Свойства элементов прямых произведений полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК

Том 20. Выпуск 2.

УДК 511.36

DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-2-383-390

Свойства элементов прямых произведений полей

В. Ю. Матвеев

Матвеев Владимир Юрьевич — аспирант кафедры теории чисел, Московский педагогический государственный университет (г. Москва). e-mail: [email protected]

В статье рассказано об арифметических свойствах значений некоторых ^-рядов. ^-ряд - это ряд вида

коэффициенты ап которого принадлежат некоторому алгебраическому полю К конечной степени над полем При этом наибольшая го абсолютных величин сопряженных с ап чисел не превосходит величину еСгП, п = 0,1,.... Кроме того, существует последовательность натуральных чисел ¿п = ¿о,п<1п, Ч € N такая, что йпаи € Zк, п = 0,1,..., к = 0,1,..., п. При этом ¿0,п делится только па простые числа р, р ^ С2п и

Устанавливается некоторая общая теорема, подобная теореме В.Х. Салпхова для Е-функций. Эта теорема дает условие алгебраической независимости над С(г) для ^-рядов, каждый из которых является решением линейного дифференциального уравнения первого порядка. Приведем примеры применения этой общей теоремы к некоторым гипергеометрическим рядам.

Полученные результаты позволяют применять общие теоремы В.Г. Чирского об арифметических свойствах значений ^-рядов.

В результате получено, что значения рассматриваемых рядов как в алгебраических точках, так и в полиадических точках, хорошо приближаемых натуральными числами, бесконечно алгебраически независимы.

В работе также упомянуты некоторые приложения полиадических и почти полиадических чисел к ряду задач.

Ключевые слова: Е - ряды, бесконечная алгебраическая независимость, полиадические числа.

Библиография: 26 названий.

Аннотация

Для цитирования:

В. Ю. Матвеев. Свойства элементов прямых произведений полей // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 2, с. 383-390.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. No. 2.

UDC 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-2-383-390

Properties of elements of direct products of fields

V. Yu. Matveev

Matveev Vladimir Yurievich — Postgraduate student, Department of Theory of Number, Moscow Pedagogical State University (Moscow). e-mail: [email protected]

Abstract

The paper describes certain arithmetic properties of values of F-series, i.e. of series of the form

E

n=0

an ■ n! zn.

Here an g K, a certain algebraic number field of a finite degree over Q. The maximum of the absolute values of the conjugates to an doesn't exceed eCin. Also there exists a sequence of rational integers

dn = do,nqn, q g N n = 0,1,. .. such that dnak g zk n = 0,1, .. ., k = 0, 1,... ,n. Meanwhile d0,n is divisible only by primes p, p < C2n and

ordpdo,„ < C3 ^log" + ^ .

Some general theorem is proved in analogy to Salikhov's theorem for the ^-functions.

It gives conditions of the algebraic independence over C(z) of a set of F-senes, each being a solution of a linear differential equation of the first order.

Certain applications to hypergeometric series are given.

The results allow to apply general theorems after V.G. Chirskii on the atrithmetic properties of the values of F-senes.

The result is that the values of the considered series at algebraic points, as well as at polyadic points, which are well approximable by rational integers, are infinitely algebraically independent.

The paper also mentions some applications of polyadic and almost polyadic numbers to some practical problems.

Keywords: F - series, infinite algebraic independence, polyadic numbers.

Bibliography: 26 titles.

For citation:

V. Yu. Matveev, 2019, "Properties of elements of direct products of fields" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 2, pp. 383-390.

1. Введение

Основные понятия теории полиадических чисел изложены в книге А. Г. Постникова [1]. Подробное изложение метода Зигеля-Шидловского содержится в книге А. Б. Шидловского [2]. Теория арифметических свойств ^-рядов рассматривается в работах [3]-[26].

2. Основная часть. Формулировки теорем

Назовем полиадическое число а алгебраическим, если существует отличный от нуля многочлен Р(х) с целыми коэффициентами такой, что полиадическое число Р(а) равно нулю, т.е. для любого простого числа р в кольце Ър выполнено равенство Р(а^р)) = 0.

Полиадическое число, которое не является алгебраическим, естественно называть трансцендентным, полиадическим числом. В этом случае для любого отличного от нуля многочлена Р (х) с целыми коэффициентами существует хотя бы од но простое число р такое, что в кольце Ър выполнено неравенство Р (а^р)) = 0.

