CC BY
12
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 22. Выпуск 2.
УДК 511.36 Б01 10.22405/2226-8383-2021-22-2-536-542
Значения гипергеометрических ^-рядов в полиадических лиувиллевых точках
Е. Ю. Юденкова
Юденкова Екатерина Юрьевна — аспирант, Московский педагогический государственный университет; Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ (г. Москва). e-mail: [email protected]
Аннотация
В настоящей работе доказывается бесконечная алгебраическая независимость значений гипергеометрических Р - рядов в полиадических лиувиллевых точках. Гипергеометрическая функция - это функция вида
П («1)„ ••• (аг )г
\ л у ^1 > п у > п „п
... шп ш
zn, |z| < 1.
( I.___I I ... . „, , r>-'
n=0 VK1/n
ряд это ряд вида — ^п=о ann!zn, коэффициенты которого ап удовлетворяют некоторым арифметическим свойствам. Эти ряды сходятся в поле <Ц>Р -р - адических чисел и их алгебрических расширений К. Полиадическое число - это ряд вида ^П=о апп!, ап € Z. Лиувиллево число - это вещественное число х такое, что для всех положительных челых чисел п существует бесконечное число пар целых чисел (р,д),д > 1 таких, что 0 < х — ^ < -1. Полиадическое лиувиллево число а обладает тем свойством, что для
любых чисел Р, И существует целое число |А| такое, что для всех простых чисел р < Р выполняется неравенство |а — А1р < А-П.
Ключевые слова: гипергеометрические -Р-ряды, полиадические лиувиллевы точки.
Библиография: 20 названий.
Для цитирования:
Е. Ю. Юденкова. Значения гипергеометрических F-рядов в полиадических лиувиллевых точках // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 2, с. 536-542.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 2.
UDC 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-2-536-542
Values of hypergeometric F-series at polyadic Liouvillea points
E. Yu. Yudenkova
Yudenkova Ekaterina Yurievna — graduate student, Moscow Pedagogical State University; Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (Moscow). e-mail: [email protected]
Abstract
This paper proves infinite algebraic independence of the values of hypergeometric F - series at polyadic Liouville points. Hypergeometric functions are defined for | z| < 1 by the power series:
^ (<*l)n ••• К)n n
¿0...Шпш .
F - series have form fn = ^о ann\zn whose coefficients an satisfy some arithmetic properties. These series converge in the field Qp of p - adic numbers and their algebraic extensions K. Polyadic number is a series of the form ^^0 ann\, an G Z. Liouville number is a real number x with the property that, for every positive integer n, there exist infinitely many pairs of integers (p, q) with q > 1 such that 0 < x — | < ^. The polyadic Liouville number a has the property
that for any numbers P, D there exists an integer |A| such that for all primes p < P the inequality |a — A|p < A-D.
Keywords: hypergeometric F-series, polyadic Liouville numbers.
Bibliography: 20 titles.
For citation:
E. Yu. Yudenkova, 2021, "Values of hypergeometric F-series at polyadic Liouvillea points", Cheby-shevskii sbornik, vol. 22, no. 2, pp. 536-542.
Введение
В данной работы доказывается бесконечная алгебраническая независимость гипергеометрических F - рядов в полиадических лиувиллевых точках. Символ Похгаммера определяется равенствами
( a)o = 1, ( a)n = a(a + 1)... (a + n — 1),n > 1 Дадим определение обобщенных гипергеометрических функций и F - ряда.
Определение 1. Пусть ai,Pj G C,bj = 0, —1, —2,... ,i = 1,... ,l,j = 1,... ,m, то функции вида
f( ч = ^ ( ai)n ... (ai)n (t\
) h(Pl)n ... (Pm)n\z)
tn
п=0
называются обобщёнными гипергеометрическими функциями. Определение 2. Ряд
те
/( г) = ^ апп\гп
п=0
принадлежит классу Р(К, с1, с2, с3, д), если его коэффициенты принадлежат полю К и удовлетворяют условиям
1. \а^\ = 0(ехр(с 1п)),п ^ те (где для алгебраического числа а символ обозначает наибольшую из абсолютных величин алгебраически сопряжённых с а чисел);
2. существует последовательность натуральных чисел — дп^,п, где д € М, такая, что йпа,к € ЪК, п — 0,1,2,... ,к — 0,1,... ,п.
