CC BY
160 10 20 30 40 50 60 70 80 90 S 0 20 40 60 80 100 5
Рис. 1 Рис. 2
Исследование поддержано аналитической ведомственной целевой программой "Развитие научного потенциала высшей школы", проект 2.1.1/1399.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities ^ J. Political Economy. 1973. 81. 659-683.
2. Merton R.C. The theory of rational option pricing У У Bell J. Economics and Management Sci. 1973. 4. 141-183.
3. Bjork T. Arbitrage theory in continuous time. Oxford: Oxford University Press, 2003.
4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.
5. Бутузов В.Ф., Кряжимский С.А., Неделько И.В. О глобальной области влияния устойчивых контрастных структур типа ступеньки в задаче Дирихле У У Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. 44, № 6. 1039-1061.
6. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Главная редакция физ.-мат. лит., 1971.
7. Шведов А.С. Применение метода конечных разностей для оценки финансовых инструментов ^ Экон. журн. ВШЭ. 2002. № 2. 193-216.
Поступила в редакцию 08.02.2010
УДК 511.36
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ НАД Qp ЗНАЧЕНИЙ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ТОЧКАХ ИЗ Cp
О.Ю. Баженова1, В. Г. Чирский2
Сформулированы общие теоремы об алгебраической независимости над Qp значений аналитических функции в точках из Cp и их приложения к конкретным примерам.
Ключевые слова: трансцендентность, p-адические числа.
The paper formulates general theorems on the algebraic independence over Qp of the values of analytic functions at points from Cp and their applications to particular examples.
Key words: transcendence, p-adic numbers.
Пусть Qp — пополнение поля Q по p-адической норме, Cp — пополнение алгебраического замыкания поля Qp. Вопросы алгебраической независимости элементов из Cp над Qp изучались в [1, 2]. Эффективное построение алгебраически независимых элементов было выполнено в [3] и продолжено в [4]. В работе [5]
1 Баженова Олеся Юрьевна — асп. каф. теории чисел матем. ф-та МПГУ, e-mail: [email protected].
2 Чирский Владимир Григорьевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
доказаны теоремы о трансцендентности и алгебраической независимости значений аналитических функций в точках из Ср частного вида. Цель данной работы — распространить результат [5] на точки из Ср класса, рассмотренного в [4].
Теорема 1. Пусть /(г) := ^те=1 Сг3 — некоторая аналитическая функция, такая, что С^ € Ър и С^ = 0 хотя бы для одного номера ] € М, и аг := ^£=1 ак,грГк, где ак,г € Ър, к = 1, 2,..., г = [1,ш], а неотрицательные рациональные числа гк образуют возрастающую и стремящуюся к при к ^ ж последовательность. Пусть
1) для любого По существуют натуральное число п ^ щ и числа п = щ < П2 < ... < Пт, такие,
что
,1 ••• аптл
5 — $ni,...,nm
— 0; (1)
2) для любого набора чисел n — U\ <n2 < ... < nm, удовлетворяющего неравенству (1), выполняется
ordpóni,..,nm ^ c(n), (2)
где c(n) удовлетворяет условию rn+i — c(n) ^ при n ^ ж;
3) для любого n число rn+i не является суммой никакой линейной комбинации чисел r\,...,rn с целыми коэффициентами и неположительного целого числа.
Тогда f (ai), i — [1,m], представляют собой алгебраически независимые над Qp элементы Cp. Замечание 1. То, что сами элементы ai G Cp являются алгебраически независимыми над Qp элементами, доказано в [4].
Доказательство. Ограничимся схемой доказательства.
Предположим, что любые m — 1 из рассматриваемых чисел f(ai), i — 1,...,m, являются алгебраически независимыми над Qp элементами поля Cp, но все m чисел алгебраически зависимы над Qp.
