CC BY
41
Вестник Нижегородского университета им. НИ. Лобачевского, 2014, № 4 (1), с. 259-262
259
МАТЕМАТИКА
УДК 517.925
ТЕОРЕМА БАУТИНА О ЧИСЛЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
© 2014 г. М.В. Долов
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
dynamics@mm.unn.ru
Портупола в редащою 08.05.2014
Доказана теорема Баутина об оценке числа алгебраических предельных циклов систем с полиномиальными правыми частями.
Ключевые рлова: полиномиальные векторные поля, предельные циклы, первый интеграл, интегрирующий множитель, алгебраическая интегрируемость, интегрируемость по Дарбу.
Среди исследований, устанавливающих связь между первой и второй частями шестнадцатой проблемы Гильберта, отметим статью [1], в которой содержится
Теорема 1 (Баутина). Существуют системы X = Р(X, у), у = Q(X, у), (1)
где Р и Q - целые рациональные функции степени п, имеющие для произвольного п > 2 число алгебраических предельных циклов, равное максимальному числу овалов алгебраической кривой порядка п, т.е. 1 + (п - 1)(п - 2)/2 для
чётного п и (п - 1)(п - 2) / 2 для нечётного п.
При обосновании этого утверждения в [1] рассматривается класс систем
X = -(у + Х)И'у - Р, у = (у + Х)НX + Н - Q, (2)
где Н=0 - алгебраическая кривая порядка п с максимальным числом произвольно расположенных овалов (М-кривая степени п), параметр X такой, что прямая у + X = 0 не пересекает ни один из овалов кривой Н=0.
Используя (2) и теорему Харнака о числе овалов М-кривой степени п, для доказательства теоремы 1 достаточно показать: 1) при таких значениях X все овалы кривой Н=0 будут изолированными замкнутыми траекториями системы (2); 2) кроме овалов Н=0 у (2) нет других (в том числе алгебраических) предельных циклов; 3) тах^е§ Р^е§ Q) = п, где Р и Q - полиномы вида (2).
В работе [1] доказательств утверждений 2) и 3) нет. При доказательстве 1) используется, вообще говоря, неверное утверждение «эти овалы будут предельными циклами, если ни одно из состояний равновесия не будет центром».
Заметим, что при отсутствии состояний покоя типа центр в окрестности замкнутой траектории все близкие к ней траектории могут быть замкнутыми. В качестве примера можно рассмотреть систему [2]
X = у, у = -X + ^ + Ргу)(1 - X2 - у2), (3) имеющую при у > 1, ( Ф 0 :
1) три состояния покоя 0(0,0) - седло, А(ё,0), В(-ё,0), где ё = ((у-1)/у)1/2, - грубые фокусы
для 32 < 8у3 и узлы для 32 > 8у3;
2) периодическое кольцо (двусвязную область, заполненную замкнутыми траекториями), содержащее инвариантное множество X2 + у2 = 1, при этом внутренняя граница Ь периодического кольца есть петля сепаратрисы седла 0(0,0), такая, что две другие сепаратрисы седла 0(0,0) лежат в области, ограниченной Ь, и имеют предельными точками А и В соответственно.
У системы (3) нет предельных циклов.
Используя результаты работ [3-5], докажем теорему 1.
Вспомогательные утверждения
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
X = Г(X, у)Ну (X, у) + а(X, у)Н(X, у) - Р, (4) у = -Г(X,у)Н'х (X,у) + Ь(X,у)Н(X,у) - Q, где функции а, Ь, Г, и Н однозначны и анали-тичны в области О.
Одним из основных результатов статьи [4] являются теоремы 1 и 2, объединяя которые получим следующую теорему.
Теорема 2. Если в односвязной области О функция Г(х, у) ф 0 и Д(х, у) = (а / Г)'х + +(Ь / Г)' > 0 (Д(х, у) < 0), причём равенство
возможно на множестве меры ноль, то только овалы кривой Н=0, лежащие в О, будут предельными циклами системы (4), при этом циклы гиперболичны и в О не существует периодического кольца.
