CC BY
6
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 21. Выпуск 4.
УДК 511.464 1)01 10.22405/2226-8383-2020-21-4-227-242
Арифметические свойства элементов прямых произведений
р-адических полей
А. С. Самсонов
Алексей Сергеевич Самсонов — аспирант кафедры теории чисел, Московский педагогический государственный университет (г. Москва). e-mail: [email protected]
Аннотация
В статье рассматриваются вопросы трансцендентности и алгебраической независимости, формулируются и доказываются теоремы для некоторых элементов прямых произведений р-адических полей, а также, теорема об оценке многочлена от таких элементов. Пусть <Ц)р — пополнение ^ по р-адической норме, поле — пополнение алгебраического замыкания <Ц)р, д = р\р2 .. .рп — произведение различных простых чисел, а пополнение <Ц> по д-адической псевдонорме это кольцо <Ц>3, иными словами <Ц>Р1 ф.. .ф^Рп. Рассматривается кольцо = 0,Р1 ф ... ф , содержащее <Ц>3 в качестве подкольца. Вопросы о трансцендентности и алгебраической независимости над <Ц>3 элементов привели к результатам полученным в статье. При соблюдении некоторых условий можно делать соответствующие
выводы для чисел вида а = ^ а^ дг■?, где а^ € Ъд, а неотрицательные рациональные числа
3=0
г^ образуют возрастающую и стремящуюся к при ] ^ последовательность.
Ключевые слова: р-адпческне числа, д-адические числа, трансцендентность, алгебраическая независимость.
Библиография: 23 названия. Для цитирования:
А. С. Самсонов. Арифметические свойства элементов прямых произведений р-адических полей // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 4, с. 227-242.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 4.
UDC 511.464 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-4-227-242
Arithmetic properties of direct product of p-adic fields elements
A. S. Samsonov
Aleksei Sergeevich Samsonov — postgraduate, department of number theory, Moscow State Pedagogical University (Moscow). e-mail: [email protected]
Abstract
The article considers the transcendence and algebraic independence problems, introduce statements and proofs of theorems for some kinds of elements from direct product of p-adic fields and polynomial estimation theorem. Let Qp be the p-adic completion of Q, Qp be the completion of the algebraic closure of Qp, g = pip2... be a composition of separate prime numbers, Qg be the ^-adic completion of Q, in other words QP1 ©.. The ring Qg = QP1 ©.. .®QPn, contains
a subring Qs. The transcendence and algebraic independence over Qg are under consideration.
Here are appropriate theorems for numbers like a = J2 aj9rj, where a,j G Zg, and non-negative
3 = 0
rational numbers rj increase to strictly unbounded.
Keywords: p-adic numbers, g-adic numbers, transcendence, algebraic independence. Bibliography: 23 titles.
For citation:
A. S. Samsonov, 2020, "Arithmetic properties of direct product of p-adic fields elements" , Cheby-shevskii sbornik, vol. 21, no. 4, pp. 227-242.
1. Введение
Используются следующие обозначения:
\ р — простое число, д = р\.. .рп — произведение различных простых чисел;
2. — кольцо целых ^адических чисел, Ъя — кольцо целых д-адических чисел;
3. |ж|р = р~х — р-адическая норма, если х = 0, считаем, что огёр х = те;
4. Qp — поле р-адических чисел, это пополнение поля рациональных чисел по р-адической норме;
5. |ж|д — д-адическая псевдонорма, — кольцо д-адических чисел, пополнение множества рациональных чисел по д-адической псевдонорме;
6. 0,р, оно же Ср — пополнение алгебраического замыкания 0>р.
По аналогии со случаем р-адических чисел, мы хотим построить некое кольцо 0,д, которое будет расширением кольца 0>5. Поскольку = Qp1 ф... ф Qpn, имеет смысл рассмотреть множество О,Р1 ф... ф С одной стороны, в подобном расширении уравнения типа (1, 0)ж = (0,1) не имеют решений. С другой стороны, оно уже является прямой суммой полей, каждое из которых алгебраически замкнуто и полно. Поэтому, кольцо О,д будет расширением кольца изоморфным ОР1 ф ... ф ОРп.
2. Вспомогательные конструкции
Определение 1. Пусть шр(х) = д~х — норма эквивалептная р-адической. Согласно [20], с. 12, это действительно так (см. также [4]).
Утверждение 1. Пусть В1,..., Вп — нормированные пространства, с неархимедовыми нормами ц,1,..., соответственно, тогда
...,Ьп) = т&х(^1(Ь1),..., ^п(Ьп))
является неархимедовой псевднонормой пространства В1 ф ... ф Вп.
Замечание 1. Более правильно писать ^.((Ь1,... ,Ьп)), однако, здесь и далее мм будем опускать излишние скобки в тех случаях, когда это не вызывает, разночтений.
Для доказательства утверждения 1 проверим свойства неархимедовой псевдонормы:
1. у,(Ь1,... ,Ьп) = 0 & шах(^1(Ь1),..., ^п(Ьп)) = 0 &
р1{р1) = 0,..., ^п(Ьп) = 0 & Ь1 = 0,...,Ьп = 0 & (Ь1,...,Ьп) = 0;
2. у((Ь1,..., Ь1 )(С1,..., сп)) = ^(Ь1С1,..., Ьпсп) =
ш&х(^1(Ь1С1),.. .,ц.п(Ьпсп)) = тах(^1(Ь{)^1 (С1),..., ц.п(Ьп)^п(сп)) ^
тах(^1(Ь1),.. .,^п(Ьп))тах(^1(с1),.. .,ц,п(сп)) = ^(л,.. .,Ъп)^(сл,.. .,сп);
3. ц.((Ъ1, ...,Ьп) + (с1,..., сп)) = + С1,...,Ьп + сп) =
шах(^1(Ь1 + С1),..., (Ь п + Сп)) ^ шах(шах(^1 Ф1), ц,1(с1)),..., шах(р,п(Ъп), ц,п(сп))) =
п) , ^П(Сп)) -
шах(шах(/Л1(Ь1),.. .,^п(Ьп)), шах(^1(с1),.. .,^п(сп))) = шах(/л(Ь1,.. .,Ьп),^(с1,.. .,сп)).
