ОЦЕНКИ СНИЗУ МНОГОЧЛЕНОВ И ЛИНЕЙНЫХ ФОРМ ОТ ЗНАЧЕНИЙ F - РЯДОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 21. Выпуск 3.

УДК 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-3-142-164

Оценки снизу многочленов и линейных форм от значений F-рядов

А. X. Муньос Васкес

Анхель Хорхеевич Муньос Васкес — аспирант кафедры теории чисел, Московский педагогический государственный университет (г. Москва). e-mail: m.v.ankhel@yandex.ru

Аннотация

Цель настоящей работы - применить обобщенный метод Зигеля - Шидловского для рассмотрения значения F - рядов в достаточно малых р -адических точках для конкретного значения р. Обобщенный метод Зигеля - Шидловского получил значительное развитие в работах Чирского В. Г., Бертрана Д., Иеббоу И., Мл пил Ахо Т., Зудилин В. В, Матвеева В. Ю., Андре И., однако эти работы относились к так называемым глобальным соотношениям и тесно связанными с ними понятиями бесконечной линейной и алгебраической независимости. В этой работе рассматриваются значения этих рядов в конкретном поле Qp. Понятие бесконечной алгебраической независимости относится к прямому произведению бесконечного числа полей Qp, оно означает что если а.\,... ,а.п элементы этого прямого

(р) (р)

произведения координаты которых в поле Qp обозначаются а\ ,... ,ап , то для любого многочлена с целыми коэффициентами, отличными от нуля, существует бесконечное множество простых чисел р, таких что в поле Qp выполнено неравенство Р(otf\ ..., a(f)) = 0. Однако эти результаты не дают соответствующего утверждения для каждого конкретного числа р. В этой работе мы доказываем отличие от нуля линейной формы и многочлена от значений этих рядов в достаточно малой р - адической точке, малость которой зависит от высоты Н этой формы или многочлена и от степени многочлена. В дальнейшем результаты этой работы будут применены к гипергеометрическим рядам с рациональными параметрами входящими в класс F - рядов.

Ключевые слова: F - ряды, оценки линейных форм и многочленов, р - адические числа.

Библиография: 23 названия.

Для цитирования:

А. X. Муньос Васкес. Оценки снизу многочленов и линейных форм от значений F-рядов // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 3, с. 142-164.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 3.

UDC 511.36

DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-3-142-164

Lower estimates of polynomials and linear forms in the values of F- SGFIGS

A. Kh. Munos Vaskes

Ankhel Khorkheevich Munos Vaskes — post-graduate student, department of number theory, Moscow State Pedagogical University (Moscow). e-mail: m.v.ankhelQyandex.ru

The paper applies a modification of the generalized Sigel - Shidlovscii's method to values of F - series at sufficiently small p - adic points for a given p. The generalized Siegel - Shidlovskii's method is considerably developed in works by Chirskii V. G., Bertrand D., Yebbou Y, Matala-Aho Т., Zudilin V. V., Matveev V.Yu., Andre Y. et al. But these papers dealt with the so called global relations and related notions such as infinite linear and algebraic independence. Here we consider values at points from a given field Qp. The notion of the infinite algebraic independence is related to a direct product of infinite set of fields Qp, it means th at iia\,...,an are elements of this direct product with coordinates a^,..., in the field Qp, then for any nonzero polynomial with integer coefficients there exist infinitely many primes p such that in Qp one has P(a^,..., ) = 0. But these results give no information for a specific p. Here we prove that a non-zero linear form and a non-zero polynomial do not vanish at values of the considered series at p adic points which are small enough, depending on the height of a linear form or a polynomial and depending on the degree of the polynomial. The results of these paper will be applied to the values of generalized hypergeometric F - series.

Keywords: F - series, estimates linear forms and polynomials, p - adic numbers.

Bibliography: 23 titles.

For citation:

A. Kh. Munos Vaskes, 2020, "Lower estimates of polynomials and linear forms in the values of F-series" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 3, pp. 142-164.

1. Введение

Определение 1. Степенной ряд называется F - рядом,, если он входит, в некоторый класс F(K,ci,c2,c3,q), где K — алгебраическое числовое поле конечной, степени над полем Q рациональных чисел, к = [K : Q]

Класс F(K, с\, с2, с3, q) определяется следующим образом. Пусть

Abstract

те

Пусть:

1. ап е K,n = 0,1, 2,.

2. |ага| = 0(еС1П),п ^ ж (где для алгебраического числа а символ |ага| обозначает наибольшую из абсолютных величин алгебраически сопряжённых с а чисел);

3. существует последовательность натуральных чисел (1п = цпйогде ц € N такая, что ¿пак € п = 0,1,2,... ,к = 0,1,... ,п.

При этом с!о,п делятся только на простые числа р, не большие ^п, причём

огёр йо-а ^ Сз ^п + ^

При выполнении перечисленных условий будем говорить, что /(г) входит, в класс Р (К,С1 ,с2,Сз,о).

Мы сохраняем обозначения использованные в работах В. Г. Чирского.

Р - ряды естественным образом дополняют классы ^иС - функций Зигеля, предстаете те

ляющих собой степенные ряды вида ^ %хп и ^ апхп соответственно. Более того, сразу

п=0 п=0

те тете

является Р - рядом, то ^ апгп - п - ^ттгтттгс о V*

ясно, что если ряд ^ апп\хп является ^ - рядом, то ^ апхп С - функция, а ^ ^гп — Е —

п=0 п=0 п=0

функция Зигеля.

Пусть К - алгебраическое числовое поле конечной степени к над О. Пусть V - множество всех нормирований на поле К. Для любого V € V соответствующие пополнения полей К и О обозначаем и Поле К является конечным расширением поля , [К : ] = Къ, причём для любого простого числа р

У^^у = к. (2)

V

где суммирование в левой части равенства производится по всем нормированиям V, продолжающим р - адическое нормирование поля О.

Удобно рассматривать нормализованные нормирования: если V продолжает р - адическое нормирование то положим

Ыь = Р~ ^ (3)

Из формулы произведения по всем нормированиям V толя К

П м* = 1,

для любоко х € К, х = 0 следует часто встречающееся в дальнейшем неравенство: если А -целое число из поля К, А = 0, то для любого V € У0 (множества всех неархимедовых нормирований поля К имеет место неравенство:

№ » д. (4)

Действительно, для любого V € Уо выполняется неравенство ^^ ^ 1, следовательно

П № < ^. (5)

аеУо

С другой стороны, по формуле произведения

П ^ = ц1^ <6>

Кроме того в виду равенства (2)

П = П^" ^Пи" = и>

(7)

где А(г^ - сопряжённые с А числа. Из (5) - (7) следует (4).

