CC BY
50
Э.Х. Назиев, А.Х. Назиев, Г.И. Келейникова
ОБ ОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И ПОЛНОЙ ПРОБЛЕМЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
Известно, что нахождение решений однородной линейной дифференциальной системы с постоянной матрицей А сводится к алгебраической задаче нахождения нормальной жордановой формы J матрицы А и определения матрицы Р такой, что J = Р_1АР. Нахождение матрицы J опирается на теорию элементарных делителей характеристической матрицы А - ХЕ, что приводит к так называемой полной проблеме собственных значений, состоящей в нахождении всех собственных значений и соответствующих им собственных векторов матрицы А. Решение этой проблемы даже в случаях систем не очень высоких порядков сопряжено со значительными трудностями, возникающими уже на стадии получения характеристического уравнения путем развертывания определителя характеристической матрицы. В 1969 году Р. Беллман писал, что «в настоящее время не имеется простых методов нахождения собственных значений и собственных векторов матриц большого размера» [1]. За минувшие с тех пор тридцать лет существенных изменений не произошло. В настоящей работе мы пытаемся продвинуться в решении указанной проблемы, изменив обычный порядок действий. Обычно сначала ищут собственные значения, затем собственные векторы. Мы идем в обратном направлении.
В первой части излагаются общие результаты. Вторая часть посвящена подробному рассмотрению примеров.
однородная линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, полная проблема собственных значений, однородная линейная группа, инфинитезимальный оператор, однопараметрическая подгруппа.
1. Рассмотрим однородную линейную дифференциальную систему
п * х = 2а'юх = £0 (х = —), * = 1, п, (1.1)
.=1
где t - независимая переменная, х1,...,хп - неизвестные функции переменной t, а1.0 (*, j = 1,..., п) - комплексные числа. При помощи матрицы А0 = (а*.0)П, составленной из коэффициентов при неизвестных функциях, эту систему можно записать в виде одного дифференциального уравнения
х = Ао х = £~0, (1.2)
где х = (х1,..., хп ), х = (X1,..., хп ), £0 = (£0),...,£0П ) - векторы-столбцы. Ясно,
что между множеством всех квадратных п х п матриц и множеством всех систем
вида (1.1) (уравнений (1.2)) устанавливается взаимнооднозначное соответствие, что позволяет изучать свойства одного из этих множеств, изучая свойства другого.
Если f (х1,..., хп ) - произвольная дифференцируемая функция указанных аргументов, то ее изменение при бесконечно малом сдвиге вдоль траекторий системы (1.1) характеризуется равенством
# = Хо f А, (1.3)
где
Xоf = У/ £о (1.4)
— & &
и= (—г,...,-) - вектор-градиент функции/. Используя равенство (1.2),
дх 5хп
равенство (1.4) можно переписать в виде
Хо& = у/ Аох - XАо & . (15)
Из равенства (1.3) следует, что задача интегрирования системы (1.1)
и задача нахождения решений уравнения X 0 & = 0 - суть задачи эквивалентные: всякий (дифференцируемый) интеграл системы (1.1) является решением уравнения X 0 & = 0 и наоборот [2].
Заметим, что с точки зрения теории непрерывных групп преобразований дифференциальные уравнения (1.1) определяют однопараметрическую (с параметром 0 непрерывную группу G1 преобразований пространства (х1,х2,...,хп) [3]. В рассматриваемом нами случае мы имеем дело с так называемой однородной линейной группой [4]. Символом (инфинитезимальным оператором) этой группы является оператор Х0 & .
Выясним структуру операторов, коммутирующих с оператором Х0 & . Пусть
п д&________
хг= 2£‘-тт- (16)
ы дх'
искомый оператор. Его координаты должны удовлетворять уравнениям
Хо£' = Х£0 (' = 1,..., п), (1.7)
вытекающим из равенства (Х0, X)/ = 0. Учитывая выражения (1.1) для £0 (' = 1, ..., п) и равенство (1.3), последние равенства можно переписать в виде
£' =2а)£ (' = 1,., п).
.=1
(1.8)
Это - уравнения в вариациях для рассматриваемой нами линейной однородной системы [5]. Как видим, система (1.8) с точностью до обозначений совпадает с системой (1.1). Полезно заметить, что система (1.8) определяет скорость изменения вектора £ = (£',...,£ п ) вдоль траекторий системы (1.1).
Для дальнейшего изложения удобно перейти к новым переменным
= 2а!х' = ОС 1 х,
(1.9)
где ОСО (', 1 = 1,...,п) - постоянные коэффициенты, образующие невырожденную матрицу Р —1 = (О )п . В этих переменных матрица системы А0 принимает нормальную жорданову форму J0 = Р1 А0Р = d'ag(У10,..., Jm0) , где каждая клетка Жордана имеет вид
(Х 0 ...0 0 ^
1 Х ...0 0
J s 0
V0 0.,.1 Х,
(5 = 1, ..., т).
При этом дифференциальные уравнения системы (1.1) разбиваются на т независимых друг от друга групп, каждая из которых соответствует своей клетке Жордана:
= Х г"5+1,
2к'+1
• к5+2
к5 +1
+ Х 2
к5+2
(1.10)
к 5 +1„ —1
к„ +15
Здесь и всюду далее /5 - порядки клеток, к5 = / +... +/5—1, 5 = 1,...,т
(к1 = 0 11 + ... + 1т = п).
Оператор X0 & в новых переменных принимает вид
Хо7=£
т =1
Я 2к+1 +и+1 +Я 2к*+2) + +(/* +, -1 +Я 2к+* \_ї_
Я У * 'скк+2 +-+12 +Я ’ 2*
і ґЛ +1 с , „к +2 с , , Л +4 ч , Л +1 С , , Л +4-1 с
Л(21 ТкГТ +2" ТГГ2 +-+2 ^ГТ+Г)+2 ~^+-+2 —
с2к +1
с2к +2
с2к +2
с2к +1
*=1
где смысл последних обозначений ясен сам собой.
Уравнения (1.10) элементарно интегрируются, в результате чего получаем
к* +1 /^к* +1 ЯЛ
2 * - С * Є * ,
2к*+2 - (Ск+2 + Ск*+1І)е^*,
„ „ „ і 2
2к*+3 — (ск*+3 + ск*+2і + ск*+1 )ех*г
2! ’
2к*+1* - (Ск*+1* + Ск* +1*—V +... + С
к +1
і1, 1
)еЯ ‘.
(I -1)!
(1.12)
Аналогично преобразуется и интегрируется система (1.8).
Вводя вместо координат £',...,£п новые координаты и',...,ип по формулам
(1.9’)
получаем систему
• к*+1 Л
и * - Я и
к* +1
• к*+2 к* +1 и * - и *
• к * +3
и * -
і 1 к * +2
+ Я и * ,
к* +2 . л к* +1
и * + Я и * ,
• к, +1*
и
и
к, +1* —1
+ Я и
к*+1*
(1.13)
интегрирование которой дает
к* +1
и
к* +2
и
к* +3
и
- с *+1єя*і
= (Ск*+2 + с к*+1і )еЯ,
~ ~ ~ /2
- (Ск*+3 + Ск*+2і + Ск*+1 —)еЯ,
2!
(1.14)
к*+1*
и
- (Ск*+1* + Ск*+'*—7 +... + С
к * +1* —1 ^
у к* +1
і1* 1
Ал
(1* — 1)!
Постоянные интегрирования обозначены иначе потому, что они относятся к другому векторному полю и могут принимать значения независимо от того,
С'~' к* +1 Ру к* + 1*
* ,...,С .
Равенства (1.14) и аналогичные им для всех остальных клеток Жордана определяют в канонических переменных координаты коммутирующих с оператором X0 / операторов как функции переменной і (и произвольных постоянных
Ск*+1,...,Ск* +*). Чтобы выразить их через переменные х1,...,хп , введем переменные
к* +1 к* +2 у к* +1*
V * - е * , V * - ІЄ * ,..., V *
і1* 1
(І, — 1)!
(1.15)
Тогда уравнения (1.12) запишутся в виде
к* +1 ґ^к* +1 к* +1
2 * - С * V * ,
2к*+2 - Ск*+2\к*+1 + Ск* +1Vk^+2
к* +3 /''у к* +3 к* +1 . г'у к* +2 к* +2
2 * - С * V * + С * V *
+С
к* +1 vks+3
2к*+1* - ск+1svks+1 + ск+1*—1vk■s+2 + + Ск*+1 vks+1*
(1.16)
и аналогично запишутся уравнения (1.14):
ик* +1 - Ск* +lvks +1,
и к* + 2 - С к* + 2vks +1 + С к* +1 vks + 2,
и к* + 3 - С к* + 3vks +1 + С к* + 2vks + 2 + С к* +1 vks + 3,
и к* +1* - С к* +1* vks +1 + С к* +1* —^к* + 2 + ... + С к* +1vks + 4
(1.17)
2к*+1,...,2к* +1 и подставляя найденные выражения в равенство (1.17), получаем
к.,+1 к.,+1* к., +1 к.,+1* выражения координат и * ,...,и * * через координаты 2 * ,...,2 * * :
к*+1 ґ^к*. +1 к* +1
и * - С * 2 *
ик*+2 ик*+3
-С
к* +2 к* +1 , /^к* +1 _к* + 2
+ Ск*+12-
- Ск*+3 2к*+1 + Ск*+2 2к*+2 + Ск*+12к*+3
и к*+1* - С к* +1* 2 к* +1 + С +—12 + 2 + + С +12
(1.18)
Таким образом, в переменных 2',...,2п, определенных равенствами (1.9),
произвольный оператор, перестановочный с оператором Х0 /, представляется в виде
х/-Е
*-1
т
Е [Ск*+1
^ к +1 / к +2 / к +1 / ^
ик*+1 —і— + ик*+2 —I— +... + ик*+1* ——
V
д2к* +1 /
с2
к +2
с2
к * +1 *
і ґґ^к * +2 к * +1 . /"»к * +1 к* +2 \ О/
+ (С* 2 * + С * 2 * )
+1
с2к* +1
+ (Ск* +1* 2к* +1 + + Ск* +12к*+1* ) / 1 -
^ "• ’с2к *+1
с2
к +2
У +...
