CC BY
15
УДК 517.9 Косов Александр Аркадьевич,
к. ф.-м. н., в. н. с., Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск, e-mail: snv@icc.ru
Семенов Эдуард Иванович,
к. ф.- м. н., с. н. с., Институт динамики систем и теории управления СО РАН, Иркутск, e-mail: semenov@icc.ru
Тирских Владимир Викторович, к. ф.- м. н., доцент кафедры «Информационные системы и защита информации», Иркутский государственный университет путей сообщения, e-mail: tirskikh_vv@irgups.ru
О ТОЧНЫХ РЕШЕНИЯХ ОДНОЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
A. A. Kosov, E. I. Semenov, V. V. Tirskikh
ON EXACT SOLUTIONS OF ONE SYSTEM OF THE ELLIPTIC NONLINEAR EQUATIONS
Аннотация. Для математического моделирования плазмы применяют обычно уравнения Больцмана, Власова - Максвелла (Власова - Пуассона) и другие аналогичные уравнения и системы уравнений с частными производными. Для них требуется отыскивать аналитические решения, удовлетворяющие заданным начальным и краевым условиям, что представляет собой весьма трудноразрешимую задачу. Поэтому обычно стараются провести редукцию к более простой задаче, описываемой, например, обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). На этом пути группой французских математиков была предложена математическая модель магнитной изоляции электронов в плоском вакуумном диоде, описываемая системой двух нелинейных ОДУ второго порядка. Для этой модели ее разработчики рассматривали задачу нахождения всех ее точных решений, т. е. задачу полного интегрирования системы нелинейных ОДУ. В данной статье мы предлагаем рассматривать обобщенную математическую модель магнитной изоляции с заменой производных второго порядка многомерным оператором Лапласа, являющуюся дальнейшим развитием модели вакуумного диода, изучавшейся французскими математиками. Установлено, что решениями обобщенной модели, описываемой системой двух нелинейных уравнений эллиптического типа, могут быть только решения линейного уравнения Гельмгольца. Доказано, что при определенных условиях (указанных явно), верно и обратное утверждение. Предложен способ конструирования частных точных решений обобщенной модели из известных решений линейного уравнения Гельмгольца. Для обобщенной математической модели рассмотрен целый ряд примеров задания плотности тока, для которых найдены параметрические семейства точных решений, заданных элементарными функциями. В том числе указаны примеры глобальных решений, которые определены на всем пространстве. Полученные в статье явные аналитические выражения точных решений могут иметь не только теоретическое, но и прикладное значение, поскольку их можно использовать для тестирования, отладки и адаптации численных методов и алгоритмов построения приближенных решений краевых задач для обобщенной модели магнитной изоляции.
Ключевые слова: уравнения эллиптического типа, точные решения, модель магнитной изоляции.
Abstract. In mathematical modeling of plasma, partial differential equations and equation systems are applied, such as Boltzmann, Vlasov - Maxwell, Vlasov - Poisson and other similar equations. Finding their analytical solutions presents a difficult problem as they must meet initial and boundary conditions. Thus, the task is usually reduced to a simpler one, for example, to ordinary differential equations (ODE). This is the basis for mathematical model of magnetic isolation of electrons in plane vacuum diode developed by a group of French scientists. The model is described by a system of two non-linear second-order ODE, and it involves the problem offinding all exact solutions, i.e. complete integration of a non-linear ODE system. In this article, we propose a generalized mathematical model of magnetic isolation where second-order derivatives are substituted by a multidimensional Laplace operator. This approach is a further development of the mentioned vacuum diode model. We have established that solutions of the proposed generalized model, described by a system of non-linear elliptic equations, can only be solutions of Helmholtz linear equation. The conditions when the opposite is also true are determined. To find partial exact solutions, a method based on known solutions of Helmholtz linear equation is offered. For the model proposed, a series of examples with pre-set current density values are observed, and parametric families of exact solutions described by elementary functions are found. The examples include global solutions that are defined on the entire space. The obtained explicit analytical expressions of exact solutions have both theoretical and practical value as they can be used in testing, development and adaptation of numerical methods and algorithms for finding approximate solutions of boundary problems for the generalized model of magnetic isolation.
Keywords: equations of elliptic type, exact solutions, model of magnetic insulation.
