Бесконечная алгебраическая независимость некоторых почти полиадических чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 25. Выпуск 3.

УДК 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-365-372

Бесконечная алгебраическая независимость некоторых почти

полиадических чисел

В. Ю. Матвеев

Матвеев Владимир Юрьевич — кандидат физико-математических наук, Российская академия народного хозяйства и государственной службе при Президенте РФ (г. Москва). e-mail: [email protected]

Аннотация

В работе рассматриваются F-ряды fcj(z) = 0 (ai)n(@jгде - некото-

рые рациональные числа. Эти ряды удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка с коэффициентами из C(z). Используя предыдущие результаты, полученные с помощью подхода, предложенного в одной из работ В.Х. Салихова, устанавливается алгебраическая независимость этих рядов над C(z). Применение общей теоремы об арифметических свойствах ^-рядов из работ В.Г. Чирского, позволяет утверждать бесконечную алгебраическую независимость значений этих рядов. Это означает, что для любого многочлена Р (х\, )

ственного нуля и любого целого числа £ = 0, существует бесконечное множество простых чисел р таких что в поле Qp выполняется неравенство

=0. Здесь

символы /i(j,) (£) обозначают суммы рядов (ai)n О™ в поле Qp-

Ключевые слова: Бесконечная алгебраическая независимость, почти полиадические числа.

Библиография: 17 названий. Для цитирования:

Матвеев, В. Ю. Бесконечная алгебраическая независимость некоторых почти полиадических чисел // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 3, с. 365-372.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 3.

UDC 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-3-365-372

Infinite algebraic independence of some almost polyadic numbers

V. Y. Matveev

Matveev Vladimir Yur'evich — candidate of physical and mathematical sciences, Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (Moscow). e-mail: [email protected]

Abstract

The paper considers F-series fi,j(z) = ^=0 (ai)n(fy2)™, where Oj, fy are some rational numbers. These series satisfy a system of first-order linear differential equations with coefficients from C(z). Using previous results obtained using the approach proposed in one of the works of V.Kh. Salikhov, the algebraic independence of these series over C(z) is established. Application of the general theorem on the arithmetic properties of F-series from the works of V.G. Chirsky, allows us to assert the infinite algebraic independence of the values of these series. This means that for any polynomial P (#1,1,..., xm,n) with integer coefficients other than the identical zero and any integer £ = 0 there is an infinite set of prime numbers p such that in the field Qp

the inequality

P (/m (0,..., /m,n (0) = 0 Here the symbols /(p) (f) denote the sums of the

series £r=0 (ai)n (fa£)" in the field Qp.

Keywords: Infinite algebraic independence, almost polyadic numbers. Bibliography: 17 titles.

For citation:

Matveev, V. Yu. 2024, "Infinite algebraic independence of some almost polyadic numbers" , Cheby-shevskii sbornik, vol. 25, no. 3, pp. 365-372.

1. Введение

Работа посвящена применению обобщения метода Зигеля-Шидловского на полиадическую область к конкретным рядам, обобщающим классический ряд Эйлера, расходящийся в поле комплексных чисел. В направлении обобщения метода Зигеля-Шидловского на полиадическую область имеется достаточно много работ [17], [3]. В последнее время большое внимание привлекают ряды - параметры которых - полиадические числа Лиувилля [5]-[16]. Дадим необходимые определения.

Элементы кольца целых полиадических чисел а € © имеют каноническое представление в виде ряда

те

а = ап ■ п\ (1)

п= 1

где ап € {0,1,... ,п}.

Кольцо ©т является прямым произведением колец ЪР1 по всем простым числам р^, при этом ряд а сходится в любом Zpi и его сумма в этом кольце обозначается а(к).

В работе [3] предложена следующая классификация полиадических чисел.

а

гочлен Р(х) с целыми коэффициентами такой, что полиадическое число Р(а) равно нулю, т.е. для любого ПрОСТОГО ЧИСЛс! р В КОЛЬЦ6 ^р р^вбНСТВО Р (а(р)) = 0.

Полиадическое число, которое не является алгебраическим, естественно называть трансцендентным полиадическим числом. В этом случае для любого отличного от нуля многочлена Р (х) с целыми коэффициентами существует хотя бы од но простое число р такое, что в кольце Zp выполнено неравенство Р (а(р)) = 0.

Термин почти полиадическое число использован для обозначения того случая, когда рассматриваемый ряд сходится во всех полях кроме, быть может, конечного их числа.

а

ля многочлен Р(х) с целыми коэффициентами такой, что почти полиадическое число Р(а) равно нулю, т.е. для любого простого числа р кроме конечного числа простых, для которых рассматриваемый ряд расходится в в кольце Ър выполнено равенство Р(а(р)) = 0.

