БЕСКОНЕЧНАЯ ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА ПОДМНОЖЕСТВО ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ЗНАЧЕНИЙ РЯДОВ ЭЙЛЕРОВА ТИПА С ПОЛИАДИЧЕСКИМ ЛИУВИЛЛЕВЫМПАРАМЕТРОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 23. Выпуск 1.

УДК 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-1-153-166

Бесконечная линейная независимость с ограничениями на

подмножество простых чисел значений рядов эйлерова типа с полиадическим лиувиллевым параметром

В. Г. Чирский

Чирский Владимир Григорьевич — доктор физико-математических наук, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова; Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации (г. Москва). e-mail: vgchirskiiQyandex. ru

Аннотация

Кольцом целых полиадических чисел называется прямое произведение колец целых р-адических чисел то всем простым числам р. Элементы в этого кольца, таким образом, можно рассматривать как бесконечномерные векторы, координаты которых в соответствующем кольце целых р-аднческпх чисел обозначаем Бесконечная линейная независимость полиадических чисел в\,..., вт означает, что для любой ненулевой линейной формы hlх1 + ... + hmxm с целыми коэффициентами hi,..., hm существует бесконечное множество простых чисел р таких, что в поле Qp выполняется неравенство

hie[p) + ... + hme$ = 0.

Вместе с тем, представляют интерес задачи, в которых рассматриваются простые числа только из некоторых собственных подмножеств множества простых чисел. Будем говорить в таком случае о бесконечной линейной независимости с ограничениями на указанное множество.

Каноническое представление элемента в кольца целых полиадических чисел имеет вид ряда

в ^^ апп\, ап € Z, 0 < ап < п.

п=0

Разумеется, ряд, члены которого — целые числа, сходящийся во всех полях р-адических чисел, представляет собой целое полиадическое число. Будем называть полиадическое число в полиадическим числом Лиувилля( или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел п и Р существует натуральное число А такое, что для всех простых чисел р , удовлетворяющих неравенству р < Р ,выполнено неравенство

\0 - А|р <А-п.

Здесь будет доказана бесконечная линейная независимость полиадических чисел

/с(1) = £(А)п,Л(1) = + 1)п.

=0 п=0

с ограничениями на множество ппостых чисел в совокупности арифметических прогрессий.

Важным аппаратом получения этого результата являются построенные в работе Ю.В. Нестеренко [4] аппроксимации Эрмита-Паде обобщенных гипергеометрических функций. Использован подход из работы Эрнвалл-Хитонен, Матала-Ахо, Сеппела [5].

Ключевые слова: полиадические числа Лиувилля, бесконечная линейная независимость с ограничениями на подмножество простых чисел .

Библиография: 17 названий. Для цитирования:

В. Г. Чирский. Бесконечная линейная независимость с ограничениями на подмножество простых чисел значений рядов эйлерова типа с полиадическим лиувиллевым параметром // Че-бышевский сборник, 2022, т. 23, вып. 1, с. 153-166.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 1.

UDC 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-1-153-166

Infinite linear independence with constraints on a subset of prime numbers of values of Eulerian-type SGF1GS with polyadic Liouville

parameter

V. G. Chirskii

Chirskii Vladimir Grirorevich — doctor of physical and mathematical sciences, Lomonosov Moscow State University, Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (Moscow). e-mail: vgchirskiiQyandex. ru

Abstract

A ring of polyadic integers is a direct product of rings of integer p-adic numbers over all primes p. The dements 9 of this ring can thus be considered as infinite-dimensional vectors whose coordinates in the corresponding ring of integer p-adic numbers are denoted by 9(p\ The infinite linear independence of polyadic numbers 0i,...,0m means that for any nonzero linear form h1x1 + ... + hmxm with integer coefficients hi,..., hm there is an infinite set of primes p such that in the field Qp the inequality

hi e[p) +... + hmo£) = o

holds. At the same time, problems in which primes are considered only from some proper subsets of the set of primes are of interest. In this case, we will talk about infinite linear independence with restrictions on the specified set. Canonical representation of the element 9 of the ring of polyadic integers has the form of a series

oo

9 ^^ annl, an € Z, 0 < an < n.

n=0

Of course, a series whose members are integers converging in all fields of p-adic numbers is a polyadic integer. We will call a polyadic number 9 a polyadic Liouville number (or a Liouville polyadic number) if for any numbers n mid P there exists a natural number A such that for all primes p satisfying the inequality p < P the inequality

\9 - A|p <A-n.

