупругая задача несвязанная, то есть вначале решается уравнение теплопроводности, затем линейная задача теории упругости для кругового цилиндра в перемещениях.

Следует отметить, что до настоящего времени точных решений несимметричной задачи теории упругости в цилиндрической системе координат с учетом температурного поля не существовало. Это объясняется сложностью системы разрешающих уравнений - высокий порядок, переменные коэффициенты. Авторам статьи удалось построить интегрируемые комбинации решаемых уравнений вначале без учета, в настоящей работе - с учетом температурных членов. Для этого в систему разрешающих уравнений вместо соотношения, связывающего объемную деформацию с перемещениями точек цилиндра, было введено дополнительное уравнение относительно объемной деформации. С учетом уравнения теплопроводности удалось свести его к уравнению, полученному ранее без учета температурных членов. В результате задача свелась к последовательному решению каждого уравнения в отдельности. Поскольку дополнительное уравнение было получено дифференцированием остальных уравнений, порядок системы разрешающих уравнений увеличился, что привело к появлению в решении «лишних» постоянных интегрирования. Авторами доказано, что использование в качестве дополнительного условия замененного соотношения между объемной деформацией и перемещениями устраняет этот недостаток.

Построено точное решение краевой задачи для цилиндрического резервуара с жидкостью при условии линейной зависимости температуры и перемещений цилиндра вдоль его оси. Рассмотрен числовой пример, в котором температура внешней боковой поверхности цилиндра меняется только в окружном направлении.

© ПНИПУ

Получена: 26 марта 2017 г. Принята: 26 июня 2017 г. Опубликована: 30 июня 2017 г.

Ключевые слова:

температура, теория упругости, несвязанная задача, перемещения.

© Гурьянов Николай Георгиевич - доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: gng.ggb@mail.ru Тюленева Ольга Николаевна - кандидат физико-математических наук, доцент, e-mail: tdv.ton@mail.ru

Nikolay G. Gur'jyanov - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, e-mail: gng.ggb@mail.ru Olga N. Tyuleneva - CSc in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, e-mail: tdv.ton@mail.ru

BOUNDARY VALUE PROBLEM OF NONSYMMETRICAL DEFORMATION OF THE CYLINDRICAL VESSEL WITH LIQUID IN THE THERMAL FIELD

N.G. Gur'jyanov, O.N.Tyuleneva

Kazan (Volga region) Federal University, Kazan, Russian Federation

ARTICLE INFO ABSTRACT

We framed a precise solution of the nonsymmetrical boundary value problem of the elasticity theory for a cylindrical vessel with liquid placed in the thermal field. The thermoelastic problem is unlinked, i.e. at first we solve the thermal conductivity equation, and then the linear problem of the elasticity theory for a circular cylinder in displacements.

It should be noted that until the present time there were no precise solutions of non-symmetrical problems of the elasticity theory in the cylindrical coordinate system with a consideration of the thermal field. It is explained by the complexity of the system of resolvent equations, such as high order, variable coefficients. The authors of the article managed to form integrable combinations of resolvent equations in this work, at first by taking no account and then considering the thermal fields. For this purpose an additional equation related to a volumetric deformation was introduced into the system of resolvent equations instead of the relator connecting the volumetric deformation with the movement of the cylinder points. When we took into account the heat conduction equation, we managed to gain the equation which had been obtained earlier without the consideration of the thermal elements. As a result, the problem was brought to a successive solution of each equation separately. Since the additional equation was obtained by the derivation of the rest of the equations, the order of the resolvent equations system became higher which resulted in «excess» constants of the integration. The authors proved that the use of the replaced correlation between the volumetric deformation and displacements as an additional condition eliminated this disadvantage.

We formed a precise solution of the boundary value problem for the cylindrical vessel with liquid upon the condition of the linear dependence of temperature and displacements of the cylinder along its axis. The numerical example was considered where the temperature of the external side area of the cylinder is changed in the circumferential direction.

© PNRPU

Решением задач деформации цилиндрических конструкций в температурных и силовых полях ученые всего мира занимаются более 100 лет. Рассматривались в основном одномерные и двумерные задачи (стержни, балки, пластины, тонкие оболочки, осесиммет-ричные задачи теории упругости, бесконечно длинные цилиндры).

К середине прошлого века были построены разрешающие уравнения, описывающие деформацию оболочек вращения, а также получены точные решения простейших задач упругости и термоупругости, являющиеся в настоящее время классическими [1-13]. Абсолютное большинство точных решений реализовано в декартовой системе координат, так как уравнения в этой системе наиболее просты. Построено несколько решений осесимметричных краевых задач теории упругости в цилиндрических и сферических координатах [21-32]. Точных решений трехмерных краевых задач теории упругости практически не было. Решены были только уравнения относительно объемной деформации цилиндра и шара [9]. Это было связано с непреодолимыми на тот момент трудностями построения интегрируемых комбинаций разрешающих уравнений как относительно перемещений, так и напряжений.

С последней четверти XX века появилось большое количество приближенных решений, в том числе и трехмерных задач, основанных на численных методах. Численные решения позволили существенно увеличить число рассматриваемых областей, в том числе сложных конфигураций. Поскольку при численном решении не важно, в какой системе координат решать краевую задачу, использовалась декартова система координат.

Интерес к аналитическим решениям задач появился, когда встал вопрос о достоверности численных решений. Проверка могла быть осуществлена либо экспериментом, что затруднительно по финансовым и иным соображениям, либо сравнением с точными решениями.

Received: 26 March 2017 Accepted: 26 June 2017 Published: 30 June 2017

Keywords:

temperature, elasticity theory, unlinked problem, displacements.

Для увеличения числа аналитических решений краевых задач появилась необходимость получать решения в иных системах координат. Однако преодолеть трудности решения уравнений и выполнения краевых условий, близких к реальным, удалось не сразу.

Привести систему разрешающих уравнений трехмерной теории упругости в цилиндрической и сферической системах координат к отдельным уравнениям относительно каждой искомой функции и проинтегрировать их удалось авторам данной статьи [14-20]. Опубликованных работ по этому направлению нет. Настоящая работа обобщает эти результаты на задачу теомоупругости.

