О точных решениях и интегралах одной системы нелинейных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9 Косое Александр Аркадьевич,

к. ф.-м. н., в. н. с., Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск,

e-mail: aakosov@yandex.ru Семенов Эдуард Иванович,

к. ф.-м. н., с. н. с., Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск,

e-mail: edwseiz@gmail.com Тирских Владимир Викторович, к. ф.-м. н., доцент кафедры «Информационные системы и защита информации», Иркутский государственный университет путей сообщения,

e-mail: tirskikh vv@irgups.ru

О ТОЧНЫХ РЕШЕНИЯХ И ИНТЕГРАЛАХ ОДНОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

A. A. Kosov, E. I. Semenov, V. V. Tirskikh

ON EXACT SOLUTIONS AND INTEGRALS OF ONE SYSTEM OF THE NONLINEAR EQUATIONS

Аннотация. Рассматривается система двух нелинейных уравнений эллиптического типа с многомерным оператором Лапласа. Такого рода системы эллиптических уравнений с оператором Лапласа часто встречаются при моделировании стационарных процессов в теории тепло- и массопереноса реагирующих систем, в теории химических реакторов, теории горения и математической биологии. В статье предложен подход к построению точных решений этой нелинейной системы из известных решений линейных уравнений Гельмгольца. Более подробно изучен частный случай, когда плотность является постоянной и имеется только одна пространственная переменная. Для этого одномерного случая, описываемого системой двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, показана возможность записать уравнения в гамильтоновой форме. С помощью теоремы Лиувилля обоснована интегрируемость полученной гамильтоновой системы и построена полная система ее первых интегралов. Рассмотренная сингулярная краевая задача аналогична модели вакуумного диода изучавшейся французскими математиками. Указаны условия, связывающие коэффициенты уравнений и заданные значения решения краевой задачи на правом конце отрезка, при выполнении которых точное решение сингулярной краевой задачи может быть найдено в явном виде. Это точное решение краевой задачи не может быть найдено как решение задачи Коши, задаваемой на левом конце отрезка в точке сингулярности, поэтому предложенный в статье подход обобщает и усиливает метод, использованный французскими математиками при решении сингулярной краевой задачи для модели магнитной изоляции вакуумного диода.

Ключевые слова: первые интегралы, интегрируемость, уравнения эллиптического типа, точные решения.

Abstract. This paper concerns systems of two non-linear elliptic equations with multidimensional Laplace operator. Elliptic systems of this type are often applied within stationary process modeling, theory of heat and mass transfer in reaction systems, chemical reactor theory, as well as in theory of burning and in mathematical biology. In this article, an approach to finding exact solutions of such systems from known solutions of linear Helmholtz equations is proposed. Particularly, there is a detailed analysis of a one-dimensional case described by a system of two non-linear ordinary differential equations, where density is constant and there is only one spatial variable; for this case, a possibility to present the equations in Hamiltonian form is shown. Integrability of the Hamiltonian system obtained is proved using Liouville's theorem, and all first integrals of the system are found. Singular boundary value problem is observed similar to one in vacuum diode magnetic isolation model developed by French scientists. Conditions are specified to relate coefficients of equations and target values of boundary value problem solutions at the right end of the segment, which allows to find exact solution of singular boundary value problem in explicit form. Such exact solution of boundary value problem cannot be found as a Cauchy problem solution set at the left end of the segment in singular point. Thus, the approach proposed in the article generalizes and enhances the above mentioned method dealing with singular boundary value problem for vacuum diode magnetic isolation model.

Keywords: first integrals, integrability, equations of elliptic type, exact solutions.

