БЕСКОНЕЧНАЯ ЛИНЕЙНАЯ И АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ЗНАЧЕНИЙ F-РЯДОВ В ПОЛИАДИЧЕСКИХ ЛИУВИЛЛЕВЫХ ТОЧКАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 22. Выпуск 2.

УДК 511.3 Б01 10.22405/2226-8383-2021-22-2-334-346

Бесконечная линейная и алгебраическая независимость значений ^-рядов в полиадических лиувиллевых точках

Е. Ю. Юденкова

Юденкова Екатерина Юрьевна — аспирант, Московский педагогический государственный университет; Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ (г. Москва). e-mail: yudenkovaey@gmail.com

Аннотация

В настоящей работе доказывается бесконечная линейная и алгебраическая независимость значений ^-рядов в полиадических лиувиллевых точках. Используется модификация обобщенного метода Зигеля-Шидловского. ^-ряд - это ряд вида /„ = ^о апп\хп, коэффициенты которого ап удовлетворяют некоторым арифметическим свойствам. Эти ряды сходятся в поле <Ц>Р - р-адических чисел и их алгебрических расширений К. Полиадическое число - это ряд вида ^^о о,пп\,ап € Ъ. Лиувиллево число - это вещественное число х такое, что для всех положительных целых чисел п существует бесконечное число пар целых чисел (р,ц),ц > 1 таких, что 0 < х — ^ < ^. Полиадическое лиувиллево число а обладает тем свойством, что для любых чисел Р, О существует целое число |А| такое,

что для всех простых чисел р < Р выполняется неравенство |а — А1Р < A-D. Бесконечная линейная (алгебраичская) независимость означает, что для любой ненулевой линейной формы (любого ненулевого многочлена) существует бесконечно много простых чисел р и нормирований v, продолжающих р-адическое нормирование на алгебраическое числовое поле K, со следующим свойством: результат подстановки в рассматриваемую линейную форму (многочлен) значений F-рядов вместо переменных является отличным от нуля элементом поля K.

Ранее было доказано лишь существование хотя бы одного простого числа р с перечисленными выше свойствами.

Ключевые слова: Метод Зигеля-Шидловского, -F-ряды, полиадические лиувиллевы точки.

Библиография: 19 названий. Для цитирования:

Е. Ю. Юденкова. Бесконечная линейная и алгебраическая независимость значений F-рядов в полиадических лиувиллевых точках // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 2, с. 334-346.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 2.

UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-2-334-346

Infinite linear and algebraic independence of values of F-series at polyadic Liouvillea points

E. Yu. Yudenkova

Yudenkova Ekaterina Yurievna — graduate student, Moscow Pedagogical State University;

Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (Moscow).

e-mail: yudenkovaey@gmail.com

Abstract

This paper proves infinite linear and algebraic independence of the values of F-series at polyadic Liouville points using a modification of the generalised Siegel-Shidlovskii method. F-series have form fn = ^^0 ann\zn whose coefficients an satisfy some arithmetic properties. These series converge in the field Qp of p-adic numbers and their algebraic extensions K. Polyadic number is a series of the form ^^0 ann\, an G Z. Liouville number is a real number x with the property that, for every positive integer n, there exist infinitely many pairs of integers (p, q) with q > 1 such that 0 < x — | < ^. The polyadic Liouville number a has the property that for any numbers P, D there exists an integer |A| such that for all primes p < P the inequality |a — Alp < A-D. Infinite linear (algebraic) independence means that for any nonzero linear form (any nonzero polynomial) there are infinitely many primes p and valuations v extending p-adic valuation to an algebraic number field K with the following property: the result of substitution in the considered linear form (polynomial) of the values of F - of series instead of variables is a nonzero element of the field.

Previously, only the existence of at least one prime number p with the properties listed above was proved.

Keywords: Method by Siegel-Shidlovscii, F-series, polyadic Liouville numbers.

Bibliography: 19 titles.