This work continues the development of the basic idea embedded in [15]. Here the infinite linear independence with restrictions on the set of prime numbers in the aggregate of arithmetic progressions, of polyadic numbers

/o(1) = ¿(A)n,/i(1) = ¿(A + 1),

will be proved. An important apparatus for obtaining this result are Hermite-Pade approximations of generalized hypergeometric functions constructed in the work of Yu.V. Nesterenko [4]. The approach from the work of Ernvall-Hytonen, Matala-Aho, Seppela [5] was used.

Keywords: polyadic Liouville number, infinite linear independence with restrictions on the subset of prime numbers.

Bibliography: 17 titles. For citation:

V. G. Chirskii, 2022, "Infinite linear independence with constraints on a subset of prime numbers of values of Eulerian-tvpe series with polyadic Liouville parameter" , Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 1, pp. 153-166.

1. Введение

Работа продолжает исследования, начатые в [1]-[3]. Во введении работы [3] приведена краткая история исследований арифметических свойств значений обобщенных гипергеометрических рядов. Предлагаемая работа касается более широкого класса, чем F-ряды. В ней соединены подходы, использованные в статье автора [2] и в работе [5].

Напомним, что кольцом целых полиадических чисел называется прямое произведение колец целых р-адических чисел по всем простым числам р. Элементы в этого кольца, таким образом, можно рассматривать как бесконечномерные векторы, координаты которых п соответствующем кольце целых р-адических чисел обозначаем 0(р). Бесконечная линейная независимость полиадических чисел в\,...,вт означает, что для любой ненулевой линейной формы h\X\ + ... + hmxm с целыми коэффициентами h\,..., hm существует бесконечное множество простых чисел р таких, что в поле Qp выполняется неравенство

hle^) + ... + hm = 0.

Вместе с тем, представляют интерес задачи, в которых рассматриваются простые числа только из некоторых собственных подмножеств множества простых чисел. Будем говорить в таком случае о бесконечной линейной независимости с ограничениями на указанное множество. Каноническое представление элемента в кольца целых полиадических чисел имеет вид ряда

те

в = ^ апп\, ап е Z, 0 < ап < п.

п=0

Разумеется, ряд, члены которого - целые числа, сходящийся во всех полях р-адических чисел, представляет собой целое полиадическое число. Будем называть полиадическое число в полиадическим числом Лиувилля( или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел п и Р существует натуральное число А такое, что для всех простых чисел р , удовлетворяющих неравенству р < Р выполнено неравенство

\в - А|р

Настоящая работа продолжает развитие заложенной в [2] основной идеи.

Здесь будет доказана бесконечная линейная независимость полиадических чисел

/о(А) = /1(А) = + 1)„Ага

п=0 га=0

с ограничениями на множество простых чисел в совокупности арифметических прогрессий. Важным аппаратом получения этого результата являются построенные в работе Ю.В. Нестеренко [4] аппроксимации Эрмита-Паде обобщенных гипергеометрических функций.

2. Формулировка основного результата

Пусть Ао = 0, пусть ^о -произвольное натуральное число. Положим

А1 = Ао + «1 = ехр(А1)

Пусть у1 -произвольное натуральное число, удовлетворяющее условию: для любого простого числа р < «1 + А1 + 1 выполняется неравенство

огд,р^1 > 2з11п «1

При к > 2 положим

Хк = Хк-1 + ^к-1,8к = ехр Хк (1)

и пусть натуральное число выбрано так, что для любого простого р < 8к+Хк+1 выполняется неравенство

огйрр,к > 2вк 1п вк. (2)

Пусть

те

А = ^ ^к (3)

к=0

Ряд (3) сходится в любом поле Qp согласно (1), (2) и его сумма в этом поле представляет собой целое р—адическое число. Более того, этот ряд представляет собой полиадическое число Лиувилля, так как

|А — \к|р <р-2^1п^ <\~к2зк.