Если на овале Ь с{(х,у):Н = 0} и внутри
области В с О, дБ = Ь функция Г(х, у) ф 0 и при этом Д = 0, то система (4) имеет интегрирующий множитель ц = (ГН)-1 и все траектории системы (4) в некоторой окрестности 5(Ь,е) овала Ь замкнуты.
Теорема 3 [5]. Пусть выполнены условия
Г(х, у) = ах + Ру + у, а(х, у) = а, Ь(х, у) = Ь, (5) где
а,р,у,а,Ь е Я, |а| + |Ь| > 0, |а| + |р|> 0, (6) и Н(х, у) - полином степени п, такой, что шах^е§ Р, deg Q) < п. Тогда система (4) алгебраически интегрируема, имеет первый интеграл Дарбу НГ- п = с , интегрирующий множитель ц = (НГ) 1 и не имеет предельных циклов.
Теорема 4 [5]. При выполнении соотношений (5) и (6) предельными циклами системы (4) будут только овалы кривой Н = 0, лежащие в области О, тогда и только тогда, когда прямая Г(х, у) = 0 не пересекает овалы Н = 0 и аГ' + +ЬГу' = аа + Ьр ф 0, при этом циклы гиперболичны.
Доказательство теоремы Баутина
Полагая в (4) Г = - у - А, а( х, у) = а = 0, Ь(х, у) = Ь = 1, получим систему (2), удовлетворяющую соотношениям (5) и (6), где аа + рЬ = -1. В рассматриваемом случае область О совпадает со всей фазовой плоскостью и прямая у + А = 0 не пересекает овалы кривой Н = 0. По теореме 4 только овалы инвариантной кривой Н = 0 будут предельными циклами системы (2), при этом характеристический показатель любого цикла отличен от нуля.
Так как deg Н = п, то в силу (2) имеем max(deg Р, deg Q) < п. Пусть max(degР,deg Q) < < п, тогда по теореме 3 система (2) не имеет изолированных замкнутых траекторий. Последнее противоречит тому, что овалы кривой Н = 0 являются гиперболичными предельными циклами системы (2). Следовательно, max(deg Р, deg Q) = п.
Если в (2) H = 0 является М-кривой степени n > 2, то по теореме 4 число алгебраических предельных циклов в силу теоремы Харнака [6] совпадает с числом, указанным в теореме 1. Теорема 1 доказана.
Вопрос о предельных циклах системы (4), когда F(х, у) - линейная функция, a(х, y) = a, b(x,у) = b, a,Ъ e R, изучался в [3,7-9]. При этом в [7-9] указаны условия, когда характеристические показатели периодических траекторий, соответствующих овалам кривой H = 0, отличны от нуля. При выполнении этих условий в [3, 9] доказано отсутствие предельных циклов, отличных от овалов H = 0. Заметим, что в теоремах 2 и 4 функция H (х, у) может быть отлична от полинома.
В связи с теоремой Баутина возникает вопрос существования у вещественной системы (1) (где P и Q - взаимно простые полиномы, max(deg P,deg Q) = n ) предельных циклов, являющихся овалами более чем одной М-кривой. В работе [10] указаны условия, когда, кроме овалов двух М-кривых, у системы (1) нет других предельных циклов.
Теорема 5 [11]. Если предельными циклами системы (1) являются все овалы двух М-кривых Ф1 = 0, Ф2 = 0, deg Ф1 = deg Ф2 = m, то либо при m = n -1 разность полиномов Ф1 и Ф2 не может отличаться на константу, отличную от нуля, либо m < n -1 при Ф2 = Ф1 + а, а = const Ф 0.
В случае, когда степени М-кривых равны 2, доказаны
Теорема 6 [11]. Максимальное число предельных циклов, допускаемых системой (1), в виде окружностей, центры которых лежат на одной прямой, равно n-1, при этом в семейство концентрических кривых с одним центром входит не более (n -1) / 2 окружностей при нечётном n и не более n/2 при чётном n.