For citation:

E. Yu. Yudenkova, 2021, "Infinite linear and algebraic independence of values of F-series at polyadic

Liouvillea points", Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 2, pp. 334-346.

Введение и формулировки результатов

Цель настоящей работы - доказательство бесконечной линейной и алгебраической независимости значений Р - рядов в Лиувиллевых полиадических точках. Классический метод Зиге-ля - Шидловского был использован для Е и С функций Зигеля, т.е. и ап%п,

коэффициенты которых обладают определенными арифметическими свойствами. Дадим точное определение Р - ряда

Определение 1. Ряд

те

f (г) = £ апп\гп

п=0

принадлежит классу Р(К,с\,с2,с3,д), если его коэффициенты принадлежат полю К и удовлетворяют условиям

1. |ага| = 0(ехр(с\п)), п ^ ж (где для алгебраического числа а символ |ага| обозначает наибольшую из абсолютных величин алгебраически сопряжённых с а чисел);

2. существует последовательность натуральных чисел = дп(10>п, где д € М, такая, что ¿пак € п = 0,1,2,... ,к = 0,1,... ,п.

При этом (10,п делятся только на простые числа р, не большие с2п, причём

огйр йо,п ^ с3 ^ 1о§р п + ^ .

Полиадическое лиувиллево число а обладает тем свойством, что для любых чисел Р, И существует целое число | А1 такое, что для всех простых чисел р < Р выполняется неравенство

|а — А1Р < А-°.

Настоящая работа развивает результаты В.Г.Чирского, из которых следует, что для любой ненулевой линейной формы и многочлена существовует хотя бы одно простое число р такое, что в поле р - адических чисел результат подстановки значений Р - рядов в полиадической лиувиллевой точке вместо переменных отличных от 0. В предлагаемой работе этот результат усиливается и доказывается существование бесконечного множества простых чисел с таким свойством.

Перейдем к формулировкам утверждений. Предположим, что рассматриваемые ряды = 1,... ,т составляют (формальное) решение системы дифференциальных уравнений

т

у'(г) = ^ = 1,...,™,ЯзА*) € К(х),1,э = 1,... ,т. (1)

3 = 1

Пусть Т = Т(г) - многочлен с целыми коэффициентами из поля К такой, что

Т(г)Я^(г) € Ък[х\,],г = 1,...,т.

В работе [1] А.И. Галочкин доказал теорему об алгебраической независимости значений Е - функций в трансцендентных точках, допускающих высокий порядок приближения алгебраическими числами.

Э.Бомбиери в своей работе [2] в 1981 г. ввел понятие глобального соотношения.

Определение 2. Пусть Р(у\,... ,ут) - многочлен с коэффициентами из К, степенные ряды ¡\(г),..., имеют коэффициенты из К, £ € К. Соотношение

Р Ш),...,ЫО) = 0 (2)

называется глобальным, если оно выполняется во всех полях К, где сходятся все ряды ¡\(0,..., !т(0. Назовем глобальное соотношение (2) тривиальным, если оно получается в результате подстановки г = £ в алгебраическое уравнение, связывающее ..., ¡т(0 над

К(г) и нетривиальным в противном случае.

Сформулированное выше понятие глобального соотношения допускает следующее обоще-ние. Пусть

£ = Е , (3)

к=0

где вк € К, причему этот ряд сходится во всех полях К ,ь € V®. Примеры таких рядов и описание их свойств будут приведены в конце второго параграфа.

Тогда в определениях глобального соотношения и нетривиального глобального соотношения можно рассматривать такую точку £ вместо точки £ из поля К.

Обозначим @п = ^ ^=0 в к.