для любого простого числа р < вк + \к + 1. Будем рассматривать ряды

те

/о(г) = £(А)„Л (4)

п=0 те

/!(*) = £(А + 1)„Л (5)

га=0

1

где А определено равенством (3). Ряды (4) и (5) сходятся в любом поле Qp при < рр-1. Нам потребуются вспомогательные ряды. При всех к положим

те

/о,к(г) = )тп, (6)

п=0

(г) = + 1)пгп. (7)

га=0

Коэффициенты этих рядов - натуральные числа, поэтому в любом поле Qp они сходятся при 1 " "

< рр-К

Пусть М — натуральное число. Рассмотрим приведенную систему вычетов по той(М). Как обычно, число элементов этой системы обозначается <р(М) , где <р(М) — функция Эйлера. Пусть произвольным образом выбраны г различных элементов а,1,... ,аг этой приведенной системы вычетов. Будем обозначать а1 ,... ,аг множества натуральных значений, принимаемых прогрессиями сц + Мк, к € ^^ ^^^^^^^^^ ^^^дартное обозначение Р для множества простых чисел, будем обозначать Р(а 1 ,... ,аг) множество простых чисел, входящих в объединение множеств а1 ,... ,аг.

Теорема. Пусть М > 3 , г > ^2f\ Тогда для, любых целых чисел h0,hi, не равных нулю одновременно, существует бесконечное множество простых чисел р из множества P (аi ,... ,аг) таких, что в поле Qp выполняется неравенство

\L(X)\P = |ho/o(A) + hifi(X)\p > 0. (8)

Отличие от теоремы от теоремы из [2] состоит в том, что в этой статье рассматриваются не все простые числа, а только числа из множества P(ai ,... ,аг). В свою очередь, отличие от теоремы 3 из [5] состоит в том, что в работе [5] параметр А не является полиадическим числом Лиувилля, а равен числу 1.

3. Доказательство теоремы

Следуя работе Ю.В. Нестеренко [4], обозначим

ai,k = Ak ,a2,k = 1

и для N = 2s + г, где г = 1 или г = 2 полагаем a^,k = ar,k + s> иными словами,

a2s+i,k = Хк + s,a.2S+2,k = 1 + s. (9)

Используя обычное обозначение

F(a,P,z) = ^ (а)га(^)га (10)

п=0

ПОЛОЖИМ

Обозначим, далее, и для любого N положим

fN,k (z) = F (aN+i,k ,aN+2,k z). uo,k (z) = fo,k (z),ui,k (z) = ai,k fi,k (z) (11)

UN,k(z) = ai,k ... aN,kzN ifN,k(z).

Таким образом,

и2з+1,к (г) = (Хк (в + 1,\к + 8 + 1, г), (12)

и2э+2,к (г) = (Хк )в+1(в + 1)! г2з+1Р (Хк + в + 1, в + 2, г). (13)

В упомянутой выше статье Ю.В. Нестеренко [4] установлено, что для любого N существуют многочлены Р^,г,к(¿0,2 = 0,1 такие, что выполняется равенство

им,к (г) = Рм,о,к (г)ио,к (г) + Рм,1,к (г)щ,к (г). (14)

При этом

Ро,о,к(г) = 1, Ро,1,к(г) = 0, ?1,о,к(г) = 0, Рц,к(г) = 1. (15)

В той же работе установлено, что при всех N справедливо равенство

им+2,к (г) = им+1,к(г) - ам+1,кгим,к(г)

и вытекающие из него соотношения

Рм+2,г,к (г) = Рм+1,г,к (?) - ®М+1,к zPN,í,k= 0, 1. (16)

(17)

Пусть

Д ( ) _ Рм,0,к (г) Рм,1,к(г) (г) _ (г) Рм+1Л,к(г)

Из равенств (15) получаем, что Д0,к(1) = 1, а равенства (16) дают рекуррентное соотно шение

Дм+1,к(г) _ ам+1,кгДм,к(г),

откуда

Дм,к(г) _ а1,к . ..ам,кгм.