Почти полиадическое число, которое не является алгебраическим, естественно называть трансцендентным почти полиадическим числом. В этом случае для любого отличного от

нуля многочлена Р(х) с целыми коэффициентами существует хотя бы одно простое число р такое, что в кольце Ър выполнено неравенство Р(а(р^) = 0.

Будем называть почти полиадическое число бесконечно трансцендентным, если для любого отличного от нуля многочлена Р (х) с целыми коэффициентами существует бесконечное множество простых чисел р таких, что в ко льце выполнено нераве нство Р (а(р)) = 0.

Наконец, будем называть почти полиадическое число глобально трансцендентным, если для любого отличного от нуля многочлена Р (х) с целыми коэффициентами и любого простого числа р в кольце Ър выполнено неравенство Р(а(р^) = 0.

Отметим, что из бесконечной трансцендентности а не следует трансцендентность а(р) хотя бы для одного простого числа р.

Почти полиадические числа а\,..., ат называются алгебраически независимыми, если для любого отличного от нуля многочлена Р(х\,..., хт) с целыми коэффициентами существует хотя бы одно простое число р такое, что в кольце Ър выполнено неравенство Р(а1\ ..., 0$)) = 0.

Будем называть почти полиадические числа бесконечно алгебраически независимыми, если для любого отличного от нуля многочлена Р(х\,..., хт) с целыми коэффициентами существует бесконечное множество простых чисел р таких, что в кольце Ър выполнено неравенство Р (а(?\...,ат)) = 0.

2. Основные результаты

Рассмотрим ряды д,- = (аг)п(@3х)

В работе доказываются теоремы.

Теорема 1. Пусть щ, г = 1,... ,т, ] = 1,... ,1 рациональные числа, удовлетворяющие уровнениям

при 2 = 8 Рз = р8, при г = г а,г — аг £ Ъ

Пусть £ £ Ъ, £ = 0. Тогда полиадические числа, /1,1(^),..., ¡т,п(0 - бесконечно алгебраически независимы.

Доказательство. Сначала требуется доказать алгебраическую независимость рядов (1) над полем С(г). Для этого мы применим теорему из [1], доказанную методом, предложенным В.Х. Салиховым в работе [2], для ^-функций. Сформулируем эту теорему из [1]. Ряд

(/ЗгГ = У

удовлетворяет уравнению

те

, , П П

п=0

1 — а@г У' = /Зг2 У /Зг2 Поэтому Д,- (г) удовлетворяют системе уравнений

, 1 — аф^ г 1

Угз = р-г2 Угз — 1 = 1,...,т,3 = 1,.-,1 (2)

Эта система после умножения на Pjг2 каждого из уравнений примет вид

Рз ¿УЦ' — (1 — агРзг) У%3 = —1

Обозначим г2 = Р1,^, —(1 — г) = Ро,^, Яц = —1 тогда уравнения (2) примут вид

(3)

Pi ,ijU ij + Po ,ijU г — Qij.

Пусть

Pi,iy'i + Po,iUi — Qi,i — 1,.

где P0,i,Plti,Qi G Q(z).

exP (/(ti - PliHg ' —^ W

Тогда /i(,z), г — 1,..., m алгебраически независимы над C(z) Рассмотрим

P0,i,j P0,r,s _

Pi,i,j Pi,r,s

- (1 - ajfijz) + (1 - arPsz) _ P3z2 + psz2 _

1___1 + a _ ar —

Ps Pj ) z2 Z Z

1___1 + (ai - ar) —

Ps P3) ^ z2 + z —

P0,i,j P0,r,s | ^^ _

Pi,i,j Pi,r,s,

) • inz+{ - £) •

exp f - P0iMN]

J \Pl^,j Pi ,r,SJ

0,i,j P0,r,S)dZ — z»i-»r Л ^ Ps Г z

1

если Pi — то эта величина не входит в C(z), какими foi ни были a^ и ar. Если Pj — Ps, то

эта величина становится равной zai-ar и она не принадл ежит C(z), есл и од - ar G Z для всех

, —

В работе В.Г Чирского [3] сформулирована и доказана следующая теорема:

Теорема 2. Пусть fi(z),..., fm(z) входят в класс F-рядов ап • п!ап g Q со-

ставляют решение системы линейных дифференциальных уравнений

m

Y' — ^ Вг,3 (z)Yi + Bh0(z), i — 1,...,m, (5)

3=1

где Bi,j g Q(z). Пусть T0(z) g Z [z] и T0(z) • Bij (z) g Z[z], i — 1,...,m, j — 0,...,m причем степень T0(z)- наименьшая возможная, a коэффициенты T0(z)-взаимно простые целые числа, и алгебраически независимы, над Q(z). Пусть число £ G Z, £ — 0 и отлично от особых точек системы (5). Тогда, почти полиадические числа, at — X^U • п'СП г — 1,... ,п, (iin G Z бесконечно алгебраически независимы.

