CC BY
6Заметим, что, согласно п. 4 и (7), ок\рйп+\ представляет собой линейную комбинацию чисел 1, г 1, Г2, ..., гП0. Кроме того, п > по. Значит, гп+1 является суммой линейной комбинации чисел Г1, ..., гп с целыми коэффициентами и неположительного целого числа, что противоречит п. 3 теоремы 1. Поэтому наше предположение неверно, и /(а) представляют собой алгебраически независимые над Qp элементы Ср, что и требовалось доказать. □
Теорема 2. Пусть /\(г) : = ^^=1 — некоторые аналитические функции, такие, что €
и Сх,з = 0 хотя бы для одного ] € М, Л = 1,...,1. Пусть эти функции алгебраически независимы над
Пусть щ := ^£=1 удовлетворяют условиям теоремы 1. Тогда /\(щ), Л = 1,...,1, представ-
ляют собой алгебраически независимые над Qp элементы Ср.
Замечание 2. Теорема 1 не является прямым следствием теоремы 2, поскольку доказана в случае произвольной, отличной от нуля функции /, а не только для трансцендентных функций.
Замечание 3. Доказанные теоремы могут быть применены к тем же функциям, что и теорема 2 из [5]. Отметим их справедливость для гипергеометрических рядов с рациональными значениями параметров и нулевым радиусом сходимости в комплексной области (при этом они будут иметь нулевой радиус сходимости в любом Ср), см. [6].
Другим следствием является приложение теорем к ^-базисным аналогам экспоненты
Eq(z) :=П(1 -
(эо
qv (1 - q) •••(1 - j
где q e C, \q\ > 1, и логарифма Lq(z) := Y<n=i гДе <7 G С.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Escassut A. Transcendence order over Qp in Cp // J. Number Theory. 1983. 16. 395-402. Correction. 1984. 19. 451.
2. Nishioka K. p-adic transcendental number // Proc. Amer. Math. Soc. 1990. 108. 39-41.
3. Чирский В.Г. Арифметические свойства рядов в полях с неархимедовыми нормированиями. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическим факультете МГУ, 2000.
4. Bundschuh P., Chirskii V.G. Algebraic independence of elements from Cp over Qp. 1 // Arch. Math. 2002. 79. 345-352.
5. Bundschuh P., Chirskii V.G. Algebraic independence of elements from Cp over Qp. 2 // Acta Arithm. 2004. 113, N 4. 309-326.
6. Salikhov V.Kh. Algebraic independence of values of hypergeometric E-functions // Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1989. 307. 284-287 (English transl.: Soviet Math. Dokl. 1990. 40. 71-74).
Поступила в редакцию 26.02.2010
j
z
z
УДК 517.98
ОБ ОДНОМ НОВОМ ПРИЕМЕ В ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ Э. Р. Акчурин1, Р. А. Минлос2
На примере известной модели Фридрихса продемонстрирован некоторый новый прием, позволяющий устанавливать существование волновых операторов.
Ключевые слова: модель Фридрихса, волновые операторы, метод Кука, метод Лапласа.
A new method allowing one to establish the existence of wave operators is demonstrated on the example of the well-known Friedrichs' model.
Key words: Friedrichs' model, wave operators, Cook's method, Laplace's method.
Цель настоящей работы — описать некоторый новый метод доказательства существования волновых операторов. Мы изложим этот метод на примере хорошо изученного класса самосопряженных операторов — так называемой модели Фридрихса [1—3]:
1 Акчурин Эльдар Рашитович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
2Минлос Роберт Адольфович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. лаб. № 4 Ин-та проблем передачи информации РАН, e-mail: [email protected].
14 ВМУ, математика, механика, № 6
(Af)(q) = u(q)f(q) + 0 / D(q, s)f(s) ds, f G L2(Rd),q G Rd.
J Rd
Будем предполагать, что и — вещественная, бесконечно дифференцируемая функция, ограниченная снизу и неограниченно растущая на бесконечности, а также что и имеет единственную критическую точку — точку невырожденного минимума qo (мы можем, не теряя общности, считать, что qo = 0). Некоторые дополнительные свойства и будут указаны ниже;
D является бесконечно дифференцируемой функцией, принадлежащей пространству S(Rd х Rd) [4] и удовлетворяющей условию D(q, s) = D(s,q);
параметр в > 0 предполагается достаточно малым.