Введение

В статье [1] была предложена предельная модель магнитной изоляции для плоского вакуумного диода, для которой требуется найти решение сингулярной краевой задачи и исследовать ее свойства. В работах [2, 3] было предложено обобщение этой модели с многомерным оператором Лапласа, для которой были найдены параметрические семейства точных решений. Как указано в [4], такого рода нелинейные системы эллиптических уравнений часто встречаются при моделировании стационарных процессов в теории тепло- и массо-переноса реагирующих систем, в теории химических реакторов, теории горения и математической биологии. Задачи построения точных решений для

таких систем актуальны для приложений, поскольку точные решения можно использовать как для установления качественных свойств модели, так и для настройки численных методов решения краевых задач. Важная роль построения точных решений нелинейных уравнений в частных производных неоднократно отмечалась в работах ведущих специалистов [5-9].

В данной статье мы изучаем одну такого рода систему двух нелинейных уравнений эллиптического типа и ее одномерный частный случай. Основной целью ставится получение параметрических семейств точных решений в многомерном случае и полной системы первых интегралов в од-

Механика

номерном случае. В частности, приводится точное решение одной сингулярной краевой задачи.

1. Описание модели и постановка задачи

Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений в частных производных

j (хц,..., хп)

д 2 y д 2y Ay ^—+... +

дх

2

Aa =

2

д a

2 +... + ■ 2

22

дх дх

дх,„

д2a j(Х ,...,xn)

(1)

y

ч —п

Системы такого рода, как указано в [4], встречаются при моделировании стационарных процессов в теории тепло- и массопереноса реагирующих систем, в теории химических реакторов, теории горения и математической биологии. Функцию у(х1,...,Хп) , фигурирующую в правых частях, будем считать непрерывной и называть плотностью. Пусть функции у = у(х1,...,Хп) и

а = а (Х[,..., Хп ) являются решениями системы (1) п

в области О с Я и нигде в этой области не обращаются в нуль. Тогда из (1) получаем У(х1,...,хп) = аАу и У(х1,...,хп) = уАа , откуда делением на у (х)а (х) Ф 0 получаем, что в области О выполняются тождества

х), Аа = м х), (2)

у а

где Ц(х) = _ У(х . у (х)а (х)

Тем самым доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Решениями у = у(х1,..., хи),

а = а(х:,...,хи) системы (1) могут быть только

решения линейного уравнения второго порядка вида

Аи = Ц(хх,...,хп )и, (3)

где Ц(х,...,хи) есть некоторая непрерывная функция.

Заметим, что (3) - это, по сути дела, стационарное уравнение Гельмгольца.

Покажем, что, используя связь между решениями (1) и (3), можно строить точные решения (1) за счет подбора подходящей функции плотности, т. е., по существу, используя плотность как управление, обеспечивающее точные решения определенного класса.

Зафиксируем некоторую функцию

Ц( х ,..., хп ) (например, константу) и возьмем два

произвольных решения у = у(х:,..., хп ) и а = а (х\,... , хп) линейного уравнения (3). Тогда в области О, в которой у^,...,хп) Ф 0 и а(х^...,хп) Ф 0, эти функции у = у(х1,...,хп) и а = а(х^,...,хп) будут точными решениями нелинейной системы (1) при плотности, задаваемой формулой

у = Ц( хи,..., хп )у (х)а (х). (4)

Тем самым доказано следующее утверждение, обратное по отношению к теореме 1.

Теорема 2. Пусть функции у = у(х1,...,хп), а = а^,...,хи) являются в области О с Яп решениями линейного уравнения (3) при некоторой функции Ц(х1,...,хп), причем

всюду в О с Яп выполнены неравенства у(х1,...,хп) Ф 0, а(х1,...,хп) Ф 0.

Тогда функции у = у(х1,..., хп),

а = а(хи,...,хп) являются в области О с Яп решениями нелинейной системы (1), в которой плотность задается формулой (4).