Так как fi,j (z) ходят в класс F- рядов, все условия этой теоремы выполнены и теорема 1 доказана. □ Пусть

£ — Е ^, (6)

к=0

вга = £ вк. (7)

к=0

Пусть 5 - ряд (4), где - целые числа из поля K, сходящийся во всех полях v G Vq. Пусть e > 0 0 < ô < 1 и существует бесконечное множество номеров п таких, что для всех простых чисел р удовлетворяющих неравенству

р < m exp (ln1+2e| 6^| ) (8)

и любого нормирования v, продолжающего р - адическое нормированые в поле K, выполняется неравенство

|5 - 6га|щ < exp (- (exp (ln1+e | 6~| ) ln1+2e | 6~| )) > exp (ln2+ | 6~| ) (9)

Теорема 3. Пусть ai, fîj, г = 1,... ,m, j = 1,... ,1 рациональные числа, удовлетворяющие уравнениям

при j = s Pj = ps, при г = r ai — ar G Z

Пусть 5 g Z, 5 = 0. Тогда полиадические числа, f1t1 (5),..., fm,n(5) - бесконечно алгебраически независимы.

Доказательства теоремы 3 следуют из приведенных выше рассуждений и теоремы 2 статьи

№

3. Заключение

Работа продолжает исследования автора (ссылку на статью). Планируется исследовать статистические свойства этих рядов.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Матвеев, В. Ю. Свойства элементов прямых произведений полей // Чебышевский сборник,- 2019,- Т. 20,- Вып. 2 (70).- С. 386 - 393.

2. Салихов, В. X. Об алгебраической независимости значений Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям первого порядка // Матем. заметки.- 2019.-Т.13,- № 1,- С. 29 - 40.

3. Chirskii, V. G. Product formula, global relations and polvadic integers // Russian Journal of Mathematical Phvsics, издательство Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Fédération).-2019,- T. 26,- № 3,- C. 286 - 305

4. Юденкова, E. Ю. Бесконечная линейная и алгебраическая независимость значений F-рядов в полиадических лиувиллевых точках // Чебышевский сборник.- 2021.- Т. 22.- Вып. 2.-е. 334 - 346

5. Чирский, В. Г. Трансцендентность некоторых 2-адических чисел // Чебышевский сборник,- 2023,- Т. 24,- № 5,- С. 194 - 200. DOI

6. Чирский, В. Г. Трансцендентность р-адических значений обобщённых гипергеометрических рядов с трансцендентными полиадическими параметрами // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, издательство Российская академия наук (Москва).- 2023.- Т. 510.- С. 29 - 32. DOI

7. Chirskii, V. G. On Polvadic Liouville Numbers // Dokladv Mathematics, издательство Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation).- 2022,- T. 106.- № S2. -C. 161 - 164.

8. Chirskii, V. G. Arithmetic Properties of Values at Polvadic Liouville Points of Euler-Tvpe Series with Polvadic Liouville Parameter // Dokladv Mathematics, издательство Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation).- 2022,- T. 106.- № S2.- C. 150 - 153. DOI

9. Chirskii, V. G. Infinite Linear Independence with Constraints on a Subset of Prime Numbers for Values of Euler-Tvpe Series with Polvadic Liouville Parameter // Dokladv Mathematics, издательство Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation).- 2022.- T. 106.- № S2.- C. 154 - 160. DOI

10. Chirskii, V. G. Arithmetic Properties of Polvadic Integers // Dokladv Mathematics, издательство Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation).- 2022.- T. 106, № S2, C. 142 - 146. DOI

11. Chirskii, V. G. Arithmetic Properties of the Values of Generalized Hvpergeometric Series with Polvadic Transcendental Parameters // Dokladv Mathematics, издательство Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation).- 2022,- T. 106,- № 2,- C. 386 - 397. DOI

12. Чирский, В. Г. Арифметические свойства значений обобщённых гипергеометрических рядов с полиадическими трансцендентными параметрами // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, издательство Российская академия наук (Москва).- 2022,- Т. 506,- С. 95 - 107. DOI

13. Чирский, В. Г., Новые задачи теории трансцендентных полиадических чисел // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, издательство Российская академия наук (Москва).- 2022.- Т. 505.- С. 63 - 65. DOI

14. Чирский, В. Г. Полиадические числа Лиувилля // Чебышевский сборник.- 2021.- Т. 22.- № 3,- С. 245 - 255 DOI

15. Chirskii, V. G. Arithmetic Properties of Euler-Tvpe Series with a Liouvillean Polvadic Parameter // Доклады Академии наук, издательство ФГБУ «Издательство Наука» (Москва).-2020,- Т. 102,- № 2,- С. 68 - 70.