В цилиндрической системе координат а, |3 , у рассматривается несвязанная задача термоупругости для цилиндрического резервуара с жидкостью, причем первая координата отнесена к внешнему радиусу резервуара Я, третья - к его высоте Н, вторая координата - есть угол поворота вдоль направляющей. Таким образом, исследуемая область I < а< 1, - л:<Р<л,0 <у< 1, причем

Рис.1. Цилиндрический

резервуар Fig.1. Cylindrical vessel

t = —, г - радиус внутренней боковой поверхности. Я

Система разрешающих уравнений задачи термоупругости может быть представлена следующим образом [8]:

ДТ = 0, Д9 = 0,

Aw +

R

f A о

V а2

A- а2 J

(1 - 2о) R

(1 - 2») R

1 50-Л.5Т-

8 СУ 8 СУ

"ае- T

5а 5а

= 0.

-4 = 0.

а2 5р

(1)

(1 - 2»)

5u = о.

а2 5р

1 59-Д5г а 5Р а 5Р

Здесь и , V, w - перемещения вдоль координаты а, окружном Р и вдоль у соответственно (рис. 1); 9-объемная деформация; Т - температура тела; ат - температурный коэффициент линейного расширения; Е, и - модуль упругости и коэффициент Пуассона; р -плотность жидкости.

2 (1 + и)(1 - 2и)р Н

H

= —; л = 2 (1 + о)ат, f =

R

A =

52 1

5 1 52

E

1 52

5а2 а 5а а2 5р2 82 5у2

(2)

Первое уравнение системы - есть уравнение теплопроводности для несвязанной задачи термоупругости, второе - уравнение относительно объемной деформации, включенное в систему разрешающих уравнений вместо соотношения

0 =

1 R

1 5(а u)

а

5а

1.5V.

а 5р

1 5w 8 5у

(3)

используемого в дальнейшем в качестве дополнительного условия для определения значений «лишних» произвольных постоянных, появившихся в решении в результате повышения порядка системы после включения в нее уравнения А9 = 0 [14].

Точное решение системы (1) строится в предположении, что температура и перемещения линейны относительно координаты у. Этот вариант встречается при исследовании деформации резервуаров, заполненных жидкостью.

Периодическое по р решение системы (1) ищется в виде

T (а, р, у) = To (а, у) + T (а, у) cos р, 0 (а, р, у) = 0о (а , y) + Gi (а , у) cos р,

w (а , р, у) = Wo (а, у) + w (а, у) cos р, (4)

u (а , р, у) = Uo (а, у) + u (а , у) cos р, v (а, р, у) = v (а, у) sin р.

Замечание. Возможны другие варианты решения, когда меняются местами синусы и косинусы, а также комбинация этих решений.

После подстановки соотношений (4) в систему уравнений (1) приходим к двум системам уравнений

( д2

1 д 1 д

2

уда а да s ду2

T = 0 1о и

( д2

1 д 1 д

2

уда а да s ду2 у

Go= о.

' д2

1 д 1 д

2

да2 а да s2 ду2

R

д

д2 1 д 1 1 д2

и

Г д2

да2 а да а2 s2 ду2 1 д 1 1 д2 ^

(1 -2u)s ду

R д

(1 - 2и) да

(Go -Л To), (Go -Л To)

(5)

да2 а да а2 s2 ду

2

Г д2

1 д

1

T = o,

1 д2 ^

1 д

1 д

2

уда а да а s ду2 у

01= o.

уда а да а s ду2 у

R

(1 - 2u)s ду

(01 -Л T )

(6)

д2

1 д

1 д2

да а да а s ду

д2 1 д 1 д2

(+"1)=-(T-^GH i(01 -Л ^

да а да s ду

(u1--Л T1).

Следует отметить, что последние два уравнения системы (6) получены как сумма и разность четвертого и пятого уравнений из (1).

С учетом предположения о линейности перемещений в направлении у считаем

Тт (а, у) = Тто (а) + Гт1 (а) у, 0М (а, у) = 0^ (а) + 0я1 (а) у,

™т (а > у)= ^то (а)+ (а)у , (7)

ит (а , у)= ит0 (а)+ ит1 (а) У, ^т (а , у) = ^т0 (а) + (а) У, (т =

Gur'jyanov Ы.О, Tyuleneva О.Ы. /РЫЯРиМескспСБиПеПп 2 (2017) 60-77

После подстановки соотношений (7) в уравнения (5) и (6) получаем серию обыкновенных дифференциальных уравнений. В результате их интегрирования имеем

Т00 (а) = Б00 + Б020 1п а , Т01 (а) = К + Б021 1п а ,

900 (а) = + А20 1п а , 901 (а) = АШ + А021 1п а ,

Я

^ (а)=-(Г2и>

1 2 1 1 2 2 а 2 Ст + С0а 1п а + ^ 1\м а 2 + 401 — (1п а-1)

(а) = -(1 - 1)о(( + С0211п а),

wn

и00 =

и01 =

(1 - 2и)

Я

2 (1 - 2и) Я

1

2 (1 - 2и)

А^ а + А020 —+ 1200 а 1п а а

А^ а + А02 — +а 1п а а

Если после интегрирования определить значения и10, и и11, v11, то

1^/4^1 1

Т0 (а) = Б1 а + Б2 -, Ти (а) = Б,1, а + Б2 -, а

а

910 (а) = < а + Д2 -, 9„ (а) = 4\ а + Л2 -аа

Я

W10 =-

1 . 1 Г1

1

(1 - 2и)

С\0 а + С2 —ъ—11„аъ + —4 а 1п а

10 11 а 8

Я

/

= -

С1 а + С 2 1 11 11 а

Я

и10 =

4 (1 - 2и)

Я

V10 =-

4 (1 - 2и)

Я

и11 =-

4 (1 - 2и)

Я

V11 =-

(1 -2и)в ,

((10 + 10) а2 +А20 Л + 4, + Ао + А41п 4 7 а

( ( -110 ) а2 + А + 120 - А0 - А0 1п а

((1! +4 ) а2 + А -г +А + А + А 1п а

(а -А) а2 + А -г+4 - А - А: ь.

