Построение законов сохранения для нелинейных уравнений, связанных с оператором рассеяния Дирака Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«наука. инновации. технологии», № 3, 2018

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

I-

УДК 517.957

Редькина Т.В. Северо-Кавказский федеральный университет, г. Ставрополь, Россия. TVR59@mail.ru

ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ОПЕРАТОРОМ РАССЕЯНИЯ ДИРАКА

Введение:

Материалы и методы исследований:

Результаты исследования:

Обсуждение и заключения:

проблема интегрируемости нелинейных уравнений в частных производных даже для второго порядка не всегда является очевидным фактом, так как нахождение общего решения возможно только в редких случаях. Доказательство интегрируемости можно обосновать разными способами: с помощью получения большого числа частных решений, сведение к какой-нибудь точно решаемой редукции, а так же построение бесконечного числа первых интегралов.

использованы методы теории солитонов для уравнений обладающих парой Лакса. Для построения законов сохранения используется уравнение изоспектральной деформации с самосопряженным дифференциальным оператором Дирака первого и второго рода. При условии, что функции, входящие в коэффициенты, имеют быстро убывающий характер решение представлено в виде ряда, разложенного по отрицательным степеням спектрального параметра.

Исследованы уравнения на собственные значения с операторами Дирака первого и второго рода. Найдено счетное число первых интегралов. Приведены примеры нелинейных уравнений в частных производных, полученных с помощью операторного уравнения нулевой кривизны, у которых оператор рассеяния совпадает с оператором Дирака. Доказано, что такие уравнения обладают счетным числом первых интегралов.

автором сделан вывод, что среди полученных законов сохранения присутствует Гамильтониан, все интегралы движения находятся в инволюции относительно скобок Пуассона. Это говорит о том, что нелинейные уравнения в частных производных являются гамильтоновыми, что приводит к их полной интегрируемости.

Ключевые слова: оператор Дирака, уравнение изоспектральной деформации, нелинейные уравнения в частных производных, интегралы движения, уравнение Гамильтона, скобки Пуассона, первые интегралы, законы сохранения.

Redkina T.V.

North-Caucasian Federal University, Stavropol, Russia

CONSTRUCTION OF CONSERVATION LAWS FOR NONLINEAR EQUATIONS CONNECTED WITH THE DIRAC SCATTERING OPERATOR

Introduction:

Materials and methods of research:

Results of the study:

Discussion and conclusion:

the problem of integrability of nonlinear partial differential equations, even for the second order, is not always an obvious fact, since finding a general solution is possible only in rare cases. The proof of integrability can be justified in many ways: by obtaining a large number of particular solutions, reducing to some exactly solvable reduction, and also constructing an infinite number of first integrals.

methods of the theory of solitons for equations possessing a Lax pair were used. To construct the conservation laws, we use the equation of isospectral deformation with a self-adjoint differential Dirac operator of the first and second kind. Under the condition that the functions occurring in the coefficients have a rapidly decreasing nature, the solution is represented in the form of a series expounded in negative powers of the spectral parameter.

Eigenvalue equations with Dirac operators of the first and second kind are investigated. A countable number of first integrals is found. Examples of nonlinear partial differential equations obtained with the help of an operator equation of zero curvature are given for which the scattering operator coincides with the Dirac operator. It is proved that such equations have a countable number of first integrals.

the author concluded that among the conservation laws obtained there is a Hamiltonian, all integrals of the motion are in involution with respect to the Poisson brackets. This suggests that nonlinear partial differential equations are Hamiltonian, which leads to their complete integrability.Key words: Dirac operator, equation of isospectral deformation, nonlinear partial differential equations, integrals of motion, Hamilton's equation, Poisson brackets, first integrals, conservation laws.

Введение

Для нелинейных уравнений в частных производных не существует классификации, позволяющей сказать, интегрируемо оно или нет. Теория солитонов [3, 4, 5], рассматривающая модели, обладающие операторной парой Лакса, имеет богатый арсенал доказательств интегрируемости: метод обратной задачи рассеяния, метод Пенлеве, обладание счетным числом законов сохранения и др.