те

Ряд £ Ьп, Ьп € сходится в К € У0 тогда и только тогда, когда ^ 0,п ^ те

п=0

(См. [1]).

те

Известно следующее очевидное свойство нормирований V € Уо: если ^аи сходящийся

к=К

в К ряд, то

Е ак

к=К

Далее, изветно, что

^ тах , а^ € К к>К

огё„ п\ = ,

р — 1

(8)

(9)

(См. [1]), где Бп обозначает сумму цифр в р - ичном разложении натурального числа п. Очевидно неравенства

1 < < (р — 1)1о$, п. (10)

Пусть

/ (г) = ¿2 (11)

п=0

и пусть для некоторого V € Уо множество ^п^, п = 0,1, 2,... ограничено. Тогда мы обозначаем

(/)у = 8пр ЦАп1У ,п = 0,1,2,...} . (12)

Лемма 1. Введённая выше величина (12) обладает, следующими, свойствами:

1. Если для рядов f (г),д(г) вида (11) и некоторого V € У0 определены вели чины, {¡' , {д)г то для их произведения f (г)д(г) определена величина, {¡'д)у, причём

{!д)ь < и{д)г

(13)

V

2. Если для ряда, (11) и некоторого V € У0 определена величина, {¡'),и, то для формальной, производной, этого ряда, /'(г) также определена величина, {¡')-и и

< (14)

3. Если для ряда, (11) и некоторого V € У0 определена величина, {¡', ^ 1 и ряд f (£) сходится, в поле то

и (О к < и )ь (15)

Лемма 2. 1. Формальная производная,

те

^ папп\гп-1 (16)

га=0

Р - ряда, (1) является Р - рядом,.

2. Формальный интеграл

X

0 —_0

Е - ряда, (1) является Р - рядом,.

гп+1 0 п + 1

п=0

3. Если X - алгебраическое число, то f (Хг) - Е - ряд.

4- Сумм,а, и произведение конечного числа, Е - рядов является Е - рядом,.

Лемма 2 означает, что Е - ряды, также как и^иС - функции (см. [18]) образуют кольцо степенных рядов, замкнутое относительно операций формального дифференцирования, формального интегрирования от 0 до г и замены переменной г на Хх где Л - алгебраиеское число.

Лемма 3. Пусть Е - ряд f (г) принадлежит классу Е(К,с1,с2,с3,д). Тогда для, любого простого числа, р и любого нормирования V, продолжающего р - одическое, и любго числа, 5 > 0 рассматриваемый ряд сходится, в К при

I I — д-Ч-б)

\г\р < р к ур-1 р 4 Р2 ;.

Следствие 1. Пусть £ = ^,а € Ък,Ъ € N,6 выбрано наименьшим с такими условиями, р - простое число, р ^ с3, (р, д) = 1,у продолжает р - одические нормирование. Тогда любой ряд

'

п=0

из класса Е(К, с1, с2, сз, д) сходится, в поле К^.

Следствие 2. Для любого Е - ряда /(г)(1) из класса Е(К,с1,с2,с3,д) и V € У0, продолжающего р - одическое нормирование, р ^ с3, (р,д) = 1, определена величина, (/),и, причём Ц)ъ = шахга \апп\

Напомним упомянутое выше определение глобального соотношения. Если Р(у1,..., ут) - многочлен с коэффициентными из поля К, степенные ряды /1(г),..., /т(г) € К[[г|], £ € К, то соотношение

Р Ш),...,ЫО) = 0 (17)

называется глобальным, если оно выполняется во всех полях К^, где сходятся все ряды

¡1(0,..., МО-

Отсутствие глобальных соотношений означает, что для любого многочлена Р(у1,... ,ут) с коэффициентами из поля К существует простое число р и существует нормирование V поля К продолжающее р - адическое такие, что в поле К выполняется неравенство

р Ш),...,ЫО) = о

Говоря об отсутствии глобальных соотношений, имеет смысл определить границу сверху для вышеупомянутого числа р, и дать оценку снизу для величины \Р ),..., /т(0)\ъ в виде выражений, зависящих от от степени и размера многочлена Р(у1,..., ут), от числа т и от параметров класса, которому принадлежат рассматриваемые ряды. В формулируемых теоремах положительные постоянные С1,1 = 4, 5,... зависят от числа т и от параметров класса, которому принадлежат Е - ряды, но не зависят от степени и размера рассматриваемого многочлена Р(у1,..., ут).

В работах [3]-[6], [8]-[12], [19]-[23] исследован вопрос о глобальных соотношениях для р .......... рядов.

Везде далее считаем К = 0>, ZK = Z

и рассматриваем \ \р для выбранного р.

Теорема 1. Пусть Р - ряды 1 = Л(г),..., ¡т(г) принадлежат классу Р(0>, с1, с2, с3, д) и удовлетворяют системе линейных однородных дифференциальных уравнений

те

У'г =Е уз,1 = 1,...,m, (18)

3 = 1

где Qi,j € Q(z), г,] = 1,... ,т. Пусть Т (г) € Ъ[х] и Т (г^^ € Ц(г),г, ] = 1,... ,т. Пусть эти ряды линейно независимы, над С(г). Пусть

Ь(у1,...,ут) = Ъхух +-----+ Ь,тут (19)

произвольная линейная форма, коэффициенты которой являются целым,и числам,и из поля причём среди них есть отличные от, нуля. Пусть, кром,е того, max¿=l)...)m 1^1 = Н,Н ^ Н0. Пусть р - простое число, (р, д) = 1; выполняются условия

р ( ^ 1 > 2сз, (20)

а также £ = р^(н\ Т(£) = 0 и пусть ч(Н) > т н. Тогда, в поле (^р выполняется

ь(Л(0,...,/т(0) = 0. (21)

Теорема 2. Пусть Р - ряды ¡Кг),..., ¡т(г) принадлежат классу Р(0>, с1,с2,сзи удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений,

те

У'г = Яь0 + ^ Яг,3 Уз, 1 = 1, . . . ,т, (22)

3=1

где € ®(г),г = 1,...,т,] = 0,1,... ,т. Пусть Т (г) € Ц[г] и Т (г^у € Цг), г = 1,... ,т,,] = 0,1,... ,т. Пусть эти ряды алгебраически неза висим,ы, над С(г). Пусть

Р (У1,...,Уш) (23)

произвольный многочлен степени К, коэффициенты которого являются целым,и числам,и из поля причём среди них есть отличные от, нуля. Пусть, кром,е того, наибольшая из абсолютных величин этих коэффициентов, а также сопряжённых с ними чисел, равна

н,н ^ н0.