Пусть К^,г _ 1, 2,... обозначают натуральные числа. Пусть Ci,i _ 1, 2,... обозначают положительные постоянные. Символом [ а] обозначаем целую часть числа а. По индукции, используя (9) и (16), доказывается следующая лемма.

Лемма 1. Существует К1 е N такое, что для всех к е М, к > К1; при в _ [«к] + 1 для многочленов Рм,1,к(%), N _ 2в + 1 или N _ 2в + 2, г _ 0,1 выполняются неравенства

\Рм,г,к( Ак)| < ехр(8 к 1п 8 к + С18кЛ/ 1п 8к)

и эти неравенства останутся верным,и при замене числа, N числом N + 1.

Лемма 2. Пусть к е N к > К2,где К2 — эффективная постоянная, 8 е N причем $ _ [к] + 1- Тогда, для, N _ 2в + 1 или N _ 2в + 2 справедливы неравенства

П \им,к ( Хк )\р < ехр(-2 8к 1п 8к + С2 8к л/1п 8к, ) (18)

где произведение в левой части этого неравенство взято по всем, простым числам р из множества Р(а 1 ,... ,Ог), удовлетворяющим неравенствам

ехр(У1п~^) <р< вк + Хк + 1. (19)

^(8 + 1,Хк + 8 + 1, 1), ^(Хк + 8 + 1,8 + 2, 1) р

N _ 2в + 1, так и для N _ 28 + 2 имеем

Ык(1)\р <\( Хк)8+1(з + 1)!\р

и, следовательно,

П Ык(1)\р < П\( Хк)8+1(з + 1)!\р , (20)

р р

ны ( Хкк+1(8к + 1)! на простые множители входят только простые числа р с условием Р < « к + Хк + 1. Рассмотрим

П\( Хк к+1(5 к + 1)!\р ,

р

где произведение взято по всем простым числам р из любого множества _ 1,... ,г. Так как

( Хк + в к)!

( Хк к+1 _

( Х/, - 1)!

р-адическая норма этого числа равна

Р( р-1 р-1 } =ехр(- —^-(зк + 1 + БХк-1 - вхк+8к)).

р — 1

р-адическая норма числа (вк + 1)! равна

Вк +1-Я8к + 1 1П р

р р-1 =ехр(---(вк + 1 - ^+1)).

Р - 1

В этих формулах Бн обозначает сумму цифр р-ичного разложения числа N. Очевидны неравенства

1 < ^ < (р - 1)(к^р Ю + 1.

В итоге произведение (Хк)«к+1(з& + 1)! имеет р-адическую норму, равную

1п п

ехр(--^(2(в* + 1) + БХк-1 - вХк+8к - ^к+0)

Р - 1

и, следовательно, выполняется неравенство

ln р р — 1

Из (21)следует, что

\(Afc)Sk+i(sk + 1)!\р < exp(—(2sk — C3 ln sk)). (21)

П \(AfcU+i^k + 1)!\p < exp(— £ ^(2sfc — C3 lnSfc)), (22)

p p ^

где произведение и сумма взяты по всем простым числам р из множества P(ai ,... ,аг), удовлетворяющим неравенствам (19). Используем равенство

1-1 = £ f+Е in ж ^ ) = £ln Р

р * Р р Р

Р — 1 ^ Р ^ р(р — 1) V Р

а также известную оценку (см.[6] стр. 129)

Е(1у ) = ^1п - + °(1),-

где суммирование ведется по всем простым числам р < х, принадлежащим множеству щ значений любой из рассматриваемых арифметических прогрессий. Поэтому, согласно (22),

гр

П|(А*)я+1(в + 1)!|р < ехр(-2 —гщ8к 1п8к + С5зк) (23)

где произведение взято по всем простым числам р из множества Р(а 1 ,... ,аг), удовлетворяющим неравенствам (19).