Определение 2. Пусть шд — псевдонорма на пространстве Qp1 ф ... ф заданная, следующим соотношением:
ш9 (Ь1,..., Ьп) = шах(шР1 (Ь{),..., шРп (Ьп)).
Это определение корректно в силу утверждения 1.
Определение 3. Обозначим (р : Qfl ^ 0>Р1 ф ... ф 0Рп — прямой изоморфизм колец, а, Ф : 0Р1 ф ... ф Qpn ^ Од — обратный.
Замечание 2. Описание изоморфизма <0д = 0Р1 ф ... ф 0>Рп см. в [22], с. 59.
Рассмотрим 0>5 и 0>Р1 ф... ф0Рп — пространства с псевдонормами | |5 и шд соответственно.
Утверждение 2. Изоморфизмы риф сохраняют, псевдонормы.
Доказательство. Пусть а € р(а) = (Ь1,... ,Ьп), докажем, что |а|й = ш9 (Ь1,... ,Ьп).
те
При а = 0 равенство очевидно. При а = 0 имеет место представление: а = ^ аидк, где
к=т
ак — д-адические цифры, ат = 0. Заметим, что для любого к € Ъ и различных про-
те те
стых чисел ^ и ^^ тасло дк € Ър, шр(дк) = 1. Тогд а Ьг = ^ ак рк ...рк сг,кРк, где
к=т к=т
с1,к € ЪР1. Следовательно шР1 (Ь^ ^ д-т, а поскольку ат не может делиться одновременно на каждое из чисел Р1,. ■ ■ ,рп, то хотя бы в одном из случаев достигается равенство. Значит шах(шр1 (Ъ1),...,шРп (Ьп)) = д-т = \а\д.
Утверждение 3. Множество ОР1 ф ... ф ОРп — кольцо, которое содержит кольцо 0Р1 ф ... ф 0Рп в качестве подкольца. Более того, поскольку можно продолжить нормы шР1,... ,иРп, неархимедова псевдонорма шд(Ъ\,..., Ьп) = шах(шР1 (Ь\),..., шРп(Ьп)) тоже имеет продолжение на, Ор1 ф ... ф Орп •
Содержание этого утверждения очевидно.
Замечание 3. Пространство Qfl представляет из себя множество {ф(Р\,... ,Рп)}; где (Р\,..., рп) пробегает множест,во 0Р1 ф ... ф а в силу утверждения 2, это множество наследует не только алгебраическую структуру, но и псевдонорму от, 0Р1 ф ... ф 0Рп.
Теперь мы построим пространство Од. В силу предыдущего замечания, мы можем дополнить множество недостающими элементами и обо значить их ф(Р\,..., Рп), где (Рг,..., рп) пробегает множество ОР1 ф ... ф ОРп. Более того, продолжение изоморфизма ф, которое мы построим, будет отображать элементы (Р\,..., рп) в ф(Р\,..., Рп), поэтому совпадение обозначений не приведет к конфликту.
Определение 4. Пусть Од = [ф(Р\,... ,рп)}, где (Р\,..., Рп) пробегает ОР1 ф ... ф ОРп. Алгебраическую структуру и псевдонорм,у заимствуем из кол,ьца, ОР1 ф ... ф Орп •
Утверждение 4. Справедливы следующие заключения.
1. Кольцо О,д содержит, 0_д в качестве подкольца, неархимедова псевдонорма на кольце Од продолжает, д-одическую псевдонорм у кольца, 0_д.
2. Существует продолжение изоморфизма ф : ОР1 ф ... ф ОРп ^ Од и продолжение обратного изоморфизма <р : Од ^ ор1 ф ... ф ор„ ■
3. Продолженные изоморфизмы по-прежнему будут сохранять псевдонормы. Доказательство.
1. В силу замечания 3 и определения 4, очевидно, что кольцо Од содержит в качестве подкольца, неархимедова псевдонорма на кольце Од продолжает д-адическую псевдонорму кольца
2. Продолжение изоморфизма ф определим следуюнщм образом, пусть ф отображает элемент (Р\,..., рп) в ф(Р\,..., Рп)- Такое отображение будет изоморфизмом в силу определения 4. Изоморфизм (р продолжим, как обратный к ф.
3. В силу предыдущего пункта и определения 4, продолженные изоморфизмы по-прежнему будут сохранять псевдонормы.
Определение 5. Пусть число а = ф(Р\,..., Рп) € Од. Тогда, обозначим
огёй а = шт(огёР1 Рг,..., огёРп рп).
Замечание 4. Справедливо следующее соотношение
к = шд (Рг, ...,Рп) = шах(шР1 (&),.. .,шРп (рп)) = д- т1п(°г^131 м = д-а.
Определение 6. Пусть т € N обозначим тг € Од — число ф(тг,..., тг) € Од.
Это обозначение не противоречиво, числа тг € совпадают с числами ф(тг,..., тг).
Зам ечание 5. Если а € Од, то а = ф(Р\,Р2,...,Рп), Р^ € ОРк. Аналогично, если а € 0_д, то Рк € 0Рк, если а € Ъд, т,о Рк € ЪРк.