к +1 к +1 + + ,к,+1, _с^_) +
Е [С‘- *‘( 2 ,
-1 с2
к +2 к
+ С (2
с/
с2
к +2
+...+2
с2 к +1
к с +1 с —1
с2
к +1
-) + ... + Ск*+^2к
с/
(1.19)
с2
к +1
Е (ск- *' х ^.,/+ск- *2 х „/+...+ск "'X к. ч /)
то есть является линейной комбинацией с произвольными постоянными коэффициентами операторов
X,+/=-
Хы.+2/ =
к, +1 д/ , к,+2
‘-----------------+ 2 “ ■
дгк
д/ +...+2к,+г* _/_
к, +1
дг -д~
дгк*+2
+ ... + г
к, +1,
дгк*+' -1 д~
дгк* +1*
(1.20)
Хы,+, / =
к, +1
д/
дгк
Легко проверить, что операторы (1.20) попарно перестановочны. Матрицами операторов (1.20) являются квадратные матрицы «-го порядка, которые можно представить в виде клеточно-диагональных матриц
А+1 = ^(0, ВК+1,0)
А+> = (0, вы.+1., °1
(1.21)
где
' 1 0 . . 0 0 ^ 0 0 . 0 0 ^ '0 0 . . 0 0^
в+1 = 0 1 . . 0 0 , \+2 = 1 0 . . 0 0 ’" ^ ВЛ 0 0 . . 0 0 (1.22)
: О : ср . 0 1) ; о ; . 1 0) I1 0 . . 0 0)
суть матрицы-клетки размеров I, х I,, начинающихся с к, + 1-й строки и к, +1 -го столбца. Легко убедится, что
Ак!1. +1 = Ак!1. +1, ^~к,+2 = Ак!1. +3, ..., ^~к, +1, = 0, Ак!1.+1 Ак!1. +у = Ак!1. +у , (123)
А+1 Аа+» =0 , = 1,■■■,т;5^ = 1,■■■, ; м = К,
откуда, в частности, видно, что матрицы Ак +1 идемпотентные, а остальные матрицы нильпотентные, и, кроме того,
£ Ак,+1 =£.
(1.24)
Доказано [6], что операторы XAf и XBf перестановочны тогда и только тогда, когда перестановочны соответствующие им матрицы А и В. В силу этого утверждения, из попарной перестановочности операторов (1.20) следует попарная перестановочность соответствующих им матриц (1.21).
Из равенства (1.19) следует, что матрица А оператора Xf имеет вид
А = £ (С‘- А,, „ + С
хк<+2
+...+ск+Ч„+,).
(1.25)
Вид правой части этого равенства и равенств (1.21) и (1.22) показывает,
что матрица А является клеточно-диагональной, каждая диагональная клетка которой в общем случае - линейная нижнетреугольная матрица [7], то есть
А = &а£В, В2,...В ), В, =
(Ск, +1 0
Ск, +2 скэ +1
Л
\Скэ +(, Скэ +(,_1... Скэ +1 У
В конкретных случаях форма каждой диагональной клетки определяется фиксированными значениями постоянных Ск +1,Ск +2,...,Ск +1 . Например, при
Ск + 2 = 1,Ск +3 = 0,...,Ск +1 = 0 для всех значений s=1, 2, ..., т получаем множество матриц, все диагональные клетки которых являются жордановыми. Такой является матрица А0 оператора Х0 f (1.11):
А Е(ААк5 +1 + Ак„ +2 ) ^Іа£('Ло,...,,Ло,...^м0), Js0
Вернемся теперь к прежним переменным. Обращая равенства (1.9), получаем х = Рх , или
0 0
0. .0 0
4 . .0 0
1 . . 0 0
0. .1 А
Л
(1.27)
где Р1 - строки матрицы Р = р/ )1 . Переходя к прежним переменным в равенствах (1.19), (1.20), получаем равенство
к, +2
т
X/ = £ С + х„л „/+ск- Хк1 „/+...+Ск +■X, +,/ ), (1.28)
5=1
и равенства
хК+1/=ц+7 +...+*«■ в1+,) сх_+...+(А+1 в:+1 +...+^ впК+,) щ -
- +1 -у ,
1=1 1 ^
X,,/ = Х +'вк^+2 +•••+^'Ал)/ +...+Х%г +•••+хкЛX*.)/ - (1.29)
X / = хк. +1 в ' + + хк.+1 в1 •> =^\' тУ ■’
Лк. V ^ Рк. +1■ £х> ■ +1■ £х.п~^ 'к. +1■ сх' ’
к. +1 к.+1.
в правых частях которых координаты х ,..., х следует заменить их выра-
жениями по формулам (1.9). Так как коммутаторы линейных дифференциальных операторов не зависят от выбора системы координат, операторы (1.29), как и операторы (1.20), линейно независимы и попарно перестановочны. Они порождают абелеву однородную линейную группу Gn преобразований пространства
(х1,..., х11), множество инфинитезимальных операторов всех однопараметрических подгрупп которой охватывается формулой (1.28) [8]. Этому множеству принадлежит оператор
т
Х0 =£ (ЛА,„/ + Хк,+2/). (1.30)
■ = 1
Множеству операторов (1.28) соответствует множество матриц
т
А = £ (Ск + Ак, „+ Ск■ *2 Ак, „ +... + Ск■ +■Ак, (1.31)
■ =1
перестановочных с матрицей А0, порожденное линейно независимыми и попарно перестановочными матрицами операторов (1.29) Ак +1, Ак +2,..., Ак +1 . Последние можно представить в виде
А+1 - РАк,+1р — Pks+1а “+ + Pks+2а “+ +...+Pks+1,а
-1 _ о +1 I I о +г,_1
}к, +1
А +2 - РА„+2р — Р+2 а ' + +... + Р +1.ак+"
(1.32)
А,+1, — РА+г,Р — Рк,+г, а ,
где ак*+* = 1,..., т; V = 1,..., I) - векторы, координаты которых образуют
строки матрицы Р 1 - (а/ )”, Рк +* - векторы, координаты которых образуют
столбцы матрицы Р — (Р/ )”, так что имеют место равенства
а1 Д. — 3/, (1.33)
вытекающие из равенства Р 1Р — (а 1 Рi)” — Е . Системы линейно независимых
векторов а1, Рi 0' = 1,., п), связанных между собой условиями (1.33), будем
называть взаимными, а операторы (1.29) и их матрицы - каноническими.
Ясно, что множество матриц (1.31) является линейным векторным пространством с обычными правилами сложения матриц и умножения матрицы на число. Один из базисов этого пространства образуют канонические матрицы (1.32). Формула (1.31) представляет собой разложение произвольного вектора А пространства по каноническому базису. В частности, разложение матрицы А0 по каноническому базису имеет вид
т
Ао — Е (АА+1 + Ак,+2), (1.34)
,—1
что следует из равенства (1.30).
Из равенств (1.23), (1.24), в силу известных свойств подобных матриц [9], следуют равенства
Ак, +1 — Ак, +1, Ак,+2 — Ак,+3, ..., Ак,+1, — 0, Ак, +1 Ак,+у — Ак, +у (135)
Ак,+1 Ака+» — 0 , — 1—,т;5 * —1,■■■, 1,; м —1,•••, К,
показывающие, что матрицы Ак +1 являются идемпотентными, а остальные -нильпотентными, и равенство
Е Ак,+1 — Е (1.36)
дает разложение единичной матрицы по каноническому базису.
Нам осталось указать смысл векторов аi, Рi ^ = 1,..., п), при помощи которых образованы матрицы (1.32).
Действие матриц (1.32) и А0 (1.36) на векторы Дi (. = 1,..., п) описываются равенствами
Aks+уАа+и = 0 (,, ст = 1,..., т; s ф ст; V = 1,...,I,; /и = 1,...,СТ),
Ак3+1Дк, +1 Дк, +1, Aks+1Дк, + 2 Дк, + 2,..., Ак5 +1Дк, + /5 Дк, + /5 ,
А, + 2Дks+1 = Дк, + 2, А, + 2Дк, + 2 = +3,..., А, + 2Дк, +1, = ° (1.37)
А, +/, Дк, +1 = Рк, + 1, , + 1, Дк, + 2 = 0,.. +I,Дк, + 1, = 0,
АРк, +1 = +1 + Дк, + 2, АРк, + 2 = +2 + Дк, +3,..., ААк, + 1, = + 1, .