Пусть р - простое число, (р, д) = 1, выполняются условия

р( > 2(сз + 1)К, (24)

а также £ = р^(н\ Т(£) = 0 и пусть ч(Н) ^ ) Щ^. Тогда, в поле (^р выполняется

Р Ш),...,/т(0)=0. (25)

2. Доказательство теорем 1 и 2

Используется модификация обобщающая метод Зигеля - Шидловского- Используемые леммы и сам метод сформулированны следуя монографии [18].

2.1. Формулировка основных лемм метода Зигеля — Шидловского

Пусть

те

¡к (г) = ^ Ьк,пгп, к = 1,...,т,т ^ 2, Ък,п е Q (26)

п=0

формальные степенные ряды. Пусть N - натуральное число,

Рк е , deg Рк < N. (27)

Рассмотрим линейную форму

т те

К(г) = ^ Рк /к(г) = ^ гпгп (28)

к=1 п=0

Если считать Рк е 0>[£] многочленами с неопределёнными коэффициентами и потребовать, чтобы гп = 0,п = 0,1, 2,..., т(М + 1) — 2, то получится система из т(М + 1) — 1 линейных однородных уравнений относительно т(М + 1) неизвестных коэффициентов. Эта система всегда имеет нетривиальное решение. Следовательно, Рк е 0>[£] можно выбрать так, чтобы 0^=0 Щг) ^ т(М + 1) — 1.

Тем не менее, если ряды (26) не все тождественно равны нулю, а степени многочленов Рк е 0>[£] ограничены сверху, то при изменении коэффициентов этих многочленов невозможно получить отличную от тождественного нуля форму со сколь угодно высоким порядком нуля при г = 0.

Лемма 4 (Лемма 4, [18]). Пусть N - натуральное число, (26) - формальные степенные ряды. Тогда, существует натуральное число Q, зависящее от, (26) и числа, N такое, что при любом выборе многочленов (27) линейная форма (28) либо тождественно равна, нулю, либо выполняется неравенство ord2=o R(z) ^ в.

Лемма 5 (Лемма 5,[18]). Пусть

ф1(г),.. .,ф3(г); -ф^г),. ..фт(г) (29)

совокупность формальных степенных рядов, причём хотя бы при одном, значении г ряд "ф^г) отличен от, тождественного нуля.

Тогда, существует натуральное число О0, зависящее только от, рядов (29), обладающее следующим свойством. Пусть

а1,...,а8; 01,..., Рт е Q (30)

т

произвольный набор чисел, для, которого формальный степенной ряд £ Рг-фг(г) не равен нулю

г=1

тождественно. Пусть

8

£ агфг(г)

ш = г-т--(31)

£ Ш*) =1

формальный степенной ряд. Тогда, ни, при каком наборе (30) ряд (31) не может быть рациональной, функцией от г степени большей, чем О0.

Рассмотрим линейные формы от переменных у\,..., ут, т ^ 2 вида

т

К = Е РгУг,Рг € = 1,...,Ш. (32)

г=1

Линейные формы (32) образуют модуль над кольцом <[£].

Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка (18), где <^к,г = Як,г(х) € <[г],1,к = 1,..., т. Многочлен Т = Т(г) представляет собой наименьший общий знаменатель коэффициентов системы (18). На рассматриваемом модуле линейных форм (32) определим соответствующий системе (18) линейный дифференциальный оператор

„ т / т \ Я

° = ^ + Е ы (33>

Пусть у\,... ,ут, ш ^ 2 представляют собой формальные степенные ряды по степеням х, составляющие формальное решение системы (18). Подставляя их в форму (32) вместо переменных, получаем формальный степенной ряд К (г) по степен ям г. Формальная производная ряда К(г) по г является линейной формой от рядов у\,..., ут и их формальных производных. После замены у[,... ,у'т на правые части соответствующих дифференциальных уравнений (18) и умножения на многочлен Т = Т(г) получим линейную форму от у\,... ,ут с коэффициентами из <[£]. Таким образом, применение оператора ^(33) к форме К означает вычисление формальной производной К(х) по г с последующей заменой у[,... ,у'т на правые части соответствующих дифференциальных уравнений (18), т.е. для решений этой системы имеем

ТОР = ТВ!.

Рассмотрим произвольную линейную форму (32) от у\,..., ут с коэффициента ми из <[£] и обозначим 66

т

= ^Рг ,гУг,Р1 ,г € <0[,г],г = 1,...,т. (34)

=1

Положим

Кк = ТОКк-1,к = 2,3,... (35)

Иными словами, ввиду (35), при подстановке в ^(34) некоторого нетривиального формального решения системы (18) вместо переменных У1,... ,ут, имеют место равенства

Як = ТЯ'к-1,к = 2,3,... (36)

Согласно сказанному выше, Кк представляет собой линейную форму от У1,... ,ут с коэффициентами из <[г]. Следовательно, выполняются равенства

т

Пк = Е Рк,г Уг, Рк,г € г = 1,...,т,к = 2,3,.... (37)

=1

Из (36) и (37) следует, что

Рк-\,зЯзг ^ = 1,...,т,к = 2,3,.... (38)

Рангом совокупности линейных форм с коэффициентами из кольца или поля Ш называется максимальное число линейно независимых над Ш форм в этой совокупности.

Рк,г = Т I Рк_ 1,, +

т

Е

=1

Лемма 6 (Лемма 6,[18]). Ранг совокупности линейных форм Р\,Р2,... над 0>[г:] равен I тогда и только тогда, когда формы К\,..., Щ линейно независим, ы над 0>[.г], но формы В<1,..., В.1+1 уже линейно зависимы над 1

Лемма 7 (Лемма 7,[18]). Пусть ранг системы линейных форм Ri,...,Rm^,eeн I, 1 ^ I < т. Тогда, можно выбрать т — I линейно независимых над Q(^) формальных решений системы линейных однородных дифференциальных уравнений (18)

Уг,з,.. .,Ут,з ,s = 1,...,т — l

т,а,ких, что формы Ri,R2,... обращаются в нуль при подстановке в них вместо переменных yi,..., ут любого из этих решений.

Сформулируем вариант основной леммы Шидловского A.B. о порядке нуля линейной формы.