Замечание 6. Любой многочлен С € Qg [х] можно представить в виде
О = ф(РъР2,..., Рп), где Рк € QPfc [ж]
и вычислить по формуле
С{а) = ф(Рг(р1),Р2т,...,РпШ), где а € Пд, а = ф{ръ р2, ■ ■ ■, Рп)-
Аналогично, если С € Qg[х\,..., хт], то Рк € Qpk [х\,..., хт].
Определение 7. Обозначим ир := {Р € Qp : \Р\р = 1}. Обозначим ид := {а = ф{Р\, 02,..., Рп) € Ъд : Ук € {1,... , п}, \Рк\Рк = 1}.
Определение 8. Обозначим Z* := {а = Ф{Р\,Р2, ...,рп) € Ъд : Ук € {1,...,п}, Рк = 0}.
Определение 9. Обозначим 0к := {С = ф{Р\, Р2,..., Рп) € Qg [х\,...,хт] : Рк = 0}.
^ п
Обозначим 0 := У 0к-к=1
Определение 10. Пусть а € 0.д, а = ф{Р\, р2,..., рп). Будем называть а глобально трансцендентным над 0_д элемент,ом, 0,д, если для любого к € {1,... ,п} и любого многочлена С = ф{Р\, Р2,..., Рп) € Qg [х]\0 выполняется нераве нет,во Рк {Рк) = 0.
Определение 11. Пусть щ € 0,д, щ = ф{Рг,\, Рг,2,..., Рг,п), г = 1,...,т. Будем называть а,г глобально алгебраически независимым,и над 0_д элемент,а,ми 0,д, если для, любого к € {1,... ,п} и любого многочлена С = ф{Р\, Р2,..., Рп) € Qg [х\,..., жт]\0 выполняется неравенство Рк {Р\,к,..., Рт,к) = 0.
3. Первая теорема
Лемма 1. Пусть
1) числа, Гк и вк, где к = 0,1,2,... являются неотрицательными и рациональным,и, г0, Т\,г2,... образуют возрастающую и стремящуюся к последовательность;
2) существует бесконечное множество номеров ] таких, что число не является линейной комбинацией с целым,и коэффициентами чисел 1,г0,..., г^ и чисел вк',
3) числа, г'к такие, что разность г'к — Гк является неотрицательным целым числом, аналогично для в'ь — вк;
4) неубывающая последовательность £ к является у порядоч, енной г'к.
Тогда, существует бесконечное множество номеров ] таких, что число не является линейной комбинацией с целым,и коэффициентами чисел 1,Ь0,... ^^ и чисел 8к.
Замечание 7. Последовательность г'к стремится к + ж, поэтому неубывающая Ьк существует, а, четвертый пункт условия является корректным.
Доказательство. Предположим противное, тогда множество подходящих номеров конечно. Пусть номер По последний из таких, что число ЬП0 не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1,Ьо,... ,ЬП0— и чисел 8к. Если нет ни одного подходящего номера, пусть по = 0. Поскольку ЬП0+\ является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1,Ьо,..., ЬП0 и чисел 8к. Получается, что ЬП0+2 как линейная комбинация с целыми коэффициентами чисел 1,Ьо,..., и чисел 8к, является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1,Ьо,..., ЬП0 и чисел 8к. Таким образом, каждое следующее число в последовательности при т > По, является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1,Ь0,... ,ЬП0 и чисел 8к.
Рассмотрим числа Ьо,..., ¿гао как элементы последовательности г'к, среди них есть элемент г'к с самым большим индексом. Поскольку очевидно, стремится к +те, существует номер щ > п0 такой, что любое из чисел ¿т, ири т > п\, больше любого из г'0,г[,..., г'ко. Это означает, что для номеров т > п\, в последовательности не встречаются числа г'0,г[,..., гк, но любое число = г'к, является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, г'0 ,г[,..., г'к и чис ел ,в'к, посколь ку т > щ > по, приче м к\ > ко, посколь ку т> п\. Значит, номер к\ такой, что число г'к является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, г'о ,г[,..., гк -г и чисел 8к. Соответственно, номера, не являющихся таковыми, можно искать при т ^ щ, всего их может быть не более чем щ. Но противоречие в том, что в силу второго и третьего пунктов из условий леммы, существует бесконечное множество номеров ] таких, что число не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1, г'0,..., г^ и чисел в''к.
Теорема 1. Пусть д = р\... рп — прошведение п различных простых чисел,
те
= ^ Ыгл д, где € Ъ*д, г = 1,... ,т, ] =0,1, 2 .... з=о
Пусть
1) для любого г = 1,..., т неотрицательные рациональные числа, г^ образуют, возрастающую и стремящуюся к + те при ] ^ +те последовательность;
2) для любого г = 1,... ,т существует бесконечное множество номеров ] т,а,ких, что число rí,j+l ме является линейной комбинацией с целым,и коэффициентами чисел 1,г^о,... и чисел г^ь, где I = г, I = 1,... ,т, к = 0,1, 2,____
3) не существует номеров г, ]2 таких, что разница, г^ — г^ является целым числом.
Тогда, числа, щ представляют собой глобально алгебраически независимые над элементы Од.