Будем называть полиадическое число бесконечно трансцендентным, если для любого отличного от нуля многочлена Р(х) с целыми коэффициентами существует бесконечное множество простых чисел р таких, что в ко льце Ър выполнено нераве нство Р (а^р)) = 0.

Наконец, будем называть полиадическое число глобально трансцендентным,, если для любого отличного от нуля многочлена Р(х) с целыми коэффициентами и любого простого числа р в кольце Ър выполнено неравенство Р (а^У) = 0.

Отметим, что из бесконечной трансцендентности а не следует трансцендентность а*-р) хотя бы для одного простого числа р.

Назовем полиадические числа а\,..., ат алгебраически зависимым,и, если существует отличный от нуля многочлен Р(х\,..., хт) с целыми коэффициентами такой, что полиадическое число Р (а1,..., ат) равно нулю, т.е. для любого простого числа р в коль це Ър выполнено равенство Р (а!-,..., ат) = 0.

Полиадические числа а-\_,..., ат называются алгебраически независимым,и, если для любого отличного от нуля многочлена Р(ж1,... ,хт) с целыми коэффициентами существует хотя бы одно простое число р такое, что в кольце Ър выполнено неравенство Р(а^,..., а^т-) = 0.

Будем называть полиадические числа бесконечно алгебраически независим,ым,и, если для любого отличного от нуля многочлена Р(х1,... ,хт) с целыми коэффициентами существует бесконечное множество др0£<р][:)][Л£ х^д^^д р ^^^^^ ^^^ ^ ^^д^ц^ Ър ^^дфд^^^ф неравенство Р (а(?\...,а№) = 0.

Наконец, будем называть полиадические числа глобально алгебраически независим,ым,и, если для любого отличного от нуля многочлена Р(ж1,... ,хт) с целыми коэффициентами и любого простого числа р в коль це Ър выполнено неравенство Р (а1\ ..., а,т) = 0.

Термин почти полиадическое число использован для обозначения того случая, когда рассматриваемый ряд сходится во всех полях (р, кроме, быть может, конечного их числа.

Термины алгебраическое почти полиадическое число, трансцендентное почти полиадическое число, бесконечно трансцендентное почти полиадическое число, глобально трансцендентное почти полиадическое число,алгебраически зависимые почти полиадические числа, алгебраически независимые почти полиадические числа, бесконечно алгебраически независимые почти полиадические числа, глобально алгебраически независимые почти полиадические числа определяются аналогично.

Отметим, что из бесконечной трансцендентности а не следует трансцендентность хотя бы для одного простого числа р.

Теорема 1. Пусть

Ш,...,1т(г) (1)

представляют собой трансцендентные Р-ряды с целым,и коэффициентами, составляющие решение системы вида

Р1,г ^ + Ро,гУг = = 1,...,т гдеРо^€ ((г).

Пусть £ € Ъ, £ = 0 £ отлично от особых точек системы (2); а также выполняются следующие условия:

'Ро Лг) Ро, (3)

-У(Ш-ад, > =,

(5)

Тогда почти полиадические числа, а1 = ..., ¡т({) = ат бесконечно алгебраически неза-

висимы.

Пусть К - алгебраическое числовое поле конечной степени к над пол ем Q Теорема 2. Пусть

Ь(г),..., /т(г) (4)

представляют собой трансцендентные Р-ряды, с целым,и коэффициентами, составляющие решение системы вида,

Р\0'г + Ро,гУг = Яг,г = 1,...,т гдеРо^,Рl,i,Qi € ®(г), а также выполняются следующие условия:

- (/(РШ - £$)*)<(б>

Пусть - целые числа из К и

те п

с = Е ^' вга = Е

к=0 г=1

Пусть е > 0 0 < 5 < 1, й € N М = (т-г+а) и существует бесконечное множество номеров п таких, что для, всех простых чисел р таких, что р ^ ехр (1п1+2е | вга | ), и любого нормирования V, продолжающего р - одическое нормирование в поле К, выполнено неравенство

- в„|„ < ехр (- (М - 1 + 5) ехр (1п1+£ | в, | ) 1п1+2е | в^ | ) .

Пусть посл,едова,т,ел,ьност,ь Кп определена равенством,

1пКп = ¿ехр (1п1+£ | въ| ) 1п1+£ | въ | - С4ехр (1п1+£ | въ | ) 1п(1+е)/2 | въ| ,

где с4 = 2 + с5 при е ^ 1 и с4 = 2 щи е < 1, а,

С5 = М2 (с* 1о§р д* + 1.25с*2с*3 + 2с* + 5) .