а

а

а

4 (1 - 2и)

Здесь Актп, Б^п, Сктп, А^ - постоянные интегрирования

4 = Л* -л Бк .

тп тп I тп

к

тп '

(8)

(9)

С учетом соотношений (4), (7) дополнительное условие (3) приводит к тождествам

000 = R

1 d (a u00 ) 1

a d a

+ — w,

01

0™ =

1 d (a u01 )

01

R a d a

01O = — 10 R

1 d (a u10 ) 1

a d a

-v10 +- W11 a s

, 0„= R

1 d (a u11 ) 1

a d a

-V1 a

(11)

Подставляя в первые два из них соотношения (8), получаем

2 (1 - 2и)(( + Â0 ln a)) + L2oo (2ln a + 1) + A( + Q2 ln a) = 0, 2 (1 - 2и)(( + Â1 ln a)2D01 + L201 (2ln a +1) = 0,

откуда следует

2 (1 - 2u) 4^0 + 2 D1« + L200 + |r Clm = 0, (1 - 2и) Â0 + L0, + ^ ^ = 0, 2 (1 - 2u)Â + 2 D + L01 = 0, (1 - 2u) Â02 + L0 = 0. А с учетом (10)

2(1 -2u)Â00 + Â00 + 2D00-лB^ +1.Clm = 0, 2(1 -o)Â,-Л^00 + = 0. [2(1 -2и)< + Â02 ] + 2D01 -лB> = 0, 2(1 -и)2 -ЛВЦ = 0.

В результате

J- C = -

2 ^01

(1 -2o)4^ +2 Â0

-D0,0 + ЛB00, \C02 =-2(1 -o)Â20 + лВ

2 s

D0,=-(1 -2«) ^^ 4 =

B01 .

Из третьего условия (11) имеем

4(1 -2и) Г< a + Â2 -1 '1 + 3((10 + 4)a-D2 -L + (l20 +D^)-1 + D

^ a ) 4 7 a v —7 a

ln a + 1)

a

+((-LÎ0)a+D2 a-3+(l20-D0)a

Очевидно,

D 4 ln a 4

a

a

+—C a + c2

= 0.

a

4 (1 - 2u) Â + 4D1 + 2L110 + 4C1 = 0, 4 (1 - 2u) Â2 + 2+ D + SC2 = 0 ,

s s

(3-4u)Â + 2D -лB, + 4Ch = 0, (3-4u)Â2 -лB2 + 2D + = 0:

s 2 s

1C1 =Д B1 (3 - 4u) Â1

s2 C11 2 B10 2

10 ^10 > 2 11

L C 2 =Л B ( 3 - 4u) Â2 - 1D4

-An - J-Jl П •

Â1 - D —C2 =— B2 -

f\ — 1 Г\ 1 -i ^' 1 1 Л

10

10 4 10

Последнее условие из (11) приводит к

4(1 -2и))А1\ а + А2 -] + 3(( + А)а-А-1 + ((1 + А) + А4 ~-^ +

\ а) 4 7 а3 4 —' а а

1п а + 1

+ (( - А )а + А121 -1 + (¿2: - А131 )- - А141

4 ' п \ -/ г/

1па^ 0.

а 4 —' а а

2 (1 - 2и) А111 + 2А111 + А = 0, (3 - 4и) А111 + 2А111 - л Б111 = 0 ,

2 (1 - 2и)А2 + А + 2 А41 = 0, (3 - 4и) А2 + 2 А141 -л Б2 = 0,

А111 = ^Б-(^А111 , А141 = 2лБ2 -2(3-4и)А2 .

Таким образом, получены соотношения, определяющие значения «лишних» постоянных интегрирования

1 С1 =-

2 01

8

(1 -2и)А00 +2 40

-А5с +лБ020 , -2С =-2(1 -и) А20 +лБ020 , 2 8

1С1 Б1 (3 - 4и) А1 - А1 1С2 = Л Б2 (3 - 4и) А2 _ 1

2 11 о 10 г\ ^10 М0 > 2 11 0 ""10 0 ^10 , -

8 2 2 - 2 2 4

(12)

А =лБ-^^АА А4 = 2лБ2 -2(3-4и)А2.

При исследовании деформации резервуара с жидкостью одним из обязательных граничных условий является условие, накладываемое на напряжение ааа. Это напряжение определяется из соотношений Дюгамеля-Неймана и в принятых обозначениях имеет вид

Е Г 2 (1 - 2и) 5и 1

а =—-—--— + 2и9 - л Т \.

аа 2 (1 + и)(1 -2и) [ Я 5а ' /

Соотношения (4), (7), позволяют считать

, Р , У) = °аа00 () + а-а01 (-) У + [а-а10 (-) + а-а11 (-) У] С°8 Р

Тогда

Е Г 2 (1 - 2и) йи л 1 , ч

а--тп =--7-ТТ-71----- -Г- - 2и9тп +л Ттп \, (т; п = 0;1).

2 (1 + и)(1 -2и)[ Я йа тп \ у !

После подстановки входящих в эти уравнения соотношений с учетом (12) получаем

Е А ^ 1

а

А -А* — -2иА^0 +

аа00 2(1 + и)(1 -2и) [ 00 а2 00 + [1 + (1 -2и)1па] А00 +л(Б00 -А)}.

о„

E

2 (1 + и)(1 -2и) + [1 + (1 - 2и) ln а] А2, + л(, - В2т)},

E | ^1 1 4 1

2 (1 + и)(1 -2и)

Ц а- Ц20 — + Ц

10 3

а

2а

+ (1 - 2и) А^а - 2и А,2 -1 + л В2 -1 [,

а а I

(13)

E

1- 7^2 1 , 7^4 1

аа11

2 (1+и)(1 -2и)"[ аз+

+ (1 - 2и) А111а - 2иА2 1 + л В12111.