Доказательство. Предположим противное, тогда числа а\,...,ат не являются глобально алгебраически независимыми над элемента ми Од при некото ром т ^ 1. При т = 1 подразумеваем, что число не является глобально трансцендентным над элементом Од. Следовательно, считая щ = ф(fЗí,1, Рг,2,..., Рг,п), существуют к € N 1 ^ к ^ п, а С = ф(Рг, Р2,..., Рп) € Од[х\,..., жт]\0 такие, что Рк(Р1 ,к,..., Рт,к) = 0. Значит, числа Рг,к представляют собой алгебраически зависимые над ОРк элементы ОРк. Но (ц^ = Ы,],2,..., откуда
те
Рг,к = ^ Ь*>з>к дП'', где € Zpfc, г = 1,...,т, 2 =0,1, 2,.... з=о
Поскольку а^ € Ъ*д, воспользуемся тем, что (рк/д) € ЪРк и освободим коэффициенты от целых степеней рк
те
Р%,к = ^ Кз,к , где € иРк, г = 1,...,m, э = 0,12,....
з=о
Воспользуемся леммой 1 для каждого г = 1,... ,т и получим
те
Рцк = ^ Ъ'^к ди'3 , где Ъ'^к € иРк ,1 = 1,...,т, 3 = 0,1,2,.... з=о
Поскольку не существует номеров г, ]2 таких, что раз ница является целым числом,
для каждого г = 1,..., т неотрицатедьные рациональные числа образуют возрастающую
и стремящуюся к при ] ^ последовательность, и существует бесконечное множество номеров ] таких, что число не является линейной комбинацией с целыми коэффициен-
тами чисел 1,ti,o,..., ^^ и чисел ^ где I = Ь I = 1, ■ ■ ■ ,т, к' = 0,1, 2,...
те
Переобозначим р^ = р, Рг,к = Рг = Ьг^д^л, Ъг^ е ир. Числа Д являются алгебраически
3=0
зависимыми над элементами 0,р, а Р(х\,... ,хт) является отличным от нуля многочленом с коэффициентами из Ър наименьшей степени по совокупности переменных таким, что
Р {ръ...,рт) = о.
Р (Х1, ..., Хт) = Р ((Х1 - Рх)+ @1,..., (хт - Рш) + Рш) = т 8Р
= Р {рг, ...,рт ) + о^; {Ръ---, Рт)(хг - /Зг) + Р *((Х1 - (хт - рт)) =
1=\ 1
т дР
= Е ^ {Р1, ■■■, I3™ ){-Хг - &) + Р *{(х1 - Рг), ■■■, (Хт - I3™)),
1=1 1
обозначим Сг = {рг, ■ ■ ■ , Рт), I = 1, ■ ■ ■ ,т.
Поскольку степень многочлена ^{хг, ■ ■ ■ ,хт) по совокупности переменных ниже, чем степень Р{хг, ■ ■ ■, хт), в силу определения последнего, Сг = ^{¡вг, ■ ■ ■, Рт) = 0. Обозначим Сг = огёр Сг. Без ограничения общности сг ^ ■ ■ ■ ^ ст.
те
Рассмотрим Сг как суммы одночленов, С1 = ^ А^^, где А^^ е Zp, а числа представ-
3=0
ляют собой линейные комбинации чисел 1 и ¿¿/у с целыми неотрицательными коэффициентами. Можно считать, что никакие два из чисел не могут отличаться на целое число, иначе слагаемые можно объединить по общей степени. Также, числа А^^ можно считать свободными от степеней р, иначе можно воспользоваться тем, что {р/д) е Для каждого г среди чисел можно выбрать минимальное, поскольку существует лишь конечное множество линейных комбинаций чисел 1 и с целыми неотрицательными коэффициентами не превосходящих любое наперед заданное число. Не умаляя общности, пусть числа Si,o будут этими минимальными. Поскольку огёр Аг^= Sí,j, то Сг = огёр = огёр А^,0д= следовательно числа Сг представляют собой линейные комбинации конечного набора из чисел 1 и с целыми неотрицательными коэффициентами. Для каждой пары г,г' = 1, ■ ■ ■ ,т обозначим через Иг^ наибольший из номеров ]' таких, что число ¿¿/у входит в вышеупомянутую линейную комбинацию для Сг с положительным коэффициентом. Положим N0 = т&Хг,г>=г ,т ■ Для любой совокупности натуральных чисел щ, г = 1, ■ ■ ■ ,т обозначим
П1 те
= ^ Ьг,3д^, Вг,щ = ^ Ьг,3■
3=0 3=П1+г
Тогда
т
Р Ш^т ^ ■ ■ , —т,пт ) = CíBí,ni + Р *{-Вг,П1 ^ ■ ■ , -В т,пт )■
г=г
Для г = 1 существует бесконечное множество чисел ] таких, что число tl,j+l не является линейной комбинацией с целыми коэффициентами чисел 1,Ьг,0, ■ ■ ■ и чисел и,!-', где I = г, I = 1, ■ ■ ■ ,т, к' = 0,1, 2, ■■■ Из этого бесконечного множества выберем число ^ = пг так, чтобы выполнялись неравенства пг > N0 и tl}nl+l > Сг.
Поскольку, по условию теоремы, при любом г = 1, ■ ■ ■, т последовательность ^^возрастая, стремится к при ] ^ можно выбрать числа п2, ■ ■ ■ ,пт так, чтобы имели место
неравенства
сг + tl,nl+l < с2 + < ■ ■ ■ < ст + tm,nm+l.
Поскольку а^ ... ^ Ст, то ¿1,га1 + 1 < г2,п2+1 < ... < ^,пт + 1-
Коэффициенты многочлена Р*((х1 — Д),..., (хт — /Зт)) можно выразить в виде многочленов с целыми рациональными коэффициентами от чисел /З1,..., и коэффициентов многочлена Р(х1,..., хт). Если степень многочлена Р по совокупности переменных (е^Р ^ 2, то (е^Р = ((е^Р*, в остальных случаях многочлен Р* равен тождественно нулю. Таким образом, огёр Р*(—В 1,,т,..., —Вт,пт) ^ 2ог(р(—В 1,,т) = 21,щ+1.