В силу следствий из теоремы Лакса все собственные значения X самосопряженного оператора Ь являются интегралами движения [1, 2]. Рассмотрим возможность построения законов сохранения, используя уравнение

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

. Учет общесистемных закономерностей при моделировании сложных систем.. Маторин С.И., Белов С.П., Жихарев А.Г.

№ 3, 2018

изоспектральной деформации с оператором Дирака первого и второго рода

(qx(x,t) 0 л

А =

(0 8

+

-1 дх V

0 1

v-1

дх

- +

0 q2(x,t\

4i(x,t) q2(x,t)л q2{x,t) —q^Xft)

(1) (2)

т. е. v о Г д — + 0 4 = Л '<р,(х,лу

дх , 0 q2{x,t')j к<р2(х,Л)у К<Р2(Х,Л);

где ц1(х, ?),у = 1,2 - некоторые непрерывные функции, заданные на компактном носителе [а, Ь] (в общем случае носитель может быть как ограниченным так и [- с», + <»]).

Материалы и методы исследований

Рассмотрим уравнение на собственные значения сначала для оператора первого типа

(3)

где X — const - спектральный параметр,

(фх(х, X), ф2(х, X))T - собственная вектор-функция (Т- транспонирование).

Матричная запись (3) эквивалентна системе двух линейных уравнений

Фгх + -

q2(x,t)<p2-<plx=A<p2,

которое можно свести к одному уравнению, выполнив дифференцирование и подстановку

(Л - ^(х.ОМи + qlx(x,t)(plx + (Л- qi(x,t)f[X - q2(x,t)]<p2 = 0.

(4)

Равенство зависит от спектрального параметра X, поэтому будем искать решение в виде

= (5)

где Ф (х, t, X) - неизвестная функция, удовлетворяющая уравнению (4)

ср2х=е1^*^\а + Фя(х,а)), (6)

<р2х = еих+Ф^'-А\(а + Фх(х,1,Л)? + Ф„(*,а)],

Подставляя эти значения в (4), сокращая на ф2, получим:

Распишем полученное нелинейное соотношение по степеням параметра Я:

^д^х^Ф^+д^х^Ф^х^Ф- д^Щ-д^х^дЦх,^ = 0. (8)

Равенство не содержит функции Ф (х, t, Я), поэтому решаем полученное уравнение относительно Ф^х, t, Я). Представим Ф* в виде ряда по степеням Я:

Ф

" я=0(2 Щ".

Подставим это выражение в уравнение (8), так как Я Ф 0, то уравнение распадается по степеням Я на систему, тогда можно найти Я„ из условий:

Л2 : ИЯ^(х,{) - д2(х,{) - дх{х,() = 0,

= + (9)

А: Я1(х,1)+Д£(х,0+Д0х(х,{)+д?+2д1д2-21Л0(х,()д1+1д1х=0,

после подстановки известной функции имеем

-^.<¡2 + <7,]2 -~Ч1х] + ЧхЧг = 0, ЧхА^дг-д^+^-дЛ, (10)

+К --ч\чг --Ъл + ^Чи = о,

21 21

из этого равенства можно найти Я2 (х, ?) 1 2 г

к2 - - чЛ [<12 + чЛ + ЧгА - + - = 0,

= - + «Л - ^[«2» - О - ЧтЯи + ЧгЛ, (11)

Л-1: Д3+ Д,2 + 2ЗД 2Ш2д1 + Щд1х - 4- = 0

после подстановки ранее найденных коэффициентов имеем

+ 77 - ?1]2(5?22 + 6зд2 + 5д2) + Ид2хд22 -ИдХхд\ -+ 1о 1

+\\.Ч2 + З^к^ -+ 2^1* -7^) -^[д2ххх -д1ххх] = о,

(12)

+-(5д22х+2д2хди-1д2и)-—[д2-д1]2{5д22+6д1д2+5д1),

А=0 V ¿=0 У

Из последнего уравнения получим рекуррентную формулу вычисления всех коэффициентов ряда Ф*(х, t, Я):

и+1 п

Л„+2(х,0 = Ъ^а-^ЯЛ^ + Ид^К-н-^-^ЩЛ+^Чу (13)