Лемма 8 (Лемма 8,[18]). Пусть совокупность формальных степенных рядов fi(z),...,fm(z) составляет формальное решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (18) и линейно независима, над <Q(z),

р = min ordz=о fi(z), (39)

i^i^m

а = max(deg T, max deg TQ^i). (40)

i^i^m '

i^k^m

Пусть N - натуральное число,

m

Ri = Ys pii Vi, deg pi,i < N, pi,i e Q(z),i = 1,2,...,m,

i=i

Ri - отличная от тождественного нуля линейная форма и ранг линейных форм Ri, R2,..., полученных с помощью равенств (36) равен I.

Тогда, существует постоянная г0, зависящая только от, совокупности рядов fi(z),..., fm(z) такая, что при yi = fi(z), г = 1,... ,т выполняется неравенство

m

ordz=o Ri(z) = ord^=о ^ Pi,ifi(z) < IN + го. (41)

i=i

При l = m в неравенстве (41) можно заменить число г0 на, число ri,

Положим

(т — 1)т

ri = а--—---+ т + р — 1. (42)

No = 2(го — т + 1), (43)

~ N'

s e N, 0 < s <

2

(44)

(т — 1)т

t = а--s + Р (45)

где N - натуральное число, а го определено в лемме 8 (или равенством (42) при I = т).

Лемма 9 (Лемма 9,[18]). Пусть выполнены условия леммы 8 и линейная форма К1 при У г = удовлетворяют условию

оМг=оП1(г) + 1) -е- 1 (46)

Тогда, при N ^ Щ линейные формы К1,..., Кт, получающиеся из формы К1 с помощью равенств (36), линейно независимы, и определитель

А( г) = \Рк ,г\к, г=1,...,т,

(47)

составленный из коэффициентов этих форм, имеет вид

А(г) = гтМ-3-рА1(г) (48)

гле А\(г) отличный от тождественного нуля многочлен из 0>[г], degА1(,г) = 9, 0 ^ в ^ £

Лемма 10 (Лемма 10,[18]). Пусть совокупность формальных степенных рядов /1(г),..., ¡т(г) составляет формальное решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (18) и линейно независима над 0>(г), числа р,а определены равенствами (39), (40), а, числа, N0равенствами (43) - (45). Пусть линейная форма К1 такова, что N ^ N и при Уг = /г(г), г = 1,..., т выполняет,ся, условие (46), Кк+1 = ТИКк, к = 1, 2,..., £ - целое число из 0>, Т(£) = 0. Тогда, матрица

\\Рк,г(6 || г=1,...,т (49)

к=1,...,т+

т

2.2. Построение первой приближающей формы

Лемма 11. Пусть ряды

й(г) = ^ аг,'пП! гП, = 1,... ,т

п=0

принадлежат, классу Р(0>, с1, с2, с3, д). Тогда, для, любого натурального числа, N существуют многочлены

N

Рг(г) = ^Вгп п!гп,г = 1,...,т (50)

п=0

т,а,кие, что их коэффициенты Вг,п, г = 1,... ,т,п = 0,..., N - целые числа, из поля удовлетворяющие неравенству

\В~\ ^ ecl0N^/lnN. (51)

При этом линейная форма

т те

Я(г) = £ Рг(г)и (г) = £ Гпп\гп (52)

г=1 п=0

имеет порядок нуля оМх=0 Я(г) не меньше, чем к^) + 1, где

к(^) = т(N + 1) -

N _лАпМ _

(53)

и для любого простого числа, р, не превосходящего величины к(Ы) такого, что

Р ^ C3,p(^ > 2С3, (р, q) = 1 (54)

справедливы неравенства

{R)P <

(m(N + 1) - [])!

Vin N

есп iogpN+С3^ (55)

р

Ш)1Р < l(m(N + 1) - [])!1р • еС11 log*N+C3£ • p-y(H)(m(N+i)-[^]) (56)

in N

Доказательство. Рассмотрим

N

Рг(^) Ш = вг,кк\гк ^ 41 ^ = кпп^п, г = 1,...,т, (57)

к=0 1=0 п=0

где при любом натуральном п

Ьг,п = У^ Вг,кк!аг,11!, п

а суммирование производится по всем неотрицательным целым к, I таким, что к + I = п. Условие (53) означает, что

^ Ъг,п = 0,п = 0,1,..., m(N + 1) -

г=1

N

_VînN _

или ввиду (57),

m

кЦ!

z2z2(k +'D^bkHi = 0,п = 0,1,...,m(N + 1) -=1

N

VînN.

(58)

к,

к + 1 = п.

Оценим величину до,п, фигурирующую в определении класса Рс\, с2, Сз, д). Заметим, что ряд £ Щ сходится, поэтому из третьего условия этого определения и из неравенства

р2 р

п

К(п) < С5---(59)

in п

не превосходящих п, справедливую для всех п ^ 2, [2]) следует неравенство:

do,n = П POYdpd0'n < П PC3(l0gpП+^) < еС31Пеп< ес12п. (60)

р^ С2п р^ С2п

Умножим обе части каждого из уравнений (58) на 0Ndo,N, где величина 0n наименьшее общее кратное чисел (П) = щПП-к)\ = 0,..., п про которую известна оценка 0п ^ é4п. При этом получится система линейных уравнений относительно Вг,п, г = 1,..., m, п = 0,... ,N. Коэффициенты этой системы являются целыми числами поля Q. Архимедовы абсолютные величины этих коэффициентов, а также сопряжённых с ними чисел, ввиду определения класса F(Q, ci, С2, Сз, q), оценки для 0n и неравенства (60) не превосходят величины:

еС6пдпеС12пеС7п = еС13п ^ g 13 (m(N+1)-[теУ ). (61)

Применем к нашей системе уравнений известную лемму Зигеля.

Лемма 12 (см.[18]). Пусть

а^ е | <А,{ = !,..., Р,э = 1,...,(,А> 0. Пусть Р < (. Тогда существует нетривиальное решение (хг,... ,хя) системы уравнении

Я

У^аг^Хз =0,1 = 1,... ,Р

3 = 1

такое, что хг е Ъ,% = 1,..., ( Кроме того, с некоторой, зависящей только от, поля постоянной с14 выполняются неравенства,

р

Х < си( С14((А) , г = 1,...,(.

В рассматриваемой системе (58) чисто неизвестных ( равно т(Ы + 1), число уравнений

Р равно т(Ы + 1) —

N /ЫМ

+ 1 ( — Р =

N

Р т(Ы + 1) — ' N ' _VlnN, +1

( — Р ' N —1

N

—1 + 2

<

N

-2

< с15^\пМ

(62)

Следовательно,

\В Ъ,п1 < см(С\4т(М + 1)е

Неравенство (51) доказано. Рассмотрим

+ 1( ¿Ыми+1)-[^Ъ] < е1.„й ^, i = т,, г = 0,...,Ы.