Теорема 1. Пусть Р - ряды = 1, ¡2,..., /т(г) составляют решение системы уравнений (1) и линейно независимы над полем К. Пусть £ - ряд (3), где 9к - целые числа из поля К, сходящийся во всех полях К ,у € У0. Пусть е > 0, 0 < 5 < 1 и существует бесконечное множество номеров п таких, что для всех простых чисел р, удовлетворяющих неравенству

р < т ехр(1п1+е (4)

и любого нормирования V, продолжающего р - адическое нормирование в поле К, выполняется неравенство

1С - 6га|„ < ехр(-(ш - 1 + ¿)(ехр(1п1+£ 6|) 1п1+е 6|). (5)

Тогда для любой линейной форму Р(у1,..., ут), коэффициенты которой - целые числа из поля К, не все равные нулю, существует бесконечное множество простых чисел р и нормирований V, продолжающих р - адическое нормирование в поле К такие, что в поле К выполняется неравенство

Ш.0и = |L(1,f2(Z),...,fт(mv > 0. (6)

Теорема 2. Пусть Р - ряды /2,..., ¡т(г) составляют 'решение системы уравнений

т

у'г (*) = Яоа (г)Уз (г),1 = 1,...,т,

3 = 1

д^г (г) € К(г),г = 1,... ,т,э =0,...,т. (7)

и алгебраически независимы над полем К(г). Пусть £ - ряд (3), где 9к - целые числа из поля К, сходящийся во всех полях К ,у € У0. Пусть е > 0, 0 < 5 < 1 и существует бесконечное множество номеров п таких, что для всех простых чисел р, удовлетворяющих неравенству

р < т ехр(1п1+2е |6£|) (8)

и любого нормирования V, продолжающего р - адическое нормирование в поле К, выполняется неравенство

|£ - 6пи < ехр(-(ехр(1п1+е |Щ) 1п1+2 е 6|), |6га| > ехр(1п2+е 6|) (9)

Тогда для любого многочлена Р(у1,..., ут), коэффициенты которого - целые числа из поля К, не все равные нулю, существует бесконечное множество простых чисел р и нормирований V, продолжающих р - адическое нормирование в поле К такие, что в поле К выполняется неравенство

^(Ои = ^(Л(0,/2(0,...,/т(£))lv > 0. Доказательство теорем 1 и 2

В формулируемых утверждениях положительные постоянные Сг,г = 4, 5,... зависят от параметров класса, которому принадлежат рассматриваемые Р - ряды, от системы (1) и от числа т.

Определим соответсвующий системе (1) дифференциальный оператор

д т т д

° = ^ + ЕЕ ^ ш .

к=1 г=1 ук

Пусть у\,... ,ут,т > 2 представляют собой степенные ряды, составляющие формальное решение системы уравнений (1). Подставляя их в форму

т

Е (z)yi

г=1

вместо переменных, получаем формальный степенной ряд R(z) по степеням z. Формальная производная ряда R(z) по z является линейной формой от рядов yi,... ,ут и их формальных производных. После замены у[,..., у'т на правые части соответствующих дифференциальных уравнений и умножения на многочлен Т = Т(z) получим линейную форму от у1,...,ут с коэффициентами из Zk[z], т.е. для решений этой системы TDR = TR'. Таким образом, начав с произвольной формы

m

Ri = Е р1,г(г)Уг, Р1,г G ZK[z],i = 1,...,m, (10)

i=1

положим

Rk = TDRk-1,k = 2,3,... (11)

Согласно сказанному выше, Rk представляет собой линейную форму от у1,...,ут с коэффициентами из Zk [z], т.е.

т

Rk = Е ,Рк,г = Pk,i(z) G Zk[z]. (12)

i=1

Коэффициенты этой формы удовлетворяют равенствам

Рк,г = Т ^¿-м + Е Рк-1,3 Qj,ij ,i = l,...,m,k = 2,3,.... (13)

Лемма 1. (Лемма 10 [3], с. 106). Пусть F - ряды f1(z),f2(z),...,fm(z) составляют 'решение системы уравнений (1) и линейно независимы над полем K. Пусть

р = min ord2=o fi(z),

1<i<m

а = max(deg T, max deg TQj¿).