Введение шения, удовлетворяющие краевым условиям. В [1]
Для моделирования плазмы применяют была предложена предельная модель магнитной обычно системы нелинейных дифференциальных изоляции для плоского вакуумного диода, пред-уравнений, для которых требуется отыскивать ре- ставляющая собой систему двух нелинейных
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Для этой системы требуется найти решение сингулярной краевой задачи и исследовать ее свойства.
Ряд результатов по названной модели был получен ранее с использованием как аналитических, так и численных методов [1-5]. В данной статье мы обобщаем модель [1] и основной целью ставим получение точных решений для обобщенной модели магнитной изоляции с многомерным оператором Лапласа. Отметим, что в работах ведущих специалистов неоднократно указывалось [6-11] на важную роль построения точных решений нелинейных систем уравнений в частных производных.
1. Описание модели и постановка задачи
Предельная модель плоского вакуумного диода была получена в [1] группой математиков Тулузского университета. Эта модель представляет собой систему двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка следующего вида:
а2 ф _ . (1 + ф)
йх2
а2 а йх'
= У
= У
л/(1 + Ф)
- а2 -1
л/(1 + Ф)
>2 - а2 -1
Здесь независимая
х е
(1)
[0,1]
переменная
означает относительное расстояние от катода, х = 1 соответствует аноду. Функция ф(х) описывает изменение потенциала электрического поля при перемещении от катода к аноду, соответственно функция а(х) - потенциал магнитного поля, у - плотность тока через диод (единственный конструктивный параметр модели). Система (1) описывает электрическое и магнитное поля внутри диода, и ее решение должно удовлетворять краевым условиям
ф(0) = 0, а(0) = 0
Ф(1) = Ф1, а(1) = а1 •
ф(0) - йФ (0) = 0, ах
(2) (3)
мать под решением (1)-(3). Кроме того, при решении задачи (1)-(3) считается [1], что параметр у > 0 является свободным и должен отыскиваться вместе с решением краевой задачи. Таким образом, по самой постановке исходной задачи плотность следует отыскивать одновременно с решением. Исходя из этого, мы далее будем и для обобщенной модели рассматривать задачу одновременного отыскания точного решения системы дифференциальных уравнений и соответствующей плотности, которую будем считать функцией пространственных переменных.
2. Обобщенная модель магнитной изоляции
Рассмотрим теперь систему двух дифференциальных уравнений в частных производных
V
д2 V д2 V у ч
дх 2
дх
^2 -а2 -1
(4)
д2а д2а Аа = +•••= х1'...' хп)
дх 2
дх
^2 - а2 -1
Эта система является обобщением модели диода, полученным введением новой переменной V = Ф +1, заменой второй производной в левых частях на многомерный оператор Лапласа и использованием зависящей от пространственных переменных плотности тока х^^, хп) в правых
частях. Пусть функции у = ¥(х1хи) и
а = а (х1,_, хп ) являются решениями системы (4),
тогда получаем ,•„, хи) —
Аа^/у
Ау^Jу2 - а2 -1 V
У( хп ) —-
-2 - а2 - 1
. А так как по физи-
ческому смыслу радикал 2 - а2 -1 должен
быть положителен, то, сокращая на него, из предыдущих двух тождеств с учетом х^^,хп) > 0 немедленно получаем, что функции v = v(х1,_, хп) и а = а(х1,_, хп) обязаны удовлетворять тождествам А^ _ Аа
V а
Здесь в правой части (5) Л(х^^, хп) > 0 есть некоторая неотрицательная функция. Тем самым доказано следующее утверждение.
Теорема 1. Решениями V = V(Xl,•••,хи), а = a(Xl,•••,хп) системы (4) могут быть только
Заметим, что краевая задача (1)-(3) является сингулярной, так как условия (2) при их подстановке в (1) приводят к нулевому знаменателю. Поэтому классическое определение решения как удовлетворяющей (2) и (3) пары функций (ф(х), а(х)), обращающих (1) в тождество на отрезке х е [0, 1] (с пониманием производных как односторонних на концах отрезка), неприменимо к данной задаче и требуется определить, что пони-
= Л(хп) > 0 •
(5)
а
2
а
и
а
решения линейного уравнения второго порядка следующего вида
Аи = хп )и, (6)
где Л(х-\_,...,хп) > 0 есть некоторая неотрицательная функция.