16. Чирский, В. Г. Арифметические свойства рядов эйлерова типа с параметром - лиувилле-вым полиадическим числом // Доклады Академии наук, издательство ФГБУ «Издательство Наука» (Москва).- 2020,- Т. 494,- С. 65 - 67. DOI

17. Chirskii, V. G. Arithmetic properties of Generalized Hvpergeometric Series // Russian Journal of Mathematical Physics, издательство Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation).- 2020,- T. 27,- № 2.-C. 175 - 184. DOI

REFERENCES

1. Matveev, V. Yu. 2019, "Properties of elements of direct products of fields", Chebyshevskii sbornik, vol. 20, № . 2, pp. 383^390.

2. Salikhov, V. Kh. 1973, "The algebraic independence of the values of ^-functions satisfying linear first-order differential equations", Matem. zametki, Vol. 13., № 1, pp. 29 - 40.

3. Chirskii, V. G. 2019, "Product formula, global relations and polyadic integers", Russian Journal of Mathematical Physics, izdatel'stvo Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), Vol 26, № 3, pp. 286 - 305.

4. Yudenkova, E.Y. 2021, "Infinite linear and algebraic independence of values of F-series at polyadic Liouvillea points", Chebyshevskii sbornik, Vol. 22, Iss. 2, pp. 334 - 346.

5. Chirskii, V. G. 2023, "Transcendence of certain 2-adic numbers", Chebyshevskii sbornik, Vol. 24, Iss. 5, pp.. 194 - 200. DOI

with transcendental polyadic parameters", Doklady Rossiyskoy akademii nauk. Matem,atika, inform,atika, protsessy upravleniya, izdatel'stvo Rossiyskaya akademiya nauk (Moskva), Vol. 510, pp. 29 - 32. DOI

7. Chirskii, V. G. 2022, "On Polyadic Liouville Numbers", Doklady Mathematics, izdatel'stvo Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), Vol 106, № S2, pp. 161 - 164. DOI

8. Chirskii, V. G. 2022, "Arithmetic Properties of Values at Polyadic Liouville Points of Euler-Tvpe Series with Polyadic Liouville Parameter", Doklady Mathematics, издательство Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), Vol. 106, № S2, pp. 150 - 153. DOI

9. Chirskii, V. G. 2022, "Infinite Linear Independence with Constraints on a Subset of Prime Numbers for Values of Euler-Tvpe Series with Polyadic Liouville Parameter", Doklady Mathematics, izdatel'stvo Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), Vol. 106, № S2, pp. 154 - 160. DOI

10. Chirskii, V. G. 2022, "Arithmetic Properties of Polyadic Integers", Doklady Mathematics, izdatel'stvo Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), torn 106, № S2, pp. 142 - 146. DOI

11. Chirskii, V. G. 2022, "Arithmetic Properties of the Values of Generalized Hvpergeometric Series with Polyadic Transcendental Parameters", Doklady Mathematics, izdatel'stvo Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), Vol. 106, № 2, pp. 386 - 397. DOI

12. Chirskii, V. G. 2022, "Arithmetic properties of the values of generalized hvpergeometric series with polyadic transcendental parameters", Doklady Rossijskoj Akademii Nauk. Mathematika, Inform,atika, Processy Upravlenia, izdatel'stvo Rossiyskaya akademiya nauk (Moskva), Vol. 506, pp. 95 - 107. DOI

13. Chirskii, V. G. 2022, "New problems in the theory of transcendental polyadic numbers", Doklady Mathematics, izdatel'stvo Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), Vol. 106, № 1, pp. 265 - 267. DOI

14. Chirskii, V.G. 2022, "Polyadic Liouville Numbers", Chebyshevskii Sbornik, Vol. 106, № S2, pp. 137 - 141. DOI

15. Chirskii, V.G. 2020, "Arithmetic Properties of Euler-Tvpe Series with a Liouvillean Polyadic Parameter", Doklady Akademii nauk, izdatel'stvo FGBU "Izdatel'stvo Nauka" (Moskva), Vol. 102, № 2, pp.. 68 - 70

16. Chirskii, V. G. 2021, "Arithmetic Properties of an Euler-Tvpe Series with Polyadic Liouville Parameter", Russian Journal of Mathematical Physics, издательство Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), Vol. 28, № 3, pp. 293 - 302. DOI

17. Chirskii, V. G. 2020, "Arithmetic properties of Generalized Hvpergeometric Series", Russian Journal of Mathematical Physics, издательство Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), Vol. 27, № 2, pp. 175 - 184. DOI

Получено: 21.04.2024 Принято в печать: 04.09.2024