О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью. Ii Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.925

О ЛИНЕЙНЫХ ЧАСТНЫХ ИНТЕГРАЛАХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ С ВЫРОЖДЕННОЙ БЕСКОНЕЧНОСТЬЮ. II

© 2011 г. М.В. Долов, С.А. Чистякова

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

svchistyakova@mail.ru

Поступила в редакцию 16.09.2010

Доказывается, что полиномиальное векторное поле четвертой степени с вырожденной бесконечностью имеет не более 9 линейных частных интегралов, в том числе и с комплексными коэффициентами.

Ключевые слова: полиномиальные векторные поля, алгебраические дифференциальные уравнения, частные интегралы, инвариантные множества, вырожденная бесконечность.

Введение

Работа является непосредственным продолжением статьи [1]. Нумерация пунктов и формул сквозная.

Как и в [1], рассматривается система дифференциальных уравнений

^ = Р(х, у), ^ = 0(х, у), (1.1)

ш ш

где Р и Q - взаимно простые полиномы, тах^е§ Р, deg Q) = п.

По определению, система (1.1) вырождена на бесконечности, если

х0п (х, у) - уРп (х, у) = 0,

где Рп и Qn - однородные полиномы степени п, содержащиеся в Р и Q соответственно; Ап -совокупность систем (1.1) с вырожденной бесконечностью.

В настоящей работе (часть II) рассматриваются системы из А4 такие, что наибольшее число инвариантных множеств

Фу (х, у) = аух + Ъуу + Су = 0 , (2.1)

где а, Ь, С е С, и для любых двух множеств Фх = 0 и Фу = 0 выполнено условие

Щ(Ф5, Фу )/ Щ х, у) = 0, (2.3)

равно 3 и 2.

В этих случаях доказывается утверждение теоремы 1.1 [1].

4. Системы из А4 с инвариантным множеством, содержащим три инвариантных множества

(2.1) с условием (2.3)

В настоящем пункте рассматриваются системы (1.1) из А4, у которых нет четырех инвариантных множеств (2.1), удовлетворяющих условию (2.3).

Лемма 4.1. Если система (1.1) из А4 имеет инвариантное множество Ь\, являющееся объединением трех инвариантных множеств (2.1) с условием (2.3), то всякое другое инвариантное множество ¿2, пересечение которого с Ь\ не содержит инвариантных множеств (2.1), является объединением не более двух инвариантных множеств (2.1) с условием (2.3).

Доказательство. Допустим противное. Тогда без ограничения общности считаем Ь\ = {у = = а:}и{у = а2}^{у = аз}, ¿2 = {х = Р:}^{х =

= р2}^{х = р3}. Система (1.1) линейной невырожденной заменой приводится к виду

Шх

— = (х-Р1Х х-р2)( х-Рэ)(ах + Ъу + с),

ш

= (у - а1) (у - а2) (у - аз) (Ах + Ву + С),

ш

где | а | + | Ъ | + | А | + | В |> 0. Так как эта система

из А4, то, в силу условия (1.2),

3 3

ху (Ах + Ву) = ух (ах + Ъу).

Отсюда следует А = В = а = Ь = 0. Полученное противоречие доказывает лемму. Лемма доказана.

Лемма 4.2. Пусть система (1.1) из А4 имеет два инвариантных множества ¿1 и ¿2, при этом Ь\ содержит три, а ¿2 - два инвариантных множества (2.1) с условиями (2.3) и пересечение ¿1 и ¿2 не содержит инвариантных множеств (2.1). Тогда линейной невырожденной заменой переменных с точностью до обозначений система (1.1) приводится к виду

^ = (х-Рі)( х — Р2)( У2 + ах + ЬУ + с) = Р,

Ш

= x(y-aj)(y-а2)(y -03) = Q,

dt

(4.1)

где а;- попарно различны; р1 ф р2, р1р2 ф 0; а, Ь, с є С; Р и Q взаимно просты.

Доказательство. Без ограничения общности считаем, что ¿1 = {у = а1}^(у = а2}^{у = а3}, ¿2 = {х = р1}^{х = р2}. Так как множества ¿1 и ¿2 инвариантны для системы (1.1) при п = 4, то система (1.1) запишется в виде Шх

— = (x-Pi)( x-Р2) х dt

2 2 х (a20 x + a11xy + a02 y + a10 x +

+ aoi y + aoo),

= (y-ai)(y-02) х

dt

(х-р1)( х-Р2) х

х (х2 + (2к! + Ък + а)к ~2 х + (I2 + Ъ1 + с)к ~2 )=

= (х + (I-а1)/к )(х + (I-а2)/к )х

х (х + (I-а3)/к)х.

Так как Р^2 ф 0, то, в силу (4.6), х является делителем квадратного трехчлена в левой части

(4.6). Поэтому I2 + Ы + с = 0. В случае I = а;, / = 1, 2, 3, квадратный трехчлен в левой части

(4.6) тождествен х2. Следовательно, имеет место второе равенство (4.5). Лемма доказана.

Лемма 4.4. Система (4.1) не имеет частных интегралов 1) у = к\х + а5, у = к2х + а5, к\к2 ф 0, к\ ф к2, 5 е {1, 2, 3}; 2) у = кх + а5, у = кх + а7, к ф 0, а/ ф а5.

Доказательство. Допустим противное. В первом случае без ограничения общности полагаем 5 = 1. В силу леммы 4.3, имеем

'у

а, + Ъа, + с = 0 ,

(4.2)

х (y -аз)(/>10х + b01 y + b00),

при этом, в силу (1.2), выполнено тождество

2 2 2 y (bi0х + ¿01 y) = х(«20х + «11 ХУ + «02y ). (4.3)

Из соотношения (4.3) вытекает, что

a20 = a11 = b01 = 0, ¿10 = a02 Ф 0. Разделим обе части (4.2) на a02 = b10 Ф 0 и положим

x + b00 /b10 = x1. Вводя новые обозначения для коэффициентов, в том числе для р1 и р2, получим систему вида (4.1). Лемма доказана.