¿=0 /1=0

В классе уравнений с локальными решениями, сохраняющиеся величины выражаются в виде пространственных интегралов от подходящих полиномиальных комбинаций {) (/ = 1,2) и их производных. Существование этих величин получается как дополнительное следствие того факта, что существуют данные рассеяния, не зависящие от времени. В результате имеем следующие сохраняющиеся величины . ь

/О(х,0 = + я^х^уъс, (14)

■Л(*.0 = + = (15)

1 ^ г4

^(^>0 = ^1 [^2+^1]жх] + С^!2-^! 4/Ь'з-^]2 [^г-1-^!]^' (16)

ЛО'О=|[ - «и!+++чМ^ - \\Ч2+-

а ^

+^(5<?22;С + 2Ч2Ах -?1]2(5?22 + 6ад2 +5<712)1^= (17)

1 ь

= -—/(4(^2, - д1ху + [д2 - д<]2(5д22 + 6ад2 + 5 д2))Ьс.

ряд полученных первых интегралов можно продолжить до бесконечности,

г I "+1

1 *=о

п \ О/ л+1 п '

• - ' 1 fc=0 ■ ~

fite,

(18)

таким образом, получаем счетное число законов сохранения. Сформулируем полученный вывод в виде теоремы.

ТЕОРЕМА 1. Нелинейные уравнения, обладающие парой Лакса с оператором рассеяния Дирака первого рода

к =

О 1 О,

д — +

дх

rq,{x,t) О л О q2(x,t)

обладают счетным числом интегралов движения вида (14) -(18), где Я0, Я1 определяются по формулам (9), (10), а остальные функции по рекуррентной формуле (13).

Аналогичные действия выполним для оператора Дирака второго рода (2)

т.е.

'0 1Л v-1 Oy

д — +

дх

Vi С*. 0

- 3

— /Ь

, Я - consh

уравнение изоспектральной деформации сводится к системе двух линейных уравнений

Ф2х + д1 (х, г)(рх + ц2 {х, г)ф2 =Х<р1, ?2СММ -<Ри~чМ,()<р2 = М-

Систему можно свести к одному уравнению, выполнив дифференцирование и подстановку

[X-ql\(pl=<p2x+q1<p2,

~<к¥<Ри = [¿"^К^ + Чг&г + Ч2(р2х) + Ч1х[<Р2х + Ч2<Р2\

<Р2хх - Ч2х<Р2 ] - Чи \Я>гх + ЧгФг + (19)

Будем искать решение в виде (5), (6), (7). Подставляя эти значения в (19), сокращая на ф2 , получим:

Распишем полученное нелинейное соотношение по степеням параметра X:

-Ш2ФХ + Цд 22 + д2-Ф2Х-ФШ- д2х + 2гдхФх - 1д1х) -

-<Ь\Я\ -ФI "Ф„ - +?21 =

(20)

Равенство не содержит функции Ф(х, t, Я), поэтому решаем полученное уравнение относительно Ф*(х, t, Я). Будем искать Фх в виде степенного ряда по отрицательным степеням 2/Я. Так как в равенстве (20) имеется только один старший член со второй степенью Я, то чтобы ему были подобные необходимо положить, что первый член разложения имеет множитель (2/Я)"1, поэтому:

Ф

* й(2 щя

Подставим это выражение в уравнение (20)

(21)

г *.(*,*)

1~{{2(Шу-2 (2/Я)

+ -

1

чп-1

+

(2/Я)"

А) ^

/ \2

Е—

так как Я Ф 0, то уравнение распадается по степеням 2/Я на систему из которой можно найти Я„.

ш ■ " 2+ ~ Ч2х ~ = °'

(Ш)°:

откуда находим Я1(х, /)

+ ЯА + -я\я1 - Я2,] - ЯиЯ2 = «?>

(22)

после подстановки ранее найденного значения функции Я1(х, /) остается одна неизвестная функция Я2(х, /)

^ + ^2Я2Я2х ~Я2хх ~Ч1хх]~ЯиЯг = °>

которая примет вид

{ИХ)-1: + д^ - диЯп + = 0,

после подстановки ранее найденных коэффициентов имеем

Я3= НЯ1Х(Я2+ Щ) ~ (ч2++2Чгх (я1+Чу + \Яг++

(24)

Замечая общую закономерность, можно записать для любой степени (2/Х)-и уравнение системы

; : ; п+1 л

(2а)-": ~ о.