Функции ц = с ехр(х + у + 2) , С >42 и а = ехр(х + у + 2) являются решениями линей-
ного уравнения
д2ы д2ы д2ы
дх2 ду2
+ -
д2 2
= 3ы , при этом
Заметим, что (6) - это, по сути дела, стацио- в области Б = {(х, у, 2) : х + у + 2 > 0} будем
нарное уравнение Гельмгольца. иметь ц > 0, а > 0, Покажем, что, используя связь между реше-
О О О
ниями (4) и (6), можно строить точные решения ц2 — а2 — 1 = (с2 — 1)ехр(2х + 2у + 22) — 1 > 0,
(4) за счет подбора подходящей функции плотно- поэтому в этой области Б указанные функции
сти тока, т. е., по существу, используя плотность ц = сехр(х + у + 2) и а = ехр(х + у + 2) будут тока как управление, обеспечивающее точные решения определенного класса. точными решениями системы (8) с плотностью
Зафиксируем некоторую неотрицательную тока 7 = 3д/(с2 — 1) ехр(2х + 2у + 22) — 1 > 0.
функцию Д(х1,..., хп) > 0 (например, константу) и Пример 2. Рассмотрим систему (4) в случае
решения двумерного оператора Лапласа
ш
возьмем
два
произвольных
ц = ц(х1,..., хп ) и а = а (х1,..., хп ) линейного уравнения (6). Тогда в области ц(х^...,хп) Ф 0,
_ _2 _2
а(хь...,хп) ф 0, ц (х1,...,хп) — а (хь...,хп) — 1 > 0
эти функции ц = ш(х1,...,хп) и а = а(х1,...,хп) будут точными решениями нелинейной системы (4) при плотности тока, задаваемой формулой
7 = Я(хь..., хпц2(х1,..., хп) — а2(х1,..., хп) — 1 > 0 . (7)
д 2 ц д 2 ц Ац = —^ + —^ = 7 (х, у)
дх2
ду2
л/ц2 — а2 — 1
д2 а д2 а Аа = —- + —у = 7( х, у)
(9)
д/ц2 — а2 — 1
дх2 ду2
Функции ц = с ехр(х + 2у) , с > 42 и а = ехр(х + 2 у) являются решениями линейно-
го уравнения
д2 я2
д и д и
дх2 ду2
= 5ы , при этом в области
Тем самым доказано следующее утверждение, об- Б = {( х, у): х + 2 у > 0} будем иметь ц> 0 ратное по отношению к теореме 1.
Теорема 2. Пусть функции ц = ц(хь...,хп), а = а(х1,...,хп) являются в об-
ласти Б ^ Яп решениями линейного уравнения (6) при некоторой неотрицательной в этой области функции х1,...,хп) > 0, причем всюду в 7 = 5д/(с2 — 1)ехр(2х + 4у) — 1 > 0 .
Б ^ Яп выполнены неравенства ц(хх,...,хи ) Ф 0, а(*1,...,хя) ф 0, ц2(x1,...,х„) — а2(x1,...,х„) — 1 > 0. Тогда функции ц = ц(х1,..., хп), а = а(х1,...,хп)
а > 0, ц2 — а2 — 1 = (с2 — 1) ехр(2х + 4у) — 1 > 0, поэтому в этой области Б указанные функции ц = с ехр(х + 2у) и а = ехр(х + 2у) будут точными решениями системы (9) с плотностью тока
= Ц (с2 — 1) ехр(2х + 4 у) — 1 >
Пример 3. Рассмотрим систему (4) в случае двумерного оператора Лапласа
д2 ц д2 ц
+ ^ = 7( х у)
ц
дх ду
являются в области Б ^ Яп решениями нелинейной системы (1), в которой плотность тока задается формулой (7).
3. Примеры точных многомерных решений
Пример 1. Рассмотрим систему (4) в случае трехмерного оператора Лапласа
ц
4ц2 — а2 —11, (8)
д/ц2 — а2 — 1
д2 а д2 а . . Аа = —- + —Т = 7 (х, у)
(10)
а
дх2 Функции
ду2
ц = с ехр
л/у
2 — а2 — 1
х2 + у2)
с>
42
д2 ц д2 ц д2 ц Ац = —+ —^ + —= 7(х, у, 2) дх2 ду дх
1 2 2
и а = ехр — (х + у ) I являются решениями ли-V 2
д2 а д2 а д2 а ч а
Аа =—----- = /(х, у, 2) . .