Лемма 4.3. Система (4.1) имеет частный интеграл y = kx + l, к Ф 0, тогда и только тогда, когда для всех x

(х -р1)( х -р2)( х + (2kl + bk + a)k ~2) =

= (х + (l -а1)/ k )(х + (l -а2)/ k )х (4.4)

х (х + (l - а3)/k),

при этом

l2 + bl + c = 0 и 2ка}- + bk + a = 0 при l = а;-. (4.5) Доказательство. Система (4.1) допускает частный интеграл y = kx + l, к Ф 0, в том и только том случае, если для любых x

(Ъ + 2а1 )к1 + а = (Ъ + 2а1 )к2 + а = 0. Поэтому при к ф к2 получим Ъ + 2а1 = а = 0 и с = а2. Отсюда следует, что правые части

(4.1) имеют общий делитель у - аь Во втором случае, согласно (4.5), будем иметь а/ = а5. Таким образом, получили противоречие. Лемма доказана.

Лемма 4.5. Если корни уравнения ¡2 + Ы + + с = 0 принадлежат множеству {аьа2,а3}, то число линейных частных интегралов системы

(4.1) с взаимно простыми правыми частями и попарно различными а7, Р1 ф р2, Р^2 ф 0, не более 7.

Доказательство. Заметим, что если уравнение I2 + Ь1 + с = 0 имеет кратный корень

I = -Ъ /2 = ау, то, согласно (4.5), а = 0, с = а2у ,

и правые части (4.1) содержат общий делитель у - а/. Поэтому решения ¡\, 12 уравнения /2 + Ь1 + + с = 0 различны. Отсюда и из лемм 4.3 и 4.4 следует, что система (4.1), кроме у = а], у = а2, у = а3, х = Р1, х = Р2, может иметь не более двух частных интегралов у = к/х + а5, к/ ф 0. Лемма доказана.

Лемма 4.6. Система (4.1) не имеет инвариантных множеств у = кх + ¡1, у = кх + ¡2, к ф 0, ¡1 ф ¡2, ¡1, ¡2 € {аьа2,аз}.

Доказательство. Допустим противное. Тогда, согласно (4.6), при ¡ = ¡1, Р^2 ф 0, без ограничения общности можно считать

Pi = (ai -/1)/k, Р2 = (a2 -/1)/k,

k(a3 - /1 + b) + a = 0. Полагая в (4.6) l = l2, будем иметь

(4.7)

(х-Р1)( х-Р2) (х + (2к12 + Ък + а)/к2 ) =

= (х + (12 -а1)/к)(х + (12 -а2)/к)х (4.8) х(х + (12 -а3)/к).

Так как а/ попарно различны и Р1 ф Р2, то, согласно (4.7) и (4.8),

Р1 ф (а1 - 12)/k, Р2 ф (а2 - 12)/к. (49) Поэтому, в силу (4.7) и (4.8), имеются две возможности: а) Р1 = (а2 - /2)/к; б) Р1 = (аз - /2)/к. Пусть реализуется случай а). Тогда в тождестве

(4.8) Р2 ф (а1 - ¡2)/к, ибо в противном случае а1 - ¡1 = а2 - ¡2 и а2 - ¡1 = а1 - ¡2. Следовательно, ¡1 = ¡2. Последнее противоречит условию ¡1 ф ¡2. Таким образом,

Р2 = (а3 -¡2)/к, к(а1 + ¡2 + Ъ) + а = 0. (4.10) При Р1 = (а2 - ¡2)/к из равенств (4.7) и (4.10) получаем

а1 — а2 = а2 — аз = а1 — аз = ¡1 — ¡2. Последнее невозможно, так как а;- попарно различны. Следовательно, случай а) не реализуется.

Пусть имеет место случай б) Р^ = (аз - ¡2)/ к, тогда, в силу (4.7) и (4.8),

Р2 = (а1 - ¡2)/ к, к(а2 + ¡2 + Ъ) + а = 0. (4.11) Из равенств (4.7) и (4.11) вытекает, что а1 — аз = а2 — а1 = а2 — аз = ¡1 — ¡2.

Снова получили противоречие с тем, что а/ попарно различны. Лемма доказана.

Лемма 4.7. Пусть система (4.1) имеет различные частные интегралы у = кхх + ¡,

у = к2х + ¡, у = к3х + ¡, где к/ ф 0, ¡ € (аьа2, аз} . Тогда с точностью до обозначений выполнена одна из серий равенств

Р1 =

к1 к2

^ а2 — l аз — l а1 — l

Р2 = _ _

к1 к2

кз

где

а + (аз + Ъ +1) к1 = а + (а1 + Ъ +1) к2 = = а + (а2 + Ъ +1) кз = 0, или соответственно

Р1 =

а1 — l аз — l а2 — l

а + (аз + Ъ +1) к1 =

= а + (а2 + Ъ + ¡) к2 = (4.15)

= а + (а1 + Ъ +1) кз = 0,

при этом а ф 0.

Доказательство. В силу леммы 4.3 выполнены тождества

(х -Р9) (х

(х -Р1)( х -Р2) (х + (2к^ + Ък1 + а)к— ) =

= (х + ^-а1)к1-1 )(х + (l-а2)к1-1 )х (4.16)

х(х + ^ -аз)к1-1),

(х-Р1)( х-Р2) (х + (2^ + Ък2 + а)к—2 ) =

= (х + (l-а1)к^1 )(х + (l-а2)к^1 )х (4.17)

х(х + (l - аз)к^1),

(х-Р1)( х-Р2) (х + (2к^ + Ъкз + а)к.—2 ) =

= (х + (l-а1)кз-1 )(х + (l-а2)кз-1 )х (4.18)

х(х + (l -аз)кз-1).

Без ограничения общности считаем, что в (4.16)

Р1 = («1 -1)/к1, Р2 = («2 -1)/к1,

(4.19)

а + (аз +1 + Ъ)к1 = 0.