Пример 1. Рассмотрим систему (1) в случае двумерного оператора Лапласа

ду = д 2w -j( х'у)

дх2 ду

д 2 a д 2 a Aa = —^ +

2

(5)

j( х У)

2

2

дх ду y

Функции щ (х, у) = cosh(ar + Ру) и U2(х,у) = sinh(a + Ру) , где а2 + Р2 =Х0> 0 являются решениями линейного уравнения

—-z—I--= u . Значит, функции

Л 2 л 2 0

дх ду

y = щ(х,у) -щ(х,у) и a = щ(х,у) + и2(х,у) также решения этого линейного уравнения. Из теоремы 2 теперь следует, что эти функции y = exp(a х + Р у), a = exp( -а х -р у) есть точное решение системы (1) с постоянной плотностью

2

j^, у) = Х0 > 0 в области D = R .

2. Одномерный случай. Представление в гамильтоновой форме и интегрируемость

Рассмотрим частный случай n = 1 системы (1) при постоянной плотности j(х) = j = const, т. е. систему двух нелинейных обыкновенных

a

дифференциальных уравнений второго порядка вида

d 2 ф j d2 a _ j

2~~ _

' ^ (6)

Сх2 а ах ф Здесь независимая переменная х е Я, ] Ф 0, и система (6) рассматривается в области

О = {(ф, а): ф > 0, а > 0}. Задача состоит том, чтобы доказать интегрируемость системы (6) и построить в явном виде полную систему первых интегралов.

Введем новые обозначения для независимой и зависимых переменных: t = х, 4 = а(х) ,

q2 = ф(х):

Pi = -ф'(х) ,

P2 = ~a'(x),

q

= col(qi,q2)e R2, p = col(p1?p2)e R2 и функ-

q1 q2

цию Гамильтона Н(д, р) = -Р^Р2 + 3 1п

Тогда систему (6) можно записать в каноническом виде

. дН . дН 4 = —, Р =

(7)

dp dq

Гамильтонова система (7) имеет интеграл энергии

J1 = H (q, p) = -p1 p2 + j ln q1 q2

(8)

= c^ = const.

pi=^ +

C22 -

4qiq2 (ci- j in qiq2|)

2qi

2qi

pi =

c2

+ ■

4qiq2 (ci- j in qiq21)

(10)

(ii)

pi =

2q2 2q2

Эти формулы можно представить в виде dO dO

p2 =

где

q ' 2 dq2

O(qi, q2, ci, c^ задается формулой

функция

c2

O(q1, q2, c1, c2) = ~to

qi

q2

+

(12)

1 в-вг^с 9 - 4 г (с - ] 1п г )

± - | ^—--а,

2 д1д2 г

где Q2 - некоторые положительные постоянные.

В соответствии с теоремой Лиувилля, недостающие два первых интеграла выражаются через функцию 0(д— д2,с-,с2):

dO 1

J =-= - ln

3

dc

2

q1

q2

+

1 6162

+" J

^dz

(13)

2 qiq2 zjc2 - 4z(cj - j ln jz|)

= c^ = const,

6162

dO

J4 = 1 = +2 J

zdz

dc

1

c2 - 4z((^ - jln|z|)

(14)

= t + c^, c^ = const.

Легко убедиться, что другой первый интеграл системы (7) имеет вид

J2 = qi pi - 42 p2 = c2 = const. (9) Первые интегралы Ji и J2 не зависят явно от времени, являются независимыми и находятся в инволюции. Поэтому, в соответствии с теоремой Лиувилля [10, § 121, стр. 367; § 148, стр. 417], система (7) является интегрируемой. Чтобы построить два недостающих первых интеграла, выразим из равенств (8) и (9) импульсы через координаты

Полученная полная система четырех первых интегралов (8), (9), (13) и (14) может использоваться в области О для решения начальных и краевых задач для системы (7).

3. Точное решение сингулярной краевой задачи

Рассмотрим сингулярную краевую задачу а Ь

41 = —, 42 = —, 41 е Я , I = 1,2, а,Ь е Я (15) 42 42

(16)

qi(0) = 0, q2(0) = 0, qi(0) = 0,

qi(1) = qi q2(1) = 42.