дх2 ду2 д22 /(,^ 2 — а2 — 1
нейного уравнения
д 2ы д 2ы ^ 22
ах2 ду2
= (2 + х2 + у2 Ы
а
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
при этом при всех (X, у) е Я будем иметь щ > 0, а > 0,
щ2 - а2 -1 = (с2 -1) ехр(х2 + у2 )-1 > 0, поэтому в этой области О = Я2 указанные функции
щ = с ехр ^(х2 + у2)], с >>/2 и
V 2 у
A2 > 1,
2 2 C2 +...+с; =
а = exp
V
системы
1 2 2 1
— (x + j ) I будут точными решениями
(10)
плотностью
тока
j = (2 + х2 + y2 У (с2 -1) exp(X2 + y2) -1 > 0 .
В этом примере точное решение получилось глобальным.
Пример 4. Рассмотрим систему (4) в общем случае многомерного оператора Лапласа. Если в соответствующем линейном уравнении (6) неотрицательную функцию Л(х) взять постоянной 2 2
Л = С^ + ... + Cn, Cj е R, то это уравнение имеет следующую пару точных решений: u( xi,..., Xn) = w( xi,..., xn) = A cosh (Cx +... + CnXn + Co) u(Xi,..., Xn) = a(Xi,..., xn) = B sinh (C1X1 +... + Cxn + C), где A, B, C - пока произвольные постоянные.
Соответствующая плотность тока по формуле (7) будет равна
j (Xn) = (c2 +...+c2^ф^Т^Ь1,
r (Xi,..., xn) = A2 cosh2 (c^ +... + Cnxn
+ c0)
-B2 sinh2 (Cx + -
+... +C x +C
).
2
Возьмем постоянную А > 1 и положим В = А , тогда плотность получается постоянной
( 2 2\Г~2
j(х,...,хп) = (С + ... + Сп р!А - 1 = сот1. Из
теоремы 2 теперь получаем следующий окончательный результат.
В случае постоянной плотности j(X,..., Хп) = сош1 > 0 система двух нелинейных
уравнений (4) имеет параметрическое семейство точных решений
щ( х1,..., хп ) = АсобЬСл +... + Спхп + С0 ), а(х1з..., хп) = ±А81пЬ(С1х1 +... + Спхп + С0), где вещественные параметры А,Сд,С^,...,Сп удовлетворяют ограничениям
A2 -1
Отметим, что параметрическое семейство (11) может использоваться для решения краевых задач для системы (4), когда точные значения решения задаются на некоторой гиперплоскости (в трехмерном случае - на настоящей плоскости).
Заключение
В статье предложена обобщенная математическая модель магнитной изоляции с многомерным оператором Лапласа, переходящая в одномерном случае в известную модель, изучавшуюся ранее французскими математиками. Авторами разработан подход к построению точных решений и найдены их параметрические семейства. Полученные в статье явные аналитические выражения точных решений могут иметь не только теоретическое, но и прикладное значение, поскольку их можно использовать для тестирования, отладки и адаптации численных методов и алгоритмов построения приближенных решений краевых задач для обобщенной модели магнитной изоляции.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Программы № 17 Президиума РАН, РФФИ (проект № 13-01-00376) и Совета по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-5007.2014.9).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. N. Ben Abdallah, P. Degond, F. Méhats, Mathematical Models of Magnetic Insulation // Physics of plasmas. 1998. 5 Р. 1522-1534.
2. Синицын А.В. Положительные решения нелинейной сингулярной краевой задачи магнитной изоляции // Математическое моделирование. 2001 № 5. 37-52.
3. Семенов Э.И., Синицын А.В. Математическая модель магнитной изоляции вакуумного диода и ее точные решения // Известия ИГУ. Сер. Математика. 2010. № 1. С. 78-91.
4. Косов А.А., Синицын А.В. О построении первых интегралов для одного класса нелинейных систем // Известия ИГУ. Сер. «Математика». 2012. № 1. с. 57-69.
5. Косов А.А., Семенов Э.И., Синицын А.В. Интегрируемость модели магнитной изоляции и ее точные радиально-симметричные решения // Известия ИГУ. Сер. Математика. 2013. № 1. С. 45-56.
с
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
6. Пухначев В. В. Точные решения уравнений движения несжимаемой вязкоупругой среды Максвелла // ПМТФ. 2008. Вып. 3. С. 35-41.