т _
Заметим, что огёр(— ^ СгВгп) = с1 + 1\п1+1 < 211,п1+1. Таким образом
г=1
т
°Г(\рР (В1т , ... , В-т,пт ) = огМ—^2СгВг П +Р *(—В1,т —Вт,пт )) = С1 + +1.
=1
С другой стороны, очевидно, что +1 = огёр Р(В1 П1,..., Вт Пт) — с1 представляет собой линейную комбинацию с целыми коэффициентами чисел 1, ^>о,..., ,..., Ьт>о,..., 1т,Пт 1 чт0 противоречит выбору П1.
4. Вторая теорема
Теорема 2. Пусть д = р1... рп ^ произведение п различных простых чисел,
<х
аг = ^ аi,jgrj, где , г = 1,... ,т, .] = 0,1,2____
3=0
Пусть
1) неотрицательные рациональные числа, г^ образуют, возрастающую и стремящуюся к при ] ^ последовательность;
2) ) = (Ъг>ц, Ьг,у,2,..., Ъг^,п), для, каждого к € N 1 ^ к ^ п, и для любого п0, существуют натуральные числа, п1 <п2 < ... < пт такие, что п1 > п0 и
&п!,...,пт,к • Ьг,щ,к)г,1=1,...,т
Ь 1,гц,к . . . Ь1,пт,к Ьт,п1,к . . . Ьт,пт,к
=0; (1)
3) для, каждого к € N 1 ^ к ^ п, существует возрастающая функция Ск • N ^ М такая, что
гп — Ск(п) ^ +ж, при п ^ ж, п1 < п2 < . . . < пт
1, выполняется неравенство
о^ 5щ,...,пт,к ^ Ск(т);
4) для любого ном,ера, ] число г^+1 не является суммой линейной комбинации чисел г0,..., г^ с целым,и, коэффициентами и неположительного целого числа,.
Тогда, числа, аг представляют собой глобально алгебраически независимые над Qg элементы Од.
Доказательство. Так же, как и в доказательстве предыдущей теоремы, из предположения противного получается, что для некоторого к € N 1 ^ к ^ п:
Рк (Р1,к ,...,Рш,к )=0,
Рг,к = ^ , где Кз,к е ЪРк, г = 1, ■ ■ ■ ,т, ] =0,1,2,....
3=0
те
Переобозначим р^ = р, Рг,к = Рг = ^ Ьг^ е Ър. Числа Рг являются алгебраически
3=0
зависимыми над Qp элементами 0,р, а Р{хг,...,хт) является отличным от нуля многочленом с коэффициентами из Ър наименьшей степени по совокупности переменных таким, что Р {Рг,...,рт) = 0.
Также, адаптируем остальные условия теоремы:
1) неотрицательные рациональные числа образуют возрастающую и стремящуюся к при ] ^ последовательность;
2) для любого щ, существуют натуральные числа щ <п2 < . . . < пт такие, что пг > П0 и
■->П1,...,Пп
:= det{ Ь^щ )г,1=г,...,
Ъг,П1
Ьт,П1
Ьг,
= 0;
(2)
3) существует возрастающая функция с : N ^ М такая, что
гп - с{п) ^ +ж, при п ^ ж,
(3)
и для любого набора натуральных чисел щ < п2 < . . . < пт удовлетворяющих неравенству 2, выполняется неравенство
о^р5П1,..,Пт ^ с{т);
т
т
4) для любого номера ] число не является суммой линейной комбинации чисел Г0, ■ ■ ■, с целыми коэффициентами и неположительного целого числа.
Р {хг, ..., хт) = Р {{хг - Рг) + Рг,..., {хт - рт) + рт) = т дР
= Р {рг, ...,рт) + V — {Рг,..., рт){хг - Рг) + Р *{{хг - Рг) ,■■■, {хт - рт)) =
^ ОХг
т дР
= £ ^Т {Рг,..., Рт ){Хг - ^ + Р *{{х1 - Рг),..., {Хт - Р™)),
,=г ОХг
обозначим С г = щ: {Рг,..., рт).
Поскольку степень многочлена ^^^{хг,...,хт) по совокупности переменных ниже, чем степень Р{хг,..., хт), в силу определения последнего, Сг = ^^^{Рг,... ,Рт) = 0. Обозначим с0 = што^р Сг.
г
Для любой совокупности натуральных чисел щ, г = 1,... ,т обозначим
П1 те
—г,П1 = ^ , Вг^ = ^ Ь^ .
3=0 3=П1+г
Тогда
т
Р {В_ 1,Щ ,... ,Вт,пт ) = - У] СгВг,Пг + Р *{-Вг,П1,..., -Вт,Пт).
г=г
В силу определения Bi,ni, получаем
т т те те т
^СгВг n = hi9Г] = Е 9rj (^Cibitj)= Е di9Гз,
i=i i=i j=m+i j=m+i i=i j=m+i
т
n.h.
1,3 ■
где использовано обозначение
dj = - E Cib-=1
Пусть числа n1 < n2 < ■ ■ ■ < пт удовлетворяют неравенству 2. Среди чисел dni, ■ ■ ■, dnm
т
есть отличные от нуля, иначе система уравнений ^ Cibij = 0, j = ni, ■ ■ ■ ,пт имеет нетриви-
=1
альное (поскольку C = 0, г = 1, ■ ■ ■ ,т) решение Ci, ■ ■ ■, Ст, что противоречит неравенству 2.