^ ^ к=1 *=1

Из этого уравнения получим рекуррентную формулу вычисления коэффициентов разложения функции Ф^(х, t, X) в ряд (21):

г п \ (1+1

^(Х,0 = 2ч. -^их-ХЧгА-ТХА^- (25)

V »=1 / *=1

Для уравнений с быстро убывающими решениями, существует последовательность сохраняющихся величин вида:

ь ь

4(*>0 = \\я1+- ч2х - Щи¥х=|[д22+

а а

Ь Ь

Л(*>0 = + Щ1хх - Шч2х - Щх]Ух = и\ЧАх(1х,

а а

Ь а

Ъ Ь

(26)

(27)

(28)

Ряд полученных первых интегралов можно продолжить до бесконечности,

¡+1-Аг

к=1 у

Л V к=\ ) ' '

Ъе( ( п \ "+1

(1х =

Ы+1-к *=1 у

(29)

сЬс,

к=\ /

таким образом, получаем счетное число законов сохранения. Сформулируем полученный вывод в виде теоремы.

Маторин С.И., Белов С.П., Жихарев А.Г.

ТЕОРЕМА 2. Нелинейные уравнения, обладающие парой Лакса с оператором рассеяния Дирака (2), обладают счетным числом интегралов движения вида (26)-(29), где Я2, Я2 определяются по формулам (22), (23), а остальные функции по рекуррентной формуле (25).

В качестве примера рассмотрим нелинейное уравнение в частных производных [6]

РшР~РхРх1=4Р Р»

(30)

имеющее операторную структуру нулевой кривизны Ьи - Ах + [Ьи А] = 0 с операторами Ьх - (1) и А вида

4 Я

-2 Р( Р ХРп

~Р 1Рм некоторая функция, произвольный параметр.

где р(х,?) -

Я -

СЛЕДСТВИЕ 1. Нелинейное уравнение (30) обладает счетным числом законов сохранения

ь

/[ (х, 0 = | р2 (х, /)<&;

а

Ь

1ъ(х,1) = -\[р\х,{) + р2х\<1х-,

а

* \ Ь-_1

где многочлены Яп (х,?) определяются по формулам

^0,0 = р2(х, 0 + ¡рх(х, 0; =

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

Доказательство. Для построения уравнения (30), использовался частный случай самосопряженного оператора Дирака первого рода, когда д2(х, ?) = - ^(х, ?) = р(х, ?). В результате уравнение (4) примет простой вид

[Я + р(х,г)\(р2хх -рх(х,{)(р2х ~[Я + р(х,1)]2(р(х,0 -Л)<р2 = 0.

(36)

После подстановки в (8) значения(6), (7) и расписывая по степеням Я функцию Ф*(х, t, Я), получаем (34), (35). Проинтегрировав полу-

ченные коэффициенты находим: для четных значений п подынтегральные выражения образуют полную производную и поэтому обращаются в нуль, а нечетные дают законы сохранения (31) - (33).

Вторым примером может служить нелинейное уравнение в частных производных [6, 7]

р.-Фи + Цр^2 +^>2)=o,

(37)

имеющее операторную структуру нулевой кривизны Ь2( - Ах + [Ь2, А] = 0 с операторами Ь2 - (2) и А вида

Л=г

-рх-2рЛ р+р1+р2-2рЛ+2Л1^ р-р1 -р2-2рЛ-2Л2 рх+2рЛ

где <71 СМ) = ?г(х>0 = Р(х<0 - комплекснозначная функция, /г(:М)

- обозначено комплексное сопряжение.