При этом (10,п делятся только на простые числа р, не большие С2п, причём
огёр йо,п ^ 1о§р п + ^
Полиадическое лиувиллево число а обладает тем свойством, что для любых чисел Р, И существует целое число | А\ такое, что для всех простых чисел р < Р выполняется неравенство
-Б
\а — А\р < А
Настоящая работа развивает результаты В.Г.Чирского [8]. Перейдем к формулировкам утверждений. Пусть
те
£ — Е вь, (1)
к=0
где в^ € К, причем этот ряд сходится во всех полях К ,ь € Уо. Обозначим
п
®п — Е .
к=0
Для семейств вещественных чисел а — (а\,..., ат) и Ь — (Ь\,..., Ьт) будем использовать следующее обозначение
а ~ Ь
если существует перестановка г\,... ,гт чисел 1,... ,т такая, что bj — а^. € Ъ,] — 1,... ,т. Также под а + с понимается (а1 + с,..., ат + с).
Теорема 1. Пусть ряд
/« — Е ^^ <*>*. (2)
в котором множество
Б — ; А1,...,А8} ,г>в (3)
состоит из нецелых рациональных параметров, а
£ — г — 8
чётно (Ь — 2к) и для множества параметров Б выполнены следующие условия:
^г — ^ € Ъ,г — 1,...,1 + 8,] — 1,..., 8.
Пусть для всех й - общих делителей чисел £ и в - либо не выполняется соотношение + ^ « ~р, либо не выполняется соотношение А + | « А. Также пусть не выполняется ни одно из следующих условий:
1. если в — 0, то существуют х0,х1,... Хк-1 € С такие, что
(Д + жо) ^ ^0, —1 ,хь —Х1,...,хк-1, —хк-^ ;
2. если 8 > 0 - чётно (в = 2и), то существуют х0,х1,.. .Хк+3-1 € С такие, что либо
(¡Х+Хо) & ^0, - 2 ,Х1, -Х1, . . .,Хк+д-1 , -Хк + д-1^ , (Л + Хо) & (Хк+д, -Хк+д, ..., Хк+з-1, -Хк+3-1) ,
либо
(Д + Хо) & (Х1, -Х1, ..., Хк+д, -Хк+д) , (л + Хо) & — 2 ,Хк+д+1,, -Хк+д+1,, . . . , хk+s-1, —Хк+.в-^
3. если в > 0 - нечётно (в = 2и + 1), то существуют Х0, х1,... Х+зк-1 € С такие, что
(Д + Х0) & (0, Х1, -Х1, ..., Хк+д-1, -Хк + д-1) ,
(л + Хо) ~ 1 ,xk+q, -Х+д, ..., Xk+S-1, -Xk+s-1
Пусть £ - ряд (1), где вк - целые числа из поля К,у € У0. Пусть е > 0,0 < 5 < 1 и существует бесконечное множество номеров п таких, что для всех простых чисел , удовлетворяющих неравенству
р<т ехр(1п1+2е\ад (4)
и любого нормирования V, продолжающего р - адическое нормирование в поле К, выполняется неравенство
к - @пи < ехр(-(ехр(1п1+е \ад 1п1+2е \Щ),\вп\ > ехр(1п2+е \Щ) (5)
Тогда для любого многочлена Р(у 1,..., ут), коэффициенты которого - целые числа из поля К, не все равные нулю, существует бесконечное множество простых чисел р и нормирований V, продолжающих р - адическое нормирование в поле К такие, что в поле К выполняется неравенство
\Р(0\„ = \Р( Ж),№,...,¡(г-1)(0)и > 0.
Доказательство теоремы
Лемма 1. [8] Если параметры (3) являются 'рациональными числами, то соответствующий ряд (2) будет F - рядом.