Оценим снизу произведение

П + 1)!|р (24)

р

взятое по всем простым числам р , удовлетворяющим неравенству

Р < ехр д/1п вк. (25)

Простое число р входит в разложение (в + 1)! в степени

5 + 1 - Зр(в + 1) р — 1 '

где символ Зр(з + 1) обозначает сумму цифр р—ичного разложения числа 5 + 1. Очевидно, что Зр(з + 1) < (р — 1)(^р(з + 1) + 1). В произведение

( А^+1 = (\к + 1)... (\к + з) =

\к + 5 — Зр(\к +8) \к — 1 — Зр(\к — 1) 8к

-1---;- < -7 + С6 iOg„ 8к.

Р — 1 р — 1 р — 1 р

Это означает, что в произведение ( \к+ 1)! это простое число р входит в степени, не превышающей

-- + С7 log„sfc.

р — 1 р

Поэтому для произведения (24) имеем оценку снизу

П |( )в+1(в + 1)!|р > ехр(— £ +С7logpSfc)), (26)

р р ^

где произведение и сумма взяты по всем простым числам р, удовлетворяющим неравенству (25). Используя равенство

^ 1п р ^1п р ^ 1 ^1п р

е ^ =Е -у+Е1п -у+с8,

и следующую из (25) оценку

С7£ 1п < С7 л/ 1п вк ехр л/1п вк,

р

оценим сумму

V 1пр(^\ + С71ogp зк) < 25к + 2Сззк + С7 ехр(Уъ^) 1п 8к. (27)

1

р р Известно, что

) = 1пх + 0(1),х ^то,

р<х ^

где суммирование ведется по всем простым числам р < х. Поэтому при к > К4 выполнено неравенство

2 8 ^ —-

< 2 в к 1п(ехр д/1п в к) + С9 вк = 2 вк\/ 1п вк + С9 вк (28)

р Р

Поэтому, ввиду неравенств (25)(27),(28), при к > К5 имеем

^ + С7 1пзк) < 2зк^/1п8к + Сювк. (29)

1

Из неравенств (26) и (29) сразу следует, что

П 1( Хк)*+1 ( « + 1)!|р > ехр —(25Лл/Ы^ + Сю8к) (30)

р

где произведение взято по всем простым числам р, удовлетворяющим неравенству (25). Нера-

к > К6

П 1( Хк )*+!( 8 + 1)!|р < ехр(—2 5 к М) 1п 8к + С5 8к + 2 8к л/1п 8к + Сюв к) <

г

< ехр(—2§ к ,Л/Гл 1п 8 к + С11 ^д/^)), -(М)

где произведение взято по всем простым числам р из множества Р(а 1 .. ,аг), удовлетворяющим неравенствам (19). Но тогда из неравенства (20) следует, что при условиях, что К2 — наибольшее из чисел К1,К3,... ,К6 и к > К2, а С2 = С11,

П 1и^,к(1)|р < ехр(—2-(М) 1п+ С3вк\/1п,вк).

где произведение взято по всем простым числам р из множества Р(а 1 .. ,аг), удовлетворяющим неравенствам (19). Неравенство (18) и лемма доказаны. Вместе с линейной формой

Ьк = НоЬ,к (1) + Ь1Ь,к (1) (31)

с целыми коэффициентами Но,Ь,1, шах(|ко|, |Ла|) = к рассмотрим линейную форму вида

I к = ХкРк = Хк (ко/о,к(1) + к1/1,к(1)) и приведем ее к удобному для дальнейшего виду

Хк НоЩ,к(1) + к1и1ук (1),

используя равенства (11) и равенство а.\ к = Хк- Таким образом, рассматриваем линейную форму

Iк = Ноио,к(1)+ Н^к(1), шах(|Яо|, = кХк = Н(к). (32)

Из равенств (15) и (17) следует, что А^,к(1) = 0. Поскольку форма 1к ненулевая, хотя бы один из определителей

N+1,к

Но Н1

Рм+1,о,к (1) РИ+1,1,к (1)

$М,к =

(33)

Но Н1

Рм,о,к (1) Рм,1,к (1),

отличен от 0. Без ограничения общности считаем, что определитель (33), 5м,к = 0. Ввиду следствия леммы 1, этот выбор N не повлияет на оценку

15м,к| < 2Н(к) ехр(§ к 1п8 к + С18к\/ 1п). Так как Н(к) = кХк, ввиду равенств (1) и (2) при к > К7 = К7(к) получаем оценку