Равенства, образующие первую строку и последний столбец в этой совокупности равенств, показывают, что векторы Дк +1 являются общими собственными векторами попарно коммутирующих матриц (1.32), а потому и всех матриц (1.31), в частности матрицы A0. Из равенств третьей и последней строк следует, что цепочки векторов Дк +1, = (V = 1,..., I,) для матриц Ak +2 и A0 (и всех
т
матриц вида A = ^ (Скз +1 Aк +1 + Ak + 2)) являются жордановыми. Как показыва-
,=1
ет вся совокупность равенств (1.37), общими жордановыми цепочками для всех матриц множества (1.31) указанные цепочки векторов не являются. Следует отметить, что в этих цепочках порядки присоединенных векторов [10] с увеличением их номеров убывают, то есть эти цепочки являются нижними жордановы-ми цепочками векторов [11]. Вместе взятые они образуют нижний жорданов базис для указанных матриц.
Переходя в равенствах (1.31), (1.32) и (1.34) к транспонированным матрицам, получаем равенство
AT = £ (С‘- Al + + Ск *2 All+2 +... + Ск "Х ), (1.38)
,= 1
равенства
4.+1 = ят + Х+1+Я +ук,++•••+Я +" р_1 + „ ■
4, + 2 = “¥ +1 РТ, + 2 +••• + яТ* +" - 1рт, + (1.39)
лТ = як, +1ДТ
Aks +1, _ аТ Рк, +1, ’
и равенство
т
А = £ (44,., + АТ„+ 2).
5=1
(1.40)
Действие матриц (1.39) и (1.40) на векторы о\...,о п описываются равен-
ствами
А1+уОта+м = о (,, и = 1,...т;,*&;у = 1,.,1,;р = 1,./Д
АТ ок, +1 =ок,+1 АТ ок +2 =ок,+2 АТ Ок5+1, =Ок5+1,
^к, +1^Т ^5 ^к, +\^Т ^Т ’>■■■’> к, +1°сТ ыТ 5
лТ "^гк, +1 /л лТ —к,+2 "^гк, +1 лТ "^гтк, +1, "^гтк, +1, — 1
АТ о к +1 = о АА ок,+2 =ок, +1 АА ок,+1, = 0
^к, +2исТ ~ и? к,+2ЫТ — ^Т к,+2исТ ~ ^Т ? (141)
АТ+ок+1 = 0,
АТК О+2 = 0
—к, +1
-от
АТок+1 = лдк+1, АТок+2 = \ок
+ок, +3 АТок,+1,
I Уш/^Т ^ ^ ^Х/ т
= 404
. -гг; к, +1, —
+о/ ,
Т
Равенства, образующие в этой системе равенств первый столбец, показывают, что векторы ак’+1 являются общими собственными векторами матриц (1.39), а потому и всех матриц (1.38), в частности матрицы А". Из равенств, образующих третью и последнюю строки, следует, что цепочки векторов ок+у (у = 1, . , I,) для матриц Ак" +2, А"" (и всех матриц вида
т
АТ = Е(С , + А" +1 + А"+2)) являются жордановыми. Как показывает вся сово-
,=1
купность равенств (1.41), указанные цепочки векторов не являются общими жордановыми цепочками для всех матриц множества (1.38). Следует отметить, что в этих цепочках порядки присоединенных векторов возрастают вместе с возрастанием их номеров, то есть эти цепочки являются верхними жордано-выми цепочками векторов. Вместе взятые они образуют верхний жорданов базис для указанных матриц.
Замечание 1.1. Тот факт, что векторы Д,...,/Зп образуют нижний жорданов базис, а векторы 0',...,0п - верхний, принципиального значения не имеет и изначально предопределен тем, что преобразование (1.9) приводит матрицу А0 к нижней нормальной жордановой форме.
Таким образом, столбцы Д,...,/Зп матрицы Р = (Д;)П образуют жорданов базис матрицы А0. Обращение матрицы Р дает матрицу Р 1 = (о/ )п , стро-
ки о ,...,0п которой образуют жорданов базис матрицы А0 . Линейное преобразование с матрицей Р приводит матрицу А0 к нормальной жордановой форме:
Так как
л„ = J 0 = рА0 Р.
А" . .)Т = ртаТ (р—)",
(1.42)
(1.43)
то линейное преобразование, приводящее матрицу А" к нормальной жордановой форме, имеет матрицу (р 1) . Обращение этой матрицы дает матрицу РТ .
Отметим отдельно случай, когда все корни характеристического уравнения системы (1.1) простые. В этом случае, как легко сообразить, канонические операторы имеют вид
х / = о1 х1 + о2 х2 +...+о хп хд1 +...+р: —),
1 дх1 1 дхп
1 д/
д/
х/ = (о;х‘ + о2пх2 +...+опхп )(р„^—+...+р:—)
2 п п дх п дх*п
(1.44)
где о ,...,оп - линейно независимые собственные векторы матрицы А0 ,
Р1,...,Рп - линейно независимые собственные векторы матрицы А0. Их матрицы представляются в виде
А! = До1 =
..., Ап рп оп
опрп.опр
(1.45)
Попарно перестановочные линейно независимые операторы (1.44) порождают абелеву линейную однородную группу Gn преобразований пространства
(х1,..., хп), множество инфинитезимальных операторов всех однопараметрических подгрупп которой охватывается формулой
X/ = Ёс'х,/
г =1
(1.46)
Этому множеству принадлежит оператор
Х„/ = £Л,Х,/, (1.47)
I = 1
где Л, - собственные числа матрицы А0.
Множеству операторов (1.46) соответствует множество попарно перестановочных матриц
А = Е С А, , (1.48)
,=1
порождаемое линейно независимыми попарно перестановочными матрицами
(1.45). Этому множеству принадлежит матрица А0, представляемая в виде раз-
ложения по каноническому базису (1.45):
Ао =£ Л А, . (1.49)
, =1
Легко убедиться, что векторы Д,...,/Зп являются общими собственными векторами матриц (1.45), а потому и всех матриц, принадлежащих множеству
(1.48). Следовательно, все эти матрицы преобразованием с матрицей Р = (Д; )П приводятся к диагональному виду.
Легко также убедиться, что векторы а1,...,ап являются общими собственными векторами всех матриц, полученных транспонированием матриц (1.45),
(1.48). Следовательно, все эти матрицы преобразованием с матрицей (Р_1)° приводятся к диагональному виду.
Изложенное выше позволяет сформулировать следующие теоремы: Теорема 1.1. Любая однородная линейная группа G1 с оператором XА^/ является однопараметрической подгруппой абелевой линейной однородной группы Gп, порожденной каноническими операторами (1.29), соответствующими данному выбору взаимных жордановых базисов матриц А0 и А° . Преобразованиями группы Gп являются преобразования всех однопараметрических групп, порождаемых операторами (1.29), и произведения таких преобразований.
Теорема 1.2. Любая квадратная матрица А0 п-го порядка принадлежит множеству (1.31) попарно перестановочных матриц того же порядка, порожден-
ному линейно независимыми, попарно перестановочными каноническими матрицами (1.32), соответствующими данному выбору взаимных жордановых бази-
определяется равенствами (1.31).
Заметим, что равенства (1.31) и (1.32) можно рассматривать сами по себе, не привязывая их к какой-либо определенной матрице А0. Это замечание позволяет сформулировать следующие теоремы:
Теорема 1.3. Всяким двум системам линейно независимых векторов
а1,...,ап и Д,..., (Зп, связанным между собой условиями (1.33), соответствует множество попарно коммутирующих матриц (1.31), порожденное каноническими матрицами (1.32), соответствующими выбранному разбиению указанных систем векторов на жордановы цепочки.
Теорема 1.4. Всяким двум системам линейно независимых векторов
а1,...,ап и Д,..., IЗп, связанным между собой условиями (1.33), соответствует абелева однородная линейная группа Gn, порожденная каноническими операторами (1.29), соответствующими выбранному разбиению указанных систем векторов на жордановы цепочки.
По поводу этих теорем см. пример 4.1.
2. Пусть Gn - абелева однородная линейная группа, соответствующая системе (1.1), и
составленную из координат операторов (2.1), будем называть определяющей матрицей группы Gп, а определитель
будем называть определяющей функцией этой группы.
Заметим, что матрица М определена неоднозначно, так как неоднозначен выбор операторов (2.1). В силу линейной независимости операторов (2.1) ранг
сов матриц А0 и А° . Представление матрицы А0 через канонические матрицы
(і = 1,..., п)
(2.1)
любая совокупность ее п линейно независимых операторов. Определение 2.1. Матрицу
М = (£' )П,
(2.2)
М = М
(2.3)
матрицы Мдля общих значений х',...,хп (общий ранг) равен п. Следовательно, для общих значений х',...,хп определитель (2.3) отличен от нуля.
В силу теоремы 1.1, операторы (2.1) являются линейными комбинациями с постоянными коэффициентами канонических операторов (1.29). Поэтому имеет место равенство
П
V = І с‘пі.
к=1
Следовательно, матрица (2.2) может быть записана в виде
( п Лп
М = [І склі = см,
V к=1 /1
где С = (Ск )П и М = (ц'к )П - невырожденные матрицы, так как совокупности
операторов (1.29) и (2.1) состоят из линейно независимых операторов.