=1

т

т

%п = — (п — к)Ш = ^^Вг,п-каг,к- ^ '

,

=1

=1

,

ходящим п. Для произвольного простого числа р,р ^ сз, не превосходящего величины к(Ы) такого, что (р, д) = 1, имеет место неравенство

( п — к)! к!

|Гп|Р < тах 1Вг,п-к|р|а*,к|р|-,-|р,

= 1, . . . , т к

щим п. По определению класса Р(0>, сг, с2, сз, д) для р - адического нормирования (р, д) = 1, при р > с2п, р^ сз выполняется неравенство 1аг,к | < 1, а при сз < р < с2п выполняется неравенство

Кк |р < е

п+ )

Имеем при р > п выполняется

(п-к)Щ п!

(п — к)! к!

п

= 1, а при р < п имеем

е < ес17 ^р п_

Следовательно, для р - адического нормирования при р < С2п выполняется неравенство

| Гп1Р < е

с,8 п+С8 -

(63)

п

р

р

П

а при р > С2П выполняется неравенство |rnlP ^ 1.

Для произвольного простого числа р, не превосходящего величины k(N), такого, что р ^ с3, (р, q) = 1, оценим сверху

(R)p ^ max (|Гп1р1п!1Р). n^k(N)+l

Поскольку для |гп1Р выполняется оценка (63),

/Г}\ ^ C18 log„ n+C3 - "-S" xln Р ^ С19 log„ n+C3 - ^ (сл\

(R)p ^ max е р р2 ■ е р-1 ^ max е р р2 Р-1. (64)

Функция Gig logp п + Сз р2 — p—i убывает при

Ci9p2(p — 1)

п >

(Р2 - с3(р - 1)) Inp' поэтому если

' « -) > v-^ki ™

то максимум в правой части неравенства (64) будет достигнут при п = k(N). Правая часть неравенства (65) представляет собой возрастающую функцию от р при условии, что выполняется неравенство

> 23. т

С19

((Р2 — сз(Р — 1))ln Р)2

х (р (ln р — 1) — 2с3р ln р + (с3 + 1)р +4с3р ln р — 2с3р — 2с3р ln р + рс3)

и эта величина положительна при условии (66). Так как рассматриваются лишь простые числа р < к(Ы), неравенство (65) выполняется при всех таких р, удовлетворяющих неравенству (66), если

кШ) > С19(к(Н))2(к(М) — 1) (67)

к( ) > ((к(Ы))2 — сз(к(Ы) — 1))1ик(Ы), { 4

а неравенство (67), выполняется при N > С20■ Итак, мы доказали, что

m(N + !)-[ .N 1+1

( R)p < е--+с9$ + 21 logpN.

т(

) Р

Лемма 13. Если ord^=о R(z) ^ m(N + 1) — , ^ ^ 1;

<N+i)-[ А ] П

mo | R(Oip < ( R)plClp Доказательство.

~ m(N +l)-[ 1

R(0= E rntn < max|TnClp < (R)pl(lp 1

n=m(N +l)-[ -b ]

□

Лемма 11 полностью доказана. □

3. Оценки для приближающих форм

Лемма 14. Пусть N ^ Щ, совокупность степенных рядов ¡\(г),..., ¡т(г) из класса РС\, С2, Сз, д) составляет формальное решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (18) и линейно независима, над С( г), форма К\ = К (52) и её коэффициенты Р\,г (50) сконструирова,н,ы, по лемме 11, £ = р1(н),Т(£) = 0.

Пусть линейные формы Кк и их коэффициенты Ркгг определены, равенствами (37) и (38). Тогда

к— 1

I Pkyi (О I < П (па + т + N) eN lnN+С 10NV]nW+C22k+C 23N ■ +c24 [ Ш7 }),i = 1,... ,m,k = 0,1,...

п=0

_ (68) для размера \Р\(т.е. для максимума модулей коэффициентов многочлена и всех их алгебраических сопряжённых) также выполняется(68), и для любого простого числа, р, не превосходящего величины к^)(53) и удовлетворяющего условиям (54) справедливы неравенства

(Rk )p ^

I Rk (OIP <

(m(N + 1) -

N

)!

е cii lo§pN+с з

(т(р +1) —

_VlnN _

ес11 + f ■ p-y(H)(mN-С25 [тПЬ]) (69)

те те

Доказательство. Если ф(г) = £ апгп,ф(г) = £ bnzn и выполняются неравенства

п=0 п=0

IanI ^ Ьп,п = 0,1, 2,..., то это принято обозначать так: ф(г) << ^(z)(fl8j). Пусть, как и раньше,

max (degT(z), degT(z)Qkti(z)) = a. (70)

k, i=1,...,m

Кроме того, пусть С обозначает наибольшую из абсолютных величин всех сопряжённых в поле Q с коэффициентами многочленов T(z),T(z)Qk,i(z) чисел. Тогда, ввиду (70), для всех k,i = 1,... ,т

T(z) << С(1 + zf,T(z)Qk,i(z) << С(1 + zf (71)

Докажем по индукции следующее утверждение:

k-1

Pk+i,i (z) << Ck (1 + z)ka+N П (па + m + N )eN lnN, i = 1,...,m,k = 0,1,2,... (72)

п=0

0

1

Из неравенства (51) леммы 11 следует неравенство

PM (z) << (1 + z)NeN lnN+c27NV\nN, i = 1,... ,m, (73)

так что доказываемое утверждение выполняется при к = 0. Согласно (38),

Pk+M (z)=T (z) ^ (z) + pKj(z)Qjti (z)^ ,i = 1,... ,m,k = 1,2,.... (74)

Из (50), (71) и (74) при к ^ m +1 следует неравенство

deg PM(z) ^N + C28NVmN (75)

p

Ввиду неравенства (71) и индуктивного предположения

к-2

Р'к(г) << ((к — 1)а + N)Cк-1(1 + z)(к-1)a+N И (па + т + Ы) eN 1nN+С28N^/lnN, к,

п=0

= 1, . . . , т, к = 1, 2, . . . .

Кроме того, по индуктивному предположению и ввиду (71),

т к-2 _

Т(г) Е Рк,зЯз,г << с(1 + г)аСк-1(1 + г)^-1^^ ^(па + т + N)eN 1nN+С29N^nN (77)

j=1 п=0

Из (73), (74), (76), (77) получаем доказываемое соотношение (72). Из (77) и (75) получаем неравенство (68).