1<i<m,1<j<m '

Пусть N - натуральное число, R1 - отличная от нуля линейная форма

т

R1 = Еp1,i(z)yi,p1,i G ZK[z],i = 1,...,т,

i=1

причем deg P1ti(z) < N, пусть ряд R]_(z) получается из формы R1 в результате подстановки h(z), f2(z),..., fm(z) вместо y1,...,ym и пусть

ord^=o R1(z) > m(N + 1) - s - 1,s G N, 0 < s <

N ~2

Тогда при N > Щ (где N0 - постоянная, для которой в [19] дана оценка сверху, выраженная через параметры рассматриваемого класса рядов и системы дифференциальных уравнений) формы ..., Рт линейно независимы и их определитель А(г) имеет вид

А(г) = гтп-3-рА1(г),

где многочлен А^г) имеет степень 0 < < Ь, а £ = ат(п*-1 + 8 + р.

Лемма 2. (Лемма 11 [3], с. 107). Пусть Р - ряды ¡\(г), /2(г),..., ¡т(г) составляют решение системы уравнений (1) и линейно независимы над полем К, числа р, а, Щ, - те же, что и в предыдущей лемме. Пусть К - отличная от нуля линейная форма, определенная в предыдущей лемме такая, что

огё.г=0 К (г) > т(И + 1) - § - 1.

Тогда при N > N0 для любого целого числа 6 € К, 6Т(6) = 0, матрица

ЦРкг (6)|| г=1,...,т,к=1,...,т+* (14)

имеет ранг т.

Лемма 3. Пусть ряды

fг(z) = ^ аг,ппЬп, г = 1,...,т

п=0

принадлежат классу Р(К, с1, с2, с3, д). Тогда для любого натурального числа N существуют многочлены

N

Рг{х) = ^ вг,п п!хП, ^ = 1,...,т

п=0

такие, что их коэффициенты Вг,п, п = 0,... ,N,1 = 1,... ,т являются целыми числами из поля К, удовлетворяющими неравенству

|В~| < ехр(c4N^ЪЖ). (15)

При этом линейная форма

т те

ВД = ^Рг(г) и (*) = ^ гпп\гп

г=1 п=0

имеет при г = 0 порядок нуля не ниже, чем и^) + 1, где

N

и,(^) = + 1) -

(16)

и для любого простого числа р, с5 < р < и^) и любого и\р, для любой точки { € К, удовлетворяющей условию < 1, справедливо неравенство

КЮ^ < |(и(N))!|Vехр(^ (С6N + С7N

Эта лемма вполне аналогична леммам, приведенным в лемме 14 в [3], с. 113 или [4], с. 7. Ее подробное доказательство опущено. Следующая лемма также аналогичная лемме 15 [3], с. 116.

Лемма 4. Пусть ряды _Д( г), /2(г),..., ¡т(г) принадлежат классу Р (К, с1, с2, с3, д), составляют решение системы уравнений (1) и линейно независимы над К( г), линейная форма (10) Я1(г) = Я(г) построена по лемме 3, формы Кк и их коэффициенты Р^г определены равенствами (11) - (13), 6 € К, 6Т(6) = 0. Число а определено в лемме 1. Тогда deg Рк,г(*) < N + (к - 1)а,

(6)| < (Ц(па + т + ^^

\га=0 )

■ exp(N lnN + ceNy/N lnN + c9k) | в|

Тл \N

i(m-l) | r_N

+ [ —]

(17)

Кроме того, для любого простого числа р, с5 < р < и^) и любого р, для любой точки ^ € К, удовлетворяющей условию < 1, справедливо неравенство

iRk(01« < IMN))!|„exp(^ (сеlogpN + czN

Перейдем к доказательству теоремы 1. Определим число N = N(п) равенством

N = N(п) = [exp ln1+e |вп|].