Далее, из формул (1.29) следует, что матрицу М можно получить, если матрицу
М = diag (М1, М2,..., Мт ), (2.4)
где
М5 =
Ґ к, +1 к, +2
2 2
к, +1
К + /, Л
к, +1
пГ
умножить справа на матрицу Р :
М = Т
Следовательно, окончательно матрица М представляется в виде
М = СМРТ .
(2.6)
Матрицу (2.4) с клетками (2.5) будем называть канонической определяющей матрицей группы GП.
Равенство (2.6) выражает важный для дальнейшего результат:
Теорема 2.1. Любая определяющая матрица М абелевой однородной линейной группы GП, соответствующей системе (1.1), эквивалентна канонической
матрице М этой группы.
0
Из этой теоремы следует, что, зная произвольную определяющую матрицу М, соответствующую системе (1.1) абелевой однородной линейной групппы GП, можно получить каноническую определяющую матрицу М этой группы при помощи элементарных операций, состоящих: 1) в перестановке любых двух строк (столбцов) преобразуемой матрицы, 2) умножении любой строки (столбца) преобразуемой матрицы на любое, отличное от нуля число, 3) прибавлении ко всем элементам некоторой строки (столбца) преобразуемой матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.
Знание же матрицы М дает все формы zks+у = ак+ух = 1,...,т; у = 1,..., ), а значит и все жордановы цепочки векторов ак*+1,ак*+2,...,ак+1 ^ = 1,...,т) матрицы А0, после чего задача интегрирования системы (1.1) уже не вызывает затруднений.
В силу известных свойств определителей квадратных матриц, из равенства
(2.6) следует равенство
М = \М\ = |С| М \рТ
которое, учитывая равенства (2.4) и (2.5), можно переписать в виде
М = у(а1 х)к • (ак2+1 х)12 •...• (акт+1 х)1т (у = |С| |РГ| ). (2.7)
Формула (2.7) показывает, что функция М, являющаяся произведением п линейных и однородных относительно х1,...,хП функций с постоянными коэффициентами, после перемножения этих функций представляется в виде однородной относительно указанных переменных функции степени п.
Таким образом, имеет место следующая теорема:
Теорема 2.2. Каждой однородной линейной дифференциальной системе с постоянной матрицей А0 может быть поставлена в соответствие однородная
относительно переменных х1,...,хП функция степени п, представимая в виде
(2.7), соответствующем данному выбору независимых собственных векторов
ак''+1 = 1,...,т) матрицы А0 .
Значение этой теоремы состоит в том, что она позволяет указать способ вычисления (с любой степенью точности) координат собственных векторов матрицы А°, минуя процедуру составления ее характеристического уравнения
и нахождения его корней. Этот способ мы подробно изложим применительно к системам третьего порядка, поскольку полученные в итоге результаты допускают очевидное обобщение.
Пусть Х1 /, X2 /, X3 / - независимые операторы однородной линейной абелевой группы G3, одной из подгрупп которой является подгруппа G1 с оператором X0 / . Функция М3(х1, х2, х3) для этой совокупности операторов записывается в виде
М3(х1, х2, х3) =
11 12 13
а11х + а21х + а31х
11 12 13
а12х + а22х + а32х
1 1 1 2 1 3
а13х + а23х + а33х
2 1 2 2 2 3
а11х + а21х + а31х
а131х1 + а31х2 + а331х3
2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3
а12х + а22х + а32х а12х + а22х + а32х
21 22 23 31 32 33
а13х + а23х + а33х ц3х + а23х + а33х
(2.8)
или - после развертывания определителя в правой части любым известным способом - в виде
М3(х ,х ,х ) = а111(х ) + а222(х ) + а333(х ) + а112(х ) х + а113(х ) х + (2 9)
+а223(х2)2 х3 + а122х’(х2)2 + а133х’(х3)2 + а233х2(х3)2 + а123х1х2 х3
(здесь принята система обозначений: а111 - коэффициент при х1 • х1 • х1 = (х1)3, а112 - коэффициент при х1 • х1 • х2 = (х1 )2 х2 и т.д.).
С другой стороны, согласно равенству (2.7), для нашего случая имеем
М3(х\ х2, х3) = (а^х1 +а\ х2 +Ох3)(а12 х1 +а\ х2 +а32 х3)(а13 х1 +а\ х2 +а| х3) =
= ааО^Хх1)3 +а1(аО2)(х2)3 +О(а3а33)(х3)3 +
+ [ООО +аО3)+а2(а2а13)](х1)3 х2 + [а11(а12а33 +а32а13) +О(а2а13)](х1)3 х3 + +[аІООІ)+а2(а2а3 +а2О3)]х1(х2)2 + [О(а32а33) +О(а2а33 +а3а13)]х1(х3)2 +
+[а^(а^а33 +а2а2)+О(а2О3)](х2)2 х3 + [а,1(а2а33)+О(а2О33 +а32а2)]х2(х3)2 + + [а\(аО1 + а32а2) + а^(а12а33 + а32а13) + а1(а2а2 + а^а13)]х1 х2 х3, (2.10)
где в круглые скобки заключены коэффициенты а11, а22, а33, а12, а13, а23 квадратичной формы М2(х', х2, х3) = (а12 х1 +а2 х2 +а32 х 3)(а13 х1 +аъ2 х2 +а33 х3). Сравнивая коэффициенты при одинаковых одночленах в выражениях (2.9) и (2.10), получаем равенства
а11 (а12а13) = а11а11 = аш
а2(а2а2) а2а22 аззз,
«з («з «з) — а3азз — аззз,
а11 (а2а2 + а22а1з) + а1, (а12а1з) = а112а12 + а\ап = а112, а11 (а12азз + аз2а1з) + «(а12а1з) = а112а1з + а\ап = а11з, а11 (а22 а2) + а\(а2а2 + а22а1з) = а11а22 + а\2а12 = а122,
«(а 32а33) + а1 (а12азз + аз2а1з) = а11а22 + а\ 2а1з = а1зз,
а1, («2«33 + а за) + а\ («1«ъ2) = а\2а2з + а,1 а22 = а22з, (2.11)
а\ (а 32а33) + а,! (а 22а33 + а за) = а\азз + а,! 2а 2з = а2зз,
«(«о3 +«32«3) +а1(а|2аз +а2аз) +«3(«12а3 +«2оз) =а112а2з +«22а13 +а12а12 = а12з.
Исключая из первых девяти уравнений (2.11), связывающих между собой координаты собственного вектора и коэффициенты форм второй и третьей степени, коэффициенты формы второй степени, получаем уравнения
а111 (а2 ) а112а1(а2) ^ а122 (а1 ) а2 а222 (а1) 0,
аш(а3)3 - а113а1(а3)2 + а1зз(а1)2аз - а^^а)3 = 0, (2.12)
а222 (аз) — а223а2(а3) ^ а233 (а2) «з — аз33 (а2 ) = 0,
в которых верхний индекс у координат собственного вектора опущен в связи с утерей его смысла.
Очевидное обобщение формул (2.12) на случай системы вида (1.1) порядка п имеет вид
ап...11(а2) — а11...12(а2) а1 ^ а11..22(а2) (а1) —...— а22.22(а1) = 0,
a3l...11(«п )П — а11...1п («п )П—1«1 + а11...пп(ап )П—2(а1)2 — ...— апп..пп(а1)П = 0,
а22...22(аз) — а22...23(^«з) а2 ^а22..33(а3) (а2) —... — а33..33(а2) = 0, (2.13)
a(п-1)(п-1)...(п-1)(п-1)(«п) a(п-1)(п-1)...(п-1)п («п ) «п—1 + a(n-1')(п-1')...пп(«п) («п—1) .
\П
—а (а 1)П = 0.
ПП..ПП\ П—1 у
п(п — 1)
Всего, как легко сообразить, имеем N =---------------- уравнений. Каждое
уравнение содержит п +1 коэффициент. Следовательно, в уравнениях (2.13) п(п 2 — 1)
всего N(п +1) =-------- ---- коэффициентов. Каждый из п коэффициентов
а11 1,..., апп п встречается в уравнениях (2.13) (п — 1) раз, так что всего в этих
... п(п 2 — 2п + 3) ЛГ
уравнениях N (п +1) — п(п — 2) =---------- -------= N 2 различных коэффициен-
тов.
Форма п-й степени относительно п переменных содержит всего
с 2пп 1 = (2п—1)! = N
2п—1 п!(п — 1)! 1
коэффициентов (не обязательно отличных от нуля). Столько одночленов вида А( х1) к1( х2) к2...(хп) кп (к1 + к 2 +... + кп = п)
содержится в форме Мп(х1,...,хп) общего вида [12]. Таким образом, для составления уравнений (2.13) из общего числа М1 коэффициентов формы Мп(х1,...,хп) требуется знание только Ы2 ее коэффициентов. Например, пользуясь приведенными формулами, легко подсчитать, что из 35 коэффициентов формы М 4( х1,..., х4) для составления уравнений вида (2.13) нужно знать только 22 ее коэффициента. Естественным поэтому является желание иметь формулы для вычисления указанных коэффициентов, минуя процедуру получения явного выражения для формы Мп (х1,...,хп) .
Покажем сначала, как находятся коэффициенты формы М3 (х1, х2, х3) .