а а ]

Решаем краевую задачу: цилиндрический резервуар с жидкостью находится в несимметричном температурном поле.

Для температурной задачи принимаем следующие краевые условия. Оба торца резервуара и его внутренняя боковая поверхность термоизолированы от внешней среды, то есть

дТ (а , р , у)

5а

= 0.

дТ (а, р, у)

ду

= 0.

дТ (а , р , у)

у=0

ду

= 0.

у=1

Внешняя боковая поверхность имеет температуру

Т(1, р , у) = ©00 +©10 СС8р , параметры ©00, ©10 постоянны. С учетом соотношений (4), (7), (8), (9) имеем

Т(а , р , у) = Т00 (а) + Т01 (а) у+ [^0 (а) + Т11 (а) у] с°8 р =

: Bq0 +B200 ln а + +B02 ln а)у+ Blw а + В,2 1 + 1 B,1, а + В,2 1 |у 4 7 [ а ^ а)

дТ (а , р , у)

да

■=B02!+Bh1 у+

а

а

Bo - b2A+1 в,1, - B2, ЛI у

а

а

cos р , cos р ,

= B0, + B0,ln а +

ду

B,1, а + B,2, -11 11 а

СОБ Р.

Из первого граничного условия

B00 +B-, у + [B-0 +в,20 +(в,1, + в,2, ) у] cosр - ©00 +0,0 cosр : B-0 = ©00 , BQi = 0 , B-0 + в120 =©10 , B1i + B121 = 0 .

Из второго

в0с-+B2i- у+

B-0 - B120 t2 +

f

Bi - B2- - |у

cos р = 0,

а=t

откуда следует

Б020 = ° Б021 = ° Б110 - Б120 ^ = ° бг: - Б121 ^ =

Тогда

© Б =

1 Г

< - Б120 -Т = 0 Б1 + Б120 = ©10 , ^ Б120 = ТГ~Л t (t2 +1)

б1 +Б121 = 0, Б1 -Б21 = 0, ^Б: = Б2 = 0.

(2+1)©^

В итоге

Б10 =©00 , Б01 =0, Б020 = ° Б021 = 0, Б111 = Б121 = 0,

Б10 =

(2+1)

© Д1 =

10 10

(t2+1) ©^

(14)

то есть в рассматриваемой краевой задаче В^, Б110, Б120 не равны нулю, остальные - нули.

5Т (а , р, у)

При полученных значениях постоянных интегрирования ---- = 0, следова-

5у

тельно, все краевые условия температурной задачи выполняются.

Граничные условия упругой задачи принимаем в следующем виде:

а-а^, Р, у) = рН(1 -у), w(1, Р,0) = 0, w(1, Р,1) = 0, w(t, Р ,0) = 0, w(t, Р ,1) = 0, и(1, Р,0) = 0, и(1, Р,1) = 0. v(1, Р,0) = 0, v(1, Р,1) = 0, v(t, Р,1) = 0 v(t, Р,0) = 0. Кроме этих условий имеем соотношения

1

С1 = -

2 ^01

(1 -2и) А10 + 2А0

-А

1

С021 =-2 (1 -и) А00,

А =-(1 -2и) А01, А02 = 0.

С1 =Д Б1 (3 - 4и) А1 - А1 1С2 =Д В2 -(3 - 4и)

1 и Л Г\ Г\ /1 Л 1 /1^11 и Л Г\

2 ^11 0 -"10 8 2

-40 -^10 > 2 11 10

8 2

А2 -1 А 2 А10 4 А10,

А1 А1 А11 = 2 А11

которые с учетом (14) следуют из (12). Из (4), (7) и (13) имеем

А =-2 (3 -4и) А2.

w(а , Р , У) = Woo (а) + w0l (а) У + [^0 (а) + wll (а) У] с°8Р = Ы00 (а) + И01 (а) у + [иш (а) + ип (а) у] оо8Р, v(а , Р , У) = [^0 (а) + vll (а) У] 81п Р,

(15)

(16)

2

°аа (а , ß , У) = аа00

(а) + ст

аа01

(а)у + [а

аа10

(а) + а

аа11

(а)у]cosß .

В результате из условий (15) получаем

W00 (1) + w10 (1) cos ß = 0 , ^00 (1) + ^01 (1) + [^10 (1) + wu (1)] cos ß = 0, w00 (t) + w10 (t) cos ß = 0 , w00 (t) + w01 (t) + [w10 (t) + w11 (t)] cos ß = 0.

u00 (1) + u10 (1) cos ß , u00 (1) + u01 (1) + [u10 (1) + u11 (1)] cos ß = 0 , V10 (1) = 0, V10 (1) + vn (1) = 0, V10 (t) = 0, V10 (t) + v„ (t) = 0,

ааа (t , ß , У) = ааа00 (t) + °аа01 (t) У + [°аа!0 (t) + °аа!1 (t) У] cos ß = РН (l - У) , откуда следует

W00(1) = 0, W10(1) = 0, W01 (1) = 0, W11 (1) = 0, W00(t) = 0, W10(t) = 0, W01 (t) = 0, W11 (t) = 0,

U00 (1) = 0, U10 (1) = 0, U01 (1) = 0, U11 (1) = 0, (17)

V10 (1) = 0, V11 (1) = 0, V10 (t) = 0, V11 (t) = 0,

ааа00 (t) = РН , ааа01 (t) =-РН , ааа10 (t) = 0, ааа11 (t) = 0. Из w01 (1) = 0 и w01 (t) = 0 с учетом соотношений (8) имеем систему Сщ = 0, C01 + C^ ln t = 0, откуда С^ = Сщ = 0. Теперь из второго соотношения (16) получаем Ао = 0, из первого Д^ =-(1 -2и) А^0. Из третьего и четвертого имеем Du =-(1 -2и) Аэ1 , А21 =0.

