Алгебраическая независимость над q p значений аналитических функций в точках из c p Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 11 Выпуск 1 (2010)

Труды VII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной памяти профессора Анатолия Алексеевича Карацубы

УДК 511.36

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ НАД ЗНАЧЕНИЙ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В

The paper establishea certain general theorems about the algebraic independence over Qp of the valnes of analytic functions at points from Cp.

Keywords: transcendence, p—adic numbers.

Рассмотрим поле рациональных чисел. Оно обладает архимедовой нормой. Кроме того, для любого простого числа определено p-адическое нормирование поля рациональных чисел следующим образом:

Определение 1. Пусть с произвольное, отличное от нуля целое число. Назовем ordpC - кратность вхождения числа p в разложение с на простые множители.

Для любого рационального числа с = | положим ordpc = ordpa — ordpb. Для

p

Нетрудно проверить, что определенная таким образом величина обладает всеми свойствами нормы.

ALGEBRAIC INDEPENDENCE OVER Qp OF THE VALUES OF ANALYTIC FUNCTIONS AT POINTS FROM Cp

O. Yu. Bazhenova

p ordpa^ если a = o;

0 если a = 0.

Определение 2. Поле F называется нормированным, если для любого a Е F определе на, ||а|| — норм а, а:

1. ||а|| Е F, если а = 0, то ||а|| > 0 ||01 = 0;

2. ||аЬ| = ||а|| ■ ||Ь||;

3. ||а + Ь|| < ||а| + ||Ь||.

p

сильное неравенство

Такая норма называется неархимедовой. Пополнение О по р-адпчеекой норме называется полем ^аднчеекпх чисел Ор,

Рассмотрим алгебраическое замыкание поля Ор, Оно не полно. Обо-

значим Ср - пополнение алгебраического замыкания поля Ор, Тогда Ср алгебраически замкнуто.

Если рассматривать поле Ор как аналог поля М действительных чисел, то поле Ср может служить аналог ом поля С комплексных чисел, которое является алгебраическим расширением степени 2 поля М, Однако, Кумико Нпшнока в [5] доказала, что поле Ср является алгебраическим раеширепнем поля Ор бесконечной степени.

Таким образом, рассматриваемые в работе вопросы алгебраической независимости элементов поля Ср над Ор не являются традиционными для классической теории трансцендентных чисел.

Конечно, теория трансцендентных чисел в р-аднчеекой области получила меньшее развитие, чем теория трансцендентных чисел в комплексной области. Стоит только упомянуть Ш. Эрмита, Ф. Линдемана, К. Зигеля, А. Б. Шидлов-ского, А, И, Галочкина и их исследования в данном направлении.

Теория трансцендентных чисел в р-аднчеекой области берет свое начало с работы Малера [7] 1935 года, который сформулировал и доказал р-аднчеекпй аналог теоремы Гельфонда, Позднее в 1966 году Адамс [8] опубликовал статью, содержащую некоторый обзор этого вопроса.

Вопросы алгебраической независимости над Ор элементов Ср были освещены в работах А, Эскассо, П, Бундшу, В, Г, Чирского,

Эффективное построение алгебраически независимых элементов Ср над Ор были сделаны в работах [3], [4] П, Бундшу, В, Г, Чирского, В [2] были разработаны 2 типа базисов трансцендентности.

Для одного из них в [2] были доказаны алгебраическая независимость элементов

а + Ь||р < тах(ЦаЦр, ||Ь||Р).

(1)

к=0

где ак,г ^ %р, к = 1, 2,..., г = [1,ш], в [4] алгебраическая независимость значений аналитических функций fj (аг) в этих же точках.

Для другого типа построения в [1] были доказаны алгебраическая независимость элементов

где ак>г е Ър, к =1, 2,..., г = [1,ш].

В работе [3] доказаны теоремы о трансцендентности и алгебраической независимости значений аналитических функций в точках из Ср частного вида,.

Продолжая иссленования, мною в диссертации доказана алгебраическая независимость значений аналитических функции в точках второго типа. Цель данной работы обобщить результат [2] и [3].

