CC BY
3
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 22. Выпуск 5.
УДК 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-5-243-251
О полиадических числах Лиувилля1
В. Г. Чирский
Чирский Владимир Григорьевич — доктор физико-математических наук, доцент, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, РАНХиГС (г. Москва). e-mail: vgchirskiiQyandex. ru
Аннотация
Объекты, названные в этой работе полиадическими числами Лиувилля, рассматриваются относительно недавно.
Каноническое разложение полиадического числа А имеет вид
А ^^ апп\, ап € Z, 0 < ап < п.
п=0
Этот ряд сходится в любом поле р— адическнх чисел Qp .
Будем называть полиадическое число А полиадическим числом Лиувилля( или лиувил-левым полиадическим числом), если для любых чисел пи Р существует натуральное число А такое, что для всех простых чисел р , удовлетворяющих неравенству р < Р выполнено неравенство
|А — А|р
Обозначим, для натурального то
к
Ф (к,т) = кк"'
результат последовательного то— кратного возведения в степень. Пусть
пт = Ф(&, то)
и пусть
а ^ У^(пт)!.
т=0
Теорема 1. Для любого натурального числа к > 2 и любого простого числа р ряд а сходится к трансцендентному элемент,у кольца Ър. Иными словами, полиадическое число а глобально трансцендентное.
Ключевые слова: полиадическое число,полиадическое число Лиувилля.
Библиография: 16 названий.
Для цитирования:
В. Г. Чирский. О полиадических числах Лиувилля. // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 5, с. 243-251.
1 Работа выполнена при поддержке проекта Ведущие научные школы МГУ.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 5.
UDC 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-5-243-251
On Polyadic Liouville numbers
V. G. Chirskii
Chirskii Vladimir Grigor'evich — doctor of physical and mathematical sciences, associate professor, Lomonosov Moscow State University, RANEPA (Moscow). e-mail: vgchirskiiQyandex. ru
Abstract
We study here polyadic Liouville numbers, which are involved in a series of recent papers. The canonic expansion of a polyadic number A is of the form
w
A ^^ ann\, an € Z, 0 < an < n.
This series converges in any field of p— adic numb ers Qp .
We call a polyadic number A a polyadic Liouville number, if for any n mid P there exists a positive integer A such that for all primes p satisfying p < P the inequality
|A — A|p
holds.
Let k > 2 be a integer. We denote for a positive integer m
k
§(k,m) = kk"'
Let
nm = m)
and let
a =
m=0
Theorem 1. For any positive integer k > 2 and any prime number p the series a converges to a transcendental element of the ring Zp. In other words, the polyadic number a is globally transcendental.
Keywords: polyadic number,polyadic Liouville number,
Bibliography: 16 titles.
For citation:
V. G. Chirskii, 2021, "Polyadic Liouville numbers", Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 5, pp. 243 251.
1. Введение
Работа относится к теории трансцендентных чисел в неархимедовски нормированных областях и непосредственно продолжает работу [1].
Краткая история вопроса и описание ссылок [1]-[17] приведены в [1]. Напомним, что каноническое разложение полиадического числа Л имеет вид
оо
Л = ^ апп\, ап е Z, 0 < ап < п.
п=0
Разумеется, ряд, члены которого - целые числа, сходящийся во всех полях р— адических чисел, представляет собой целое полиадическое число.
Напомним, что кольцом целых полиадических чисел называется прямое произведение колец целых р— адических чисел по всем простым числам р. Элементы Л этого кольца, таким образом, можно рассматривать как бесконечномерные векторы, координаты которых п соответствующем кольце целых р— адических чисел обозначаем А(р). Это позволяет ввести понятия алгебраического, трансцендентного, бесконечно трансцендентного и глобально трансцендентного полиадического числа, а также понятия алгебраической зависимости, алгебраической независимости, бесконечной алгебраической независимости и глобальной алгебраической независимости совокупности полиадических чисел, см. [9].
Будем называть полиадическое число Л полиадическим числом Лиувилля( или лиувил-левым полиадическим числом), если для любых чисел п и Р существует натуральное число А такое, что для всех простых чисел ^удовлетворяющих неравенству р < Р выполнено неравенство
|А —
Точнее говоря, следовало бы писать
А(р) - А
< А~
однако мы условимся, что при рассмотрении поля р—адических чисел под символом А подразумевается сумма А(р)этого ряда.