(18)

(19)

Пусть N > N0. Положим = [],£ = ат(т2 1) + [-—=р] и применим лемму 2. Матрица (14) имеет ранг т, поэтому среди ее строк есть т - 1 строк, линейно независимых со строкой коэффициентов формы Ь. Обозначим номера этих строк к2,... ,кт и рассмотрим определитель

Л-1 ■ ■ ■ Ьт

Р1,к2 (6п) ••• Рт,к2 (6п)

А(в„) =

Pi,km (вп) ■■■ Pm,km (вп)

(20)

Он представляет собой отличное от нуля целое число из поля К. Его можно рассматривать как значение многочлена

Л-1 ■ ■ ■ Ьт

Р1,к2 (г) ••• Рт,к2

( )

А( ) =

в точке z = вп. Поскольку ki < т +1,

k 1

Pi,km (*) ■■■ Pm,km

( )

(21)

Y\(na + т + N) < exp(c10N\/lnN)

п=0

и из леммы 4 следуют неравенства degPkiJ(z) < N + c11 [inN],

^•(вп)| < exp( N ln N + C12NVN ln N)|вп| выполняющиеся для всех i,j = 1,... ,т. Обозначим

N+m+a-

i(m-l) 1 r_N_

+ [ —]

h = max |h|.

i=1,...,m

Тогда

|А(6„)| < (т - 1)Шехр((т - 1)N 1nN + ClзN^Шж)|6га|(т"^+т+а ^^+[ж и из (19) получаем

|Д(6„)| < (т - 1)Шехр((т - 1)N 1nN + Cl4NлАпЫ + с^(1nN)1+). (22)

Подставим г = £ в Д(-г) и рассмотрим полученные элементы полей К, где ь[р.

Лемма 5. При N > Щ для любого простого числа р, с5 < р < и^) и и\р в поле К выполняется равенство |Д(£)|„ = |Д(6П)|„.

+[ ^ ])

2

2

Для доказательства леммы используем равенство, справедливое в каждом из рассматриваемых полей Ж^:

Д(0 = Д(вп + (£ - вп)) = Д(вп) + ({ - вп)А1(вп), (23)

где Д1({, вп) - многочлен от вп с коэффициентами из Zж. Следовательно, согласно (5)

ке - вга )Д1(е, вга )|„ < ке - вга )и < вм-(т -1 + ¿)(ехр1п1+е |©^|) 1п1+е |ад,

откуда, ввиду (19),

|(£ - вп)Д1(£, в„)|„ < ехр(-(т - 1 + 5)И 1п N).

С другой стороны, Д(вп) - отличное от 0 целое число из поля Ж, следовательно, согласно (22),

|Д(вга)к > |Д(Щ| > ехр(-(т - 1)Ы 1пN - сцИ\ZlnN - с^(1пN)^). Если число п, а, значит, и число N, выбрано достаточно большим, то

ехр(-(т - 1)И 1пN - с14Ы//1пN - с15М(1пN) 1+) > ехр(-(т - 1 + 1пN), поэтому из равенства (23) следует, что

|Д(0|„ = |Д(вга)|« > ехр(-(т - 1)Ы 1пN - сцИ^пЫ - С15N(1пN)т+). (24)

Лемма доказана.

В каждом из рассматриваемых полей Ж^ умножим первый столбец определителя Д(£) на 1, второй столбец - на ¡'2(0 и так далее, столбец с номером т на ¡т(0 и прибавим получившиеся столбцы к первому. Отметим, что |£< 1 и все ряды ¡'2(0,..., !т(0 сходятся. Согласно (9) и (12), элементами первого столбца будут величины

т = шло, ...,и шш = пкг а), г = 2,...,т

в указанном порядке. Поэтому

Д(0 =

т н2 ыо р2М (С)

ъ

ът

Рт,к2

ьт(0 Р%кт($ ■■■ Рт,кт(О

Обозначим алгебраически дополнения элементов первого столбца этого определителя ¿1,... ,5т соответственно, и разложим его по первому столбцу:

Д(о = Е ^ (^+ь(о*1.