Отметим, что новизна нашего метода заключается в том, что при применении метода Кука к обратному волновому оператору (что само по себе не ново, см., например, [5, 6]) мы используем тонкую аналитическую структуру резольвенты оператора A.
Обозначим через Ao оператор умножения на функцию и: (Aof)(q) = u(q)f (q).
Теорема. При d ^ 3 и указанных выше условиях оператор A унитарно эквивалентен оператору Ao. Доказательство. Мы докажем существование волновых операторов, т.е. пределов
W (A, Ao) = s-limt^eiíAe-iíAo, (1)
W (Ao, A) = s-limt^eiíA° e-itA. (2)
Из существования этих пределов будет следовать, что сужение A|hoc оператора A на его абсолютно непрерывное подпространство Hac унитарно эквивалентно оператору Ao, а также что у оператора A отсутствует дискретный спектр. Отсутствие сингулярного спектра у A вытекает (с привлечением известного критерия [7]) из приводимого ниже вида резольвенты Ra(z) = (A — zE)-1 оператора A. Таким образом, Hac = ¿2(Rd), откуда и следует наш результат.
Итак, переходим к доказательству существования пределов (1) и (2). Мы воспользуемся здесь методом Кука [8]. Докажем, что для любой функции н G S(Rd)
г <х
/ ||Ve-itAoHI dt < те, (3)
o
где
(Ve-itAoH)(q) = J D(q, s)e-itw(s)p(s) ds. (4)
С помощью метода стационарной фазы [9] установим, что интеграл (4) при достаточно большом t равен
£>(q, П(q,t)
1 td/2 + 1 + td/2+1 + 1' Здесь Ri — некоторая константа, а функция П удовлетворяет оценке
|n(q, t)| < C ■ max (D(q,s)^(s))|>,
s,a:|a|<feo
где С > 0 и ко — некоторые константы, а = (ai,..., a¿) — мультииндекс, |а| = таx¿{a:¿} и df =
dsi
В силу наших предположений относительно функций D и н имеем D(q, 0) G L2(Rd), а ||n(q,t)|| < const равномерно по t. Таким образом, (3) доказано и, поскольку S(Rd) всюду плотно в L2(Rd), установлено существование предела (1).
Докажем теперь существование предела (2). Опять применим метод Кука, а именно покажем, что функция ||Ve-iAtHl суммируема на бесконечности при любой функции н G S(Rd). Представим Ve-itAH в виде
Ve-itAH = V I e-izíRA(z)^dz, ■'y
где Ra — резольвента оператора A и интегрирование происходит по контуру y С C, обходящему спектр A по часовой стрелке. Величина Ve-itAoн имеет аналогичное представление, и, таким образом,
Ve-itAH — Ve-itAoн = V I e-izt(RA(z) — RAo(z))pdz. (5)
y
В силу (3) нам достаточно доказать, что || V(е г1А — е %гАо)^>|| — суммируемая функция по Ь. Как показано в [10], при малом в > 0 и й ^ 3 действие резольвенты Я^(г) на элемент ^ можно записать в виде
ШФМ = + [ *<«■'■'У" Л, (6)
ш(д) — г Ук* (ш(д) — г)(ш(в) —
где ядро К есть
*<* , „ = -т,.)+|(-1Г / ■ ■ ■ / Й «
причем ряд (7) сходится равномерно по г € П := С\[к, то) (здесь к = ттд ш(д)) в норме пространства ¡>а х Ма). Заметим, что первое слагаемое в (6) совпадает с Кд0(г)^>, и, таким образом, выражение (5)
В качестве контура 7 мы выберем две прямые := {г € С : г = х ± ге, ж € Ма}, е > 0, из которых 1+ проходится в положительном направлении, а 1_ — в противоположном. Каждый член ряда (8) запишется в виде суммы двух слагаемых:
представляется в виде
а* [■■■ [{-1)п+1(Зп+1 •■ П
V /
" } " ' У 4 ^ " И*) - *)И«') - г) Ц^М*) ~
При Ь > 0 интеграл по 1_ равен нулю в силу того, что подынтегральное выражение аналитично в нижней полуплоскости {г : 1т г < 0} и стремится на бесконечности достаточно быстро к нулю. Таким образом, интеграл (8) берется только по прямой 1+. Перепишем его для п-го члена ряда в виде
йх\[\ ¿вз Лхз е~и^х^£)6(х - ж,-) | 1)((1. з0)фп+1)
„•_п I ш(«7) — х7 — ге J
/В1 х(К1хК^)"+2 .=0 I ш(6'.7) — Ж
40=41 = ...=4П_1_1= 1
(9)
п+2 '
где £(•) — дельта-функция, а ^(зп+1, 8п+2) := 1 (множитель вп+1 мы для краткости опустили, но в самом конце его учтем). Введем функцию
п+1
... / Дд,«))-^^,81) ...^(5п,«п+1)^(«п+1) П ^ («,'),
-'^0 ^+1 .7=0
где Г^ = {8 : ш(з) = Л,} — поверхность уровня функции ш, — мера Гельфанда-Лере [11] на ней.