Теорема 7 [11]. Если среди траекторий системы (1) имеется семейство L предельных циклов, содержащее n/2 концентрических окружностей, то центры окружностей, являющихся предельными циклами, лежат на одной прямой.
Теорема 8 [11]. Пусть система (1) допускает предельными циклами окружности, центры которых лежат на одной прямой, и число таких окружностей n-1. Тогда у системы (1) нет других предельных циклов в виде окружностей.
По определению система (1) интегрируема по Дарбу, если она допускает первый интеграл
F = ФД...Ф,Pi = C, (7)
Теорема Баутина о числе алгебраических предельных циклов полиномиальных векторных полей
261
где (. Ф 0, Ф.. - многочлены вещественных переменных X, у, коэффициенты которых в общем случае (как и величины (.) комплексные, неприводимые над полем комплексных чисел и попарно взаимно простые. Свойства систем (1), интегрируемых по Дарбу, изучались в работах [7, 12-22].
Обозначим через 5 число различных неприводимых над полем комплексных чисел алгебраических кривых Р. (X, у) = 0, определяющих вещественные предельные циклы системы (1).
Известно, что 5 <(п2 + п)/2 [19]. В [10] доказана
Теорема 9. Если система (1) имеет предельные циклы и интегрируема по Дарбу, то: 1) 1 < 5 < (п2 + п - 2)/2 ; 2) все полиномы Р. (X, у)
вещественные и входят в аналитическое выражение (7); 3) у системы (1) нет других предельных циклов, отличных от Р. (X, у) = 0,. = 1,5 ; 4) характеристический показатель любого цикла отличен от нуля; 5) функция Г(X, у) многозначна в окрестности любого предельного цикла; 6) любой другой первый интеграл Дарбу Г1(X, у) = С имеет вид = КГх, где К и X в общем случае комплексные.
Если 5 = (п2 + п)/2 , то система (1): 1) не имеет других предельных циклов кроме Р. (X, у) = 0,
. = 1,5; 2) неинтегрируема по Дарбу; 3) допускает вещественный интегрирующий множитель Дарбу ц = Р1 Ь1...Р5 Ь, где величина Ьравна порядку кратности предельного цикла, определяемого уравнением Р. (X, у) = 0 .
Заметим, что вопрос о точности оценки сверху для числа 5 в теореме 9 открыт. Обзоры по 16-й проблеме Гильберта опубликованы в [23, 24].
Спорок лотературы
1. Баутин Н.Н. Оценка числа алгебраических предельных циклов системы X'= Р( X, у), у' = Q(X, у) с алгебраическими правыми частями // Дифференциальные уравнения.1980. Т. 16. № 2. С. 362.
2. Долов М.В. О периодическом кольце и особой точке центр // Вестник Нижегородского университета. Серия «Математика». 2006. Вып. 1(4). С. 15-16.
3. Долов М.В., Кузьмин Р.В. О предельных циклах одного класса систем // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29. № 9. С. 1441-1445.
4. Долов М.В., Кузьмин Р.В. О предельных циклах систем с заданным частным интегралом // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 7. С. 1125-1132.
5. Долов М.В., Чистякова С.А. О предельных циклах систем с частным интегралом // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48. № 8. С. 1193-1195.
6. Harnack A. Über die Vielheitkeit der ebenen algebraischen Kurven // Math. Ann. 1876. Bd. 10. S. 189-198.
7. Долов М.В. Канонические интегралы и предельные циклы. Дис....д-ра физ.-мат. наук. Горький, 1983. 293 С.
8. Долов М.В. О предельных циклах одной системы // В сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения. ННГУ. 1991. C. 46-48.
9. Christopher C. Polinomial vector fields with prescribed algebraic limit cycles // Geometrial Dedicata. 2001. V. 88. P. 255-258.