3=2

Из (18) следует, что для любого простого числа р,с5 < р < и(М) и у^

Е (№

3=2

< тах < <

г=2,...,т

ЫМЩу ехр^ ^ 1о§р N + ст ^ ) ) = 2,...,т.

N

V

Обозначим ) = ехр \Лп N. Тогда

П

1( N )<р<и( N ),v\p

£^(0 6г

=2

<

Е^)

=2

<

П .тшос < П l(u(N))!|v ехр (^ (вб 1ogpN + с7^Л) .

%=2,...,т \ К \ V2

1(Ю<р<и(^,'ю\р )<р<и(^,'€\р х х 7 7

так как г - целые числа.

Используя известные неравенства для количества простых чисел в заданном интервале, получаем

-|—г . , / 1п N u(N) Ч .

[ [ ехр(С61ogр NN) < ехр ( С6 X С16 шитм ) < ехр(с 17^^) , 1( N )<р<и( N), 'и\р \ Р ( )/

П ехр (с75) = ехр (N Е 51 < ехр(^)

)<р<и^),'€\р \ г / у ^)<р<и(N),'Ю\р Р

Однако

п К^ ))!| = ^ .

1(Ю<р<и(Ю [[р<1 (Ю ^^))!|р

ДляП-р^^) l(u(N))!|р выполнено равенство

П l(u(N ))!|р 1

, ч |р (u(N))!'

р<и^) 4 4 "

ДляПр<1 N) l(u(N))!|р имеем оценку снизу, полученную следующим образом

(N) + ви(М) ( 1пр

П |(и( N))!|р = П Р~р-1 + р-1 > ехр I -и^) ^ _ 1

р<1 (N) р<1 (N) \ р<1 ^) ^

у Ыр_ = у 1пр+ у 1п- 1 \ = у 1££ + у( 1п? \

- 1 - 1 ( - 1)

р<хр<Х 1 р<х р<х 1 р<х

Вторая сумма - сходящийся ряд и его оценим константой С. Первая сумма есть

1пх + 0(1),х ^ те.

Таким образом,

—и(N) Е > —и(N) Ы^) > -т(N + 1)—/ЫМ.

р<(N) Р

Тогда

1

П |(и( N))!|р ^(т^ + 1) - —= exp(-m(N + 1)—Ь^) <

I(N«и^) ^ [л/т^/ /

< ехр(-т Nк^ + СN —Ь^).

'и

Следовательно,

П < ехр(-тЫ 1пN + СМ^Ш). (26)

1(М )<р<и(М)

С другой стороны, из неравенства (24) следует, что

П | д(О = П дши >

1(м)<р<и(м),'ю\р 1(Ю<р<и(ЮМр

ехр(-(т - 1)Ы 1пN - С1//1Ш - С1(1пN)1+). (27)

Из неравенств (26), (27) и равенства (16) сразу следует, что

Е

1=2

П |Д(Ок < П

1(Ю<Р<ЧЮМР 1(Ю<Р<ЧЮМР

тогда из (25) получаем, что существует р, ) < р < и(М) и ь[р такие, что в Ж^ выполняется неравенство

той > |Д(0|*.

Для завершения доказательства достаточно получить неравенство (п + 1)) > и(Ы(п)),

т.е.

ехр л/пЩпП > т(И (п) + 1),

так как

N(п + 1) = ехр (1п1+" |0^|) 1п N(п + 1) = 1п1+е в| у/ыЩп+Г) = 1п ^ в| ехр ^1п ^ > т ехр (1п1+^ |в~|) = ехр(1п1+е |в~| + 1п т)

1п |в^+11 > 1п1+е |вга | + 1п |в+Т| > ехр(1п2+е |Щ).

т

Из этого условия следует, что при переходе от п к п + 1 для соответствующих чисел N будет выполняться неравенство

1(Ы(п + 1)) >и(И(п)).