Так как а;- и к/ попарно различны и к/ ф 0 при

Р1 ф Р2, Р1Р2 Ф 0, то

Р1 Ф (а1 -1)/к2, Р1 Ф (а1 -1)/кз, Р2 Ф (а2 — l)/ k2, Р2 Ф (а2 — l)/кз.

(4.20)

(4.12)

Рассматривая тождество (4.17) с учетом

(4.19), видим, что могут быть две возможности: а) Р1 = (а2 - ¡) / к2, б) Р1 = (аз - ¡) / к2 . Пусть реализуется случай а) Р1 = (а1 - ¡) / к1 = = (а2 - ¡)/ к2 . Тогда Р2 = (а2 - ¡)/ к1 =

= (аз - ¡) / к2 и а + (а1 + ¡ + Ъ)к2 = 0. В самом деле, пусть при Р1 = (а1 — ¡) / к1 = (а2 — ¡) / к2 значение Р2 = (а2 — ¡)/ к1 = (а1 — ¡)/ к2. Тогда, в силу (4.17), имеем а + (аз + ¡ + Ъ)к2 = 0. Отсюда и из последнего равенства (4.19) с учетом неравенства к\ ф к2 следует, что а = а3 + Ъ + ¡ = = 0. Полагая в (4.16) и (4.18) а = 0, а3 + Ъ + ¡ = 0,

получим

(4.13)

(х-Р1)( х — Р2) =

= (х + (l - а1 )к1-1 )(х + (l - а2 )к1-1)

(4.14)

где

(х-Р1)( х — Р2) =

= (х + (l — ^1 )кз )(х + (l — ^2 )кз ). Отсюда с учетом ограничений на к/ имеем ^-а1)к1-1 = ^-а2)кз"1, (¡-а2)к]“1 = ^-а1)кз"1. Так как в случае а) (а1 — ¡)/(а2 — ¡) = ^/к2 =

к

з

к

к

к

2

з

2

з

= к2 / к1 , то к1 = -к2. Отсюда и из предыдущих равенств находим к3 = -к\ = к2. Последнее противоречит условию леммы. Следовательно, Р2 = («з -1)/к2 и, в силу (4.17), а + (а1 + ¡ + +Ъ)к2 = 0.

Для Р1 = (а1 -¡)/к1 = (а2 -¡)/к2,Р2 = (а2 -¡)/к1 = = (аз — ¡)/к2 , в силу неравенств (4.20) и условий на к/, из тождества (4.18) находим Р1 = (аз — ¡) / кз, Р2 = (а^ — l) / кз, а + (а2 + ¡ + +Ъ)кз = 0. Таким образом, в случае а) имеют место соотношения (4.12) и (4.13).

В случае б) аналогично доказывается, что справедливы равенства (4.14) и (4.15).

Согласно (4.13) и (4.15), при а = 0 среди а/ есть равные. Так как это противоречит условию леммы, то а Ф 0. Лемма доказана.

Лемма 4.8. Система (4.1) не может иметь четырех частных интегралов у = к/х + ¡,

у = 1,4, где к/ Ф 0 и попарно различны,

¡ € {аьа2,а3}.

Доказательство. Допустим противное. Тогда наряду с (4.16)-(4.18) для всех х, в силу леммы 4.3, имеет место тождество

(х -Р1)( х -Р2) (х + (2к^ + Ък4 + а)к—2 ) =

х + -

I — а,

кЛ

х+

I — ап

к л

х+

I — а~>

к

Отсюда следует, что р1 совпадает с одной из величин (І — аі)/к4, (І — а2)/к4 , (І — аз)/к4 . С другой стороны, в силу леммы 4.7, выполнена одна из серий равенств (4.12) или (4.14). Следовательно, среди к/ есть равные. Из противоречия вытекает утверждение леммы. Лемма доказана.

Лемма 4.9. Если при Ы ф 4с один корень уравнения 1 + Ы +с = 0 принадлежит множеству {а1,а2,а3}, а другой не является элементом этого множества, то число линейных частных интегралов системы (4.1) не более 9.

Доказательство. Система (4.1), кроме х = р1, х = р2, у = а1, у = а2, у = а3, согласно лемме 4.3, может иметь инвариантное множество у = кх + I, к ф 0, где I - корень уравнения 1 + Ы +с = 0. Пусть 11 и 12 - корни этого уравнения и 11 = ах, 12 ф а/. Тогда по лемме 4.4. система (4.1) может иметь только один частный интеграл у = кх + /1, к ф 0, и, в силу леммы 4.8, не более трех частных интегралов у = к1х + /2, у = к2х + /2, у = = к3х + /2, к1к2к3 ф 0. Лемма доказана.

Лемма 4.10. Пусть Ы = 4с. Тогда число линейных частных интегралов системы (4.1) при -Ь/2 ф а/,/ = 1, 2, 3, не более 8.

Доказательство. При Ъ2 = 4с уравнение ¡2 + Ъ¡ +с = 0 имеет кратный корень ¡ = -Ъ/2. Для -Ъ/2 = ¡ Ф а/,/' = 1, 2, 3, в силу леммы 4.8, кроме у = аь у = а2, у = а3, х = Рь х = Р2, система (4.1) может иметь не более трех частных интегралов у = к/х -Ъ/2, к/ Ф 0. Отсюда и из леммы 4.3 вытекает утверждение леммы. Лемма доказана.

Замечание 4.1. Если Ъ2 = 4с, ¡ = -Ъ /2 е

е {а1,а2,аз}, то а = 0, С = а2 и правые части

системы (4.1) имеют общий делитель у - а/.

Лемма 4.11. Пусть система (4.1) имеет инвариантные множества

1 = и {у = к ух + ¡} ¿1 = и {у = к]х + ¡1} у=1 у =1

где кук1 Ф 0, l Ф ¡1 и ¡, ¡1 отличны от

{аьа2,аз}. Тогда т + V < 4 и т < 2, V < 2.