Рассмотрим при произвольных Nq ^ ni < п2 < ■ ■ ■ < пт, удовлетворяющих неравенству 2, равенства
т
dj = - Е CibiJ, j =П1,^^^,Пт,
г=1
как систему линейных уравнений относительно неизвестных Ci, ■ ■ ■, Ст. Применяя к ней правило Крамера, получаем, что числа Ci5, ■ ■ ■ ,Ст5 являются линейными комбинациями чисел dni, ■ ■ ■, dnm с коэффициентами из Zp. Значит для лю бого г = 1, ■ ■ ■ ,т справедливо неравенство:
min ordp dn. ^ ordp Ci5■
з
q друГОд СТороны, поскольку ordp 5nii.,nm ^ c(n1), получаем
min(ordp Ciö) = Co + ordp ö ^ c0 + c(n1)^
Это значит, что среди чисел ordp dnj есть хотя бы одно такое, что
ordpd,nj ^ Co + c(ni)■
Из соотношения 3 следует, что существует натуральное число Nq такое, что при ni ^ Nq выполняется неравенство Co + c(ni) < rni. Значит,
ordp dnj ^ Co + c(ni) < r,nx ^ r,nj ■
Откуда получаем неравенство
ordp dnj + r,nj < 2 r,nj ■
Поскольку ordp di ^ 0 ri ^ ^ величина ordp di + ri ^ те, при l ^ те. Следовательно, для любого натурального числа nj среди чисел ordp di + ri при l ^ nj существует наименьшее. Более того, если для I значение ordp di + ri минимальное, то
ordp di + ri ^ ordp d,nj + r,nj < 2 r,nj ^ 2 ri ■
1 + 1 — наибольшее из конечного числа номеров, при котором достигается вышеупомянутое наименьшее значение для ordp di+i + ri+i. Тогда
ordpdi+i + ri+i < 2ri+i ■
Рассмотрим равенство
т
Р {В.1,п1 ,. . .,Вт,Пт ) = - ^2/CíB г,т + Р *{-В 1,П1 ,. . . , -Вт,Пт ) =
г=г
те
= - Е + Р *{-Вг,п1,..., -Вт,Пт),
З=1+1
при выбранном значении I. Р*{-В1,П1 ,..., -Вт,Пт) либо равен нулю, либо состоит из слагаемых, порядки которых не меньше, чем 2Г[+г (как и в предыдущей теореме). Поэтому
о^рР *{-Вг,П1,..., -Вт,Пт) ^ 2П+1.
Первый член ряда
те
(з9Г] З=1+1
те
оМр = П+1 +ОМр^+1.
З=1+1
Из полученных соотношений следует, что
т
ог<1рР {В_1,П1 ,...,ВтПт) = °г<1р{-^2С^в^пг + Р*{-Вг,п1 -Вт,Пт)) =ог<1р(1+1 + п+ъ
г=г
Левая часть этого равенства представляет собой линейную комбинацию с неотрицательными целыми коэффициентами чисел Г0,..., ть а о^р^+г представляет собой линейную комбинацию чисел 1, Т0,..., VI с целыми неотрицательными коэффициентами. Таким образом, число г 1+г представляет собой сумму линейной комбинации чисел Г0,..., П с целыми коэффициентами и неположительного целого числа вопреки условиям теоремы.
5. Третья теорема
Теорема 3. Пусть д = рг.. .рп — произведение различных простых чисел,
те
а.г = ^ а^дп,:>, аг е , а^ е ид, г = 1,... ,т.
3=0
Пусть
1) для любого г = 1,... ,т положительные рациональные числа, ^^ образуют, возрастающую и стремящуюся к при ] ^ последовательность;
2) для любого ( е N существует = Мг{(() е N такое, что для любого целого N ^ не могут одновременно выполняться следующие соотношения:
N т N т т
^ ^ Яг,зП,з е Ъ, е Ъ, ^ ^ | | < 2((, ^ | А,м| > 0;
j=0 г=г 3=0г=г г=г
3) = шах{,..., гт>3 }, для любых натуральных чисел ( и К существует N2 = N2{((, К) е N такое, что неравенство
Гг,М+г > Ъ + (гм
£
выполняется для любого i = 1, ■ ■ ■ ,т и для любого натурального N ^ N2;
Если многочлен G = ф(Р1, ■ ■ ■, Pn) £ Za[х]^, ■ ■ ■, хт]\{0}; а, при некотором к0 £ {1, ■ ■ ■, n}; degG = degPk0 и любой коэффициент Вк0 многочлена Рк0 таков, что либо Вко = 0, либо ordpfcQ Bk0 ^ h. Тогда, неравенство
|G( аъ...,ат)19 > 9-h-dr N
выполняется при N ^ max(N1, N2).
Доказательство. Сведем рассуждение к р-адическому случаю. G = ф(Р1, ■ ■ ■, Pn), а% = ф(сц}1, ■ ■ ■, a.i,n), для каждого г = 1, ■ ■ ■, т. Достаточно показать, что для к = к0 справедливо неравенство:
ordpk Рк (ai,k, ■■■, ат,к) ^ h + dr N ■
Тогда ordfl G(a1, ■ ■ ■, ат) = minord^ Рк(а1,к, ■ ■ ■, ат,к) ^ h + drN, а это и надо доказать.
Переобозначим многочлен и соответствующие компоненты, далее будем рассматривать условия теоремы в следующем контексте:
a) Р = Рк0, Р = Рк0, Р £ Zp[xi, ■ ■ ■, Хт]\{0}, degP = d;
b) любой ненулевой коэффициент В этого многочлена таков, что ordp В ^ h;
те
c) ßi = аг,к0, ßi = Е bi,jgn'j, ßi £ Op, bij £ Up, i = 1,■■■,т■
3=0
Тогда, достаточно доказать, что
(Ж^Р (ßi, ■ ■ ■ , ßrn) < h + dr N или |Р (ßßi,...,ßт)|p ^ P^-" N ■
d = 0 Р = В
| Р|p = |В |p = p- ordPB ^ p-h. Далее будем считать, что d > 0. Мы воспользуемся следующими леммами.