по

дественного нуля многочлена Р (у1,..., ут) степени й по совокупности переменных с коэффициентам,и из Ък, высота которого И удовлетворяет условиям Кп-1 < И ^ Кп при п > п0,

| в^ | ^ р ^Мехр (1п1+£ |в^|)

и нормирование V, продолжающее р - одическое нормирование в поле К; т,а,кие, что в поле К

\Р (> Ч --п И + (-^ - И.)

= ехр (-В (И, Кп)).

Иным,и словам,и, ¡1(0,..., !т(0 бесконечно алгебраически независимые почти полиадические числа.

Пусть Ф(к, Ы) - N - кратное возведение в степень и пN = Ф(к, Ы).

к

Ф( к,М) = ¡^

N кратное возведение в степень

Следствие 1. Для любых натуральных чисел к, N и всякого простого числа, р ряд

те

£ = Е (пт)!

ит/

т=0

представляет собой трансцендентный над Q элемент, Ър и удовлетворяет условию теоремы 2.

Теорема 3. Пусть

Ь(г),..., /т(г) (7)

представляют собой трансцендентные Р-ряды с целым,и коэффициентами, составляющие решение системы вида

РгМ + Ро,гУг = Яг,г = 1,.. .,т где Ро,г,Р\,г,Яг е

Пусть выполняются следующие условия:

'Ро,г(г) Ро,з (г)

(8)

Ч/ Ш - с«. '=*

(9)

тогда ряды ¡\(г),..., /т(г) алгебраически независимы, над С(г).

Теорема 4. Почти полиадические числа, йг, определенные равенствами

те

^ аг

п=1

У] аг (аг + Ьг) ... (а^ + (п - 1) Ьг) = йг, (10)

где аг, Ьг е Ъ, (аг, Ь^ = 1, г = 1,..., т;

аг а] , ™ ■ / ■

Ъг - Ъ^ Ъ ^ 3 бесконечно алгебраически независимы.

Уточним теорему 4 в представляющем интерес частном случае.

Теорема 5. Для любого ненулевого многочлена Р(х) е Ъ[х] существует бесконечное множество непересекающихся интервалов (Рн(1пН), Рв(\пН)), где Рн(х), Рв(х) определены равенствами

Р»(х) = Ц ) , Р(х) =и ( ¡1 + 2(т + 3 + (т- 1С5) шх) \ 1пх \ (

- V I -г ^ 1

(1п (еЬ))

; в каждом, из этих интервалов содержится простое число р такое, что в поле 0_р элемент й е Qp, определенный равенством

1 + ¿Л(Л + 1)... (Л + (п - 1))#

п=1

удовлетворяет неравенству Р(й) = 0.

й

Теорема 6. Пусть числа а1, а2, а 3 определяются условиям и: при в ^ а1 выполнено 8 > (\А\ - 1) 1пз; при 8 ^ а2 выполнены неравенства 8 ^ а1 и (8 + 1)л/1п 8 ^ 1п(,§ + 1)е; при 8 ^ а3 выполнены неравенства 8 ^ а2 и 1п 8 > С1 + 3\/1п 8. Рассматриваем теперь последовательность в к € N такую, ч то ^ а3 и для каждого к ^ 1 выполняются неравенства,

еУ1п^ > а + Ь.

Тогда, от,резки

е4^ , а + Ь

, к = 1, 2, . . .

не пересекаются, и в каждом, из них есть простое число р такое, что в поле Qp выполнено неравенство.

те

а( а

га=1

1 + ^а(а + Ь)... (а + Ь(п - 1)) = 0 (11)

(г) Существует бесконечное множество полиадических чисел т3, в € N т,а,ких, что

£ = & + т8, р8 € N, & <С1 е4^ (12)

(п) Для всех простых чисел р, р ^ а + Ьв, выполнено неравенство

\Ч = \С - &\р < е-31п(13)

Тогда, существует бесконечное множество простых чисел р таких, что в поле Qp справедливо неравенство

те

1 + Е А (А + 1)... (А + (п - 1)) С = 0. (14)

га=1

к

к

N = ^ап ■ п!, ап € {0,1,... ,п},ак = 0

п=1

имеет вид

1п N

ШШ^ N ^

Количество вспомогательных вычислений, используемых в алгоритме полиадического разложения числа, N, имеет асимптотическую оценку с главным членом вида

1 / X 2

/ 1nN V \1п 1п N )

2 У1п1п- ' п ^

3. Заключение

В работе получены теоремы об арифметических свойствах значений некоторых Р- рядов. Кроме того указаны возможные приложения теории полиадических чисел, открывающие дальнейшие перспективы для исследований.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука, 1971.

2. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. М.: "Наука", 1987. 417 с.

3. Чирский В. Г. О нетривиальных глобальных соотношениях // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1989, Л*8 5. С. 33-36.

4. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций // Мат. заметки. 1992. Т. 52. № 2. С. 125-131.

5. Чирский В. Г. Оценки многочленов и линейных форм в прямых произведениях полей // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1994. № 4. С. 35-39.

6. Чирский В. Г. О глобальных соотношениях для гипергеометрических рядов //Труды семин. им. И. Г. Петровского. 1995, № 18. С. 204-212.

7. Чирский В. Г. О линейных глобальных соотношениях // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1998, № 4. С. 70-72.

8. Чирский В. Г., Шакиров Р. Ф. О представлении натуральных чисел с использованием нескольких оснований. М. Чебышевский сборник. 2013, № 1.

9. Chirskii V. G. On the arithmetic properties of polyadic integers // International Mathematical Forum. Vol. 8. 2013, no. 37, 1793-1796.

10. Чирский В. Г. Арифметические свойства целых полиадических чисел, 2015, Чебышевский сборник, том 16, вып. 1, с. 254-264.

11. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами, 2014, Доклады Академии наук, математика, т. 439, № 6, с. 677-679.

12. Чирский В. Г. Арифметические свойства обобщенных гипергеометрических F - рядов // Доклады Академии Наук, 2018, сер. Матем. т. 483, №3,257 259. Перевод Dokladv math.v.98, N.3, pp. 589-591.

13. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Известия РАН, 2017, т. 81, №2, с. 215-232. Перевод Izvestiva Math., v. 81, no. 2, pp. 444-461.

14. Chirskii V. G. Product forrmula, global relations snd polyadic numbers // Russian Journal of Mathematical Physics, 2019, v. 26, no. 3, pp. 286-305.

15. Chirskii V. G. Topical problems of the theory of transcendental numbers // Developments of approach ro thrir solutions in the works of Yu. V. Nesterenko. Russian Journal of Mathematical Physics, 2017, v. 24, no. 2, pp. 153-171.

16. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах обобщенных гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами // Изв. РАН. Сер. матем., 78:6 (2014), 193-210; Izv. Math., 78:6 (2014), 1244-1260.

17. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах ряда Эйлера // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2015, №1, 59-61; Moscow University Mathematics Bulletin, 70:1 (2015), 41-43.

18. Чирский В. Г., Матвеев В. Ю. О представлениях натуральных чисел // Вестник Московского университета, сер. 1, математика, механика. 2013. №6 с. 57-59; "Representations of positive integers", Moscow University Mathematics Bulletin, 68:6 (2013), 307^308.

19. Чирский В. Г., Матвеев В. Ю. О ряде из произведений членов арифметической прогрессии // Преподаватель 21 век, № 4, 2013.

20. Чирский В. Г., Матвеев В. Ю. О представлениях натуральных чисел // Чебышевский сборник, т. 14, вып. 1(45), 2013, с. 91-101.

21. Чирский В. Г., Матвеев В. Ю. О некоторых свойствах полиадических разложений // Чебышевский сборник, т. 14, вып. 2(46), 2013, с. 163-171.

22. Матвеев В. Ю. О значениях некоторого ряда в полиадических точках, хорошо приближаемых натуральными числами // Преподаватель 21 век, № 4, 2013.

23. Матвеев В. Ю. Алгебраическая независимость некоторых почти полиадических рядов // Чебышевский сборник, т. 16, вып. 3, 2015, с. 339-354.

24. Матвеев В. Ю. Алгебраическая независимость некоторых почти полиадических рядов // Чебышевский сборник, т. 17, вып. 3, 2016, с. 156-167.

25. Матвеев В. Ю. О бесконечной алгебраической независимости некоторых полиадических чисел // Материалы международной конференции «Математика и информатика», Москва, (13-17 марта 2016 года), с. 125-126.

26. Азаматов Т. Р. Эффективные оценки для обобщенных глобальных соотношений // УМН, 62:5(377) (2007), с.145-146.

Получено 18.05.2019 г.

Принято в печать 12.07.2019 г.