Здесь нам понадобится ввести следующие дополнительные предположения относительно функции ш. 1. Существуют такое целое число п ^ 1 и такие константы 0 < С1 < С2, ^ 0, что
С11д|п — В < ш(д) < С2|д|п + В (10)
и производные ш удовлетворяют оценкам
а
|даш(д)| < £(а)|д|п_£?=1 а, п — ^ а* ^ 0, (11)
г=1
где ^(а) > 0 — некоторая константа, зависящая от мультииндекса а = («1,..., аа).
15 ВМУ, математика, механика, №6
2. Существуют такое число М > 0 и такая окрестность нуля и С М^, что градиент
|Уи(д)| ^ М, если д е М^ \ и. (12)
3. Мера Гельфанда-Лере поверхности Г^ растет при Н ^ те по порядку не быстрее Н, точнее, V(Г^) ^ аН + Ь, где а, Ь — константы.
Из этих условий вытекает, что найдется такое целое к, что функция
/г* 1д12к + 1!
дважды дифференцируема и вместе со своими двумя первыми производными удовлетворяет оценке
/Т
\1<г\щ <-Го. С - константа, т = 0,1,2. (13)
к. 1 + Н2
Ниже для простоты мы будем предполагать, что Й = 3; случай нечетных Й > 3 рассматривается совершенно тем же способом, а случай четных Й ^ 4, хотя и требует небольших модификаций в оценках, исследуется по той же схеме.
Лемма 1. Функция К = К(д, Но,..., Нп+1) допускает представление
п+1
К(д, Но,..., Н„+1) = 5(д, Но,..., Н^) Д (Н, - к)+/2, (14)
.7=0
где (х)+/2 = 1 при х ^ 0 и (х)+/2 = 0 при ж < 0, а функция 5 = 5(д, Но,..., Нп+1) дважды дифференцируема по каждой переменной Н, и вместе со своими первыми производными удовлетворяет оценке
Ъ,з е М1, = 0,..., п + 1, |«К2, (15)
где а = (ао,..., ап+1) — мультииндекс, а С (а) и т > 0 суть некоторые константы.
Представление (14) и оценка (15) получаются из предположений относительно функций О и свойств (10)-(12) функции и и вытекающей из них оценки (13). При этом для значений Н, отделенных от к, следует применить формулы, выражающие производные от функций /^ вида
/^(Н) = / р(д) ^(д), ^ е 5(М3)
(их можно найти, например, в [11]). При Н, близких к к (т.е. при д ^ 0), следует воспользоваться леммой Морса [12] и представить функцию и в виде
и(д) = к + |д'|2, (16)
где д' = (д', д2, д3) — новые переменные, выражающиеся через прежние переменные д гладким образом.
1/2
Из представления (16) и возникают множители (Н, — к)+ в (14) (подробности можно найти в [13, 14]). Заметим, что, хотя разложение (14) определяет функцию 5 = 5(д, Но,...,Нп+1) только при Н, ^ к, ее можно продолжить на все значения переменных Н, с сохранением гладкости и оценки (15).
Рассмотрим преобразование Фурье функции К = К(д, Но,..., Нп+1) по переменным Но,..., Нп+1:
{• ^ п+1 «+1
./ [] е-^'^ К(д, Но,..., Н„+1 ) [] ЙН,. ,=о ,=о
Лемма 2. Функция К удовлетворяет оценке
~ ст п+1"+1 1
где С > 0 и т > 0 — некоторые константы.