7. Вязьмина Е.А., Полянин А.Д. Новые классы точных решений нелинейных диффузионно-кинетических уравнений и систем общего вида // Теоретические основы химической технологии. 2006. Т. 40. № 6. С. 595-603.
8. Ибрагимов Н.Х., Руденко О.В. Принцип априорного использования симметрий в теории нелинейных волн // Акустический журнал. 2004. Т. 50, № 4. С. 1-15.
9. Рудых Г.А., Семёнов Э.И. О новых точных решениях одномерного уравнения нелинейной диффузии с источником (стоком) // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38. № 6. С. 971-981.
10. Семенов Э.И. Свойства уравнения быстрой диффузии и его многомерные точные решения // Сибирский математический журнал. 2003. Т. 44. № 4. С. 862-869.
11. Семенов Э.И. О новых точных решениях неавтономного уравнения Лиувилля // Сибирский математический журнал. 2008. Т. 49. № 1. С. 207-217.
УДК534.01; 622.24.053; 666.97.033 Белокобыльский Сергей Владимирович,
д. т. н., профессор, ректор БрГУ, e-mail: rector@brstu.ru Коронатов Виктор Александрович, к. ф.-м. н., доцент кафедры «Теоретическая и прикладная механика», БрГУ, e-mail: kortavik@mail.ru
Герасимов Сергей Николаевич,
к. т. н., доцент кафедры «Подъемно-транспортные, строительные, дорожные машины и оборудование», БрГУ,
e-mail: sdm_gerasimov@rambler. ru
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС ДИСКОВОЙ ЗАГЛАЖИВАЮЩЕЙ МАШИНЫ ПРИ КУЛОНОВОМ ТРЕНИИ
S. V. Belokobylsky, V. A. Koronatov, S. N. Gerasimov
DETERMINISTIC CHAOS DISK OF A SMOOTHING MACHINE AT COULOMB FRICTION
Аннотация. Путем численного интегрирования дифференциальных уравнений описывался переходной режим автоколебаний динамической модели дисковой заглаживающей машины. Изучался релаксационный режим, когда на периоде фрикционных крутильных автоколебаний скольжение диска чередуется с длительными остановками (заклиниванием) за счет влияния скачкообразной характеристики сил сухого трения. При этом на этапе проскальзывания допускались возможности мгновенной смены направления вращения диска (перескоки). Данная неавтономная динамическая система приводится к автономной путем ввода дополнительной переменной. Строятся фазовые траектории в трехмерном пространстве и в проекции на плоскость. Результаты численного счета показали, что в зависимости от параметров системы при сделанных допущениях дисковая заглаживающая машина может входить либо в устойчивый периодический режим автоколебаний, либо в режим детерминированного хаоса. В первом случае в фазовом пространстве областью притяжения фазовых траекторий является регулярный аттрактор, а во втором - странный аттрактор. Получена новая динамическая модель, приводящая к возникновению детерминированного хаоса.
Ключевые слова: автоколебания, фрикционные, крутильные, релаксационный, переходной режим, силы сухого трения, скачкообразная характеристика сил трения, кулоново трение, одномассовая модель, регулярный, аттрактор, детерминированный хаос, фазовые траектории, фазовое пространство, дисковая заглаживающая машина.
Abstract. By numerical integration of differential equations the disk smoothing machine dynamic model self-oscillation transition mode was described. The relaxation mode when disk sliding alternates long stops (seizure) on a period of frictional torsional self-oscillations by the influence of dry friction forces hopping characteristic was studied. With that step of slip allowed the possibility of instantaneous change in the direction of rotation of the disk (jumps). This non-autonomous dynamical system is reduced to battery by entering additional variable. We construct the phase trajectories in three-dimensional space and projected onto the plane. The results of numerical calculations have shown that, depending on the system parameters under the assumptions made disk trowel machine can either go into stable periodic regime of self-oscillations or mode of deterministic chaos. In the first case, in the phase space the region of attraction of the phase trajectories is a regular attractor, while in the second - a strange attractor. We obtain a new dynamic model, which leads to the appearance of deterministic chaos.
Keywords: self-oscillation, frictional, torsional, relaxation, transition mode, dry friction force, friction force hopping characteristic, Coulomb friction, single-mass model, regular attractor, deterministic chaos, phase trajectories, phase space, disk smoothing machine.