Доказательство. Допустим противное. Тогда с точностью до обозначений ¿, в силу леммы 4.8, содержит три различных линейных частных интеграла у = к\х + ¡, у = к2х + ¡, у = к3х + ¡. Согласно лемме 4.7, выполнены равенства (4.12), (4.13) либо (4.14), (4.15). Из этих равенств следует, что

аР1 = (а1 -1)(^ -аз) = (а2 -1)(^ -а1) =

= (аз -1)(l1 — а2^ аР2 = (а2 -1) (¡1 - аз) = («з -1) (¡1 - а^ =

= (а1 -1 )(l1 -а2).

Отсюда имеем

а(Р1 - Р2) = (“1 ^2 ) (¡1 -аз) =

= (а2 -«зХА -а1) = (аз ^1)(¡1 -а2),

Р1 / Р2 = (а1 -1V (а2 -1) =

= (а2 -1V (аз -1) = (аз -1V (а1 -1).

Из равенств (4.22) следует, что а1 — а2 а1 — аз

(4.21)

(4.22)

а2 — аз а2 — аі

а2 — аз аі — I

аз — аі а2 — I

ао — I ао — I

(4.23)

аз — І аі — I

Согласно (4.21) и (4.23), имеем Іі — аі аз — І

Іі — аз аі — І

Іі — а2 аі — І

а — а

а — а

а — а^

а — аі

Іі — аі а2 — І

(4.24)

(4.25)

Из равенств (4.24), (4.25) получаем

(аз — аі) (аз + аі — І — Іі) — 0,

(аі — а2) (аі + а2 — І — Іі) — 0.

Отсюда вытекает, что среди аі, а2, а3 есть равные. Полученное противоречие доказывает лемму. Лемма доказана.

Контрпример к работе [5], содержащийся во введении [1], является примером к лемме 4.11.

Теорема 4.1. Максимальное число линейных частных интегралов системы (4.1) равно 9.

Доказательство. Во введении [1] содержится пример системы (4.1) с 9 различными линейными частными интегралами. Если система

(4.1), кроме х = р1, х = р2, у = а1, у = а2, у = а3, имеет инвариантные множества у = кх + I, к ф 0, то в силу леммы 4.3, I является решением уравнения 1 + Ы +с = 0. Число таких множеств, согласно леммам 4.4-4.6, 4.9-4.11, не более 4. Теорема доказана.

5. Системы из А4 с инвариантным множеством, являющимся объединением трех инвариантных множеств (2.1) с условием (2.3) и не допускающих других инвариантных множеств с условием (2.3)

В этом пункте рассматриваются системы

(1.1) из А4, у которых с точностью до обозначений, кроме Ф1 = 0, Ф2 = 0, Ф3 = 0, где

а1 = а2 = а3, Ь1 = Ь2 = Ь3, с/, у — і, з, попарно различны, нет других инвариантных множеств

(2.1) с условием (2.3).

Лемма 5.1. Пусть система (1.1) из А4 имеет не менее четырех инвариантных множеств

(2.1), при этом только три из них удовлетворяют условию (2.3), и кроме этих трех инвариантных множеств, нет других инвариантны множеств (2.1) с условием (2.3).

Тогда линейной невырожденной заменой с точностью до обозначений система (1.1) с вырожденной бесконечностью при п = 4 приводится к виду

Шх (. , . 2 2

— х \(ах + Ьу) У + Р20 х + рпху +

dt

+ Р02 y 2 + Pl0 x + Рої y + Poo )= P,

множеств y = kx + l, y = kx + l1, k Ф 0, l Ф l1, P и Q - взаимно просты.

Лемма 5.2. Система (5.1) имеет частный интеграл y = kx + l, k Ф 0 тогда и только тогда, когда для всех х

kx i(kx +l )2((a + bk)x + bl + p02) +

+(kx +l)(piix + рої) + P20x2 + P10x + Poo) = (5.2) = (kx +1 -a1)(kx +1 — a2)(kx +1 — a3) x x ((a + bk) x + bl + c), при этом l e{a^ а2аз} ^ {—c / b} и для

l = a j = — c / b выполнено равенство

2 2 (P02 — c)c — bcp01 + b p00 = 0 при b Ф 0. (5.3)

Доказательство. Подставляя y = kx + l в дифференциальное уравнение, эквивалентное системе (5.1), получим тождество (5.2).

Так как левая часть (5.2) равна нулю при x = 0, то l совпадает с одним из чисел ai, a2a3,—c / b . При l = a j = — c / b правая часть (5.2) имеет x = 0 корнем кратности два. Поэтому l (bl + p02) + lp01 + p00 = 0 . Отсюда для l = — c/b получаем (5.3). Лемма доказана.

Лемма 5.3. 1. Система (5.1) имеет частный интеграл y = kx + a1, k Ф 0 в том и только том случае, когда

A1k + + p20 — 0,

(5.4)

(2a^_A1 + C1)k + B1a1 + p10 — aa2a3 = 0, (5.5)

(5.6)

aj A1 + a^ + p00 — ca2a3 — 0,

где

(5.7)

А1 = Р02 + (а2 +аз)Ъ - с,

В1 = Р11 + а(а2 +аз),

С1 = р01 - а2азЪ + (а2 + аз)с. (5.8)

2. Система (5.1) допускает частный интеграл у = кх + а2, к Ф 0 тогда и только тогда, когда

A2k + B2k + p20 =

(5.9)

(2a2A2 + C2)k + B2a2 + pw — aa^ = 0, (5.10) 2

a2 A2 +a2C2 + p00 — ca1a3 = 0, (511)

где

(5.1)

A2 = p02 + (a1 +a3)b — c,

B2 = p11 + a(a1 +a3),

C2 = p01 — a1a3b + (a1 + a3)c.

(5.12)

= (у - а0(у - а2) (у - аз) х

ш

х (ах + Ъу + с) = 0,

где |а| + |Ъ| > 0, с Ф 0 при Ъ = 0, а/ - попарно различны и у системы (5.1) нет инвариантных

3. Система (5.1) имеет частный интеграл у = кх + а3, к Ф 0 в том и только том случае, если

A^k + B^k + p20 — 0,

(5.13)

(2a3A3 + C3)k + B3a3 + p10 — aa1a2 = 0, (5.14)

а3 A3 + Œ3C3 + Роо — — 0, (5.15)

где

A3 — Роз + (а1 +«з)6 — с,

В3 — pu + а(аі +аз),

C3 — Р01 — а1а2Ь + (а1 + а2)с.