Если вычислять определитель (2.8) при помощи разложения по элементам первой строки, получим
ащ = ап (ап а^ — а^ а1з) — ац(а|2 а^ — а^ а^) + ац(а|2 а^ — а12 а^),
а112 = а11(а12 а23 — а12 а23 ^ а22 а13 — а22 а13 ) ^ а21 (а12 а13 — а12 а13 ) —
— а11 (а12 а23 — а12 а23 ^ а22 а13 — а22 а13 ) — а21(а 12 а13 — а12 а13 ) ^
— ац(а12 а2з — а12 а23 + а22 а13 — а22 а13 ) ^ а21 (а12 а13 — а12 а13 )
и т.д.
Запишем теперь 3 х 9 -матрицу
' а1 а121 а311 а112 а1 22 а132 а113 а123 а1 Л ы33
В = а121 а221 а321 а122 а222 а322 а123 а223 а323
ч а131 а231 а331 а132 а232 а332 а133 а233 а33 у
(А1 А2 А3) .
Как видим, эта матрица состоит из трех блоков, каждый из которых имеет три столбца. У каждого элемента матрицы второй нижний индекс фиксирует номер блока, в котором он расположен, а первый - номер столбца в данном блоке. Выбирая произвольно по одному столбцу из каждого блока, будем располагать их в порядке следования блоков. Тогда определитель, составленный из этих
столбцов, символически можно записать в виде | і j к| (і, j, k = 1, 2, 3), ука-
зывая тем самым, что на первом месте расположен і-й столбец первого блока, на втором - }-й столбец второго блока, на третьем - к-й столбец третьего блока.
Используя эту символику, нетрудно заметить, что указанные выше коэффициенты можно представить равенствами
а111 = |111|
а112 = 1112 +1121 + 2111
и, далее, по аналогии с этими равенствами,
а122 = |122| +1212| +1221|, а113 = |113| +|131| +|311|, а133 = |133| +|313| +1331|, а22з = |223| +|232| +|323| , а233 = |233| +|323| +1332|, а222 = |222| , а333 = |333| .
Теперь легко указать формулы для вычисления коэффициентов, входящих в уравнения (2.13). Каждый из них представляется в виде а.
.ik ...к
(і,} = 1,..., п), где і повторяется а раз и к повторяется [ раз
(а + [ = п) . Обобщая предыдущие формулы, получаем
аі ік к = і.. ік...к +... + к...кі...і
(2.14)
где все определители образованы всевозможными перестановками п столбцов с повторяющимся а раз номером і и повторяющимся [ раз номером к. Число таких перестановок, как известно, равно
Р =
п! а! [!
Столбцы, фигурирующие в этих формулах, берутся из п х п2 -матрицы
в = (Л А, ... Ап).
Например, в случае М = М4(х1, х2, х3, х4) коэффициент а1122 представ-4! 6 й ляется в виде суммы ^ ^ = о определителем:
а1122 = |112, +|1212| +11221 +|2112| +|2121| +|2211|.
Вернемся к равенствам (2.11). Последнее из этих равенств осталось неис-
1 2 3
пользованным, и может показаться, что одночлен аш х х х никакого влия-
ния на представимость формы М 3( х1, х2, х3) в виде произведения трех линейных форм не оказывает.
На самом деле это не так. Дело в том, что до сих пор мы исходили из того факта, что представление формы М 3( х1, х2, х3) в указанном виде существует.
Поэтому сходимость любого вычислительного процесса, основанного на уравнениях (2.12), гарантируется самим существованием равенства (2.10). Следовательно, найденные при помощи уравнений (2.12) координаты векторов
а1,а2 ,а3 будут автоматически обеспечивать выполнение последнего из равенств (2.11), которое, таким образом, можно использовать для контроля правильности вычислений.
Естественно поставить вопрос: всякая ли форма третьей степени относительно трех независимых переменных может быть представлена в виде произведения трех линейных форм относительно тех же переменных. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 2.3. Форма третьей степени относительно трех независимых переменных представима в виде произведения трех линейных форм относительно тех же переменных тогда и только тогда, когда система уравнений, состоящая из уравнений (2.12) и последнего из уравнений (2.11), совместна.
Аналогичную теорему можно сформулировать для формы п-й степени относительно п независимых переменных, но, поскольку она нам в дальнейшем не понадобится, мы не будем этого делать.
Замечание 2.1. Степени /1,..., /т, в которые возводятся формы
zks 1 = ак‘ 1 х (^ = 1,...,т) в формуле (2.7), можно назвать кратностями этих форм в разложении функции М на множители и одновременно кратностями собственных векторов ак 1 (^ = 1,...,т) матрицы А0, так как они действительно являются кратными «корнями» уравнений (2.13). Так как числа /1,..., /т опреде-
ляют также размеры жордановых клеток в жордановом представлении матрицы А0, то можно утверждать, что каждому собственному вектору матрицы кратности /!1 соответствует в указанном представлении матрицы жорданова клетка размером /!1 х /;1. Поэтому знание кратностей собственных векторов матрицы А0
позволяет выписать ее жорданову форму в общем виде еще до того, как будут определены ее собственные числа.
3. В связи с полученными в пунктах 1, 2 результатами на первый план выступает задача нахождения множеств попарно перестановочных матриц, перестановочных с заданной матрицей А0.
Одним из таких подмножеств является множество всех степеней матрицы Ао [13]:
АО = Е, А = Ао, А02,..., Ап,... (3.1)
Так как в этом множестве матриц не может быть более п линейно независимых, то любые п + 1 из них линейно зависимы. Например, линейно зависимы первые п + 1 из матриц (3.1). Поэтому существуют не все равные нулю числа а1,...,ап, при которых имеет место равенство
апЕ + ап-1 А0 + ап-2 А0 + ...,а1 А0 1 + А0 = 0. (3.2)
Из этого равенства следует, что матрица Ап является линейной комбинацией с постоянными коэффициентами всех предыдущих степеней матрицы А0:
А0 = а1 А0п 1 _ ... _ ап-1 А0 _ апЕ .
Пользуясь этим равенством, легко показать, что и все последующие степени матрицы А0 линейно с постоянными коэффициентами выражаются через те же матрицы. Отсюда следует, что максимальное число линейно независимых степеней матрицы А0 всегда можно найти (известными способами) среди п ее первых степеней.
Коэффициенты а1,...,ап, содержащиеся в равенстве (3.2), находятся из соответствующей этому равенству системы линейных уравнений
5)ап + ап-1а1Л + ап-2а) 2 + ... + а1а^п-1 + а)п = 0, (3.3)
где дг}- - символ Кронекера (остальные обозначения пояснений не требуют). Согласно тождеству Гамильтона - Кэли [14], эта система всегда имеет решение
а1 = p1,...,an = pn, где p1,...,pn - коэффициенты характеристического многочлена матрицы А0:
Хп + pjXn 1 +... + pn_j4 + pn = о.
Если число линейно независимых уравнений в системе (3.3) равно n, то указанное решение является ее единственным решением. Если же число линейно независимых уравнений в системе (3.3) меньше n, то она имеет бесконечное множество решений, одно из которых дает коэффициенты минимального многочлена матрицы А0. Чтобы получить в этом случае указанное решение, можно те
из коэффициентов а1,...,ап, которые выбраны в качестве свободных параметров, задать при помощи формул, определяющих коэффициенты характеристического многочлена матрицы А0 через ее диагональные миноры.
Из сказанного выше вытекает следующая теорема.
Теорема 3.1. Если rang{e, Aj, А02,...,АО) = n, то коэффициенты pj,...,pn характеристического многочлена матрицы А0 образуют единственное решение системы (3.3), соответствующей матричному равенству (3.2). Если же rang{e, А\, А02,..., А0п) = r < n, то при помощи системы (3.3) можно найти r из
указанных коэффициентов при условии, что в системе (3.3) неизвестные коэффициенты характеристического многочлена, принятые в качестве свободных параметров, будут предварительно каким-либо образом вычислены. В этом случае можно найти также коэффициенты минимального многочлена матрицы А0 .
Таким образом, мы имеем еще один метод (в дополнение к уже известным [15]) вычисления коэффициентов характеристического многочлена произвольной матрицы. В имеющейся литературе по численным методам линейной алгебры этот метод не описан.
Возвращаясь к поставленной выше задаче, заметим, что ее можно решить иначе: сначала найти множество всех матриц, перестановочных с данной матрицей А0, то есть решить так называемую задачу Фробениуса [16], а затем из этого множества выбрать n линейно независимых, попарно коммутирующих матриц. Решение этой задачи, использующее приведение матрицы к нормальной жордановой форме, содержится, например, в [17]. Решать ее можно и непосредственно, используя определение перестановочности матриц А0 и А, что приводит к равенствам
n
Е(aj0ak -a)alk0>)=0 (лk = n),
j=1
(3.4)
которые после некоторых преобразований приводятся к следующему, удобному для применения виду
(А0Т - а^Е)а1 т - а1,0Еа2 т -... - а\0Еапт = О,
-1 т
- а10Еа1 1 + (АТ - а20Е)а2 т -... - а2п0Еап 1 = О
п т
(3.5)
- а” Еа1 т - а2п0Еа1 т -... - (АО - апп0Е)ап т = О
-2 т
Это - линейная однородная система п2 уравнений относительно п2 неизвестных элементов матрицы А = (а. ^ . Ее матрица записывается следующим образом:
- а\.0 Е
а10Е А0 а20Е
- аЮ Е
- а2п0 Е
- ^0 Е - ап20 Е
А0 - апИ0Е
= . - а,.,Е)п
(3.6)
Так как минимальное число линейно независимых матриц, перестановочных с матрицей А0, равно п [18], ранг этой матрицы не может быть больше
п2 - п, что согласуется с теоремой 1.2. Общее решение системы (3.5) можно найти при помощи метода Г аусса.