Лемма 2. [8] Для любого множества параметров (3) ряд (2) представляет собой формальное решение линейного дифференциального уравнения:
Й( zi-1)) - * Й( + Ц) у = II чъ -1)
3=1 г=1 ) 3=1
Лемма 3. [8] При условиях теоремы 1. ряд f(z) является F - рядом. Теорема 2. Пусть F - ряды f\, f2,..., fm(z) составляют решение системы уравнений
т
y'i(z) = Qo,i(z)Y^ QjÄz)Vj (z), i = 1,...,m, 3 = 1
Qj,i(z) £ i = 1,... ,m,j = 0,... ,m. (6)
и алгебраически независимы над полем K(z). Пусть { - ряд вида (1). Пусть е > 0, 0 < ö < 1 и существует бесконечное множество номеров п таких, что для всех простых чисел р, удовлетворяющих неравенству
р < т exp(ln1+2e в|) (7)
и любого нормирования v, продолжающего р - адическое нормирование в поле K, выполняется неравенство
|£ - вга|„ < exp(-(exp(ln1+e |Щ) ln1+2e |Щ), |вга| > exp(ln2+e |Щ) (8)
Тогда для любого многочлена Р(у1,..., ут), коэффициенты которого - целые числа из поля K, не все равные нулю, существует бесконечное множество простых чисел р и нормирований v, продолжающих р - адическое нормирование в поле K такие, что в поле K, выполняется неравенство
ip(Ol, = (/1(е),/2(о,...,/т(е))и >о.
Доказательство теоремы 2 приведено в предыдущей статье [Чебышевский сборник, т.22, вып.2, «Бесконечная линейная и алгебраическая независимость значений F-рядов в полиадических лиувиллевых точках»].
Применение лемм 1 - 3 и теоремы 2 завершает доказательство теоремы 1.
Заключение
В настоящей работе была доказана бесконечная алгебраическая независимость значений гипергеометрических F - рядов в полиадических лиувиллевых точках.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Галочкин А. И. Об алгебраической независимости значений Е - функций в некоторых трансцендентных точках // Вестн. Московского университета. Сер. 1, Математика, механика. 1970. № 5. C. 58-63.
2. Bombieri E. On G - functions // Recent Progress in Analytic Number Theory. V. 2. London: Academic Press, 1981. P. 1-68.
3. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа // М. Наука. 1987.
4. Chirskii V. G. Product formula, global relations and polyadic integers // Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), 2019, vol. 26, no. 2, pp. 175-184.
5. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах ряда Эйлера // Вестник Московского университета. Сер. 1: Математика, механика. — Изд-во Моск. универстита (М), 2015. № 1. C. 59-61.
6. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Известия РАН. Серия математическая, 2017. Том 81, № 1. C. 215-232 DOI.
7. Чирский В. Г. Арифметические свойства обобщённых гипергеометрических F-рядов // Доклады Академии наук. — Изд-во Наука (М), 2018. Том 483, № 1. C. 257-259.
8. Chirskii V. G. Arithmetic Properties of Generalized Hypergeometric F - Series // Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), 2020, vol. 27, no. 2, pp. 175-184.
9. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Доклады Академии наук. — Изд-во Наука (М), 2014. Том 459, № 6. C. 677-679.
10. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах обобщённых гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами // Известия РАН. Серия математическая, 2014. Том 78, № 6. C. 193-210
11. Чирский В. Г. Оценки линейных форм и многочленов от совокупностей полиадических чисел // Чебышевский сборник. 2011. Том 12, № 4. С. 129-133.
12. Чирский В. Г. О глобальных соотношениях // Мат. заметки. 1990. Том 48, № 2. С. 123-127.
13. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Доклады Академии наук, математика. Наука (М). 2014. Том 459, № 6. С. 677-679.
14. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Известия РАН. Серия математическая. 2017. Том 81, выпуск 2. С. 215-232.
15. Чирский В. Г. О преобразованиях периодических последовательностей // Чебышевский сборник. 2016. Том 17, № 3. С. 180-185.
16. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических чисел // Чебышевский сборник. 2015. Том 16, № 1. С. 254-264.