Следовательно, интервалы (1(И(п)),и(М(п))) и (1(М(п + 1)),и(М(п + 1))) не будут пересекаться, а в каждом из них есть простое число р, для которого Ь(£) = 0 в 0>р. Теорема 1 доказана.

Перейдем к доказательству теоремы 2. Пусть с! - степень многочлена Р(у1,... ,ут) по совокупности переменных у1,..., ут. Тогда его можно рассматривать как линейную форму от М = С^ произведений степеней переменных у^1,... , где к1 + ... + кт < й, кг > 0, г =1, ..., т.

Лемма 6. Пусть ряды ¡\(г), ¡'2(г),..., ¡т(г) удовлетворяют условиям леммы 2. Тогда их произведение степеней

/11 (*) ■■■ !кш ,к1 + ... + кт < <1,кг > 0,1 = 1,... ,т,

составляют решение системы дифференциальных уравнений, коэффициенты которой являются целочисленными линейными комбинациями коэффициентов исходной системы (1). Кроме того, они принадлежат классу Р(Ж,С1,С2,С3,й), где

С1 = С1 + 1п2, С2 = С2, С3 = (с3 + 1)(1, й = д^^.

Доказательство леммы вполне аналогично доказательствам леммы 18 из [3], с. 122. Эти произведение степеней линейно независимо вследствие алгебраической независимости f1(z), f2(z),..., fm(z). Из неравенств (8) и (9) при достаточно больших п следуют неравенства

р < М exp(ln1+£ 0|)

и

|£ - вга| < exp(-(М - 1 + ¿)(expln1+е 0|) ln1+e 0|),

представляющие собой неравенства (4) и (5), в которых т заменено на М. Применение теоремы 1 завершает доказательство теоремы 2.

Заключение

В настоящей работе была доказана бесконечная линейная и алгебраическая независимость значений F-рядов в полиадических лиувиллевых точках c использованием модификации обобщенно го метода Зигеля-Шидловского.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Галочкин А. И. Об алгебраической независимости значений Е - функций в некоторых трансцендентных точках // Вестн. Московского университета. Сер. 1, Математика, механика. 1970. № 5. C. 58-63.

2. Bombieri E. On G - functions // Recent Progress in Analytic Number Theory. V. 2. London: Academic Press, 1981. P. 1-68.

3. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа // М. Наука. 1987.

4. Chirskii V. G. Product formula, global relations and polyadic integers // Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), 2019, vol. 26, no. 2, pp. 175-184.

5. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах ряда Эйлера // Вестник Московского университета. Сер. 1: Математика, механика. — Изд-во Моск. универстита (М), 2015. № 1. C. 59-61.

6. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Известия РАН. Серия математическая, 2017. Том 81, № 1. C. 215-232 DOI.

7. Чирский В. Г. Арифметические свойства обобщённых гипергеометрических F-рядов // Доклады Академии наук. — Изд-во Наука (М), 2018. Том 483, № 1. C. 257-259.

8. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Доклады Академии наук. — Изд-во Наука (М), 2014. Том 459, № 6. C. 677-679.

9. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах обобщённых гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами // Известия РАН. Серия математическая, 2014. Том 78, № 6. C. 193-210

10. Чирский В. Г. Оценки линейных форм и многочленов от совокупностей полиадических чисел // Чебышевский сборник. 2011. Том 12, № 4. С. 129-133.

11. Чирский В. Г. О глобальных соотношениях // Мат. заметки. 1990. Том 48, № 2. С. 123-127.

12. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Доклады Академии наук, математика. Наука (М). 2014. Том 459, № 6. С. 677-679.

13. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Известия РАН. Серия математическая. 2017. Том 81, выпуск 2. С. 215-232.

14. Чирский В. Г. О преобразованиях периодических последовательностей // Чебышевский сборник. 2016. Том 17, № 3. С. 180-185.

15. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических чисел // Чебышевский сборник. 2015. Том 16, № 1. С. 254-264.