Лемма 2. Пусть р — простое число, т £ N числа, R1, ■ ■ ■, Кт £ Q различны, а р-ади-ческая норм,а, любого из чисел В1, ■ ■ ■, Вт £ Qp равна единице, тогда
I „ в „ в I _ min Ri
|В^ R + ■■■ +ВтС^т |p = р > ■ Лемма 3. Для любого N ^ N1 = N]^(d) выполнено неравенство:
|Р (ßi, N ,...,ßm>N )|p ^ P-h-dr N ,
N
где ßi,N = E hj9n'j ■ =o
т
ет из себя сумму одночленов. Для удобства, будем считать одночлены каждого многочлена упорядоченными следующим образом. Одночлен х] ■ ■ ■ хт будет идти раньше одночлена х1 ■ ■ ■ х^, если ■ ■+]т > h+■ ■ ■+1т, а в случае равенства, если существует s £ {0, ■ ■ ■, т—2} такое, что j i = h^ ■ ■, js = ls, js+i > ls+i-
Попробуем подставить числа х1 = ßi,N в многочлен, для любого Ii £ No := NU{0} мы
получим
N ^ k
&N = I Е
а это число представляет из себя сумму членов вида:
ßg k,Nri,N +...+' i,0 П,0
где ß G Zp, li,N,..., h,o G No, h,N + ... + h,o = h- Таким образом, при подстановке (х1,..., хт) ^ (ß\,N,..., ßm,N) каждый одночлен х1Ц ... х1™ будет представлен суммой членов вида:
EN чг^т 1
Су 0=0^i=1 li,ri,j , (4)
N
где С G Zp и £ h,j = Многочлен Р является суммой одночленов, таким образом, з=о
Р(ßi,N,..., ßm,N) будет представлен суммой членов вида 4, а поскольку degP = d, значит
N т т
£ £ кз = £ h < d.
j=0i=1 i=1
Пусть ß0 xf1 ... e ß0 G Zp\{0}, d1 + ... + dm = d G N, первый одночлен в представле-
Р
(х1,... ,хт) ^ (ß1,N,..., ßm,N) этот одночлен станет суммой, которая содержит выражение ßo9е ßo G Zp\{0}, ordp ßo = ordp ßo• Попробуем привести подобные члены в сумме Р(ßi,N,..., ßm,N) по соответствующим степеням д и покажем, что выражение ßogdiTi,N не может взаимно уничтожиться с другими членами суммы. Действительно, поскольку они
•tpN v-^m , , N
имеют вид Сдi=1 i,i где С G Zp, ^ li,j = Ii, значит при приведении подобных членов
=o
порядки коэффициентов будут целыми числами. Тогда, если выражение ßogdiTi,N взаимно
^ ^ l- г- ■
уничтожится с другими членами суммы, значит есть хотя бы один член вида Сд*=1 г,:> г,:> такой, что выражение
m N m
ordp ßo + din,N - ordp С — ^ ^ kjnj =1 =o =1
является целым числом, откуда
m N — 1 m
^2Di,Nri,N + E ^Di,3ri,3 G Z, =1 =o =1
где, для г = 1,..., m, мы полагаем DitN ■= di — k,N и Ditj ■= — litj, для j = 0,..., N — 1. Но это противоречит условию теоремы поскольку
N m m N m
ЕЕ IDi,jI < Edi + ЕЕ^ < 2d
=o =1 =1 =o =1
и
m m
Е lDi,NI = Е Idi — li,N| > 0. =1 =1
i, N = i = 1, . . . , m произойти только в том случае, если мы рассмотрели выражение ßog^i=1diTi,N дважды.
Поскольку ordp ßo = ordp ßo ^ h, используя лемму 2 и тот факт, что выражение ßog^i=1diTi,N не может взаимно уничтожиться с другими членами суммы Р(ßi,N,..., ßm,N), получаем
— ordp Во—J2 diri N
|Р(ß1,N, . . . , ßm,N)|p >P = > p—h—dTN ,
как и предполагалось.
Продолжим доказательство теоремы. Заметим, что
Р(131,...,/3т) -Р(13г,м,...,/т,м) =
т
Е (Р О3^, ..., Зг-1,М ,3г, ...,Рт) - Р (3\,М, ..., 3г,М, Зг+1, ..., /Зт)) .
i=1
\Р (fi, N, . . .,fc-l,N ,fi, . . .,Pm) - P (fl,N, . . . , Pi,N ,Pi+1, . . .,Pm)\p ^ \Pi - Pi,N\p, поскольку вс6
числа fii rn @i,N шмеют норму меньше единицы, degP = d > 0, а коэффициенты
многочлена лежат в Zp. Более того:
\13г Pi,N\р = P-i>N+1 <V-h-drN, последнее неравенство в силу условия 3 выполняется при N ^ Таким образом
\Р (f3i ,...,(Зт) - Р (f3hN,..., i3m,N)\р < P-h-dr N. Используя это неравенство и лемму 3 получим:
\Р (f3i,...,f3m)\p > p-h-dr N для любого N ^ max(Ni, N2), что и требовалось доказать.
6. Заключение
Данная статья, как исследование, продолжает некоторые работы П. Бундшу и В. Г. Чир-
ского. Доказанные теоремы обобщают некоторые результаты из [5], [6], [7] в том смысле, что
=
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Adams W. Transcendental numbers in the p-adic domain // Amer. J. Math., 1966, V. 88, P. 279-307.