15м,к|< ехр(вк 1пвк + С12вкл/ 1пвк) (34)

Заметим, что все выбираемые далее постоянные К будут, тем самым, зависеть от К . Это не будет специально отмечаться. Далее проделаем с определителем 5^,к такие преобразования: умножим его первый столбец на величину ио,к(1) и прибавим к первому столбцу полученн-ного определителя его второй столбец, умноженный на и\}к(1)- С учетом равенств (32) и (14) получаем

1к Н1

ии,к(1) Ри,1,к (1),

(35)

$N,k Uo,k (1) = Иными словами,

$N,kU0,k(1) = lkPN,l,k(1) - UN,k(1)Hl (36)

По аналогии с (35) и (36) получаем равенство

$N,k Ul,k(1) = - kPN,0,k (1) +UN,k (1)H (37)

Из равенств (6),(7) и (11) следует, что при всех к

U0,k (z) = 1 + ZUi,k (z),

следовательно, U0,k(1) — U1,k(1) = 1, откуда, с учетом (36), (37) получаем

sN,k = h ( PN,l,k (1) + PN,0,k (1)) — UN,k (1)(H + H\). (38)

Лемма 3. Пусть к € N, к > К%. Тогда существует простое число pk из множества Pfa1;... ,аг), удовлетворяющее неравенствам (19), для которого справедливы оценки

*Рк

> exp(—sk ln sk — C12SkVln Sk) (39)

1Рк|Рк > ехр(-§ к 1п8 к - С^к\/ 1п8к) (40)

Доказательство. Предположим противное, т.е. что для всех простых чисел р из множества Р(а 1 ,... ,аг), удовлетворяющих неравенствам (19), имеем неравенство

11к|р < ехр(-к 1п 8 к - С121п вк)

Из отличия от нуля определителя (33), того факта, что коэффициент при форме Iк — целое число и известного для отличных от нуля целых чисел А неравенства

|А1» > ¡А

11к ^ < | ЬыМр .

Тогда равенство (38) означает, согласно известным свойствам р-адического нормирования, что

|$м,к|р = Ы,к(1)(Но + Нl)|p .

Но + Н1

|§м,к|р < (1)|р .

Поэтому, так как §м,к — целое число, произведение по всем рассматриваемым простым числам р величин 1|р не меньше, чем произведение этих величин по всем простым числам р , а

так как этот определитель - отличное от нуля целое число, и, значит,можно использовать равенство |А|р = щ, получаем, согласно (34),

ÖN,k |p > exp-(s к ln s к + С\2\! ln sk).

ip р

С другой стороны, по лемме 2 имеет место неравенство

П^а (1)|р < exp(-2 sk ln sk + Ci SkV ln sk).

p

Полученные оценки противоречат друг другу при к > Kg, что опровергает сделанное пред-

k

Р(аi,... ,аг), удовлетворяющем неравенствам (19). Поскольку lk, определенная равенством (32), отличается от Lk, определенной равенством (31), лишь множителем Xk = ln Sk , из неравенства (39) следует неравенство (40) и лемма 3 доказана.

В лемме 3 доказано, что для любого к > Kg существует простое число pk, удовлетворяющее неравенствам

exp д/ln sk < Pk < sk + ln sk + 1

такое, что выполнено неравенство (40), т.е.

|Lk U = Iho fo,k (1) + hifi,k (1)U > exp(-Sk ln s k - Ci3s ^ ln Sk). Рассмотрим линейную форму

L = ho/o(1) + hifi(1).

k

L -Lk = ho/o(1) + hi/i(1) - (hofo,k (1) + hifi,k (1)) pk

те

/с(1) - fo,k(1) = £(( Л)п - (Xk)n)

п=0

те

л(1) - (1) = Е((л + !)п - (Лк + 1)п).

п=0

При п = 0 обе разности (Л)п — (Лк)п, (Л + 1)п — (Лк + 1)п равны 0. Обозначим Лк = Л — Лк. При

п > 1 обе эти разности являются целыми £>к~аДическими числами, членами сходящегося в QPfc ряда. Каждое из этих чисел можно представить в виде произведения Лк на целое рк-адическое число, член сходящегося в QPfc ряда. Из равенств (1),(3) и неравенства (2) вытекает,что

Это означает, что

|ЛкL = IßklPk <P~k2sklnSfc. I/o(1) -fa,k(1)l№ <Л|pfc < Pk2sk lnSfc

и

|/i(1) - /i,k(1)|pfc <^k|pfc <Pk2sk lnSfc.