р
2. Основные результаты
Пусть к > 2 натуральное число. Пусть Ф(к, 1) = к, Ф(к, 2) = кк и, для натурального т результат последовательного т— кратного возведения в степень. Иными словами,
Ф(к,т + 1)= кф(к'т) (1)
Пусть
пт = Ф(к,т) (2)
и пусть
те
а = £ (пт)\. (3)
т=0
Теорема 1. Для любого натурального числа, к > 2 и любого простого числа, р ряд (3)сходится, к трансцендентному элементу кольца, Zv. Иным,и словам,и, полиадическое число (3) глобально трансцендентное.
Доказательство. Рассмотрим произвольное простое число р. Обозначим
N
Ам (4)
т=0 те
1™ьт)
Гм = ^ (пт)\. (5)
т=К +1
Докажем, что при N > N0 выполняется неравенство
1Р < , (6)
где ^(И)— некоторая функция, стремящаяся к + го при N ^ го. Из определений (2) и (5) следует, что
|р = 1Ф(к,М + 1)!|р .
Кроме того,из (1), (2), (4) очевидно следует неравенство
1АМ| < 2Ф(к,М)!. (7)
Из равенства (1) также следует, что
Ф(к,М + 1) > 2ф(к'м) (8)
(равенство достигается при к = 2). Используем известное равенство
м-вм
|М !|р = р р-1 ,
в котором М — произвольное натуральное число, а Бм —сумма ци фр р— ичного разложения числа М. Из него следует, что
М (р-1) М М
|М!|р < р р-1 р р-1 = р р-1 М. (9)
Таким образом, зафиксировав к, получаем
Ф (к,Ы+1)
^ = Щк^ + 1)!|р = + 1)!|р < Р~ р-1 Ф(к,Ы + 1). (10)
Для того, чтобы доказать неравенство (6) достаточно, ввиду (7),(10) доказать, что
р Ф(к,И + 1) < (2(Ф(к, И)!)-^).
Это неравенство равносильно неравенству
Ф(к,Ы + 1— 1пФ(к,Ы + 1) > ^(Ы)1п(2Ф(к,Ы)!). (11)
Р — 1
Используем очевидное неравенство 1п а! < а 1п а и получим, что неравенство (11) следует из неравенства
Ф(к, N + 1)-^ — 1п Ф(к, N + 1) > 2^(Ы)Ф(к, N) 1п(2Ф(Л, М)). (12)
Р — 1
Рассмотрим функцию Она возрастает при Поэтому если
1п р ^_ _ ^
р — 1
и — 1
X >
1п р
Ф(к,Ы + 1) , (13)
1п р
то, согласно (8), неравенство (12) следует из неравенства
2Ф(к,м— ф(к, м) 1п 2 > )Ф(к, N) 1п(2Ф(к, N)). (14)
Р — 1
Так как
2ф(к'м) ^ — Ф(к,И) 1п 2 2Ф(к,М) 1п(2Ф(к,М)) * +Ж
при N ^ ж, неравенства (13),(14) выполняются при N > N0, если в качестве функции выбрана, например, величина
2ф(к'м) ^ — Ф(к,И) 1п2
4Ф(к,Ы) 1п(2Ф(к,Ы)) .
Осталось применить теорему 1 из работы [1], формулировка которой приведена ниже. □
Теорема(Теорема 1.из [1] ) Полиадическое число Лиувилля является трансцендентным, элементом любого поля Qp. Иным,и словам,и, полиадическое число Лиувилля - глобально трансцедентное число.
Пусть т— натуральное число. Обозначим
Ф(Ж) = Ф(К, [^]), (15)
где символ [^] = I обозначает целую часть числа Для любого натурального числа N пусть N = 1т + г и пусть для каждого г = 0,1,..., т, — 1
<х
а.г = ^ Ф(кт + г)!. (16)
к=0
Пусть, также,
I
Аг,м = ^ ^(кт + г)! (17)
к=0 <х
Гг}М = ^ Ъ(кт + I)!. (18)
к=1+1
Теорема 2. Полиадические числа, = 0,1, ...,т — 1 глобально алгебраически независимы.
При доказательстве этой теоремы существенно используется такое утверждение. Теорема (Теорема 3.[1]) Пусть всех г = 1, ...,т
<х
Щ
^Чп,аг,п е N (19)
п=0
N
= ^ Чп (20)
п=0 те
Гг,М = ^ йг,м (21)
га=М +1
Пусть для простого числа, р при N > Ир, где Мр- натуральное число, зависящее от, р, выполнены, неравенства
\гьМ\ < ( тах АьМ)-^(м),1 = 1,-,т, (22)
' г=1,...,т
где 7Р(^) ^ при N ^ Кроме того, пусть
1п \гггмI 1п \гт,мI 11т —-= 0, г = 1,... 0, т - 1. 11т —-—^ =0 23
N ^+те 1п\П+1,М\р М^+те 1п\Г1,м+1\р
Тогда, ряды, (19) сходятся, к алгебраически независимым элементам Zp.