1. Пусть P(f (x\),f(xm)) — отличный от тождественного нуля многочлен с коэффициентами из Zp наименьшей степени по совокупности переменных (следовательно, неприводимый), такой, что
P (f (ai),...,f(cm)) — 0. (3)
По формуле Тейлора в точке (f (ai),..., f(am)), согласно (3), имеем
P (f (xi),..., f(xm)) — P ((f (x1) — f (ai)) + f (ai),..., (f (xm) — f (am)) + f (am)) — = P(/(ai), • • •, f(am)) + YZi |g(/(«i), • • •, /(on,))№i) " /(<*))+ +P *(f (xi) — f (ai),..., f(xm) — f (am)) — = YZi £№i), • • •, /(<*»))№*) - /Ы) + P*(f(xi) - /(ai),..., f(xm) - f(am)),
(4)
где Р*(/(Ж1) — /(а1),..., /(хт) — /(ат)) — многочлен с коэффициентами из Ср, который либо равен нулю тождественно, либо члены которого содержат произведения не менее чем двух величин (/(хг) — /(а)),
г = 1,...,ш.
2. Рассмотрим ^-(/(0:1),..., /(ат)). Отметим, что ^-(/(0:1),..., /(ат)) ф 0 для любого г = 1,..., т по построению Р(/(х\),..., /(хт)).
3. По формуле Тейлора для аг = У2=1 ак,гРГк + I]те=п+1 ак,гРГк и хг = ^!к=1 ак,гРГк получим
/(хг) — /(ац) = — ^ ак,гРГк/¡(а),
к=п+1
где функция /г(скг) = ^ ак^рГкУ 1 отлична от нуля по лемме 1 (см. [5]) и
оп1р(/(хг) — /(аг)) ^ Гп+1.
4. Из (4) следует, что
т те /те те \
Р(/(хг),...,/(хт)) = — ^ ак,гРГкАг + РМ — ^ акЛрГк/гЫ,...,— ак,тРГк/¡(ат)) , (5)
г=1 к=п+1 \ к=п+1 к=п+1 /
ani ,m . . . anm,m
где
Ai = Маг)^-(/(а г),f(am)) ф 0. (6)
Обозначим c¿ = ordpA¿, они представляют собой некоторые линейные комбинации чисел 1,ri, Г2,..., согласно (6). Обозначим ño наибольший из номеров k, таких, что входят в c¿ хотя бы для одного i.
5. Оценим порядок последнего слагаемого равенства (5). Нетрудно заметить, что по построению P*
, ■
ordp P* - ^ aMprfc/¿(ai),...,- ^ afc;mprfe/¡(атП ^ 2rra+b V V fc=ra+1 fc=ra+1 / /
6. Оценим ordp (- fc=n+1 afc,íPrfe . Имеем
m те
^ А = ^ рГк — ^ = ^ рГк 4,
г=1 &=га+1 й=га+1 \ г=1 / &=га+1
где использовано обозначение
т
4 = а^А». (7)
г=1
Пусть п > По (см. п. 4). Из условия 2 теоремы следует, что существует номер ПЦ, такой, что при п > пЦ выполняется
Гп+1 > с(п) + Со, где Со = тахс».
Пусть по > тгО, ПЦ. Рассмотрим соответствующие числа ,•••, . Среди них есть отличные от нуля, так как иначе А = 0, что противоречит (6). При произвольных щ = п < п2 < ... < пт, удовлетворяющих п. 1 теоремы, решим систему (7) линейных уравнений относительно переменных А». Числа —
линейные комбинации ^ с коэффициентами из Zp. Хотя бы одно из чисел п» удовлетворяет неравенству огёр4 ^ Со + с(п), согласно (2). Назовем его пд. Таким образом, огёр^п ^ Со + с(пд).
7. Рассмотрим V ^ пд. Величина г^ +огёр4 стремится к но, может быть, немонотонно. Однако на множестве V ^ пд она достигает наименьшего значения, и это наименьшее значение принимается лишь на конечном множестве значений V (иначе последовательность г^ + огёр4 не стремилась бы к бесконечности, вопреки доказанному). Положим число п +1 равным наибольшему из этих значений V. Тогда
те
о^р = г„+1 +огёр4+1.
&=га+1
По выбору пд будем иметь пд ^ п +1. Так как по условию теоремы величина с(п) возрастает, справедливо неравенство
огёр^га+1 ^ со + с(п*) ^ со + с(п + 1).