Перейдём к оценке |Дк(О|р- Докажем, что < Кк)|£|р < < К\)р. Действительно, по построению (37)

Кк = ТК'к-1,к = 2, 3,.... По лемме 1, учитывая, что многочлен Т(г) имеет целые коэффициенты из поля

< Ек )р < (Т )р( Е-)р < < Е-)р < < К-)р, к = 2,3,.... (78)

Из (78) сразу следует, что

< Кк )р < < Е1)р,к = 2, 3,.... (79)

Согласно (55) леммы 11, из (79) следует:

< Кк )р <

(т( N + 1) —

' N ' Л |

[ —1п N ]

сзо N+сз, Ц-

И р2

Снова по лемме 11, из неравенства (56) получаем по лемме 13 искомое неравенство (69). □ Из лемм 10 и 14 непосредственно следует такая лемма.

Лемма 15. Пусть N ^ N0, совокупность степенных рядов ¡\(г),..., ¡т(г) из класса Р(0>, с1, с2, сз, д) составляет формальное решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (18) и линейно независима над С( г), £ = р1(н), Т(£) = 0.

Тогда, при любом N ^ Щ, где Щ определено равенством (43), существует совокупность

т

т

Тк (У1, ..., Ут) = Е ^гУг ,к = 1,...,т, (80)

=1

где Ик,г е Ъ,г,к = 1,... ,т, причём

\Кк~I < ЫN+сз^^^ • р!(н)^+сзз[^]) (81)

и для любого простого числа, р, не превосходящего величины к(N)(53) такого, что выполнены, условия (54) справедливы, неравенства

I Тк (Ь(0, ■■■, ЫО)\р < КтШ + 1) — [ ])!|р • есз41о^+сз5 5 • р-^(н )(т&+1)-[« (82)

р

Доказательство. Пусть N - любое число, удовлетворяющее условиям леммы, а форма Д1 (г)(52) сконструированна по лемме 11. Рассмотрим формы (г), к = 2, 3,.... По лемме 10 матрица (49) имеет ранг т над полем Значит, среди её строк с номерами 1, 2,... ,т + Ь есть т линейно независимых над Пусть эти строки имеют номера Wl,..., и!т. Рассмотрим линейные формы

= ^ ^У = ~1,...,

г=1

т.

(83)

Степени многочленов ^(г) ввиду (75), не превосходят величины N + а(т + Ь — 1). Поэтому число Р,ш. ^(£)%. Обозначим, учитывая (80) и (83),

т т

Рк (у 1,..., Ут) = ^2 ак^Уг = Яо,к = (£) У^к = 1,... ,т.

Тогда по лемме 14,

т+1 -1

=1

=1

\Ы~\ < П (па + т + Юем 1пк+сябм^+сягк+ся8м ■ ^н^+сго^Ь^к = 1,... ,т. (84)

п=0

=

N

т+ - 1

[] (па + т + N) < ((т + г — 1)а + т + Nт+ь-1 < е.

(85)

п=0

Из (84) и (85) следует доказываемое неравенство (81). Далее

\Ьк(МО,...,ЫО)\р = \Яшк(0\р <

< \(т(Щ + 1) — [

N

. ес41 logpN+C42■ р-1{Н)(тШ+1)-[^])

Следовательно, неравенство (82), а с ним и лемма 15, доказаны. □ Рассмотрим линейную форму

Ь( У1, ..., Ут) = ^У1 +-----+ hтУт, Ы € Ъ,1 = 1,...,т,

где не все Ы = 0, \ Ы\ ^ Н.

По лемме 15 существует совокупность линейно независимых над полем форм

Р1(У1, . . . , Ут), . . .,Ьт(У1, . . ., Ут).

Среди этих форм имеется т — 1 форм, линейно независимых с формой Ь( У1,..., Ут). Без потери общности будем считать что линейно независимы формы

Ь( У1, . . ., Ут), (У1, . . ., Ут), . . . , Ьт( У1, . . ., Ут). Это означает, что определитель

Ы1 Ы2,1

Ы

т,1

Ы

Ыт Ы2,т

Ы

р

отличен от 0. Определитель (86) представляет собой целое число из поля В каждом поле где р - простое число, удовлетворяющее условию (54) и неравенству

р ^т(М + 1) - []=к(М), (87)

умножим первый столбец определителя (86) на 1, второй столбец на /2(0? и так далее, столбец с номером т на /т(0 и прибавим к первому столбцу полученные остальные. Поскольку

1

Обозначим

L(0=L( h(0,..., fm(0), Lk (0=Lk (fi (0,..., fm(0), к = 2,...,т.

Тогда в первом столбце преобразованного определителя как раз и стоят, соответственно, LÁ0,..., Lm (£), представляющие собой элементы рассматриваемого поля Qp. Иными словами, в каждом поле Qp, р - простое число, удовлетворяющее (54) и (87), имеет место равенство

Щ) h2 ••• hm

L2(0 h2,2 ••• h2,m

A

Lm(0 hm,2

h m

(88)

Обозначим Аг ,г = 1,2,... ,т алгебраические дополнения элементов первого столбца определителя А. Тогда равенство (88) можно записать в виде

A = L(0Ai + ^ШАг

г=2

Если L(^) = 0 в рассматриваемом поле Qp, то

m

А = ^г(£)Аг.

(89)

г=2

По доказанному выше, А - отличное от 0 целое число. Поэтому |A|p > щ так как

hi • h hm

A= h2,i • • h2,m

hm,l • h hm,m

< т\Н(maxRi>j)m-1 <

^ т.Н(еN lnN+c43NV\ñÑ • pl(H)(N+C44

m ) )m— 1

поэтому

|A| > e- lnH-(m-l)(N lnN+C4bNV\aN )-j(H )ln p(m-l)(N+C46 )

(90)

С другой стороны,

| EL3(0A3lp < P-"(H)(mN-47VCT) = e-i(H)lnP(mN-48vm =2

Для того, чтобы (90) и (91) давали противоречие с предположением о том, что Ь(£) = 0 в Qp требуется, чтобы

N

— 7(H) lap(mN — с49 . ) < VmN

< —7 ( H ) lap((m — 1)N + c5o ) — la H — (m — 1)N laN — c5iN VlnN

VlnN

или

N /-

7 (H )lap(N — c52 v^ ) > la H + (m — 1)N laN + c53NVmN VlnN

или

NbN^ — (m — 1) — „4» — ^ > ^ (-)

Пусть N и 7(H) таковы, что N ^ N1 и д"Р ^ m тогда из неравенств (92) следует, что N laN> laH.