4. Полная проблема собственных чисел обычно решается по схеме «собственное число собственный вектор», в которой нахождению собственных векторов матрицы предшествует нахождение ее собственных чисел, что и приводит к общеизвестным осложнениям. Поэтому, естественно, возникает мысль о том, нельзя ли находить собственные векторы данной матрицы, минуя процедуру составления ее характеристического уравнения и нахождения его корней, то есть решать указанную проблему по обращенной схеме «собственный вектор собственное число». В пункте 3 мы убедились, что реализация этой схемы вполне возможна и указали способ вычисления координат собственных векторов матриц, не требующий знания их собственных чисел. Этот способ всегда приводит к цели, однако, имеет существенный недостаток, заключающийся в необходимости решать большое количество алгебраических уравнений высоких степеней при рассмотрении матриц высоких порядков. Поэтому представляют интерес и другие (может быть, нерегулярные) методы реализации указанной схемы.
Один из таких методов основан на использовании целых неотрицательных степеней данной матрицы А0. Будучи попарно перестановочными, все эти матрицы представляются в виде линейных комбинаций с постоянными коэффициентами канонических матриц, построенных с помощью взаимных жордановых
базисов матриц А0 и Ат . Суть метода состоит в нахождении таких линейных
с постоянными коэффициентами комбинаций этих матриц, которые представлялись бы в виде линейных с постоянными коэффициентами комбинаций канонических матриц, что дает определенную информацию о собственных и присоединенных векторах матриц А0 и Ат . Коэффициенты указанных линейных комбинаций определяются исходя из конкретного вида используемых матриц, поэтому значительную роль в методе играет элемент догадки. Однако, как показывают многочисленные примеры, во многих случаях его применение быстро приводит к цели.
Пусть, например, указанным методом найдена матрица
Г Рі ї
А = Ра =
Г
(а\...ап ) =
аїРі ...апРі ї
(4.1)
где векторы Р и ос являются собственными векторами соответственно матриц А0 и А'тт . Именно таковы канонические матрицы Ак +1 (^ = 1,..., т) , принад-
лежащие множеству матриц (1.32), а также все матрицы (1.45). Для дальнейшего существенно то, что, как было отмечено при рассмотрении равенств (1.37) и (1.45), все собственные векторы матрицы А0 являются также собственными
векторами и матриц Ак +1 (^ = 1,..., т) в первом случае или матриц (1.45) во
втором случае.
Матрица А принадлежит к тому или иному из указанных типов матриц в зависимости от того, чему равен ее след SpA = ОР . При этом
А2 = (оР1 +... + оп рп) А = ОрА,
откуда следует, что матрица А идемпотентна, как и матрицы (1.45) (и матрицы Ак +1 при ^ = 1), в случае ОР = 1, и нильпотентна, как и матрицы Ак +1 при
^ > 1, в случае ОР = 0 . Поэтому, как сказано выше, все собственные векторы матрицы А0 являются одновременно и собственными векторами матрицы А. Это позволяет свести задачу нахождения собственных векторов матрицы А0 к нахождению тех собственных векторов матрицы А, которые являются одновременно и собственными векторами матрицы А0 . Во многих случаях эта задача
решается достаточно просто даже при высоких порядках рассматриваемых матриц.
Собственные векторы матрицы А находятся очень просто. Ее характеристическое уравнение
хп - р^-1 + р2Г-2 -... + (-1)прп = 0
превращается в уравнение
Ап - ОРТ-1 = 0,
так как в силу известных выражений коэффициентов р1, р2,..., рп через диагональные миноры матрицы [19] и свойств матрицы А имеем р1 = ОР, р2 = ... = рп = 0 . При аР = 1 указанное уравнение имеет один ненулевой корень Т1 = 1 и нулевой корень Т2 = 0 кратности п—1. При ОР = 0
указанное уравнение имеет только корень Т = 0 кратности п.
Система однородных линейных уравнений, служащая для нахождения координат С,1,..., ^п собственных векторов матрицы А, имеет вид
(аїР1 - Х)С + а2Р1С + ... + ап Р'С = 0,
аф2С + (а2Р2 -Л)С2 +... + апР2Сп = 0,
аРпС + а2РпС2 + ... + (апРп -Х)С = 0.
(4.2)
Нетрудно убедиться, что при X = 1 этой системе удовлетворяют координаты вектора Р , что и должно быть согласно способу образования матрицы А. При X = 0 указанная система сводится к одному уравнению
а1С1 + а2С2 +... + апСп = 0, (4.3)
из которого можно найти одну неизвестную координату, остальные задавая произвольно с таким расчетом, чтобы получаемые векторы были линейно независимы. Например, произвольный собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному числу X = 0 , при ап * 0 представляется в виде
С = (С',Сг,--;С",а1С‘ +... + а'„_іС"-1) (а, = -а, а„ * 0, і = 1,.,п-1),
а
С1 /- 2 /- п-1 г-\ г"
,4 , •••,4 произвольны. Этот вектор окажется собственным вектором матрицы А0 в том случае, если координаты 4', 42,..., 4 п-1 будут выбраны таким образом, чтобы выполнялось равенство
ЛС = Т4, (4.4)
где Т - одно из собственных чисел матрицы А0, также подлежащее определению.
Последнее равенство эквивалентно системе п уравнений, линейных относительно координат 4 ,С2,.,Сп1, с коэффициентами, зависящими от Т. Задача состоит в нахождении значений Т, при которых эта система совместна, и последующем определении координат С1,С2,.,Сп-1. Одно решение этой
системы дает вектор Р , так как по условию ОР = 0 .
Заметим, что равенство (4.3) можно использовать для нахождения собственных векторов матрицы А0 и в том случае, когда известен только собственный вектор О = (<О1,...,Оп) матрицы Ат .
Кроме того, указанные матрицы часто удается найти при помощи системы уравнений (3.5).
5. Полученные в пунктах 1, 2 результаты позволяют указать чисто алгебраический метод нахождения общих интегралов однородных линейных дифференциальных систем с постоянными коэффициентами.
Рассматривая совокупность попарно перестановочных линейно независимых операторов X0f,Х1 f,...,Хп-1 f , можно утверждать, что уравнение
X 0 f = 0 допускает абелеву группу Gn-1 с операторами Х1 f,..., X п1 f . Так как абелевы группы всегда разрешимы, то, согласно известной теореме о разрешимых группах [20], интегрирование уравнения X0 f = 0 (а следовательно,
и соответствующей ему системы (1.1)) сводится к квадратурам. Более того, в нашем случае абелевой однородной линейной группы удается полностью проинтегрировать все уравнения Xkf = 0 (к = 1,...,п) (а потому и все соответствующие им линейные однородные дифференциальные системы с постоянными коэффициентами), и также получить конечные уравнения группы Gn, порожденной операторами X0 f, X1 f,., Xn-1 f .
Действительно, так как оператор X0 f перестановочен со всеми операторами X1 f,., Xn-1 f, можно утверждать, что уравнения
X ^ = 0,., Xn-lf = 0,
(5.1)
образующие полную систему, допускают оператор X0 f . Следовательно, если и( х1,..., хп ) - отличное от постоянной решение этой системы, то X 0и - также решение этой системы, причем X0и не может быть тождественным нулю, так как в противном случае система уравнений X0 f = 0, X1 f = 0,..., Xn-1 f = 0 была бы зависимой. Поскольку система (5.1) может иметь только одно независимое решение, то должно быть X0и = (р(и), и если положить и0 = Г------------,
1 (р(и)
то и0 будет решением системы (5.1) и уравнения X 0 f = 1, то есть тождественно будут выполняться равенства
Ри ^ Ри ^
X0и0 - £0 Ри- + ... + £п0 — = 1,
0 0 ах1 0 Рхп
Ри0 Ри0
X 1и0 = £ аи- + ... + ^1п — = 0,
1 1 Рх 1 Рхп
аи 0 аи 0
X п-1#0 - аит+.+^ аип=0.
Рх Рх
Теперь воспользуемся тем, что в системе попарно перестановочных операторов X0 f, X1 f,..., Xn-1 f все операторы совершенно равноправны и приведенные рассуждения можно повторить, выбрав вместо оператора X0 f любой
другой оператор из указанной системы операторов. Отсюда следует, что существует совокупность отличных от тождественных постоянных функций
и0,и', ,ип-1, обращающих в тождества следующие равенства:
(0) Х0и0 = 1, X 1и0 = 0,
(1) Х0и1 = 0, Х1и1 = 1,
(п -1) X 0и = 0, X и = 0
■•, Хп-1и0 = 0,
- Хп-Х = 0,
■■■, Хп-1ип-1 = 1.