СЛЕДСТВИЕ 2. Нелинейное уравнение (37) обладает счетным числом законов сохранения

ь ь

= ||\рг + р2](Ьс, /2(х,/) = 2г|ррхйх,

а а

Ъ

1ъ(х, 0 = -|[Л2 + Й + (р2 +

г I ( " п+

1я+2(х,о = 1-ИрЛ-^Л

■п+1-к

*=1 у

¿х, и = 1,2,...,

*=1 у

где многочлены Я„(х, ?) определяются по формулам

(38)

(39)

(40)

Щ=р +р -рх-Фх; л2См) = -«>„(*,0;

( п \ 71+1

= 2ч> К+1 + + ^ - ^п+1)х - 2Ч>А -

V у *=1

Используя связь^(х,?) = и(х,?) + ы(х,?) уравнение (37) можно записать в виде системы

м< + ул* _4у(М2 - У2)= 0, V, -4и(и2 -V2) = 0,

где м(д:, = Яе у(х, = 1т

СЛЕДСТВИЕ 3. Нелинейная система уравнений (41) обладает счетным числом законов сохранения

ь ь

I, (х, г) = 21 [и2 - V2 ]с!х, /2 (х, г) = 21 (тх - шх >£с,

а а

1г(х,1) = 4\{ 1[их2-г2] + (н2 -у2)2]^,

г I "

=\\ 2(ш -V) дя+1+ +2>А-* + -ш) А -

где

л+1

ы у ы

многочлены Ях(х, ?) определяются по формулам

(42)

(43) с1х, (44)

ъ = и2 - V2 + (1 + оо -и)х, ^=(1 + - V]« - 2(м - Щи - V],);

л Л л+1

К+2 = 2(ш -V) + £ + 2(У - ш) А - - V,),-

Результаты исследований и их обсуждение

Факт гамильтоновости не является очевидным, но найденная счетная последовательность законов сохранения говорит о том, что среди первых интегралов должен присутствовать гамильтониан.

Начнем с быстро убывающего случая. Фазовое пространство М является вещественным линейным бесконечномерным пространством координаты (дь д2), которые задаются парами функций д^х) и д2(х) из ¿(Я), убывающих при |х| ^ да. Наглядно можно считать, что переменная х играет роль номера координат; при фиксированном х значения д^х) и д2(х) пробегают двумерное вещественное пространство Я2 с вещественными координатами (д1, д2).

В соответствии с общим определением вариационных производных

^(д1,д2)=В(д1+Зд1,д2+Зд2)-Р(д1,д2)=^

8Р

8Р

дЧ\ од2 J

сЬс,

с точностью до членов более высокого порядка малости по бд1 и Зд2, для функционалов вида F(д1, д2). Таким образом, вариационные производные явля-

ются, вообще говоря, обобщенными функциями. 1 2

Гладкие вещественно-аналитические функционалы составляют алгебру наблюдаемых на фазовом пространстве М. Введем на этой алгебре пуассо-нову структуру посредством скобки Пуассона

{^н

8Р 80 8Р 80 8дх8д2 8д2 8дх

сЬс.

(45)

Введенная таким образом операция, очевидно, удовлетворяет свойству скобок Пуассона: антисимметрии и тождеству Якоби. Формула (45) обобщает на бесконечномерный случай обычную скобку Пуассона

для функции на фазовом пространстве Я2" с вещественными координатами.

Координаты ^(х) и д2(х) на М можно рассматривать как функционалы, однако их вариационные производные являются обобщенными функциями

8и(у) V ' 8у(у) К ' '

а ^тт и -ф-тг - исчезают, здесь 8 (х - X) - 8 - функция Дирака.

Му) &и(у)

Подставляя формально (46) в выражение (45) получим соотношение

{и(х),и(у)} = {у(х), у(.у)} = 0, {и(х)Ху)} = ^(х - у),

которые можно положить в определение пуассоновой

структуры, из этих формул также получаем выражение

Каждая Н порождает однопараметрическую группу преобразований на фазовом пространстве М, задаваемую гамильтоновыми уравнениями движения

ди , ч 8Н д\ , 8Н

Гамильтониан Н (иногда его называют интегралом энергии) для системы (41) совпадает с третьем законом сохранения (43), найденным в предыдущем пункте следствие 3.