17. Andre Y. Series Gevrey de type arithmetique. // Inst. Math., Jussieu.
18. Chirskii V. G. Arithmetic properties of Generalized Hypergeometric Series // Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation). 2020. Vol. 27, №2, pp. 175-184.
19. Matala-Aho T., Zudilin W. Euler factorial series and global relations. //J. Number Theory. 2018. 186, pp.202-210.
20. Bertrand D., Chirskii V. G., Yebbou Y. Effective estimates for global relations on Euler-type series // Ann. Fac. Sci. Toulouse. 2004. Vol. XIII, №2. pp. 241-260.
REFERENCES
1. Galochkin A.I. 1970, "On algebraic independence of the values of E - functions at certain transcendental points", Moscow University Mathematics Bulletin, iss. 1, no. 5, pp. 58-63.
2. Bombieri E., 1981, "On G - functions", Recent Progress in Analytic Number Theory, Academic Press (London), vol. 2, pp. 1-68.
3. Shidlovskii, A.B. 1989, "Transcendental numbers", Studies in mathematics, Walter de Gruyter (Berlin, New York), vol. 12
4. Chirskii V. G. 2019, "Product formula, global relations and polyadic integers", Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), 2019 vol. 26, no. 2, pp. 175-184.
5. Chirskii, V. G. 2015, "Arithmetic properties of Euler series", Moscow University Mathematics Bulletin, Allerton Press Inc.(United States), vol. 70, no. 1, pp. 41-43.
6. Chirskii, V. G. 2017, "Arithmetic properties of polyadic series with periodic coefficients", Izvestiya Mathematics, American Mathematical Society (United States), vol. 81, no. 2, pp. 444-461.
7. Chirskii, V. G. 2018, "Arithmetic properties of generalized hypergeometric F-series", Doklady Mathematics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), vol. 98, no. 3, pp. 589-591.
8. Chirskii V. G. Arithmetic Properties of Generalized Hypergeometric F - Series // Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), 2020, vol. 27, no. 2, pp. 175-184.
9. Chirskii, V. G. 2014, "Arithmetic properties of polyadic series with periodic coefficients", Doklady Mathematics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), vol. 90, no. 3, pp. 766-768.
10. Chirskii, V. G. 2014, "On the arithmetic properties of generalized hypergeometric series with irrational parameters", Izvestiya Mathematics, American Mathematical Society (United States), vol. 78, no. 6, pp. 1244-1260.
11. Chirskii, V. G. 2011, "Estimates of linear forms and polynomials in polyadic numbers", Chebyshevskii Sb., 12:4, pp.129-133.
12. Chirskii, V. G. 1990, "Global relations", Mat. Zametki, vol. 48, no. 2, pp. 123-127
13. Chirskii, V. G. 2014, "Arithmetic properties of polyadic series with periodic coefficients", Doklady Mathematics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation), vol. 90, no. 3, pp. 766-768.
14. Chirskii, V.,G. 2017, "Arithmetic properties of polyadic series with periodic coefficients", Izvestiya Mathematics, American Mathematical Society (United States), vol. 81, no. 2, pp. 444-461.
15. Chirskii, V. G. 2016, "On transformations of periodic sequences", Chebyshevskii Sb., vol. 17, no. 3, pp. 191-196.
16. Chirskii, V. G. 2015, "Arithmetic properties of polyadic integers", Chebyshevskii Sb., vol. 16, no. 1, pp. 254-264.
17. Andre Y. 2000, "Series Gevrey de type arithmetique", Annals of Mathematics, vol. 151, pp. 705-740
18. Chirskii V. G. Arithmetic properties of Generalized Hypergeometric Series // Russian Journal of Mathematical Physics, Maik Nauka/Interperiodica Publishing (Russian Federation). 2020. Vol. 27, №2, pp. 175-184.
19. Matala-Aho T. & Zudilin W. 2018, "Euler factorial series and global relations", J. Number Theory, vol. 186, pp. 202-210.
20. Bertrand, D., Chirskii, V. G. & Yebbou, Y. 2004, "Effective estimates for global relations on Euler-type series", Ann. Fac. Sci. Toulouse, vol. XIII, no. 2, pp. 241-260.