Следовательно,

|L - LkU = |ho(fo(1) - /o,k(1)) + hi(fi(1) - /i,k(1))|pfc < Pk2sk ln(41)

Неравенства (40),(41) означают, что при к > К9 получаем:

|Ь - Ьк\рк < \Ьк\рк .

Поэтому

Шрк = \Ьк\рк ,

то есть

|Ко/о(1) + ^¡1(1)^ = ^о/о^(1) + ^¡1,1,(1)^ > ехр(-вк 1пвк -С138к\/ 1п8к).

к > К1о

неравенство рк < Рк+1 ■ Для этого, ввиду (19), достаточно доказать, что при к > К14 выполняется неравенство

8 к + 1п8 к + 1 < ехр .

Согласно (1) и (2) \к+1 = Хк + Цк > Цк и

Цк > П ехр1пр(2вк 1пвк)=ехр ^ 1пр(2вк 1п) > ехр4.

Р<«к+1п «к + 1 Р^к +1п Як+1

(Здесь была использована грубая оценка

£ lnp - }

Таким образом,

следовательно,

p<sk +ln sk+1

sk+1 = exp Xk+i - exp ßk, ln s k+i - ßk - exp sk, л/ln sk+i - exp1 sk,

exp л/ln s k+i - exp(exp 2s k) > sk + ln s k + 1,

что и требовалось доказать. Таким образом, доказано, что для любой линейной формы Ь = Ко/о(1) + К ¡1 (1). существует бесконечное множество чисел к и простых чисел рк , для которых |Ь|Рк = 0, что и утверждалось в теореме.

4. Заключение

Дальнейшим развитием этой работы будут результаты о бесконечной линейной независимости с ограничениями на множество простых чисел значений гипергеометрических рядов более общего вида. Кроме того, планируется модифицировать обобщённый метод Зигеля-Шидловского и использовать его для более широкого класса, чем F—ряды, теория которых(а также теория полиадических чисел Лиувилля) изложена в работах [7]-[15].

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чирский В. Г. Арифметические свойства рядов эйлерова типа с полиадическим лиувил-левым параметром.// Доклады Академии наук, сер. матем.информ. проц. управл.т.494, с. 69-70.( Английский перевод Chiskii V. G., Arithmetic Properties of Euler-Type Series with a Liouvillean Polvadic Parameter. Dokl. Math. 2020.-v.l02,no.2. pp.412-413.)

2. Chirskii V. G. Arithmetic Properties of an Euler-Tvpe Series with Polvadic Liouvillean Parameter.//Russ.J.Math.Phys.2021,- v.28, no.3, pp.294-302.

3. Чирский B.L. Арифметические свойства значений в полиадической лиувиллевой точке рядов с полиадическим лиувиллевым параметром.//Чебышевский сборник,том 22, выпуск 3,с. 156 167

4. Нестеренко Ю.В. Приближения Эрмита-Паде обобщенных гипергеометрических функций.//Матем.сб.-1994.-т.185.-по.З.-с.39-72.(Англий перевод Nesterenko Yu. V.. Hermite-Pade approximants of generalized hvpergeometric functions.//Russ.Acad.Sci.Sb.Math. -1995.-83.-189-219)

5. Ernvall-Hytonen A.-M., Matala-aho T.,Seppela L. Euler's divergent series in arithmetic progressions//J.Integer Sequences,v.22.-2019.-Article 19.2.2,10pp.

6. Прахар К. Распределение простых чисел. М.-"Мир".-1967.-512с.

7. Bertrand D., Chiskii V., Yebbou J.. Effective estimates for global relations on Euler-tvpe series.//Ann. Fac. Sci. Toulouse, v.13,no.2,2004,pp.241-260.

8. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа.-M.: «Наука».-1987.-448 с.(Английский перевод: Andrei B.Shidlovskii. Transcendental Numbers. W.de Gruvter.-Berlin.-New York.-1989.-467pp.).

9. Чирский B.L. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами. // Доклады Академии наук, сер. матем.т.459, по. 6, 677-678.( Английский перевод Chirskii V. G., Arithmetic properties of polvadic series with periodic coefficients. Dokl. Math. 90(3), pp. 766-768(2014))

10. Чирский В. L. Арифметические свойства обобщённых гипергеометрических F-рядов.// Доклады Академии наук, сер. матем.т.483, по. 3, 257-258.( Английский перевод V.G. Chirskii, Arithmetic properties of generalized hvpergeometric F- series. Dokl. Math. 98:3, 589-591 (2018).)

11. Matala-aho Т., Zudilin W., Euler factorial series and global relations, J. Number Theory 186 (2018), 202-210.

12. Chirskii V. G. Product Formula, Global Relations and Polvadic Integers // Russ. J. Math. Phvs. 2019,- v.26, no.3, pp.286-305.

F

Phvs. 2020,- v.27, no.2, pp.175-184.

14. Чирский B.L. Полиадические числа Лиувилля.//Чебышевский сборник,том 22, выпуск 3,с. 245 - 255

15. Чирский В. L. О полиадических числах Лиувилля.//Чебышевский сборник,том 22, выпуск 5,с. 243 - 251

REFERENCES

1. Chirskii V. G., 2020"Arithmetic Properties of Euler-Tvpe Series with a Liouvillean Polvadic Parameter", Dokl. Math., Vol.102,no.2. pp.412-413.

2. Chirskii V. G. 2021, "Arithmetic Properties of an Euler-Tvpe Series with Polvadic Liouvillean Parameter", Russ.J.Math.Phys., Vol.28, no.3, pp.294-302.

3. Chirskii V. G. 2021," Arithmetic Properties of Values at Polvadic Liouvilleanan Point of an Euler-Tvpe Series with Polvadic Liouvillean Parameter", Chebyshevsky sbornik, Vol. 22, no.3, pp.156-167.

4. Nesterenko Yu. V. 1995. "Hermite-Pade approximants of generalized hvpergeometric functions", Russ.Acad.Sci.Sb.Math.,Vol83. pp.189-219.

5. Ernvall-Hvtonen A-M., Matala-ahoT.,Seppela L.,2019. " Euler's divergent series in arithmetic progressions", J.Integer Sequences,v.22.-2019.-Article 19.2.2,10pp

6. Prachar K. 1957 "Primzahlverteilung", Springer- Verlag.-Berlin.-Gottingen.-Heidelberg , 512 pp..

7. Bertrand D., Chirskii V. G., Yebbou J. 2004. " Effective estimates for global relations on Euler-tvpe series", Ann. Fac. Sci. Toulouse, Vol.13,no.2, pp.241-260.

8. Shidlovskii, A. B.1989." Transcendental Numbers", W.de Gruyter.-Berlin.-New York.467pp. Matveev V. Yu. 2018 " Algebraic independence of certain almost polvadic series", Chebyshevsky sbornik, Vol. 17, no.3, pp.156-167.

9. Chirskii V. G. 2014. " Arithmetic properties of polvadic series with periodic coefficients", Dokl. Math. Vol. 90, no.3, pp. 766-768.

10. Chirskii V. G. 2018. " Arithmetic properties of generalized hvpergeometric F- series", Dokl. Math. Vol. 98, no.3, pp.589-591.

11. Matala-aho T. , Zudilin W.V.2018. "Euler factorial series and global relations", J. Number Theory Vol. 186, pp. 202-210.

12. Chirskii V. G. 2019, "Product Formula, Global Relations and Polvadic Integers", Russ. J. Math. Phys. , Vol.26, no.3, pp.286-305.

F

Math. Phys., Vol.27, no.2, pp.175-184.

F

pp.245-255.

15. Chirskii V. G.2020. "On Polvadic Liouville numbers" , Chebyshevsky sbornik, Vol. 22, no.5, pp.243-251.

Получено 7.12.2021 г. Принято в печать 27.02.2022 г.