Работа продолжает современные исследования отечественных и зарубежных математиков: В, Г, Чирского, И, Бундтпу. К, Нишиока и других, И является естественным обобщением результатов [2] и [3].

Сформулируем условие задачи.

Теорема 1. Пусть

7 = 1

некоторая аналитическая функция, в которой хотя, бы, для, одного С, е Ър, С, = 0 для любо го ] е N.

Пусть

где ак,1, ак,2, &к,ъ Ьк,2 е Ър, для любого к Гк = Гк + Ьк (к = 1, 2,...).

Пусть Гк и Гк неотрицательные рациональные числа образуют возрастающую и стремящуюся, к при к ^ то последовательность.

Пусть

1)для любого п0 существует натуральное число п > п0 и п = п1 < п2 < п3 < п4 такие, что

2)для любого набора чисел, п = п1 < п2 < п3 < п4, удовлетворяющего неравенству 5 = 0, выполняется

ог^р5 < с(п),

(2)

к=1

/(г) := £ С,г7

к=1 к=1

в := X! Ьк,1РГк, в := ^ Ьк,2РГк

к=1 к=1

ап3,1 а„3,2 р*"3 6„3,1 р*"3 Ьи3,2

ага4,1 а„4,2 р*"4Ьп4,1 р*"4Ь„4,2

где c(n) удовлетворяет условию rn+1 — c(n) ^ +то при n ^ то;

3) для, любого числа n число rn+i не является, суммой линейной комбинации чисел, г1,... ,rn и rl, f2, ..., ГПс целыми коэффициетнами и неположительного целого числа.

Тогда, f (а1), f (а2), f (в1)> f (в2) представляют собой алгебраически, независимые над Qp элементы, Cp.

Заметим, что числа а1; а2, въ в2 не являются точками типа (2), Но они так же являются алгебраически независимыми элементами поля Cp над пол ем Qp, Доказательство. Рассмотрим только схему доказательства. Доказательство будем вести от противного. Допустим, что f (а1) f(а2), f (в1) f (в2) ^^^^^^^^тескп завиеимымп над Qp элементами поля Cp

и выполняются все условия теоремы.

Для алгебраически зависимых элементов по определению существует отличный от тождественного нуля многочлен P (x1,x2,y1,y2) с коэффициентами из Qp наименьшей степени по совокупности переменных, а значит неприводимый, такой что:

p (f W,f M,f (e1),f (в2)) = 0.

При разложении многочлена по формуле Тейлора в точке (f (о^), f (а2), f (в1), f (в2)) равенство показателей не возможно за счет дискретности. Условия теоремы громоздки, но помогают выделить главные части многочлена в его разложении и обеспечивают невозможность равенства левых и правых частей, что приводит к противоречию.

Данную теорему можно обобщить на любое конечное число элементов а и

в

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Чирский В, Г, Арифметические свойства рядов в полях с неархимедовыми нормированиями // мех-мат факультет МГУ, Москва 2000,

[2] Bundschuh Р, and Chirskii V, G, Algebraic independence of elements from Cp over Qp, 1, Arch. Math. (Basel) 79 (2002), 345-352.

[3] Bundschuh P. and Chirskii V. G, Algebraic independence of elements from Cp

Qp

[4] Eseassut A, Transcendence order over Qp in Cp , J, Number Theory 16, 395-402 (1983) and (Correction) 19, 451 (1984),

[5] Nishioka K, p-adic transcendental numbers, Proc, Amer, Math, Sos, 108, 39-41 (1990).

[6] Salikhov V, Kh. Algebraic independence of values of hypergeometric E-functions, Dokl, Akad, Nauk SSSE 307 (1989), 284-287 (in Russian); English transl,: Soviet Math. Dokl. 40 (1990), 71-74.

[7] Mahler K. Uber transzendente p-adische Zahlen // Compos. Math. - 1935. - V.

2. - P. 259-275.

[8] Adams W, Transcendental numbers in the p-adic domain // Amer. J. Math. -1966. - V. 88. - 279-307.

Московский педагогический государственный университет Получено 13.05.2010