(5.2)
Каждую из этих систем можно рассматривать как систему уравнений относительно частных производных соответствующей функции по переменным
х1, х2,..., хп . Все они имеют одну и ту же матрицу, а именно введенную нами в рассмотрение в пункте 2 определяющую матрицу
(5.3)
это позволяет объединить равенства (5.2) в одно матричное равенство
(С)
дХі У их
= Е.
(5.4)
Так как операторы X 0 /, X1 /,... , X п -1 / линейно независимы, то
ранг матрицы (5.3) для общих значений х1, х2,., хп равен п, а потому ее определитель (определяющая функция)
М = М =
* 0
для указанных значений х , х ,..., хп . Тогда из равенства (5.4) получаем равенство
дик
дХ
У ^ У
= М-1 =
Ак
У М У
умножив обе части которого слева на вектор dx = (<3х1,...,dxn), приходим к равенствам
п АкСХ'
Сик =У А----------- (к = 0, 1,., п -1).
1=1 М
(5.5)
Интегрируя полученные полные дифференциалы в пределах от Р0 (х0,
до Р(х1,., хп) (М(Р0) * 0, М(Р) * 0), находим решения
и
Р 1 п
(Р) =/ Аск' + ик (Р„) (к = 0, 1.п -1)
Р0 М ' =1
, Х0п )
(5.6)
соответственно систем (0), (1), ..., (п-1) в (5.2).
Напомним, что для всякой однопараметрической (с параметром т ) непрерывной группы G изменение произвольной дифференцируемой функции / при бесконечно малом сдвиге вдоль траектории группы характеризуется равенством
СУ = ХуСт,
где XУ - инфинитезимальный оператор группы G. В силу этого, равенства (5.2) можно переписать в виде
(0) С0и0 = Ст0, С1и0 = 0, ..., Сп_ и0 = 0,
(1) С0и1 = 0, С1и1 = Ст1, ..., Сп1и1 = 0,
і0ип 1 = 1, С,ип 1 = 0, ..., С ип 1 = Ст ,,
0 5^55 п-1 п-1 5
где нижний индекс указывает однопараметрическую группу, вдоль траекторий которой рассматривается указанное изменение соответствующей функции. Интегрируя эти равенства, получаем равенства
(0) и0 = т0 + С00, и0 = С;, ..., и0 = С
(1) и1 = С0, и1 = тС1, ..., и1 = С^
(п-1) ип-1 = С0п-1, ип-1 = СГ1, ..., ип-1 = Тп-1 + сп-1,
(5.7)
где функции ик (к = 0, 1,., п -1) определяются равенством (5.6).
В совокупности равенств (5.7) левые части всех равенств к-го столбца, кроме левой части к-го равенства, образуют полный набор независимых решений уравнения ХкУ = 0 . Сами эти равенства образуют полный набор независимых первых интегралов соответствующей указанному уравнению однородной линейной дифференциальной системы с постоянными коэффициентами. Вместе
с к-м равенством они позволяют выразить координаты х1,х2,...,хп через соответствующие произвольные постоянные и групповой параметр тк , то есть записать общее решение указанной системы уравнений, определяющее в фазовом пространстве (х1,х2,...,хп) траектории однопараметрической (с параметром тк ) группы, порождаемой оператором ХкУ .
В частности, равенства и1 = С0,...,ип-1 = С0п 1 образуют полный набор независимых первых интегралов системы (1.1), которые вместе с равенством и0 = т0 + С0 позволяют выразить координаты х1,х2,...,хп через произвольные постоянные С00, С0,., С0п-1 и параметр т0 = і, то есть записать общее
решение системы (1.1), определяющее в фазовом пространстве (х1, х2,..., хп) траектории однопараметрической (с параметром і) группы, порождаемой оператором Х0 у.
Наконец, равенства
и0 = т0 + С00, и1 = т1 + С0,., ип-1 = тп-1 + С0п-1
позволяют выразить координаты х ,х х через все указанные параметры и произвольные постоянные, то есть записать конечные уравнения абелевой группы Gn, порождаемой попарно перестановочными операторами
X0/,X/,...,Хп_ / .
Далее сосредоточим внимание только на задаче интегрирования системы
(1.1). Исходя из изложенного, схему решения этой задачи можно описать следующим образом: 1) для матрицы А0 заданной системы каким-либо образом находится совокупность перестановочных между собой и с самой матрицей А0 матриц А1,..., Ап- 1; 2) по найденным матрицам составляется определяющая матрица М, ее определитель |М| = М и обратная матрица М 1; 3) находятся
полные дифференциалы (5.5), интегрирование которых дает искомые функции
(5.6).
Непосредственное применение этой схемы к конкретным системам может привести к громоздким вычислениям даже в случаях систем невысоких порядков. Вычисления значительно упрощаются, если для матрицы А° каким-либо
образом найден жорданов базис ак+у = 1,..., т, у = 1,..., ) .
Действительно, если указанный жорданов базис известен, то, согласно изложенному в пункте 1, можно построить каноническую систему операторов (1.29), определяющая матрица для которой имеет вид (2.4) с клетками (2.5) и определителем (2.7). Обращая матрицу М, получим также клеточно-диагональную матрицу
М-1 = diag (М-1, М^1,..., м;1)
с клетками линеиного верхнетреугольного вида
(А,_, А,_, ... А,,
м;1 =
А
0 0
.А
.А
такими, что
м, м;1 =
Ґ к, +1 к, +2
2 2
п к, +1
0 о
2к,+1, Л(а А
2 к, +1 к,+2
к, +1
0А
00
Ак
А
А
^(10
0 1
... 0 ^
... 0
0 0 ... 1
0
2
Пользуясь этим равенством, получим равенства
2^+‘А к,+1 = 1, 2к+1А к,+2 + 2^+2 А к,+1 = 0, 2к +1^ ,, + 2к+2А, ,, , + ... + 2к +1, А = 0,
(5.8)
из которых последовательно находим
Ак,+ = -^Т (2*1" * 0).
2 5
2к,+2 А,_ =—^А,
к, +2 к, +1 к, +1
2 ,
Л 1 Ґ к, +2 а і к, +3 а \ (5.9)
А +3 =; -І-+Т А к,+ 2 + А •,«) ■
А к.+, =- "ГГ (2‘- *' А к,„, -1 + . + 2К‘ *'■ А ,, „Х
где правую часть каждого равенства следует выразить только через коэффициенты 2 при помощи всех предыдущих равенств. Тогда полные дифференциалы
(5.5) функций ик +у представляются в виде
duks+у = А к, +1 +А к,+у-^+2 +... + А ^+^+у,
а сами функции можно определить равенствами
2к5+1 гкз+у
ик+ = 14к,+У(^к,+1,гк,+2,.,гк+У$&!&1 + 14к,+У-1(2о?+1,2к,+2,..,2к,+у)а2к.,+2 +.
к, +1 к,+2
20 20 (5.10)
2к,+1
+ 14к,+1(20?+1,20+2,.. ,2к,+у)й2к,+У + Ск,+У ,
£+У
где интегрирования следует выполнять в обратном порядке, начиная с последнего.
Пользуясь равенствами (5.9), легко убедиться, что каждый элемент А к +у
/к, +1\-1 к, +2 к, +1,
представляется в виде некоторого полинома от (2 ) ,2 ,...,2 , причем
каждое слагаемое этого полинома обязательно содержит множитель
где ос > 0 . Отсюда следует, что результаты всех интегрирований в правой части равенства (5.10), начиная со второго, будут содержать слагаемые только двух типов: слагаемые смешанного типа, то есть слагаемые, выражения которых содержат как координаты с индексом «0», так и координаты без этого индекса, и слагаемые, выражения которых содержат только координаты с индексом «0».
Согласно известным свойствам полных дифференциалов, выражение, полученное после выполнения всех интегрирований в правой части равенства (5.10), не может содержать слагаемых смешанного типа. Поэтому все слагаемые смешанного типа, полученные в результате первого и всех последующих интегрирований, взаимно уничтожатся и останутся только слагаемые, выражения которых содержат либо только координаты без индекса «0», либо только координаты с этим индексом. Совокупность всех слагаемых первого типа и дает нам
аналитические выражения искомых функций ик1+У , которые мы, таким образом, можем получить, если формально проинтегрируем выражения для Ак +1, по
к, +1
2 1 , считая остальные координаты постоянными:
и*+У =|Ак+, (2к1 +1, 2к1+2,..., 2^ +У ^2^ + Ск1+У . (5.11)
Зная функции ик'1+У (1 = 1,., т, V = 1,., I,) и разложение (1.11) оператора Х0 f по каноническому базису, легко найти полный набор линейно независимых решений уравнения Х0 f = 0 . Действительно, так как оператор Х0 f является линейной комбинацией с постоянными коэффициентами канонических операторов, то решения уравнения Х0 f = 0 являются линейными комбинациями с постоянными коэффициентами функций и',и2,...,ип :
~ 1 2 п
и = о и + о и +... + о и .
1 2 п
Подставляя это выражение для и в (1.11) и требуя, чтобы тождественно выполнялось равенство X 0и = 0, получаем равенство
Е[я 5Хк„ +1О1М1 +... + ОпЫп ) + Хк!! + 2О1М1 + ... + ОпЫп )] =
1=1
т
= (оХк, +1М1 + ... + ОпХк1 +1ип ) + О^к, + 2М1 + • •• + ОпХк!! + 2ип ] =
т
= Е (^Ок, +1 + Ок1 + 2) = 0, 1=1
так как Хк +1и
1 = 81
ик,+1 •
X,
к, +2^ = + 2 , ГДе +1, +2 - символы КРонекеРа.