10. Долов М. В. Об алгебраических предельных циклах полиномиальных векторных полей на плоскости // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. № 9. С. 1155-1160.
11. Долов М.В., Павлюк Ю.В. Инвариантные алгебраические кривые полиномиальных динамических систем // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 8. С. 1038-1043.
12. Долов М. В. Предельные циклы и алгебраические интегралы в случае центра // Дифференциальные уравнения. 1975. Т. 11. № 11. С. 1935-1941.
13. Долов М.В., Лисин Б.В. Алгебраические интегралы в окрестности седла // В сб.: Актуальные проблемы геометрии. Чебоксары. 1976. С. 115-122.
14. Долов М. В. Предельные циклы и интегралы Дарбу в случае узла // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. № 3. С. 406-415.
15. Долов М. В. Интегралы Дарбу в случае фокуса // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. № 10. С. 1765-1774.
16. Долов М. В., Косарев В. В. О бифуркациях предельных циклов уравнений, допускающих интегралы Дарбу // В сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький. ГГУ. 1981. C. 3-8.
17. Долов М. В., Косарев В. В. Интегралы Дарбу и рождение предельных циклов из кратного фокуса // В сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький. ГГУ. 1982. C. 10-14.
18. Долов М.В., Косарев В.В., Лисин Б.В. Интегралы Дарбу и бифуркации особых циклов // В сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький. ГГУ. 1982. C. 15-20.
19. Долов М.В., Косарев В.В. Интегралы Дарбу и аналитическая структура решений дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. № 4. C. 697-700.
20. Долов М. В. О дифференциальных уравнениях, порождённых интегралами Дарбу // В сб.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Горький. ГГУ. 1990. C. 31-37.
21. Christopher C., Llibre J. Algebraic aspects of in-tegrability for polynomial systems // Qualitative Theory of Dynamical Systems I. 1999. P. 71-95.
22. Лухманова Т. В. Динамически предельные множества кубических систем дифференциальных уравнений, порождённых интегралом типа Дарбу. Автореферат дис.. ..к.ф.-м.н. Н. Новгород: ННГУ, 1999. 12 с.
23. Ильяшенко Ю.С. Столетняя история 16-й проблемы Гильберта // Фундаментальная математика сегодня. М.: МЦНМО, 2003. С. 135-212.
24. Li J. Hilbert's 16th problem and bifurcations of planar vector fields // International J. of Bifurcation and chaos. 2003. V. 13. № 1. P. 47-106.
BAUTIN THEOREM ON THE NUMBER OF ALGEBRAIC LIMIT CYCLES OF POLYNOMIAL VECTOR FIELDS
M. V. Dolov
The Bautin theorem on the number of algebraic limit cycles of systems with polynomial right parts is proved.
Keywords: polynomial vector fields, limit cycles, first integral, integrating factor, algebraic integrability, Darboux integrability.
References
1. Bautin N.N. Ocenka chisla algebraicheskih pre-del'nyh ciklov sistemy s algebraicheskimi pravymi chas-tyami // Differencial'nye uravneniya.1980. T. 16. № 2. S. 362.
2. Dolov M.V. O periodicheskom kol'ce i osoboj tochke centr // Vestnik Nizhegorodskogo universiteta. Seriya «Matematika». 2006. Vyp. 1(4). S. 15-16.
3. Dolov M.V., Kuz'min R.V. O predel'nyh ciklah odnogo klassa sistem // Differencial'nye uravneniya. 1993. T. 29. № 9. S. 1441-1445.
4. Dolov M.V., Kuz'min R.V. O predel'nyh ciklah sistem c zadannym chastnym integralom // Differen-cial'nye uravneniya. 1994. T. 30. № 7. S. 1125-1132.
5. Dolov M.V., Chistyakova S.A. O predel'nyh ci-klah sistem s chastnym integralom // Differencial'nye uravneniya. 2012. T. 48. № 8. S. 1193-1195.