Таким образом,
те
о^р = г„+1 + огёр^га+1 < 2гга+1.
И порядок правой части равенства (5) равен гп+1 + огёр^га+ь Тогда и
огё^Р / ам/к ^ ,..., / ^^ = гга+1 + огёр4+1. (8)
Левая часть равенства (8) представляет собой линейные комбинации чисел Г1, ..., гп. Преобразовав равенство (8), получим
Гп+1 = огёр ^Р / ^^ ам/к ^ ,..., / ^^ ^ — огёр^га+1.
Заметим, что, согласно п. 4 и (7), огёр4+1 представляет собой линейную комбинацию чисел 1, Г1, Г2, ..., гП0. Кроме того, п > по. Значит, гп+1 является суммой линейной комбинации чисел Г1, ..., гп с целыми коэффициентами и неположительного целого числа, что противоречит п. 3 теоремы 1. Поэтому наше предположение неверно, и /(а») представляют собой алгебраически независимые над Qp элементы Ср, что и требовалось доказать. □
Теорема 2. Пусть Д(-г) : = 5^те=1 Сл,^^ — некоторые аналитические функции, такие, что Сл,^ € и Сл^ = 0 хотя бы для одного ] € М, Л = 1,...,1. Пусть эти функции алгебраически независимы над
Пусть а := ^£=1 удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда /л (а), Л = 1,...,1, представ-
ляют собой алгебраически независимые над Qp элементы Ср.
Замечание 2. Теорема 1 не является прямым следствием теоремы 2, поскольку доказана в случае произвольной, отличной от нуля функции /, а не только для трансцендентных функций.
Замечание 3. Доказанные теоремы могут быть применены к тем же функциям, что и теорема 2 из [5]. Отметим их справедливость для гипергеометрических рядов с рациональными значениями параметров и нулевым радиусом сходимости в комплексной области (при этом они будут иметь нулевой радиус сходимости в любом Ср), см. [6].
Другим следствием является приложение теорем к ^-базисным аналогам экспоненты
Eq(z) :=П(1 -
те
qv (1 - q) •••(1 - qj);
где q G С, \q\ > 1, и логарифма Lq(z) := гДе 9 S С.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Escassut A. Transcendence order over Qp in Cp // J. Number Theory. 1983. 16. 395-402. Correction. 1984. 19. 451.
2. Nishioka K. p-adic transcendental number // Proc. Amer. Math. Soc. 1990. 108. 39-41.
3. Чирский В.Г. Арифметические свойства рядов в полях с неархимедовыми нормированиями. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическим факультете МГУ, 2000.
4. Bundschuh P., Chirskii V.G. Algebraic independence of elements from Cp over Qp. 1 // Arch. Math. 2002. 79. 345-352.
5. Bundschuh P., Chirskii V.G. Algebraic independence of elements from Cp over Qp. 2 // Acta Arithm. 2004. 113, N 4. 309-326.
6. Salikhov V.Kh. Algebraic independence of values of hypergeometric E-functions // Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1989. 307. 284-287 (English transl.: Soviet Math. Dokl. 1990. 40. 71-74).
Поступила в редакцию 26.02.2010
j
z
z
УДК 517.98
ОБ ОДНОМ НОВОМ ПРИЕМЕ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ Э. Р. Акчурин1, Р. А. Минлос2
На примере известной модели Фридрихса продемонстрирован некоторый новый прием, позволяющий устанавливать существование волновых операторов.
Ключевые слова: модель Фридрихса, волновые операторы, метод Кука, метод Лапласа.
A new method allowing one to establish the existence of wave operators is demonstrated on the example of the well-known Friedrichs' model.
Key words: Friedrichs' model, wave operators, Cook's method, Laplace's method.
Цель настоящей работы — описать некоторый новый метод доказательства существования волновых операторов. Мы изложим этот метод на примере хорошо изученного класса самосопряженных операторов — так называемой модели Фридрихса [1—3]:
1 Акчурин Эльдар Рашитович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
2Минлос Роберт Адольфович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. лаб. № 4 Ин-та проблем передачи информации РАН, e-mail: [email protected].