(5.16)

Доказательство. Соотношения (5.4)-(5.6),

(5.9)-(5.11) и (5.13)-(5.15) поучаются из тождеств (5.2) при I = а1, I = а2, I = а3 соответственно, если приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях. Лемма доказана.

Лемма 5.4. 1. Если система (5.1) имеет инвариантные множества у = к1х + а1, у = к2х + + а1, к1 ф к2, к1к2 ф 0, то

А,(к, + к2) + В, — 0, 2а,А, + С, — 0,

і 2 (5.17)

а іВі — аа2аз — рі0, а 1 Аі — р00 — са2аз,

где А1, В1, С1 имеют вид (5.7), (5.8).

2. Если система (5.1) имеет инвариантные множества у = к3х + а2, у = к^х + а2, к3 ф к4, к3к4 ф 0, то

A3 (к3 + к4 ) + Вз — 0, 3азA3 + C3 — 0, а3В2 — аа 1 а3 — p10, а3A3 — p00 — са 1 а3,

(5.18)

где А2, В2, С2 имеют вид (5.12).

3. Если система (5.1) имеет инвариантные множества у = к5х + а3, у = к&х + а3, к5 ф к6, к5к6 ф 0, то

Аз(к5 + к6) + Вз — 0, 2азАз + Сз — 0,

2 (5.19) азВз — ааіа2 — Р10, а3Аз — Р00 — ^і^

где А3, В3, С3 имеют вид (5.16).

Доказательство. Равенства (5.17)-(5.19) получаются соответственно из соотношений (5.4)-

(5.6) при к = к1, к = к2; (5.9)-(5.11) при к = к3, к = к4 и (5.13)-(5.15) при к = к5, к = к6 и условий к1 ф к2, к3 ф к4, к5 ф к6. Лемма доказана.

Лемма 5.5. Система (5.1) не может иметь инвариантных множеств у = к1х + а/, у = = к2х + а/, у = к3х + а/, где к1, к2, к3 отличны от нуля и попарно различны, / є {1, 2, 3}.

Доказательство. Допустим противное, считая / = 1. Тогда, в силу леммы 5.3, А1 = В1 = ^20 = С1 = 0. Отсюда с учетом (5.6)-(5.8) имеем Р02 — с — Ь(а2 +а3), Ріі — —а(а2 +а3), Р0і —

— а2азЬ — (а2 + аз)с, рш — аа2аз, р00 — са2аз. Для таких значений коэффициентов в (5.1) Р = х(ах + Ьу + с) (у — а2 ) (у — аз ). Следовательно, Р и Q имеют общий делитель, тождественно не равный постоянной. Получили противоречие. Лемма доказана.

Лемма 5.6. Если система (5.1) имеет инвариантные множества y = k\x + ai, y = k2x + ai, y = k3x + a2, y = k4x + a2, kj Ф 0, k1 Ф k2, k3 Ф k4, то 2p02 + 3ba3 - 3c = 0, pn + 2aa3 = 0,

c^ +a2 - 2a3) = (5.20)

= ¿(a^ +a2a3 -2a1a2). Доказательство. В силу леммы 5.4 имеем 2aiAi + Ci = 2a2 A2 + C2.

Подставляя в это равенство вместо A1, C1, А2, C2 их выражения из (5.7), (5.8) и (5.12), получим первое равенство (5.20). Согласно (5.17) и (5.18), имеем

a1B1 - a2B2 = aa3 (a2 - a1 ).

Заменяя в левой части этого равенства B1, B2 из формул (5.7) и (5.12), получим рц +

+ 2aa3 = 0. Из леммы 5.4 следует, что aj2A1 -

- a2A2 = ca3(a1 - a2) . Подставляя в левую часть этого соотношения вместо A1 и А2 их значения из (5.7) и (5.12), получим

P02(a1 + a2) + b(a1a2 + a1a3 + a2a3) =

= c(a1 +a2 +a3).

Если здесь p02 заменить из первого равенства

(5.20), то будем иметь последнее равенство

(5.20). Лемма доказана.

Лемма 5.7. Система (5.1) не имеет линейных частных интегралов вида y = k1x + a1, y = k2x + a1, y = k3x + a2, y = k4x + a2, y = k5x + a3, y = k6x + a3, где kj Ф 0 и попарно различны.

Доказательство. Допустим противное. В силу леммы 5.4 имеем

2a1A1 + C1 = 2a3 A3 + C3, где A3, C3 определяются из (5.16). Отсюда после замены А1, C1 из (5.7), (5.8), А3, С3 из (5.16) получим 2P02 + 3èa2 - 3c = 0. Из этого равенства и первого соотношения (5.20) вытекает, что Ъ = 0, ибо a2 Ф a3.

В силу леммы 5.4 B^1 = aa2a3 - рш, B3a3 = aa1a2 - Рю . Отсюда, как и при доказательстве леммы 5.6, следует, что рц + 2aa2 = 0. Из этого равенства и второго соотношения

(5.20) вытекает, что a = 0. Получили противоречие с тем, что в (5.1) |a| + |Ъ| > 0. Лемма доказана.

Лемма 5.8. Если состояние покоя (0,-c/b) при -c/b Ф a;, j =1, 2, 3, не принадлежит инвариантным множествам y = kx + l, k Ф 0, то число линейных частных интегралов системы (5.1) не более 9.