Следствие. Если условия этой теоремы выполнены, для любого простого числа, р то ряды, (19) - глобально алгебраически независимые полиадические числа,.
Докажем, что при условиях теоремы 2 выполняется условие (22) теоремы 3 [1]. Как и в доказательстве теоремы 1, ввиду (18) выполняется оценка
= ^Ф(кт + г)! < 2Ф(/т + г)!. (24)
к=0
Точно так же,согласно (19)
\ \р = \ Ф((* + 1)Ш + i)!\р . (25)
Проверим для чисел (16)-(18) выполнение условий (19)- (23) теоремы 3 из [1]. Для проверки условия (22) достаточно доказать, что для достаточно больших I выполняется неравенство
\ Гом\Р < (Ат-1М+т-1)-^(1) (26)
где 7р(/) ^ при I ^
Как в (7) и (10), ввиду (24) и (25)
\ гом \ Р = \ Ф((* + 1)ш)! \ р, Ат-1М+т-1 < 2Ф(1т + т - 1)!. Поэтому неравенство (26) следует из неравенства
\ Ф((/ + 1)ш)!\р < (2Ф(1т + т - 1)!)-7р(0
Ввиду (9), оно следует из неравенства
ехр(——ФМ + 1)ш) + 1пФ((/ + 1)ш)) < ехр(—7„(Л 1п(2Ф(/т + т - 1)!)). (27) р - 1
В свою очередь, неравенство (27) следует из грубого неравенства 1п р
2(р - 1)
Ф((/ + 1)ш) > чР(1)(2Ф(1т + т - 1)) 1п(2Ф(/т + т - 1)) (28)
N
По определению (15),
Ф((/ + 1)т = Ф((1 + 1)т, I + 1), Ф(1т + m - 1) = Ф(1т + m - 1,1) и из определения функции Ф(к,М) сразу следует, что
2Ф(1т, + m - 1)) 1п(2Ф(/т + m - 1)
Ф((1 + 1)т,1 + 1)
->■ 0
при I ^ Поэтому выполнение условия (28)с соответствующей функцией Jp(l) очевидно. Проверка асимптотических равенств (23)сводится к проверке соотношений
1п |Ф(/т + г)!|„
11т , ,Т', -, ,г = 0,1,...,ш - 1,
1п |Ф(/т + г + 1)!|р
справедливость которых очевидным образом следует из определения (15). Теорема доказана.
3. Заключение
Полученные результаты будут полезны при исследовании арифметических свойств полиадических рядов, коэффициенты которых связаны с полиадическими числами Лиувилля. Это относится как к развитию метода Зигеля-Шидловского, так и к применениям аппроксимаций Эрмита-Паде первого и второго рода.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Чирский В. Г. Арифметические свойства значений в полиадической лиувиллевой точке рядов эйлерова типа с полиадическим лиувиллевым параметром.//Чебышевский сборник.-2021,-т. 22,- вып. 2.-е. 304 - 312
2. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа.-М.: «Наука».-1987.-448 с.(Английский пере-вод:[3] Andrei B.Shidlovskii. Transcendental Numbers. W.de Gruyter.-Berlin.-New York.-1989.-467 pp.).
3. Adams W. On the algebraic independence of certain Liouville numbers.//J.Pure and Appl. Algebra.-1978.-13.-pp.41-47.
4. Waldschmidt M. Indépendance algebrique de nombres de Liouville.//Lect.Notes Math.-1990.-1415.-pp.225-235.
5. Чирский В. Г. Арифметические свойства рядов эйлерова типа с полиадическим лиувиллевым параметром.// Доклады Академии наук, сер. матем.информ. проц. управл.-2020.-т.494, с. 69-70.
6. Чирский В. Г. Арифметические свойства значений в полиадической лиувиллевой точке рядов эйлерова типа с полиадическим лиувиллевым параметром.//Чебышевский сборник.-2021,-т. 22,- вып. 2.-е. 304 - 312
7. Чирский В. Г. Обобщение понятия глобального соотношения.//Труды по теории чисел. Зап.научн.сем.ПОМП.-322.-ПОМП,Спб.-2005. с. 220-232.
8. Чирский В.Г.О рядах, алгебраически независимых во всех локальных полях.//Вестн. Моск. ун-та. Сер. Матем.,мех.-1994.-№3.-с. 93-95.