2. Amice Y. Les nombers p-adiques. Presses Univer sit aires de France, Paris, 1975.
3. Bertrand D., Chirskii V. G., Yebbou J. Effective estimates for global relations on Euler-tvpe series // Ann. Fac. Sci. Toulouse, 2004, V. XIII, №2, P. 241-260.
4. Боревич 'i. П.. Шафаревич И. P. Теория чисел. 3-е изд. доп. М.: Наука, 1985.
5. Bundschuh P., Chirskii V. G. On the algebraic independence of elements from Cp over Qp, I // Arch. Math., 2002, V. 79, P. 345-352.
6. Bundschuh P., Chirskii V. G. On the algebraic independence of elements from Cp over Qp, II // ActaArithm., 2004, V. 113, №4, P. 309-326.
7. Bundschuh P., Chirskii V. G. Estimating polynomials over Zp at points from Cp // Moscow Journ. of Comb, and Number Th., 2015, V. 5, iss. 1-2, P. 14-20.
8. Чирский В. Г. Метод Зигеля-Шидловского в р-адической области. // Фундаментальная и прикладная математика. 2005, Т. 11, №6, С. 221-230.
9. Chirskii V. G. Values of Analytic functions at points of Cp // Russian Journ. of Math. Physics, 2013, V. 20, №2, P. 149-154.
10. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Доклады академии наук, 2014, Т. 459, №6, С. 677-679.
11. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах обобщённых гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами // Изв. РАН. Сер. мат., 2014, Т. 78, №6, С. 193—210.
12. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах ряда Эйлера // Вестник Моск. ун-та, Сер.1, мат., мех., 2015, Ш, С. 59-61.
13. Чирский В. Г. Арифметические свойства целых полиадических чисел // Чебышёвский сборник, 2015, Т. 16, вып. 1, С. 254-264.
14. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Изв. РАН. Сер. мат., 2017, Т. 81, №2, С. 215 232.
15. Chirskii V. G. Topical problems of the theory of transcendental numbers: Developments of approaches to tveir solutions in the works of Yu.V. Nesterenko // Russian Journ. of Math. Physics, 2017, V. 24, №2, P. 153-171.
16. Чирский В. Г. Арифметические свойства обобщённых гипергеометрических f-рядов // Доклады академии наук, 2018, Т. 483, №3, С. 257 259.
17. Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hvpergeometric f-series // Dokladv Mathematics, 2018, V. 98, №3, P. 589-591.
18. Chirskii V. G. Product formula, global relations and polvadic integers // Russian Journ. of Math. Physics, 2019, V. 26, №3, P. 286-305.
19. Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hvpergeometric series // Russian Journ. of Math. Physics, 2020, V. 27, №2, P. 175-184.
20. Коблиц H. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции; пер. с англ. В. В. Шо-курова, под ред. Ю.И. Манина. М.: Мир, 1982.
21. Mahler К. Uber transzendente р-adische Zahlen // Compos. Math. 1935, V. 2, P. 259-275.
University Press, 1981.
23. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. M.: Наука, 1987.
REFERENCES
1. Adams W. 1966, "^anscendental numbers in the р-adic domain", Amer. J. Math., vol. 88, pp. 279-307.
2. Amice Y. 1975, Les nombers р-adiques. Presses Univer sit aires de France, Paris.
"
type series", Ann. Fac. Set. Toulouse, vol. XIII, no. 2, pp. 241-260.
4. Borevich Z.I., Shafarevich I. R. 1985, Teoriva Chisel, [The theory of numbers], third edition. "
5. Bundschuh P., Chirskii V. G. 2002, "On the algebraic independence of elements from Cp over Qp, I", Arch. Math., vol. 79, pp. 345-352.
6. Bundschuh P., Chirskii V. G. 2004, "On the algebraic independence of elements from Cp over Qp, II", ActaArithm., vol. 113, no. 4, pp. 309-326.
7. Bundschuh P., Chirskii V. G. 2015, "Estimating polynomials over Zp at points from Cp", Moscow Journ. of Comb, and Number Th., vol. 5, iss. 1-2, pp. 14-20.
8. Chirskii V. G. 2005, "Siegel—Shidlovskii met hod in p-adic domain", Fundamental and Applied Mathematics, vol. 11, no. 6, pp. 221-230.
9. Chirskii V. G. 2013, "Values of Analytic fonctions at points of Cp", Russian Journ. of Math.
Physics, vol. 20, no. 2, pp. 149-154. "
akademii nauk, vol. 459, no. 6, pp. 677-679.
"
Izv. RAN. Ser. mat., vol. 78, no. 6, pp. 193—210.
"
Ser.l, mat., mech., no. 1, pp. 59-61.
"
vol. 16, no. 1, pp. 254-264.
"
RAN. Ser. mat. vol. 81, no. 2, pp. 215-232.
"
of approaches to tveir solutions in the works of Yu.V. Nesterenko", Russian Journ. of Math.
Physics, vol. 24, no. 2, pp. 153-171.
"
akademii nauk, vol. 483, no. 3, pp. 257-259. "
Mathematics, vol. 98, no. 3, pp. 589-591. "
of Math. Physics, vol. 26, no. 3, pp. 286-305.
"
Journ. of Math. Physics, vol. 27, no. 2, pp. 175-184.
20. Koblitz N. 1982, p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions, 2nd ed. "
22. Mahler K. 1981, p-adic numbers and their functions, second edition, Cambridge University Press, Cambridge.
"
Получено 19.06.2020 г. Принято в печать 22.10.2020 г.