Данное равенство, рассматриваемое как уравнение относительно п неизвестных коэффициентов с,...,сп, имеет ровно п - 1 независимых решений, определяющих столько же независимых решений уравнения Х0 / = 0 . После перехода к прежним переменным эти решения дадут все линейно независимые решения уравнения X0 / = 0. Приравнивая эти решения к произвольным постоянным,
получим п - 1 независимых первых интегралов системы (1.1), не зависящих от переменной £ В качестве равенства, вводящего в рассмотрение эту переменную, можно взять любое решение уравнения X 0 / = 1.
Согласно теореме 2.1 каждой абелевой однородной линейной группе Gn
соответствует вполне определенная (с точностью до расположения клеток) каноническая определяющая матрица М. Это позволяет классифицировать все абелевы линейные однородные группы одного и того же порядка по типам соответствующих им канонических матриц. Каждый из этих типов полностью определяется структурой разбиения на цепочки векторов жорданова базиса с к+у = 1,..., т, у = 1,..., ) , которая может быть описана при помо-
щи числа т = 1,...,п и чисел 11,12,..., 1т, удовлетворяющих условию
I, + +... +1 = п.
1 2 т
Например, при п = 2 имеем два типа канонических матриц
Л
1)
0
■2 у
Л
и 2)
0
Л
'1 у
(т = 2, 11 = 12 = 1) (т = 1, 11 = 2)
а при п = 3 возможны канонические матрицы четырех типов:
( г ^ 1 0 0 > ( г ^ 1 7 2 0 > (г ^ 1 0 0 > ( г ^ 1 7 2 г ^ 3
1) 0 7 2 0 , 2) 0 71 0 , 3) 0 г 2 г 3 , 4) 0 71 7 2
V 0 0 г 3 у V 0 0 г 3 у V 0 0 г 2 ) V 0 0 г1 ,
2
(т = 3, = /2 = 13 = 1) (т = 2, 11 = 2, 12 = 1) (т = 2, 11 = 1, 12 = 2) (т = 1, 11 = 3)
Для каждой канонической матрицы элементы обратной матрицы выписываются по формулам (5.9). Согласно вышеизложенному, если каждую клетку найденной обратной матрицы формально проинтегрировать по первой координате соответствующей клетки данной канонической матрицы, то получим матрицу, элементами которой будут функции (5.11)
(5.12)
где
и =
{ик+1 ик+2 0 ик+1
0 0
... ик+!‘ Л
... ик+!'-1
.и
кг +1
(5.13)
Действуя на эту матрицу оператором Х0 /, получаем, как и следовало
ожидать, жорданову форму матрицы А0: Х0и = А0.
Важно подчеркнуть, что элементы всех клеток (5.13) вычисляются по одним и тем же формулам (5.11) независимо от того, какое значение имеет индекс кб,. Это позволяет в формулах (5.9) и (5.11) индекс кб, опустить и, рассматривая некоторую произвольную матрицу
М =
!
.!-1
V0 0 ... 7* )
вычислить элементы матрицы
и =
и1 и2 0 и1
00
!
!-1
по формулам
|Ду (21, 7 2 ,..., 2у
иУ = I Д., (21, 72
(5.14)
где Ду последовательно вычисляются по формулам (5.9), в которых, как сказано выше, опущен индекс кх.
Укажем несколько последовательных значений Ду и соответствующих им функций иУ:
и
Д.= -V .
г
Д 2 = -
1 \2
Д 3 =
(71)3 (71)2
(г2)3 г2г
Д =-+ 2 г г
(г1)4 (г1)3 (г1)
13
12
и1 = 1п г1,
2 г
и = —
г
22
3 (г ) г
и = -^~тт + “т (г1)2 г
и 4 = (г 2)3
23
г г
■ + -
3(г')3 (г')2 г1
2
г
3
г
г
4
г
У казанные выражения для и', и2, и3, и 4 полностью решают задачу нахождения всей совокупности линейно независимых интегралов любой системы типа
(1.1) вплоть до четвертого порядка.
Рассмотрим для примера второй тип канонической матрицы третьего порядка
М =
(г1 г 2 0 ^
0 г1 0
V0 0 г3 у
В этом случае имеем три функции: функции
г 2
1 1 1 2 ^ и = 1п г и и = —,
г
соответствующие первой клетке матрицы М порядка 11 = 2, и функцию
и3 = 1п г3,
соответствующую второй клетке порядка 12 = 1. Так как
Х0/ = х хЗ+х2]+х ^~3.7,
то, положив
— 12 3
и = с1и + с2и + с3и ,
получаем
X йи = А1С1 + С2 + А2С3.
Мы будем иметь X 0и = 0, если с1, с2 и с3 будут линейно независимыми решениями уравнения
Х1с1 + с2 + Я2с3 = 0 .
Принимая в качестве свободных параметров с1, с3 и придавая им последовательно значения с1 = 1, С3 = 0 и с12 = 0, с2 = 1, находим соответствующие значения с2 = -Л1 и с^ = —Я2. В результате получаем два линейно независимых решения
— 1 1 л 2 —2 л 2 3
и = и — Я1и и и = —^2и + и
уравнения X0 З = 0 . Приравнивая их к произвольным постоянным, приходим
к двум линейно независимым первым интегралам, не содержащим явно переменной * канонической системы однородных линейных уравнений
г1 = х г \ г2 = г1 + х г2, г3 = Я2 г3,
соответствующей уравнению X0 / = 0 (см. уравнения (1.10)).
____ и 1
Решением уравнения X 0 / = 1 является, например, функция и = — , что
0 х1
дает равенство
и1 = х* + с0,
вводящее в рассмотрение переменную *. Равенства
22 г 1 - г
1п г1 = х* + с0, 1п г1 - х — = с\ - Х2 — + 1п г3 = С2 г
определяют общий интеграл указанной канонической системы уравнений, раз-
1 2 3
решая которое относительно г , г , г , получаем равенства
г1 = С 1вх*, г2 = (С V + С2)вх*, г3 = С3вх,
определяющие общее решение этой системы.
Если транспонирование данной матрицы А0 дает матрицу А° , имеющую соответствующий рассмотренному случаю жорданов базис С',С2,С3 с соответствующими ему собственными числами Л1 и Л2, то, подставляя в последние
1 1— 2 -2— 3 -3 —
равенства выражения г = с х , г = с х и г = с х, получим равенства, разрешая которые относительно х1, х2, х3, найдем общее решение линейной системы с матрицей А0.
1. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М. : Наука, І969. 367 с.
2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М. : ГИФМЛ, І958. 468 с.
3. Там же.
4. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М. : ГИИЛ, І947. 359 с.
5. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. - М. : ГИИЛ, І96І. 387 с.
6. Grobner W. Die Lie-Reihen und ihre Anwendungen. Berlin : Veb deutscher Verlag der Wissenschaften, І967. І76 c.
7. Мальцев A.K Основы линейной алгебры. М. : Наука, І970. 400 с.
8. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований.
9. Мальцев A.^ Основы линейной алгебры.
10. Ильин ВА., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М. : Наука, І974. 296 с.
11. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. : Наука, І967. 575 с.
12. Ляпин Е.С., Евсеев A.E. Aлгебра и теория чисел. М. : Просвещение, І978. 447 с.
13. Мальцев A.^ Основы линейной алгебры.
14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц ; Мальцев A.^ Основы линейной алгебры.
15. Мальцев A.^ Основы линейной алгебры.
16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.
17. Там же.
18. Там же.
19. Данилина Н.И. [и др.]. Численные методы. М. : Высшая школа, І976. 368 с.
20. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М. ; Л. : ГИТТЛ, І940. 396 с. ; Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований.
СПИСОК ЛИТEРAТУРЫ
1. Беллман, Р. Введение в теорию матриц. - М. : Наука, І969. - 367 с.
2. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц. - М. : Наука, І967. - 575 с.
3. Данилина Н.И. [и др.]. Численные методы. - М. : Высшая школа, І976. - 368 с.
4. Ильин, ВА. Линейная алгебра I ВА. Ильин, Э.Г. Позняк. - М. : Наука, І974. - 296 с.
5. Лефшец, С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. - М. : ГИИЛ, І96І. - 387 с.
6. Ляпин, Е.С. Aлгебра и теория чисел I Е.С. Ляпин, A.E. Евсеев. - М. : Просвещение, 1978. - 447 с.
7. Мальцев, A.K Основы линейной алгебры. - М. : Наука, І970. - 400 с.
8. Степанов, В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М. : ГИФМЛ, І958. - 468 с.
9. Чеботарев, Н.Г. Теория групп Ли. - М. ; Л. : ГИТТЛ, І940. - 396 с.
10. Эйзенхарт, Л.П. Непрерывные группы преобразований. - М. : ГИИЛ, І947. - 359 с.
11. Grobner W. Die Lie-Reihen und ihre Anwendungen. - Berlin : Veb deutscher Verlag der Wissenschaften, 1967. - 176 c.