16. André Y. Séries Gevrey de type arithmétique. // Inst. Math., Jussieu.

17. Chirskii V. G. Arithmetic properties of Generalized Hypergeometric Series // Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation). 2020. Vol. 27, №2, pp. 175-184.

18. Matala-Aho T., Zudilin W. Euler factorial series and global relations. //J. Number Theory. 2018. 186, pp.202-210.

19. Bertrand D., Chirskii V. G., Yebbou Y. Effective estimates for global relations on Euler-type series // Ann. Fac. Sci. Toulouse. 2004. Vol. XIII, №2. pp. 241-260.

REFERENCES

1. Galochkin A.I. 1970, "On algebraic independence of the values of E - functions at certain transcendental points", Moscow University Mathematics Bulletin, iss. 1, no. 5, pp. 58-63.

2. Bombieri E., 1981, "On G - functions", Recent Progress in Analytic Number Theory, Academic Press (London), vol. 2, pp. 1-68.

3. Shidlovskii, A.B. 1989, "Transcendental numbers", Studies in mathematics, Walter de Gruyter (Berlin, New York), vol. 12

4. Chirskii V. G. 2019, "Product formula, global relations and polyadic integers", Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), vol. 26, no. 2, pp. 175-184.

5. Chirskii, V. G. 2015, "Arithmetic properties of Euler series", Moscow University Mathematics Bulletin, Allerton Press Inc.(United States), vol. 70, no. 1, pp. 41-43.

6. Chirskii, V. G. 2017, "Arithmetic properties of polyadic series with periodic coefficients", Izvestiya Mathematics, American Mathematical Society (United States), vol. 81, no. 2, pp. 444-461.

7. Chirskii, V. G. 2018, "Arithmetic properties of generalized hypergeometric F-series", Doklady Mathematics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), vol. 98, no. 3, pp. 589-591.

8. Chirskii, V. G. 2014, "Arithmetic properties of polyadic series with periodic coefficients", Doklady Mathematics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), vol. 90, no. 3, pp. 766-768.

9. Chirskii, V. G. 2014, "On the arithmetic properties of generalized hypergeometric series with irrational parameters", Izvestiya Mathematics, American Mathematical Society (United States), vol. 78, no. 6, pp. 1244-1260.

10. Chirskii, V. G. 2011, "Estimates of linear forms and polynomials in polyadic numbers", Chebyshevskii Sb., 12:4, pp.129-133.

11. Chirskii, V.G. 1990, "Global relations", Mat. Zametki, vol. 48, no. 2, pp. 123-127

12. Chirskii, V. G. 2014, "Arithmetic properties of polyadic series with periodic coefficients", Doklady Mathematics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), vol. 90, no. 3, pp. 766-768.

13. Chirskii, V.,G. 2017, "Arithmetic properties of polyadic series with periodic coefficients", Izvestiya Mathematics, American Mathematical Society (United States), vol. 81, no. 2, pp. 444-461.

14. Chirskii, V. G. 2016, "On transformations of periodic sequences", Chebyshevskii Sb., vol. 17, no. 3, pp. 191-196.

15. Chirskii, V. G. 2015, "Arithmetic properties of polyadic integers", Chebyshevskii Sb., vol. 16, no. 1, pp. 254-264.

16. Andre Y. 2000, "Series Gevrey de type arithmetique", Annals of Mathematics, vol. 151, pp. 705-740

17. Chirskii V. G. Arithmetic properties of Generalized Hypergeometric Series // Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation). 2020. Vol. 27, №2, pp. 175-184.

18. Matala-Aho T. & Zudilin W. 2018, "Euler factorial series and global relations", J. Number Theory, vol. 186, pp. 202-210.

19. Bertrand, D., Chirskii, V.G. & Yebbou, Y. 2004, "Effective estimates for global relations on Euler-type series", Ann. Fac. Sci. Toulouse, vol. XIII, no. 2, pp. 241-260.