Доказательство. Представим функцию К с помощью интегрирования по частям в виде
(Н, — к)+/2 ( д2 1 д ^
г "+1 К(í,ío,...,ín+i) = / П dh 7(ri)n+2 j=0
j e
+ 7777-^^ГГ S((l' ho,..., hn+1)
(-itj )2 № 2(hj - k)+ dhj
+
+ (18)
Преобразование Фурье произведения, отвечающего слагаемому в квадратных скобках, в силу оценки (15) не превосходит по абсолютной величине функции
n+i
где с > 0 — константа. А преобразование Фурье произведения, отвечающего последнему слагаемому в (18), оценивается функцией
с' /*те dT с''
Уw+iLw+m^^wrw' c">°-™ <20>
Здесь мы воспользовались тем фактом, что преобразование Фурье функции (h — к)+1/2 не превосходит C|t| —1/2, где C — константа [11], а также тем, что при преобразовании Фурье произведение функций переходит в свертку их преобразований Фурье. Таким образом, из (19) и (20) мы приходим к (17). Лемма 2 доказана.
Интеграл (9) с точностью до знака равен
/те /*те /*те
dx / ... dxo ... dxn+1 JJ e-itjXj x JJ ¿(ж — Xj) x
-<X> J — <X J — те j j
XL-L ufr-ib-to) d"<>-d"— <2i>
Внутренний интеграл, представляющий собой свертку функции К = К (q, ho,...,hn+i) с Л j (hj + ie) —1, после преобразования Фурье перейдет в функцию
К(q, to,..., Í„+1^(—2ni)e—£íje(t¿), (22)
j
где (—2ni)e—£Íe(t) — преобразование Фурье функции (h + ie) —1, в — функция Хевисайда (e(t) = 1 при t ^ 0 и e(t) =0 при t < 0).
Таким образом, выражение (21) после интегрирования по жо, ...,жп+1 и по ж примет вид свертки функции 2ni¿(to + ... + tn+1) с функцией (22),
ЧТО С ТОЧНОСТЬЮ ДО 3H£LK£L При £q — ... — tn-\-1 — n+2 Р^^НО
(—2ni)n+3 / ... К (q, To,..., r„+1) dro ... dr„+1.
J J{t0+...+Tn+i=t, Tj>o, j=o,...,n+1}
В силу оценки (17) гильбертова норма этого выражения не превосходит
С(2тгт)п+2\\(q2 + 1)_1|| [...[ Пл.п^П^
J J{t0+...+Tn+i=t, Tj>o,j=o,...,n+1} j (|Tj 1 + 1V j
Отсюда видно, что это выражение суммируемо по t > 0 и его интеграл по t равен
гте \ n+2
(/•те j \ i
L <ТгЫ
16 ВМУ, математика, механика, №6
Из этой оценки n-го члена ряда (8) для функции Ve мы видим, что при малых в > 0 функция || Ve-ttA^>|| суммируема по t на интервале (0, то). Таким образом, предел (2) существует. Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Friedrichs K.O. Uber die Spectralzerlegung eines Integraloperators // Math. Ann. 1938. 115, N 2. 249-272.
2. Фаддеев Л.Д. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1964. 73. 292-313.
3. Яфаев Д.Р. Математическая теория рассеяния. Общая теория. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1994.
4. Гельфанд И.М, Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Т. 2. М.: ИФМЛ, 1959.
5. Botvich D.D., Malyshev V.A. Unitary equivalence of temperature dynamics for ideal and locally perturbed Fermi gas // Communs Math. Phys. 1983. 91. 301-312.
6. Malyshev V.A. Convergence in the linked cluster theorem for many body fermion systems // Communs Math. Phys. 1988. 119. 501-508.
7. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. М.: Мир, 1982.
8. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 3. М.: Мир, 1982.
9. Федорюк М.В. Асимптотика. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987.
10. Angelescu N., Minlos R.A., Zagrebnov V.A. Lower spectral branches of a particle coupled to a Bose field // Rev. Math. Phys. 2005. 17, N 10. 1111-1142.
11. Гельфанд И.М, Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Т. 1. М.: ИФМЛ, 1959.
12. Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1965.
13. Boldrighini C., Minlos R.A., Nardi F.R., Pellegrinotti A. Asymptotic decay of correlations for a random walk in interaction with Markov field // Moscow Math. J. 2005. 5, N 3. 507-522.
14. Boldrighini C., Minlos R.A., Nardi F.R., Pellegrinotti A. Asymptotic decay of correlations for a random walk on the lattice Zd in interaction with Markov field // Moscow Math. J. 2008. 8, N 3. 419-431.
Поступила в редакцию 26.03.2010