Доказательство. Так как состояние покоя (0,-c/b) не принадлежит инвариантным множе-

ствам вида у = кх + I, к ф 0, то для всякого частного интеграла у = кх + I, к ф 0, параметр I, в силу леммы 5.2, принадлежит {аі,а2,а3}. По лемме 5.5 состояние покоя (0,а;) может принадлежать не более чем двум инвариантным множествам

у = кх + а/, к ф 0. С другой стороны, в силу леммы 5.7, невозможна ситуация, когда точки (0,аі), (0,а2), (0,а3) одновременно принадлежат инвариантным множествам у = к15х + а5, у = = к2ьх + а5, кі5 Ф к25, кі5к25 Ф 0, 5 = 1, 2, 3. Отсюда следует утверждение леммы. Лемма доказана.

Изучим случаи, когда система (5.1) имеет частные интегралы у = кх - с/Ь, с + а;Ь Ф 0,

/ = 1, 2, 3.

Лемма 5.9. Система (5.1) имеет линейный частный интеграл у = кх - с/Ь, кЬ Ф 0 тогда и только тогда, когда

к А4 + кВ4 + Р20 — 0,

к (— 2ІА4 + Ь(аіа2 +аіаз +а2аз) — р0і) +

+ (2І — 2І (аі +а2 +аз) +

+ аіа2 + аіаз + а2аз)а — Іріі — рі0 — 0, (5.21)

к ((р02 — с)І 2 + р0іІ + р00 —

где

— b(l — а^ (l — аз ) (l — а3)) —

— а (І — а1 ) (І — аз) (І — а3) — 0,

A4 — Р02 + Ь(а1 +аз +а3), В4 — p11 + а(а1 +а2 +а3 — l ), Ы1 + c = 0.

(5.22)

Доказательство. Соотношения (5.20) и

(5.21) получаются из тождества (5.2) при Ъ¡ + с = 0 путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях в правой и левой частях. Лемма доказана.

Лемма 5.10. Если -с/Ъ ф а/, / =1, 2, 3, Ъ ф 0, то система (5.1) не имеет частных интегралов у = к\х - с/Ъ, у = к2х - с/Ъ, к\к2 ф 0, к! ф к2.

Доказательство. Допустим противное. Полагая в (5.21) к = к], к = к2 и используя условия ¡ = -с/Ъ Ф а/, к] Ф к2, согласно последнему равенству (5.21), найдем, что а = 0. При а = 0 система

(5.1) наряду с у = аь у = а2, у = а3 имеет частный интеграл Ъу + с = 0. Таким образом, у системы (5.1) есть инвариантное множество, содержащее 4 инвариантных множества (2.1) с условием (2.3). Полученное противоречие доказывает лемму. Лемма доказана.

Лемма 5.11. Пусть система (5.1) допускает частный интеграл у = кх - с/Ъ и при этом к Ф 0,

¡ = -с/Ъ Ф а;, /' = 1, 2, 3. Тогда число линейных частных интегралов системы (5.1) не более 9.

Доказательство. Допустим противное. Тогда, в силу лемм 5.2, 5.5, 5.7 и 5.10, с точностью до обозначений система (5.1) имеет частные интегралы у = к1х + а!, у = к2х + а!, к1к2 Ф 0, к\ ф к2, у = к3х + а2, у = к4х + а2, к3к4 ф 0, к3 ф к4, у = к5х + а3, к5 Ф 0. Отсюда и из леммы 5.6 следует, что выполнены соотношения (5.20), где Ы = - с. По лемме 5.4 2а1 А1 + С1 = 0, где А1 и С определяются формулами (5.7), (5.8). Заменяя А1 и С1 их выражениями из (5.7), (5.8), с учетом последнего равенства (5.20) при Ъ¡ = -с получим Р01 = зЪ1«з. Согласно (5.7) и (5.20), В1 = а(а2 -аз). Отсюда и из (5.17) следует Р10 = а(а1аз +«2“з — а1а2). В силу леммы 5.4, с учетом (5.17), (5.20) при Ъ = -с имеем

2 , 1 2 1 2

Р00 — b а1 а2 — 1а2а3 —-а1 а3 —-а1

Так как система (5.1) допускает частный интеграл y = kx - c/b, l = -c/b, k Ф 0, Ъ Ф 0, то по лемме 5.9 выполнены равенства (5.21). Заменяя в левой части второго уравнения (5.21) p02, p01, pii, pi0 найденными выражениями и используя последнее соотношение (5.20) при bl = -c, получим

(3bk + 2a)(/2 - /(a! +a2) + a^2 )= 0.

Поскольку l = -c/b Ф a;, j = 1, 2, 3, то 3bk + + 2a = 0. Таким образом, система (5.1) имеет

2a c

частный интеграл y =-------------x----. Так как

3b b

y = k5x + a3, k5 Ф 0, является инвариантным множеством для (5.1), то, в силу леммы 5.3, выполнены равенства (5.13)-(5.16), где k = k5. Подставляя найденные выше значения p02, p01, p11 в (5.16), будем иметь

A3 = (2a1 + 2a2 - / - 3a3)b/2,

B3 = a(a1 +a2 -2a3), (5.23)

C3 = ((3a3 - a1 - a2)/ - a1a2)b.

Полагая в (5.14) k = k5 и заменяя A3, B3, C3 из (5.23) и используя найденное выражение для p10, с учетом последнего равенства (5.20) при bl = -c получим

(3bk5 + 2a) x

i \ (5.24)

x(a1a2 -a3 -/(a1 +a2 - 2a3))= 0.

Пусть /(a1 + a2 - 2a3) = a1a2 - a^, тогда, в силу последнего равенства (5.20) при bl = -c,

имеем (a3 — a2)(a1 — a3) = 0. Так как это невозможно, то 3bk5 + 2a = 0. Таким образом, система (5.1) допускает частный интеграл 2а

y =------x + a3 . Следовательно, система (5.1),

3b

кроме y = a1, y = a2, y = a3, имеет по крайней мере еще два частных интеграла с условием (2.3). Полученное противоречие доказывает лемму. Лемма доказана.

Из доказанных выше лемм вытекает

Теорема 5.1. Пусть система (1.1) с взаимно простыми правыми частями вырождена на бесконечности, имеет только три инвариантных множества (2.1) с условием (2.3) и не имеет других инвариантных множеств (2.1) с условием (2.3). Тогда число линейных частных интегралов не более 9.