6. Harnack A. Über die Vielheitkeit der ebenen algebraischen Kurven // Math. Ann. 1876. Bd. 10. S. 189-198.
7. Dolov M.V. Kanonicheskie integraly i predel'nye cikly. Dis....d-ra fiz.-mat. nauk. Gor'kij, 1983. 293 s.
8. Dolov M.V. O predel'nyh ciklah odnoj sistemy // V sb.: Differencial'nye i integral'nye uravneniya. NNGU. 1991. C. 46-48.
9. Christopher C. Polinomial vector fields with prescribed algebraic limit cycles // Geometrial Dedicata. 2001. V. 88. P. 255-258.
10. Dolov M.V. Ob algebraicheskih predel'nyh ci-klah polinomial'nyh vektornyh polej na ploskosti // Dif-ferencial'nye uravneniya. 2001. T. 37. № 9. S. 11551160.
11. Dolov M.V., Pavlyuk Yu.V. Invariantnye alge-braicheskie krivye polinomial'nyh dinamicheskih sistem // Differencial'nye uravneniya. 2003. T. 39. № 8. S. 1038-1043.
12. Dolov M.V. Predel'nye cikly i algebraicheskie in-tegraly v sluchae centra // Differencial'nye uravneniya. 1975. T. 11. № 11. S. 1935-1941.
13. Dolov M.V., Lisin B.V. Algebraicheskie in-
tegraly v okrestnosti sedla // V sb.: Aktual'nye problemy geometrii. Cheboksary. 1976. S. 115-122.
14. Dolov M.V. Predel'nye cikly i integraly Darbu v sluchae uzla // Differencial'nye uravneniya. 1977. T. 13. № 3. S. 406-415.
15. Dolov M.V. Integraly Darbu v sluchae fokusa // Differencial'nye uravneniya. 1978. T. 14. № 10. S. 1765-1774.
16. Dolov M.V., Kosarev V.V. O bifurkaciyah predel'nyh ciklov uravnenij, dopuskayushchih integraly Darbu // V sb.: Differencial'nye i integral'nye uravneniya. Gor'kij. GGU. 1981. C. 3-8.
17. Dolov M.V., Kosarev V.V. Integraly Darbu i rozhdenie predel'nyh ciklov iz kratnogo fokusa // V sb.: Differencial'nye i integral'nye uravneniya. Gor'kij. GGU. 1982. C. 10-14.
18. Dolov M.V., Kosarev V.V., Lisin B.V. Integraly Darbu i bifurkacii osobyh ciklov // V sb.: Differencial'nye i integral'nye uravneniya. Gor'kij. GGU. 1982. C. 15-20.
19. Dolov M.V., Kosarev V.V. Integraly Darbu i analiticheskaya struktura reshenij differencial'nogo uravneniya // Differencial'nye uravneniya. 1983. T. 19. № 4. C. 697-700.
20. Dolov M.V. O differencial'nyh uravneniyah, porozhdyonnyh integralami Darbu // V sb.: Differencial'nye i integral'nye uravneniya. Gor'kij. GGU. 1990. C. 31-37.
21. Christopher C., Llibre J. Algebraic aspects of integrability for polynomial systems // Qualitative Theory of Dynamical Systems I. 1999. P. 71-95.
22. Luhmanova T.V. Dinamicheski predel'nye mnozhestva kubicheskih sistem differencial'nyh uravnenij, porozhdyonnyh integralom tipa Darbu. Avtoreferat dis....k.f.-m.n. N. Novgorod: NNGU, 1999. 12 s.
23. Il'yashenko Yu.S. Stoletnyaya istoriya 16-j problemy Gil'berta // Fundamental'naya matematika segod-nya. M.: MCNMO, 2003. S. 135-212.
24. Li J. Hilbert's 16th problem and bifurcations of planar vector fields // International J. of Bifurcation and chaos. 2003. V. 13. № 1. P. 47-106.