Из w00 (1) = 0 и w00 (t) = 0 с учетом (8) получаем С\0 +1А = 0,

С00 + С020 ln t + 4 А12 = 0, откуда следует

C1 = — А1 С2 = (t -1) А1 4 4lnt

Из w11 (1) = 0 и w11 (t) = 0 с учетом (9) имеем систему

С1 + С2 = 0 С1 t + С21 = 0

откуда следует

С1 = С2 = 0

После чего из оставшихся соотношений (16) имеем

Do = ^B0-—, D40 = 2Л B2 -2(3-4о)420,

А1 а,1:, А4 =-2 (3 -4и) А,2, .

Из w10 (1) = 0 и w10 (t) = 0 с учетом (9) приходим к системе уравнений

С + С0 +1 л,1: = 0, С t2 + С2 + 8 41/ + 2 А12lnt = 0,

откуда следует

С:0 = 2 2 - 1)А:: 8 А:: ( +1), С:0 = 2 (2 - 1)А:: + 8 А". Из и00 (1) = 0 и и01 (1) = 0 с учетом (16) приходим к системе

откуда следует

A¿0 +А020 = 0, Аи +А02х = 0.

А2 = -А1 А2 =-Ах

или

А020 = -А10 =(1 - 2и) Д10, А02 = -А11 = (1 - 2и) Ali •

Из °aaQQ (t) = РН и °аа01 (t) = -РН Имеем

А1а - А001 - 2uA¿0 + ЛВ10 = -f, А11 - А111 - 2u A¿1 = f,

1 (t2 +1) 1 1 1 (t2 +1) 1

- 2uA00 +ЛВ10 =-f, -2u A01 = f,

(t2 +1) (t

-(1 - 2^4, ^^ - 2uA00 +лВ10 =-f, -(1 -2и)Л01^2-2иА01 = f,

12 (f + лА) A = t 2f

A1 = v ■ .1 =-

00 Í 2 1 ~ \ ' 01

(í2 +1 - 2o) ' 01 (í2 +1 - 2o) ■

Из м10 (l) = 0, v10 (l) = 0 , v10 (í) = 0 с учетом (9) следует

A + А - л В0 + Di20 + А2 - Л В2 + Di30 = 0, A - Al + Л В0 + A2 + A2 - л В2 - Ai30 = 0,

((0 - AI0 +Л BI0) í4 + A2 +(Л2 -Л Bi20 - AI0) í2 - A4 í2ln í = 0 .

Суммируем первые два уравнения и вычитаем из первого уравнения второе:

Al + Al + Л2 -л А = 0, X-Л К + Al = 0 AI0 + A2 = - Л2 + Л В! , Al = Л В0 - Л,. Ранее было установлено, что

A = ЛBI0 -^-Т^AI0, Ai40 = 2Л В2 + 2(3-4и)Ai20,

(18)

следовательно,

До + Д = -До +л В2, п2 =-2 В10 +

1, (3-4и) ,1

А10 А10 +Л В10 5

Д = л (2В2 - <) + - А2, Д =лв?0-Д10-

1 ^2 _1)

Таким образом5 С00 = - - 4я5 С020 =----

4 41п1

с1 = -

^10

121п 1 А2- 1 Д1 (.2 +1) с 2 = 121п 1 А2 + ^ 2(12 — 1) 1 8А11 (1 + 1) С10 = 2(12 — 1) 1 + 8

А1 С1 = С2 = 0

П = Д В1 (3-4и) А1 Д2 =Д(2В2 -В1 ) I (3-4и) А1 -А2

Д10 = 2 В10 2 Аю, Д10 = 2 V В10 пю)1 2 А10 Аю ,

Д =ЛВ10-А10, По = 2лВ2-2(3-4и)А2,

Д11 = ^ Ап '

Д = -2 (3- 4о)А2.

Из третьего уравнения системы (18) с учетом (19) получаем

л В1 (3-4и)А1 -А1 +л В1

2 Вю 2 Аю Аю 1 Вю

и , л 2

( 3-4Ч>

Г + - (2В120 - В10) + ^ 'А1 - Д20 +

+ ((- л В2 -л В0 + < )1 2- [2л В2-2 (3-4и)А10 ] 121п 1 = 0,

или

(19)

[(3 - 4и) (12 +1) + 212 ] (12 -1) А110 - 2 [12 -1 + 2 (3 - 4и) 121п 1 ] А2

- л [3 14 - 212 -1] Во + 2л [2121п 1 + 12 -1] В120 = 0 ,

то есть одно из уравнений для определения оставшихся постоянных интегрирования А110, А120. Выполним условие оаа10 (1) = 0 . Подставляя в

= Е Г 4 (1-2и) с1ы,

аа10 4 (1 + и)(1-2и) используя соотношения (9), получаем

Е

Я

d а

-4и0ю + 2л Тк

°аа10 (1) 4(1 + и)(1-2и)

2 ((10 + А10-л В1 )1-Д |

+ Д 1 - 4и ^ А101 + А2 1 ^ + 2 л ( В?0 1 + В2 1 | = 0, 2 Д14 - 2Д0 + Д012 + 2 (1 - 2и) А11014 - 4и А^012 + 2л В^012 = 0, 2 Д14 - 2Д0 + Д012 + 2 (1 - 2и) А11014 - 4и А2 12 + 2л В2 12 = 0.

С учетом (19) приходим к уравнениям

2ДУ4 - 2D120 + D4 t2 + 2 (1 - 2и) 40t4 - 4и А12012 + 2л В12012 = 0, [Л Во -(3 - 4») А110 ] t4 - л (2B2 - Bl) -(3 - 4и) Al + 2Д2 + + [2л В2 - 2 (3 - 4и) А2 ] t2 + 2(1 - 2и) A110t4 - 4и А2 t2 + 2л В2 t2 = 0, [-(3 - 4и- 2 + 4и) t4 -(3 - 4и)] А110 + [2 + (-6 + 8и- 4и) t2 ] А120 +

+ л(t4 +1) Во +л(4t2-2) В2 = 0, (t4 + 3 - 4и) А110 + 2 [(3 - 2и) t2 -1] А2 -л(t4 +1) Во - 2л (2t2 -1) В120 = 0 . Итак, имеем пару уравнений относительно Al, До:

А110 [(3 - 4и) (t2 +1) + 2t2 ] (t2 -1) + 2Д20 [-t2 +1 - 2(3 - 4и) t2 ln t] -- л В10 (3t2 +1) (t2 -1) + 2л В120 (2t2 ln t +12 -1) = 0,

(t4 + 3 - 4и) А110 + 2 [(3 - 2и) t2 -1] А2 - л (t4 +1) В1 - 2л (2t2 -1)В2 = 0 . Выполним оставшиеся граничные условия из (15) u11 (1) = 0, v11 (1) = 0, v11 (t) = 0,

aM1 (t) = о, добавив к ним соотн^ешю D' ^í3-^а;, , D4 =-2(3^ из

(16). Из (14) имеем В111 = В121 = 0, откуда следует А = Д\ , А = Д2 . Из указанных граничных условий имеем систему шести однородных уравнений

DÍ1 + Д + D + Д + А = 0, D1 - Д + D2 + Д - А = 0,

( А - Д\ ) t2 + D2 1 + Д - А - D4 ln t = 0,

D111t - D2 -3 + D4 ¿ + (1 - 2и) A111t - 2иД 1 = 0, D111 А\ = о, D4 + 2(3 - 4и) А2 = 0,

решение которой единственное, следовательно, нулевое:

Д = Д = Di = Dx2 = Di = Ц\ = 0.

Таким образом, постоянные интегрирования А110, Ах20 определяются из системы (20), значения остальных постоянных интегрирования имеют вид

В0о = ©оо, В0о = ° К = Во21 = ° В1 = В121 = 0 ,

t2 1

В 2 = Q в1 = ' ^

10 л2 Л w10 > 10 Л 10'

(t2 +1) (t2 +1)

Аоо = ~Т"2 + В~Т~, Аоо = 0, А01 = -71 2f „ \ , А01 = 0, Д11 = Д11 = 0, (t2 +1 - 2и) (t2 +1 - 2и)

(12 -1)

С1 = - 1 А1 С2 =- -_- А1 С1 = С2 = 0

4 41п1

С1 = С2 = 0 С1 = С2 = 0 10 10 11 11

Д =- (1- 2о)А1«,... П0 =(1-2о)А10,^ П =- (1- 2и)Д21 = (1-2и)А11,

П2 =л(2В2 -В10)4и)

П =лВ1 -Ы А1 П 2В10 2

-А1 - А2

10 10

Д30 = л В110-А10, Д40 = 2л В2 - 2 (3 - 4и) А2 , П = П = 0.

Теперь

/

1

В^0 а + В2- I соб р, а У

Т (а, р, у) = В00 +

0 (а, р, у) = А^ + А у + ГА а + А2 -] соб р,

V аУ

^ (а , р, у) = -

Я

(1 - 2и)

С00 + С00 1п а + "4 А01 а

и

(а, р, у) = -

Я

2(1 -2»)1 П°0 а + П» а + [П а + П £]г +

( + ¿10 )а2 + Ц2„ -1

а

+ ^0 + П30 + П4 1п а

2 10 10

соб р |

V(а , р , у) = -

Я

4 (1 - 2и)

((10-¿10) а2 + Д А + ¿20 -П30 - П41па

а

эт р,

Е

суу ='

[0- (1 + и) аТТ ].

(1 + и)(1 -2 и)

Вычисления проводились для следующих параметров задачи:

Я = 10м, г = 9,95 м, Н = 30 м, Е = 7,0-104 МПа, и = 0,34;

1

р = 0,75-103 -кг3, аТ =23-10-6

©00 = 60 °С, ©ю = 25 °С.

м град

Оказалось, что перемещения V, w пренебрежимо малы, как и смещение и точек наружной боковой поверхности. Перемещения и точек внутренней боковой поверхности практически не меняются по высоте и не превышают 0,004 толщины стенки резервуара.

Максимальным при указанных параметрах задачи является напряжение ауу, и меняется оно только по окружной координате, практически не завися от а и у. На рис. 2

представлено распределение напряжения боковых поверхностей резервуара.

ауу(а ,0,0,5)

Е

по а от внутренней до внешней

Рис. 2. Распределение напряжений по координате Fig. 2. The stress distribution on coordinate

На рис. 3 показано распределение того же напряжения по окружной координате от Р = 0 до р = я.

Рис. 3. Распределение напряжений по координате Fig. 3. The stress distribution on coordinate

Остальные напряжения значительно меньше.

Без учета влияния температуры качественная картина та же, но максимальные напряжения на 1-2 порядка меньше.

Итак, точное решение поставленной краевой задачи построено.

Библиографический список

1. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 939 с.

2. Ляв А.Э.Х. Математическая теория упругости. - М.-Л.: ОНТИ, 1935. - 676 с.

3. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости - М.: Физ-матлит, 1978 - 462 с.

4. Коваленко А.Д. Избранные труды. - Киев: Наукова думка, 1976. - 762 с.

5. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.

6. Новацкий В. Вопросы термоупругости - М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 364 с.

7. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969. - 695 с.

8. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. - М.: Наука, 1981. - 688 с.

9. Рекач В.Г. Руководство к решению задач по теории упругости. - М.: Высшая школа,

2010. - 227 с.

10. Снеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости. - М.: Физматлит, 1961. - 219 с.

11. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. - М.: Наука, 1975. - 575 с.

12. Хан Х. Теория упругости. - М.: Мир, 1988. - 343 с.

13. Термоупругость тел при переменных коэффициентах теплоотдачи / Я.С. Подстригач, Ю.М. Коляно, В.И. Громовык, В.Л. Лизбень. - Киев: Наукова думка, 1977. - 158 с.

14. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Краевые задачи теории упругости для шара и цилиндра. -Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2008. - 207 с.

15. Тюленева О.Н., Гурьянов Н.Г. Краевые задачи термоупругости для шара. - Saarbucken : LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012. - 160 с.

16. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Пространственная задача термоупругости для сферического купола // Теория и практика современной науки: сб. ст. XV Междунар. науч.-практ. конф. - М., 2014. - С. 10-17.

17. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Задача термоупругости для шара // Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики: сб. тез. докл. X Всерос. съезда. - Н. Новгород,

2011. - № 4 (4). - С. 1466-1467.

18. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Двоякопериодическое решение задачи термоупругости для полого шара // Современные проблемы механики: сб. ст. междунар. науч.-техн. конф. - Ташкент, 2009. - Т. 1. - С. 283-288.

19. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Точное решение несимметричной задачи теории упругости для цилиндра в температурном поле // Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики: тез. докл. XI Всерос. съезда. - Казань, 2015. - С. 1106-1108.

20. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Сферический купол в температурном поле // Известия вузов. Авиационная техника. - 2013. - Т. 1. - С. 8-12.

21. Попов Г.Я., Белкасем К. Точное решение смешанной неосесимметричной краевой задачи теории упругости для кругового цилиндра конечной длины // Доклады Академии наук. - 2010. -Т. 433, № 1. - С. 48-54.

22. Попов Г.Я. Осесимметричные краевые задачи теории упругости для цилиндров и конусов конечной длины // Доклады Академии наук. - 2011. - Т. 439, № 2. - С. 192-197.

23. Карташов Э.М., Кудинов В. А. Аналитическая теория теплопроводности и прикладной термоупругости. - М.: ЛИБРОКОМ, 2012. - 656 с.

24. Фастовская Т.Б. Существование глобальных решений нелинейной задачи термоупругости // Актуальные направления научных исследований XXI века: теория и практика. - Харьков, 2014. -Т. 2, № 4. - С. 125-127.

25. Chanyu Shang Global attractor for the Ginzburg-Landay thermoviscoelastic system with hinger boundary conditions // Math. Anal. Appl. - 2008. - Vol. 343. - P. 1-21.

26. Саталкина Л.В. Несвязанная задача нелинейной термоупругости для тела с сингулярной границей // Вестник ТулГУ. Актуальные вопросы механики. - Тула, 2009. - Вып 5. - С. 157-160.

27. Родионов А.Ю. Точные решения уравнений термоупругости // Институт прикладной механики Владикавказского научного центра РАН. - 2009. - Т. 11, № 1. - С. 54-62.

28. Шевченко А.В. Применение вариационного метода при расчете замкнутых цилиндрических оболочек с учетом температурных деформаций // Вестн. Белгород. гос. техн. ун-та им. В.Г.Шухова. - 2005. - № 10. - С. 492-494.

29. Байден О.В., Шаповалов С.М., Шевченко А.В. Учет температурных деформаций при расчете замкнутых цилиндрических оболочек вариационным методом // Строительная механика и расчет сооружений. - 2009. - № 5. - С. 6-9.

30. Волков А.Е., Кухарева А.С. Расчет напряженно-деформированного состояния в цилиндре из TiNi при охлаждении под нагрузкой и разгрузке // Изв. РАН. Серия физическая. - М.: Наука, 2008. - Т. 72, № 9. - С. 1337-1340.

31. Иванов А.С., Ковалев В.И., Цаповская О. А. Температурные напряжения в сплошном длинном цилиндрес переменным объемным тепловыделением // Проблемы машиностроения и автоматизации. - М., 2008. - № 1. - С. 111-114.

32. Амосов А.А., Жаворонок С.И., Леонтьев К.А. О решении некоторых задач о напряженно-деформированном состоянии анизотропных толстостенных оболочек вращения в трехмерной постановке. // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2004. - Т. 10, № 3. - С. 301-310.

References

1. Lur'e A.I. Teoriia uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow, Nauka, 1970, 939 p.

2. Liav A.E.Kh. Matematicheskaia teoriia uprugosti [Mathematical theory of elasticity]. Leningrad-Moscow, Ob"edinennyi nauchno-tekhnologicheskii institut, 1935, 676 p.

3. Aleksandrov A.Ia., Solov'ev Iu.I. Prostranstvennye zadachi teorii uprugosti [Spatial problems of the theory of Uruguay]. Moscow, Fizmatlit, 1978, 462 p.

4. Kovalenko A.D. Izbrannye trudy [Selected works]. Kiev, Naukova dumka, 1976, 762 p.

5. Novatskii V. Teoriia uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow, Mir, 1975, 872 p.

6. Novatskii V. Voprosy termouprugosti [Questions of thermoelasticity]. Moscow, Izdatel'stvo akademii nauk SSSR, 1962, 364 p.

7. Ogibalov P.M., Koltunov M.A. Obolochki i plastiny [Shells and plates]. Moscow, Izdatel'stvo Moskovskogo universiteta, 1969, 695 p.

8. Parton V.Z., Perlin P.I. Metody matematicheskoi teorii uprugosti [Methods of the mathematical theory of elasticity]. Moscow, Nauka, 1981, 688 p.

9. Rekach V.G. Rukovodstvo k resheniiu zadach po teorii uprugosti [Guide for solving problems in the theory of elasticity]. Moscow, Vysshaia shkola, 2010, 227 p.

10. Sneddon I.N., Berri D.S. Klassicheskaia teoriia uprugosti. [The classical theory of elasticity]. Moscow, Fizmatlit, 1961, 219 p.

11. Timoshenko S.P., Gud'er Dzh. Teoriia uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow, Nauka, 1975, 575 p.

12. Khan Kh. Teoriia uprugosti[Theory of elasticity]. Moscow, Mir, 1988, 343 p.

13. Podstrigach Ia.S., Koliano Iu.M.,Gromovyk V.I., Lizben' V.L. Termouprugost' tel pri peremennykh koeffitsientakh teplootdachi [Thermoelasticity of bodies with variable heat transfer coefficients]. Kiev, Naukova dumka, 1977, 158 p.

14. Gur'ianov N.G., Tyuleneva O.N. Kraevye zadachi teorii uprugosti dlia shara i tsilindra [Boundary-value problems of the theory of elasticity for a sphere and a cylinder]. Kazan, Izdatel'stvo Kazanskogo universiteta, 2008, 207 p.