(17)

Краевые условия (16), (17) точно такие же, как в модели диода [1]. Эта задача является сингулярной, так как подстановка условий (16) в уравнения (15) приводит к делению на ноль. Таким образом, классическое определение решения к рассматриваемой задаче неприменимо, и мы будем пользоваться определением, предложенным в [11].

2

Механика

Теорема 3. Если a > 0, b < 0, a + b > 0 и

2

то точное решение сингуляр-

_ _ _ (а " Ь)

71 <2 = фГЬ),

ной краевой задачи (15)-(17) в смысле определения 1 из [11] дается парой функций

<?1) = ^ , ^ ) = ^ ,

где а^ =

'Г

2a

a - b

а

2

l2 - 2b

a - b

2

(18)

Доказательство утверждения теоремы 3 проводится непосредственной подстановкой в уравнение (15) с проверкой выполнения всех указанных в [11] свойств.

Отметим, что для решения аналогичной (15)-(17) сингулярной краевой задачи для модели диода [1] предлагалось рассматривать начальную задачу

91(0) = 0, «72 (0) = 0,

1 2 (19)

^(0) = 0, д2(0) = /,

где / е Я - некоторое положительное число. Для задачи (19) не выполняются условия стандартных теорем существования решений теории дифференциальных уравнений, однако в [1] не разъясняется, что следует понимать под решением (19).

Для точного решения (18) мы имеем

<72(0 = Ч2а2^а1 1, а2 - 1 = - а + Ь < 0, поэтому

а - Ь

Нш |<72(^) = +да. Так что не существует никако-

г ^+0

го числа / е Я, для которого (18) было бы решением начальной задачи (19).

Таким образом, решение (18) для задачи (15)-(17) не может быть найдено на основе подхода, аналогичного [1]. Заключение

В статье рассмотрена обобщенная математическая модель магнитной изоляции с многомерным оператором Лапласа и получены параметрические семейства её новых точных решений. Построена полная система четырех первых интегралов в одномерном случае, с помощью которых построено точное решение сингулярной краевой за-

a + b

дачи для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений модельной задачи вакуумного диода.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Программы № 17 Президиума РАН, гранта РФФИ (проект № 13-01-00376), гранта РФФИ (проект № 15-08-06680) и Совета по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-5007.2014.9).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ben Abdallah N., Degond P., Méhats F. Mathematical Models of Magnetic Insulation // Physics of plasmas. 1998. № 5. РР. 1522-1534.

2. Семенов Э.И., Синицын А.В. Математическая модель магнитной изоляции вакуумного диода и ее точные решения // Известия ИГУ. Сер. Математика. 2010. № 1. С. 78-91.

3. Семенов Э.И., Косов А.А. О многомерных точных решениях одной нелинейной системы двух уравнений эллиптического типа // Дифференциальные уравнения. 2015. Т.51. № 2. С. 229-239.

4. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/syspde/spde-toc3.htm.

5. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. 432 с.

6. Орлов Ю.Ф., Тирских В.В. Волны на поверхности тяжелой жидкости, генерируемые несимметричным ударом по плоской пластинке на ее поверхности // Известия РАН. МЖГ. 1999. № 4. С. 177-181.

7. Семенов Э.И. Свойства уравнения быстрой диффузии и его многомерные точные решения // Сибирский математический журнал. 2003. Т.44, № 4. С. 862-869.

8. Семенов Э. И. О новых точных решениях неавтономного уравнения Лиувилля // Сибирский математический журнал. 2008. Т. 49, № 1. С. 207-217.

9. Пухначев В. В. Точные решения уравнений движения несжимаемой вязкоупругой среды Максвелла // ПМТФ. 2008. Вып. 3. С. 35-41.

10. Уиттекер Э.Т. Аналитическая динамика. Ижевск : Удмурт. ун-т. 1999. 588 с.

11. Косов А.А., Семенов Э.И., Синицын А.В. Интегрируемость модели магнитной изоляции и ее точные радиально-симметричные решения // Известия ИГУ. Сер. Математика. 2013. № 1. С. 45-56.