\Ь=Н = ){\[и] - V2] + (и2 - у2)2!^. (47)

4 ■

а ч

Выполняя определение вариационной производной, получаем

8Н дН к йк дН 3 2 „ , 2 2ч V, =-=-+ > (-1) —Г-=4и - 4иу -м = 4и(и - V ) -м„,

г с* л ' 1 * ' J к л хх V / х*7

ои ди " их

8Н

и, =--:

' 8\

Г8Н Л, <1к дН -+/ (-1) —г-

Я,, ' я..

^ Н Ах

= -(4У3 - 4м2у + уя) = 4У(М2 - У2) -

Доказана следующая

ТЕОРЕМА 3. Система уравнений в частных производных (41) обладает гамильтоновым формализмом: переменные поля и и V образуют простой набор канонических переменных

скобка Пуассона имеет вид (45), функционал Гамильтона (47). Наряду с Н рассмотрим функционалы (42)

/,(х,0 = 2 _[[м2 - у2]<£с, /2(;с,0 = 2$(— и-— Дйс. а а V ЙХ ЙХ ]

ТЕОРЕМА 4. Функционалы (42) - (44) удовлетворяют равенствам

{Я,/1}={Я,/2} = {/1,/2} = 0.

Доказательство. Проведем простую проверку (приведем подобные и выделим полные производные)

со со

= +ад - иЛ~ ту) <1х=4\(иху - =0,

—оо —со

аналогично два других случая -4,\°и оу ду ои)

00

=-4|([4м(м2-у2)-мХ1]и1+[4г(у2-м2)+уХ1>;[)аЬс =

т. е. эти функционалы находятся в инволюции. Система уравне-

ний обладает бесконечным набором инволютивных интегралов движения (44), что приводит к ее полной интегрируемости.

Гамильтонов формализм для пары функции и(х) и V (х) системы уравнений (41) проще и естественнее; переменные поля и(х) и V(х) образуют простой набор канонических переменных

{|и(х),у(у)}=#(х-у)

Фазовое пространство состоит из пар функций (и^). Скобка Пуассона имеет вид (45).

Рассмотрим теперь уравнение (37) на комплексную функцию. В записи автоматически подразумевается, что комплексно сопряженное равенство так же выполняется

Р,+1РхХ~21Р(Р +Р ) = о,

поэтому имеется пара функций (р, р), которые являются координатами на М и их вариационные производные являются обобщенными функциями

ыу) { } ту) 1 1

(48)

Для системы (37), вполне обосновано это название, гамильтониан Н совпадает с третьем законом сохранения (39), найденным выше следствие 2.

н = 1-1гы = +р1 + ср2 + р2)2№. (49)

а

Применяя вариационную производную, получаем

-к-2р^р(рг+р2)) = ¡Р.-ШР^Р2), ор ар Тй ах дрь 2

причем, комплексно сопряженное выражение будет выражаться через тот же гамильтониан, так как он является самосопряженным.

ТЕОРЕМА 5. Уравнение в частных производных (37) обладает гамиль-тоновым формализмом: переменные поля р, р образуют простой набор канонических переменных

{р(х),р{у)} = 8(х-у\

скобка Пуассона имеет вид (45), функционал Гамильтона (49).

ТЕОРЕМА 6. Функционалы (38) - (40) удовлетворяют равенствам {Я,/1} = {Я,/2} = {/1,/2} = 0.

Доказательство выполняется постой проверкой.

Выводы

В статье проведено доказательство полной интегрируемости нелинейных уравнений в частных производных, полученных с помощью операторного уравнения нулевой кривизны, для этого

1. Рассмотрено уравнение изоспектральной деформации с самосопряженным дифференциальным оператором Дирака первого и второго рода. При условии, что функции, входящие в коэффициенты, имеют быстро убывающий характер проведено построение решения, разложенного в степенной ряд по отрицательным степеням спектрального параметра.

2. Получено счетное число первых интегралов.

3. Доказано, что среди полученных законов сохранения присутствует Гамильтониан.

4. Все интегралы движения находятся в инволюции относительно скобок Пуассона.

Библиографический список

1. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. Резольвенты и гамильтоновы системы // Функц. Анализ и его прилож. 11, № 2, 1977. С. 11-27.