Пусть H ^ Ho, и пусть N выбрано так, что

N la N ^ la H ^ (N — 1) la(N — 1).

Тогда laN ~ la la H, H ^ поэтому при достаточно большом значении H, H ^ Ho если 7(H) > то (90) и (91) противоречивы.

Перейдем к доказательству теоремы 2. Рассмотрим произвольный отличный от тождественного нуля многочлен Р (уi,... ,ут) степени К по совокупности переменных у\,..., ут. Предположим, что коэффициенты этого многочлена - целые алгебраические числа из поля Q, причём наибольшая из абсолютных величин этих коэффициентов, а также их алгебраиче-

H

Лемма 16. Если ряды, fi(z),..., fm(z) удовлетворяют системе линейных (вообще говоря, неоднородных) дифференциальных уравнений,

m

у'г = Qi,0 + J2Qijyj, (93)

3=0

где Qi,0, Qiyj G Q(z),T = T (z) G Z[z\,TQîj g Z[z\,i = 1,... ,m,j = 0,... ,m, то ряды

Фки...,кт = fi1 (z)... m (z),ki > 0,i = 1,...,m, ki + ••• + km <К,

удовлетворяют системе из линейных однородных дифференциальных уравнений вида

фк1,...,кт = EQ*i ,...,1тфк,.,1гп, (94)

где суммирование производится по всевозможным наборам, неотрицательных целых чисел h,..., lm таким, что li + • • • + lm ^ К, a, Q* lm G Q(z), причём Q* lm являются линейными комбинациями с коэффициентами из Z коэффициентов исходной, системы дифференциальных уравнений и, следовательно, TQ* lm G Z[z\ для любого набора неотрицательных целых чисел h,..., 1 m такого, ч,то li + • • • + 1 m ^ К.

Доказательство. Рассмотрим формальную производную от ряда f^ (z),..., fk? (z):

( fk1,..., m y = e ^k1... fk-ift-1fk+... m n m

=i

Система (94) получается, если в правой части каждого уравнения (95) заменить = 1,... ,т правой частью соответствующего уравнения (93), в которое вместо уг подставлено г = 1,... ,т. □

Лемма 17. Пусть ¡\(г),..., ¡т(г) - ряды, из класса Р(0>, сг, с2, с3, д). Тогда произведения степеней этих рядов вида

^ (г),..., & (г), кг + • • • + кт <К (96)

принадлежат, классу Р(0>, с**, с*2, с*3, д*) где

с*г < сг + 1п2, с*2 < тах(с2,1), 4 < (с3 + 1)К, д* = дг+[1пК]. (97)

Доказательство. Представим ряды (96) в виде

те

п

^ (г),..., & (г) = У2апп!г

"П,п

п=0

Произведение в левой части этого равенства рассматриваем, как произведение в < К сомно-

п

г будем обозначать аг,пп\. Тогда

\ ...па\ , ,

ап = > -;-а1,щ ... аз,п,, (Уо]

^ п\

где суммирование в правой части равенства (98) производится по всем наборам щ,...,п3 неотрицательных целых чисел таким, что п\ + • • • + п3 = п. Имеет место оценка

а ,...,а3,пе I = 0( еСБ6 (п1+-+п°)) = 0(еС57П),щ + + = п ^ ж. Величина ^ пдопускает оценку

у^ щ \ ...пз\ < у- 1= (п + 8 - < 2п+3-г < 2п+к

^ п\ п\(в -1)\ < < ,

где суммирования производятся по всем наборам щ,... ,п3 неотрицательных целых чисел таким, что щ + • • •+п3 = п. Использована также формула ^п+ЗЗ—!)! для числа решений уравнения пг + • • • + п3 = п в неотрицательных целых числах и известная оценка сверху для биномиального коэффициента. Таким образом,

1ап1 = 2п+к0(есбап) = 0(е(С59+Ы 2)п) ,п ^ ж. (99)

п пг , . . . , п3

пг + + п3 = п 1г,..., 13, т.е. п^ ^ щ2 ^ ... ^ пТогда верны неравенства

п п

т-1 <п,п12 < \2\,...,п13 < [-].

Рассмотрим Бп - наименьший общий знаменатель чисел П1п;'П8',пг + • • • + п3 = п*,п* < п.

р п

пг\...пз\ пг - 3.1 +-----+пз - в., -п* + в.* _ в.* - вщ----в., ,

°ГаР(-II-) = -1- = -1- ^ 1°ёрп.

п*\ р - 1 р -1 р

Значит,

°гёр Бп < 8 п < К п.

Из приведённых выше рассуждений следует, что

дп+[|]+•••+[*\(1о,п(1о,[2] ... (10>[п]~пап е (100)

причём число йо,пг!о,[ц] ... (1о,[а]^п делится только на простые числа р, не превосходящие

тах( с2,1)п (101)

Огёр йо,пй0,[ | ] . . . йо,[ ™ ]^п ^

П , , П , п , [пи , [п Ь

< Сво(1оЕрП + 1о§р [—1 + ■ ■ ■ + \ogpi~1 + -2 + Л- + ■ ■ ■ + ) + К Ъ8рп <

— о ^ ^ ^

П

^К (С61 + 1)(^рп + п). (102) р

Если положить

д* = д1+[ык\ (103)

то ввиду очевидного неравенства п(1 + [1п К]) ^ п + [п 1 + ■ ■ ■ + [к 1 ^ п + [п 1 + ''' + [п 1 числ0 дп+[~2 ]+ +[Т] делит число (д*)п.

Из (99) - (103) следует, что ряды (97) входят в класс Р(0>, с**, с?>, с3, д*), параметры которого удовлетворяют условиям (97). □

Леммы 16 и 17 показывают, что рассматриваемые ряды

/11 (*)... (*), кг > 0, 1 = 1,...,т, кг + ■ ■ ■ + кт ^ К,

К

получаем утверждение теоремы 2.

4. Заключение

Полученные результаты будут применяться к обобщенным гипеергеометрическим Р - рядом.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции // М. Мир. 1982.

2. Чебышев П. Л. Избранные математические труды // ГИТТИ. 1946.

Р

Доклады Академии наук. Наука (М.). 2018. т. 483, №3, с.257-259.

4. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами //Доклады Академии наук, математика. Наука (М). 2014. т. 439, №6. с. 677-679.

5. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Известия РАН. Серия математическая. 2017. т. 81, выпуск 2. с. 215-232.

6. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических чисел // Чебышевский сборник. 2015. т. 16, №1. с. 254-264.

7. Чирский В. Г. Линейная независимость р - адических значений некоторых д - базисных гипергеометрических рядов // Фунд. и прикл. матем. 1999. т. 5, №2. с. 619-625.

8. Чирский В. Г. О глобальных соотношениях // Мат. заметки. 1990. т. 48, №2. с. 123-127.

9. Чирский В. Г. О преобразованиях периодических последовательностей // Чебышевский сборник. 2016. т. 17, №3. с. 180-185.

10. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах обобщённых гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами // Известия РАН. Серия математическая. 2014. т. 78, №6. с. 193-210.

11. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах ряда Эйлера // Вестник Московского Университета. Серия 1: Матемаика. Механика. Изд-во Моск. университета (М). 2015. №1. с. 59-61.

12. Чирский В. Г. Оценки линейных форм и многочленов от совокупностей полиадических чисел // Чебышевский сборник. 2011. т. 12, № 4. с. 129-133.

13. Чирский В. Г. Периодические и непериодические конечные последовательности // Чебышевский сборник, 18:2, 2017. с. 275-278.

14. Чирский В. Г. Приближения Эрмита - Паде для некоторых q - базисных гипергеометрических рядов // Вестник Московского Университета. Серия 1: Математика. Механика. 2000. №2. с. 7-11.

15. Чирский В. Г., Матвеев В.Ю. О некоторых свойствах полиадических разложений // Чебышевский сборник. 2013. т. 14, вып. 2. с. 164-172.

16. Чирский В. Г., Матвеев В. Ю. О представлении натуральных чисел // Чебышевский сборник. 2013. т. 14, вып. 1. с. 92-101.

17. Чирский В. Г., Матвеев В. Ю. О представлении натуральных чисел // Вестник МГУ. Серия 1 Математика. Механика. 2013. №6. с. 57-59.

18. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа // М. Наука. 1987.

19. André Y. Séries Gevrev de type arithmétique. // Inst. Math., Jussieu.

20. Bertrand D., Chirskii V. G., Yebbou Y. Effective estimates for global relations on Euler-type series // Ann. Fac. Sci. Toulouse. 2004. Vol. XIII, №2. pp. 241-260.

21. Chirskii V. G. Arithmetic properties of Generalized Hyper geometric Series

Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation). 2020. Vol. 27, №2, pp. 175-184.

22. Chirskii V. G. Product formula, global relations and polvadic integers

Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation). 2019. Vol. 26, №3, pp. 286-305.

23. Matala-Aho T., Zudilin W. Euler factorial series and global relations. //J. Number Theory. 2018. 186, pp.202-210.

REFERENCES

1. André, Y. "Séries Gevrev de type arithmétique", Inst. Math., Jussieu.

2. Bertrand, D., Chirskii, V. G. k, Yebbou, Y. 2004. "Effective estimates for global relations on Euler-type series", Ann. Fac. Sci. Toulouse, Vol. XIII, №2. pp. 241-260.

3. Chebv'shev, P. L. 1946, "Izbrannv'e matematicheskie trudv"[Selected Mathematical Works], GITTI.

4. Chirskii, V. G. 2020, "Arithmetic properties of Generalized Hvpergeometric Series", Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), Vol 27, №2, pp. 175-184.

5. Chirskii, V. G. 2019, "Product formula, global relations and polvadic integers", Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), Vol. 26, №3, pp. 286-305.

6. Chirskii, V. G. 2018, "Arithmetic properties of generalized hvpergeometric F-series", Doklady Mathematics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation). Vol. 98, №3. pp.589591.

7. Chirskii, V.,G. 2017, "Arithmetic properties of polvadic series with periodic coefficients", Izvestiya Mathematics, American Mathematical Society (United States), Vol. 81,№2. pp. 444461.

8. Chirskii,V. G. 2017, "Periodicity and non-periodicitv of finite sequences", Chebyshevskii Sb., 18:2, pp.275-278.

9. Chirskii, V. G. 2016, "On transformations of periodic sequences", Chebyshevskii Sb., 17:3, pp.191-196.

10. Chirskii, V.,G. 2015, "Arithmetic properties of Euler series", Moscow University Mathematics Bulletin, Allerton Press Inc.(United States), Vol. 70, №1, pp.41-43.

11. Chirskii, V. G. 2015, "Arithmetic properties of polvadic integers", Chebyshevskii Sb., 16:1, pp.254-264.

12. Chirskii, V. G. 2014, "On the arithmetic properties of generalized hvpergeometric series with irrational parameters", Izvestiya Mathematics, American Mathematical Society (United States). Vol. 78, №6. pp. 1244-1260.

13. Chirskii, V. G. 2014, "Arithmetic properties of polvadic series with periodic coefficients", Doklady Mathematics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), Vol. 90, №3, pp. 766-768.

14. Chirskii, V. G. 2011, "Estimates of linear forms and polynomials in polvadic numbers", Chebyshevskii Sb., 12:4, pp.129-133.

15. Chirskii,V. G. 2000, "Hermite-Padè approximants for some g-basic hvpergeometric series", Vestnik Moskov. Univ. Ser. 1. Mat. Mekh., 2000, no. 2, pp.7-11.

hvpergeometric series", Fundam. Prikl. Mat., 5:2 , pp.619-625.

17. Chirskii, V.G. 1990, "Global relations", Mat. Zametki, 48:2, 123-127; Math. Notes, 48:2 (1990), pp.795-798.

18. Chirskii, V. G. к Matveev, V. G. 2013, "On certain properties of polvadic expansions", Chebyshevskii Sb. 14:2, pp.164-172. (Russian)

19. Chirskii, V. G. к Matveev, V.Y. 2013, "On representations of positive integers", Chebyshevskii Sb. 14:1, pp.75-85. (Russian)

20. Chirskii, V. G. к Matveev, V.Yu. 2013, "Representations of positive integers", Moscow University Mathematics Bulletin, 68:6, pp.307-308

Berlin: Springer.

22. Matala-Aho T. к Zudilin W. 2018, "Euler factorial series and global relations", J. Number Theory, 186, pp.202-210.

23. Shidlovskii, A. B. 1989, "Transcendental numbers" [Transtsendentnve chisla] / Andrei Bori-sovich Shidlovskii; translated from the Russian by Neal Koblitz.

Получено 29.06.2020 г. Принято в печать 22.10.2020 г.