6. Системы, вырожденные на бесконечности, с двумя инвариантными множествами, являющимися объединениями только двух инвариантных множеств (2.1) с условием (2.3)

В отличие от п. 3-5, будем рассматривать системы (1.1), вырожденные на бесконечности, такие, что наибольшее число инвариантных множеств (2.1), содержащихся в объединении инвариантных множеств (2.1) с условием (2.3), равно двум.

Лемма 6.1. Если система (1.1) из А4 имеет два инвариантных множества L\ и L2, каждое из которых является объединением инвариантных множеств (2.1) с условием (2.3), при этом пересечение L1 и L2 не содержит инвариантных множеств (2.1) и максимальное число множеств (2.1), содержащихся в объединении и удовлетворяющих условию (2.3), равно двум, то линейной невырожденной заменой с точностью до обозначений система (1.1) приводится к виду

dx

dt

x((ax + by)y + p10x + p01 y + p00 ) = P(x УX „

, ( )

— = y (y — a) x dt

x ((ax + by) x + qw x + y + <?00 ) = Q( x, y),

где |a| + |b| > 0, aP Ф 0, P и Q - взаимно просты.

Доказательство. Поскольку каждое из инвариантных множеств L\ и L2 содержит два инвариантных множества (2.1) с условием (2.3), то без ограничения общности считаем Ц = {y = 0} и

x( x — P) x

u{y = a} , L2 = {x = 0} ^ {x = P} , aP ф 0. Так как y = 0, y = a, x = 0, x = P - инвариантные множества для (1.1), то Q делится на y(y - a) и P делится на x(x - P). По условию леммы система (1.1) при n = 4 вырождена на бесконечности. Поэтому в силу (1.2) однородные полиномы p4(x, y) и q4(x, y), содержащиеся в P и Q, такие, что

Р4 (X, У ) = Хфэ (x, y) = x2 V2 (x, y),

<?4 (x, У) = УФз (x, y) = У 2®2 (x, У), где Фу, Vj, ®j - однородные полиномы степени j. Так как

Фз (x, У) = xV2 (x, У) = y®2 (x, y),

то у2 делится на y, а ш 2 делится на x. Лемма доказана.

Лемма 6.2. Система (6.1) имеет частный интеграл y = kx + l, k ф 0, тогда и только тогда, когда для всех х

kx(x - P) (((a + bk)x + bl) (kx +1) +

+ (Pio + Poik)x + Poil + Poo) =

/ (6.2) = (kx +1) (kx +1 - a) ((bl + (a + bk) x) x +

+(qio + qoik) x + qoil + qoo), при этом l e {o, a,-qoo / %i}, причем при l = 0 и q00 = 0 значение p00 = 0, а при l = a ф 0 и qoia + qoo = o

bl2 + poil + poo = °- (6.3)

Доказательство. Подставляя в дифференциальное уравнение, эквивалентное системе (6.1), y = kx + l, получим тождество (6.2). Так как левая часть (6.2) равна нулю для x = 0, то

l e {o, a,-qoo / qoi} . Лемма доказана.

Лемма 6.3. Система (6.1) имеет частный интеграл y = kx, k ф 0, тогда и только тогда, когда

2

(bP + qoi)k + k(aP + qio - Poi -ab) -

- рю - aa = o, k(aqoi - pPoi - qoo) + Poo - (6.4)

- pPio +aqio =0, aqoo- pPoo = o-

Доказательство. Полагая в (6.2) l = 0 и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях (6.2), получаем равенства (6.4). Лемма доказана.

Лемма 6.4. Система (6.1) не имеет инвариантных множеств y = k\x, y = k2x, y = k3x, kj ф 0 и попарно различны.

Доказательство. Допустим противное. Тогда, в силу леммы 6.3, выполнены равенства

Pb + qoi = o, aP + qio - Poi - ab = o,

Pio + aa = o,

aqoi- PPoi- qoo = 0 Poo- PPio + aqio =0,

aqoo -^Poo =0 Из соотношений (6.5) имеем

Pio = -aa, Poi = qio- aP - a^

(6.5)

Poo =-aqio- aap,

q0i = -bp, q00 = -Pqi0 - aP^

(6.8)

(6.6)

Подставляя p10, p01, p00 из (6.6) в (6.1), будем иметь

— = x(x - P) (ax + by + qio + aP)(y - a) = P.

dt

Отсюда и из (6.1) следует, что P и Q имеют общий делитель y - a. Получили противоречие. Лемма доказана.

Полагая в тождестве (6.2) l = a и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях, можно показать, что справедлива

Лемма 6.5. Система (6.1) имеет линейный частный интеграл y = kx + a, ka ф 0 тогда и только тогда, когда

(bP + qoi)k2 + k(aP + qio -Poi) -Pio = 0 k (2aPb + 2qoia + Ppoi + qoo) -

2 (6.7)

- 2a b - P0ia - p00 + aPa + Pp10 - aqi0 = 0,

2

a bP + P(poia + poo) + a(aqoi + qoo) = 0.

Лемма 6.6. Система (6.1) не имеет частных интегралов y = k1x + a, y = k2x + a, y = k3x + a, kj ф 0 и попарно различны.

Доказательство. Допустим противное. Тогда, в силу леммы 6.5, имеем

qoi = -pb, Pio = 0 Poi - qio = aP 2aqoi + PPoi + qoo =-2apb, ap0i + P00 - Ppi0 + aqi0 = aPa - 2a b,

aPPoi +PPoo +a2qoi +aqoo = -a2Pb.

Отсюда получим PPoi + qoo = 0 aPPoi + PP0o + aqoo = 0, ap0i + P00 + aqi0 = aPa - 2a2b.

Из первого и второго только что полученных равенств следует, что p00 = 0. При p00 = p10 = 0 полиномы P и Q в (6.1) имеют общий делитель y. Из полученного противоречия вытекает утверждение леммы.