9. Chirskii V. G. Product Formula, Global Relations and Polvadic Integers. // Russ. J. Math. Phvs.2019.- v.26, № 3, pp. 286-305.
10. Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hyper geometric F- series. / / Russ. J. Math. Phvs. 2020,- v.27, № 2, pp.175-184.
11. Юденкова Е.Ю. Арифметические свойства рядов некоторых классов в полиадической лиувиллевой точке.//Чебышевский сборник.-2021.-т. 22.- вып. 2.-е. 304 - 312.
12. Юденкова Е.Ю. Бесконечная линейная и алгебраическая независимость знгачений F-рядов в полиадических лиувиллевых точках.//Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 2, с. 334 - 346.
13. Матвеев В.Ю., Алгебраическая независимость некоторых почти полиадических рядов// Чебышевский сборник.-2018, т.17, вып. 3, с. 156 - 167.
14. Матвеев В. Ю., Свойства элементов прямых произведений полей// Чебышевский сборник. 2019, т.20, вып. 2, с. 383 - 390.
15. Крупицын Е.С. Арифметические свойства рядов некоторых классов. // Чебышевский сборник. 2019, т. 20, вып. 2, с. 374 - 382.
16. Самсонов А. С. Арифметические свойства элементов прямых произведений р-адических полей II. // Чебышевский сборник. 2021, т. 22, вып. 2, с. 334 - 346.
17. Муньос Васкес А. X. Арифметические свойства некоторых гипергеометрических F-рядов. // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 2, с. 519 - 527.
REFERENCES
1. Chirskii V. G., 2021, "On Polvadic Liouville numbers", Chebyshevsky sbornik, Vol. 22, № 3, pp. 245-255.
2. Shidlovskii, A. B.1989." Transcendental Numbers", W.de Gruyter.-Berlin.-New York. 467 pp.
3. Adams. W., 1990, "On the algebraic independence of certain Liouville numbers", J.Pure and Appl.Algebra., Vol. 13, pp. 41-47.
4. Waldschmidt. M., 1990, "Indépendance algebrique de nombres de Liouville.",Lect.Notes Math., Vol. 1415, pp. 225-235.
5. Chirskii V. G., 2020, "Arithmetic Properties of Euler-Tvpe Series with a Liouvillean Polvadic Parameter", Dokl. Math., Vol. 102, № 2, pp. 412-413.
6. Chirskii V. G., 2021, " Arithmetic properties of values at polvadic Liouvillean point of Euler-tvpe series with polvadic Liouvillean parameter", Chebyshevsky sbornik, Vol. 22, № 2, pp. 304-312.
7. Chirskii V.G., 2006, "Generalization of the Notion of a Global Relation", (J. Math. Sci(N.Y)), Vol.137, № 2, pp. 4744-4754.
8. Chirskii V. G., 1994, "Qn series which are algebraically independent in all local fields", /Vestn.Mosc.univ.Ser.l.,Math.,mech.), № 3, pp. 93-95.
9. Chirskii V. G., 2019, "Product Formula, Global Relations and Polvadic Integers", Russ. J. Math. Phys., Vol.26, № 3, pp. 286-305.
10. Chirskii V. G., 2020, " Arithmetic properties of generalized hvpergeometric F- series", Russ. J. Math. Phys., Vol.27, № 2, pp. 175-184.
11. Yudenkova E.Yu., 2021, " Arithmetic properties of series of certain classes at polvadic Liouvillean point", Chebyshevsky sbornik, Vol. 22, № 2, pp. 304-312
12. Yudenkova E.Yu., 2021, " Infinite linear and algebraic independence pf values of F-series at polvadic Liouvillean point", Chebyshevsky sbornik, Vol. 22, № 2, pp. 334-346.
13. Matveev V. Yu., 2016, " Algebraic independence of certain almost polvadic series", Chebyshevsky sbornik, Vol. 17, № 3, pp. 156-167.
14. Matveev V.Yu., 2019, " Properties of elements of direct products of fields", Chebyshevsky sbornik, Vol. 20, № 2, pp. 383-390.
15. Krupitsin E. S., 2019, " Arithmetic properties of series of certain classes", Chebyshevsky sbornik, Vol. 20, № 2, pp. 374-382.
16. Samsonov A. S., 2021, " Arithmetic properties of elements of direct products of p-adic fields II", Chebyshevsky sbornik, Vol. 22, № 2, pp. 236-256.
17. Munjos Vaskes A.H., 2021, " Arithmetic properties of certain hvpergeometric F-series", Chebyshevsky sbornik, Vol. 22, № 2, pp. 519-527.
Получено 23.08.2021 г. Принято в печать 21.12.2021 г.