2. Гриневич П.Г. Преобразование рассеяния для двумерного оператора Шредингера с убывающим на бесконечности потенциалом // Успехи мат. Наук. Т. 55, вып. 6 (336). 2000.

3. Лакс П.Д. Интегралы нелинейных эволюционных уравнений и уединенные волны. // Математика, 13: 5. М.: Мир, 1969. С. 128150.

4. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике / пер. с англ. И.Р Габитова и др.; под ред. А.В. Михайлова. М.: Мир, 1989. 323 с.

5. Лэм Дж. Введение в теорию солитонов / под ред. В.Е. Захарова. М.: Мир, 1983. 294 с.

6. Редькина Т.В.Нелинейные уравнения, интегрируемые методами солитонной математики. Пары Лакса с самосопряженным оператором Дирака и с несамосопряженными операторами рассеяния. / LAP LAMBERT Academic Publishing. AV Akademikerverlag GmbH & Co. KG. Deutsch-land. 2013. 153 P.

7. Новикова О.В. Исследование нелинейного комплексного дифференциального уравнения в частных производных, обладающего парой Лакса: дис. ... кандидата физ.-мат. наук. Воронеж, 2015.

References

1. Gel'fand I.M., Dikij L.A. Rezol'venty I gamil'tonovy sistemy (Resolvents and Hamiltonian systems) // Funkc. Analiz I ego prilozh. 11, № 2, 1977. S. 11-27 (in Russ).

2. Grinevich P.G. Preobrazovanie rasseyaniya dlya dvumernogo operatora Shredingera s ubyvayushchim na beskonechnosti po-tencialom (The scattering transformation for a two-dimensional Schrodinger operator with a potential decreasing at infinity) // Uspe-khi mat. Nauk. T. 55, vyp. 6 (336). 2000 (in Russ).

3. Laks P.D. Integraly nelinejnyh ehvolyucionnyh uravnenij I uedinen-nye volny (Integrals of nonlinear evolution equations and solitary waves) // Matematika, 13: 5. M.: Mir, 1969. S. 128-150. (in Russ).

4. N'yuehll A. Solitony v matematike I fizike (Solitons in mathematics and physics) // Perevod s angl. I.R. Gabitova I dr.; Pod red. A.V. Mi-hajlova. M.: Mir, 1989. 323 s. (in Russ).

5. Lehm Dzh. Vvedenie v teoriyu solitonov (Introduction to the theory of solitons) // Pod red. V.E. Zaharova. M.: Mir, 1983. 294 s. (in Russ)

6. Red'kina T.V.Nelinejnye uravneniya, integriruemye metodami soli-tonnoj matematiki. Pary Laksa s samosopryazhennym operatorom Diraka is nesamosopryazhennymi operatorami rasseyaniya (Nonlinear equations integrable by the methods of soliton mathematics. Lax pairs with a self-adjoint Dirac operator and with nonselfadjoint scattering operators) // LAP LAMBERT Academic Publishing. AV Akademikerverlag GmbH Co. KG. Deutsch-land. 2013. 153 p. (in Russ).

7. Novikova O.V. Issledovanie nelinejnogo kompleksnogo ifference-al'nogo uravneniya v chastnyh proizvodnyh, obladayushchego paroj Laksa (Investigation of a nonlinear complex partial differential equation with a Lax pair) // Dissertaciya na soiskanie uchenoj ste-peni kandidata fiz.-mat. Nauk. Voronezh 2015 (in Russ).

Поступила в редакцию 30.05.2018, принята к публикации 26.08.2018

Сведения об авторе

Редькина Татьяна Валентиновна, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики и математического моделирования Северо-Кавказского федерального университета. Researcher ID: Q-7020-2018. Телефон: 8-918744-92-67 Email: TVR59@mail.ru.

About the author

Redkina Tatyana Valentinovna, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor, associate professor of the Department of Applied Mathematics and Mathematical Modeling of the North Caucasus Federal University. Researcher ID: Q-7020-2018. Phone: 8-918-744-92-67 Email: TVR59@mail.ru.