15. Tyuleneva O.N., Gur'ianov N.G. Kraevye zadachi termouprugosti dlia shara [Boundary thermoelasticity problems for a sphere]. Saarbucken, LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012, 160 p.

16. Gur'ianov N.G., Tyuleneva O.N. Prostranstvennaia zadacha termouprugosti dlia sfericheskogo kupola [Prostranstvennaia zadacha termouprugosti dlia sfericheskogo kupola]. Moscow, Teoriia i praktika sovremennoi nauki: sbornik statei XVMezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii, 2014, pp. 10-17.

17. Gur'ianov N.G., Tyuleneva O.N. Zadacha termouprugosti dlia shara [The problem of thermoelasticity for a sphere]. Nizhny Novgorod, Fundamental'nye problemy teoreticheskoi i prikladnoi mekhaniki: sbornik tezisov dokladovXVserossiiskogo s"ezda, 2011, no. 4 (4), pp. 1466-1467.

18. Gur'ianov N.G., Tyuleneva O.N. Dvoiakoperiodicheskoe reshenie zadachi termouprugosti dlia pologo shara [A two-periodic solution of the thermoelasticity problem for a hollow sphere]. Tashkent, Sovremennye problemy mekhaniki: sbornik statei Mezhdunarodnoi nauchno-tekhnicheskoi konferentsii, 2009, vol. 1, pp. 283-288.

19. Gur'ianov N.G., Tyuleneva O.N. Tochnoe reshenie nesimmetrichnoi zadachi teorii uprugosti dlia tsilindra v temperaturnom pole [Exact solution of the asymmetric elasticity problem for a cylinder in a temperature field]. Kazan, Fundamental'nye problemy teoreticheskoi i prikladnoi mekhaniki: sbornik tezisov dokladov XI Vserossiiskogo s"ezda, 2015, pp.1106-1108.

20. Gur'ianov N.G., Tyuleneva O.N. A spherical dome in the temperature field. Russian Aeronautics, 2013, vol. 56, no. 1, pp. 7-14.

21. Popov G.Ia., Belkasem K. Tochnoe reshenie smeshannoi neosesimmetrichnoi kraevoi zadachi teorii uprugosti dlia krugovogo tsilindra konechnoi dliny [The exact solution of a nonsymmetric boundary value problem for the theory of rounding for a circular cylinder of finite length]. DokladyAkademii nauk, 2010, vol. 433, no 1, pp. 48-54.

22. Popov G.Ia. Osesimmetrichnye kraevye zadachi teorii uprugosti dlia tsilindrov i konusov konechnoi dliny [Axisymmetric boundary value problems of the theory of rounding for cyclinders and cones of finite length]. DokladyAkademii nauk, 2011, vol. 439, no. 2. pp. 192-197.

23. Kartashov E.M., Kudinov V.A. Analiticheskaia teoriia teploprovodnosti i prikladnoi termouprugosti [Analytical theory of heat conductivity and applied thermoelasticity]. LIBROKOM, 2012, 656 p.

24. Fastovskaia T.B. Sushchestvovanie global'nykh reshenii nelineinoi zadachi termouprugosti [The existence of global solutions of the nonlinear problem of thermoelasticity]. Khar'kov, Aktual'nye napravleniia nauchnykh issledovanii XXI veka: teoriia i praktika, 2014, vol. 2, no. 4, pp. 125-127.

25. Chanyu Shang Global attractor for the Ginzburg-Landay thermoviscoelastic system with hinger boundary conditions. Math.Anal.Appl., 343 (2008), pp. 1-21.

26. Satalkina L.V. Nesviazannaia zadacha nelineinoi termouprugosti dlia telia s singuliarnoi granitsei [The unrelated problem of nonlinear thermoelasticity for bodies with a singular boundary]. Tula, Vestnik TulGU «Aktual'nye voprosy mekhaniki», 2009, no. 5. pp. 157-160.

27. Rodionov A.Iu. Tochnye resheniia uravnenii termouprugosti [Exact solutions of the thermoelasticity equation]. Institut prikladnoi mekhaniki Vladikavkazskogo nauchnogo tsentra RAN, 2009, vol. 11, no. 1, pp. 54-62.

28. Shevchenko A.V. Primenenie variatsionnogo metoda pri raschete zamknutykh tsilindricheskikh obolochek s uchetom temperaturnykh deformatsii [Application of the variational method for the calculation of closed cylindrical shells with allowance for temperature deformations]. VestnikBGTUim. V.G.Shukhova, 2005, no. 10, pp. 492-494.

29. Baiden O.V., Shapovalov S.M., Shevchenko A.V. Uchet temperaturnykh deformatsii pri raschete zamknutykh tsilindricheskikh obolochek variatsionnym metodom [The account of temperature deformations at calculation of the closed cylindrical shells by a variational method]. Stroitel'naia mekhanika i raschet sooruzhenii, 2009, no. 5, pp.6-9.

30. Volkov A.E., Kukhareva A.S. Raschet napriazhenno-deformirovannogo sostoianiia v tsilindre iz TiNi pri okhlazhdenii pod nagruzkoi i razgruzke [Calculation of the stress-strain state in a cylinder from TiNi under cooling under load and unloading]. Moscow, Izvestiia RAN, seriiafizicheskaia, 2008, vol. 72, no. 9. pp. 1337-1340.

31. Ivanov A.S., Kovalev V.I., Tsapovskaia O.A. Temperaturnye napriazheniia v sploshnom dlinnom tsilindres peremennym ob"emnym teplovydeleniem [Temperature stresses in a continuous long cylinder with variable volumetric heat release]. Moscow, ProblemyMashinostroeniia i avtomatizatsii, 2008, no. 1, pp. 111-114.

32. Amosov A.A., Zhavoronok S.I., Leont'ev K.A. O reshenii nekotorykh zadach o napriazhenno-deformirovannom sostoianii anizotropnykh tolstostennykh obolochek vrashcheniia v trekhmernoi postanovke [On the solution of some problems on the stress-strain state of anisotropic thick-walled shells of revolution in a three-dimensional formulation]. Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsii, 2004, vol. 10, no. 3, pp. 301-310.