Лемма 6.7. Система (6.1) имеет частный интеграл y = kx + l, где k ф 0, lqoi + qoo = 0, тогда и только тогда, когда

k (Pb + q0i) + k (qi0 + aP + bl - p0i -ab) +

+ al - pi0 - aa = 0,

k (2Pbl + Ppoi + qoi(2l-a)) +

+ k (Ppio + qio(2l - a) -

- Poil - Poo - 2abl + aPl + 2bl2) +

+ al(l - a) = 0,

k(P(bl2 + poil + poo) +l(l -a)qoi) +

+ (bl + qio) (l - a)l = 0.

Доказательство. Равенства (6.8) получаются из тождества (6.2), если сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях. Лемма доказана.

Лемма 6.8. Система (6.1) не имеет частных интегралов y = k1x + l, y = k2x + l, y = k3x + l, где l ф 0, l ф a, a ф 0, kj ф 0.

Доказательство. Допустим противное. Тогда, в силу (6.8) и леммы 6.7, выполнены равенства

qoi =-P^ Poi - qio = aP + bl -ab, pi0 = al - aa, PPoi + qoi(2l -a) = -2lPb, lPoi + Poo - PPio - qio(2l - a) =

= lPa + 2bl - 2bal, al(l - a) = 0, (bl2 + p0il + p00)P +

(6.9)

+ l(l - a)qoi = 0, l(l -a)(bl + qi0) = 0.

Так как l(l - a) Ф 0, то a = 0. Поэтому pw = 0,

qio = -Ь1, Poi = -ab Poo = 0. При Pio = Poo = 0 полиномы P и Q в (6.1) имеют общий делитель y. Полученное противоречие доказывает лемму.

Лемма 6.9. Если состояние покоя (0,-q00 /q01) не принадлежит инвариантным множествам y = kx + l, k Ф 0, то число линейных частных интегралов системы (6.1) не более 8.

Доказательство. Так как l ф -q00 /q01, то, в силу леммы 6.2, l e {0,a}. Кроме x = 0, x = P, y = 0, y = a, система (6.1), согласно леммам 6.4, 6.6, может иметь еще не более 4 частных интегралов y = k1x, y = k2x, k1k2 Ф 0, k1 Ф k2, y = = k3x + a, y = k4x + a, k3k4 Ф 0, k3 Ф k4. Лемма доказана

Лемма 6.10. Система (6.1) при aP Ф 0 не может иметь шести линейных частных интегралов вида y = k1x, y = k2x, k1k2 Ф 0, k1 Ф k2, y = k3x + a, y = k4x + a, k3k4 Ф 0, k3 Ф k4, y = k5x + l, y = k6x + l, где l = -q00 /q01, l Ф 0,

l Ф a.

Доказательство. Допустим противное. Тогда, в силу леммы 6.3, выполняются равенства

00 “РАИ - qoo = О,

p00 =а b/3, p10 = а(а-3/)/3, аР = аЬ, pb(l2 -а/ + а2) = 0.

= 0, ¡ ф 0, ¡ ф а, к5 к6 ф 0, к5 ф к6, то к5 и к6 удовлетворяют первым двум уравнениям (6.8). Поэтому

(6.10)

Poo -PPio +aqio = 0 aqoo -^Poo = °.

Согласно леммам 6.5 и 6.7, аналогично получим, что

2aqoi + PPoi + qoo = -2bap,

aqi0 + ap0i + p00 - Ppi0 = aPa - 2a b,

22 a qoi + PPoo +aqoo + aPpoi =-a Pb, (6.11)

l(l -a)qoi +Plpoi +Ppoo = -Pbl2, l(l - a)(bl + qi0) = 0.

Так как l(l -a)Ф 0, то из последнего уравнения (6.11) находим q10 = -bl. Отсюда и из

(6.10), (6.11) следует, что

aqoi -PPoi - qoo = 0

2aqoi +^Poi + qoo =-2ba^ aqoi +PPoi + 2qoo =-aP^

-PPio + (a / P) qoo = abl,

l(l -a)qoi + PlPoi +aqoo = -Pbl2, p0i = Pa - 2ab.

Из первых трех уравнений (6.12) находим q0i = -2bP/3 , p0i = -ab, q00 = abP/3 . Отсюда и трех последних равенств (6.12) следует, что

P10 + a(a- / ) bp + ?01 a/(/ -a)

(6.14)

2pb/ + Pp01 + q01(2/ -a)

Заменяя в (6.14) p10, q01 и p01 найденными выше значениями, находим

9/2 - 11а/ + 4а2 = 0,

(6.15)

(6.12)

(6.13)

Поскольку система (6.1) допускает частные интегралы y = k5x + l, y = k6x + l, где lqw + q00 =

т.к. |а| + |Ь| > 0, ар Ф 0. Из (6.15) и последнего равенства (6.13) вытекает, что а = I = 0. Полученное противоречие доказывает лемму.

Теорема 6.1. Система (6.1) при ар ф 0 может иметь не более 9 различных линейных частных интегралов.

Доказательство. Класс систем (6.1) такой, что всякий частный линейный интеграл, отличный от х = 0, х = р, у = 0, у = а, имеет вид у = кх + I, где к ф 0, к ф да. По лемме 6.2

І є {0,а,—^00 /^0і) . В силу лемм 6.4, 6.6, 6.8,

6.10, инвариантных множеств у = кх + I для к Ф 0 не более 5. Теорема доказана.

Работа поддержана грантом НК-13П-13.

Список литературы

1. Долов М.В., Чистякова С.А. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью. I // Вестник ННГУ. 2010. № 6. С. 131-136.

ON LINEAR PARTICULAR INTEGRALS OF POLYNOMIAL VECTOR FIELDS OF FOURTH DEGREE WITH DEGENERATE INFINITY. II

M.V. Dolov, S.A. Chistyakova

A polynomial vector field of fourth degree with degenerate infinity is proved to have no more than nine linear particular integrals including those with complex coefficients.

Keywords: polynomial vector fields, algebraic differential equations, particular integrals, invariant sets, degenerate infinity.