ПОЛИАДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА ЛИУВИЛЛЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 22. Выпуск 3.

УДК 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-3-245-255

Полиадические числа Лиувилля1

В. Г. Чирский

Чирский Владимир Григорьевич — доктор физико-математических наук, профессор, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, РАНХиГС (г. Москва). e-mail: vgchirskii@yandex.ru

Аннотация

Объекты, названные в этой работе полиадическими числами Лиувилля, рассматриваются относительно недавно. Они представляют собой важную составляющую часть работ автора о бесконечной линейной независимости полиадических чисел

ib(A) = ^(A)„A",/i(A) = + 1)„А"

где А представляет собой некоторое полиадическое лиувиллево число. Как обычно, символ Похгаммера обозначается (-у)п , по определению, (7)0 = 1 , а при п > 1 имеем (■у)п = 7(7 + 1)...(7 + п — 1). Рассматриваемые ряды сходятся в любом поле Qp. Параметром рассматриваемых рядов типа Эйлера является полиадическое чмсло Лиувилля и значения рядов рассматриваются в полиадической точке Лиувилля.

Отметим работы Е.С. Крупицына, где установлены оценки многочленов от совокупностей полиадических чисел Лиувилля и работы Е.Ю. Юденковой, в которых значения -Р-рядов рассматриваются в полиадических точках Лиувилля.

Напоним, что каноническое разложение полиадического числа А имеет вид

А апп\, ап € Z, 0 < ап < п.

п=0

Этот ряд сходится в любом поле р-адических чисел Qp.

Будем называть полиадическое число А полиадическим числом Лиувилля (или лиувил-левым полиадическим числом), если для любых чисел п и Р существует натуральное число А такое, что для всех простых чисел р , удовлетворяющих неравенству р < Р выполнено неравенство

|А — А|р

В статье доказывается простое утверждение о том, что полиадическое число Лиувилля является трансцендентным элементом любого поля Qp. Иными словами, полиадическое число Лиувилля — глобально трансцедентное число. Устанавливается теорема о свойствах приближений совокупности р-адических чисел и ее следствие — достаточное условие алгебраической независимости совокупности р-адических чисел. Также получена теорема о глобальной алгебраической независимости совокупности полиадических чисел.

Ключевые слова: полиадическое число,полиадическое число Лиувилля.

Библиография: 16 названий.

Для цитирования:

В. Г. Чирский. Полиадические числа Лиувилля // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 3, с. 245-255.

хРабота выполнена при поддержке проекта Ведущие научные школы МГУ.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 3.

UDC 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-3-245-255

Polyadic Liouville numbers

V. G. Chirskii

Chirskii Vladimir Grirorevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Lomonosov Moscow State University, RANEPA (Moscow). e-mail: vgchirskii@yandex.ru

Abstract

We study here polyadic Liouville numbers, which are involved in a series of recent papers. The author considered the series

io(A) = ]T(A)„A",/i(A) = ]T(A + 1)„A",

n=0 n=0

where A is a certain polyadic Liouville number. The series considered converge in any field Qp . Here (7)^, denotes Pochhammer symbol, i.e. (7)0 = 1 , and for n > 1 we have(7)„ = 7(7 + 1)...(7 + n — 1). The values of these series were also calculated at polyadic Liouville number. The canonic expansion of a polyadic number A is of the form

, ann\,an € Z, 0 < an < n.

n=0

This series converges in any field of p-adic numbers Qp.

We call a polyadic number A a polyadic Liouville number, if for any n and P there exists a positive integer A such that for all primes p ,satisfying p < P the inequality

|A — A|p

holds.

The paper gives a simple proof that the Liouville polyadic number is transcendental in any field Qp. In other words,the Liouville polyadic number is globally transcendental. We prove here a theorem on approximations of a set of p—adic numbers and it's corollary — a sufficient condition of the algebraic independence of a set of p—adic numbers. We also present a theorem on global algebraic independence of polyadic numbers.

Keywords: polyadic number,polyadic Liouville number,

Bibliography: 16 titles.

For citation:

V. G. Chirskii, 2021, "Polyadic Liouville numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 3, pp. 245255.

1. Введение

Работа относится к теории трансцендентных чисел в неархимедовски нормированных областях. Теория трансцендентных чисел достаточно подробно освещена в [1]. Лиувиллевы числа, с изучения которых фактически и началась теория трансцендентных чисел, изучались во многих работах. Отметим две из них, [2], [3], наиболее близких по содержанию к настоящей работе. Объекты, названные в этой работе полиадическими числами Лиувилля, рассматриваются относительно недавно. Они представляют собой важную составляющую работ автора [4], где параметром рассматриваемого ряда типа Эйлера является полиадическое число Лиувилля и [5], где значения рядов рассматриваются в полиадической точке Лиувилля. В работах [6]-[9] содержатся результаты автора, относящиеся к развитию метода Зигеля-Шидловского и ряду других вопросов теории трансцендентных чисел в областях с неархимедовскими нормированиями. Отметим работы Е.Ю. Юденковой [10], [11], в которых значения F — рядов рассматриваются в полиадических точках Лиувилля,работы В.Ю. Матвеева [12], [13] работу Е.С. Крупицына [14], где установлены оценки многочленов от совокупностей полиадических чисел Лиувилля. Интересные результаты о трансцендентности есть в работе А.С. Самсонова [15]. Отметим оценки многочленов из работы А.Х. Муньоса Васкеса [16].

Напомним, что каноническое разложение полиадического числа Л имеет вид

те

Л = ^ апп\, ап е Z, 0 < ап < п.

га=0

Этот ряд сходится в любом поле р-адических чисел Qp. Покажем, что

lim |a„n!L = 0.

га^-те 1

Так как ап е Z, имеем |ага|р < 1, кроме того,

in ^га „

|n!|р = р ^ 0

при п ^ ж. Здесь Sn обозначает сумму цифр р—ичного разложения числа п. Разумеется, ряд, члены которого — целые числа, сходящийся во всех полях р-адических чисел, представляет собой целое полиадическое число.

Напомним, что кольцом целых полиадических чисел называется прямое произведение колец целых р-адических чисел по всем простым числам р. Элементы Л этого кольца, таким образом, можно рассматривать как бесконечномерные векторы, координаты которых п соответствующем кольце целых р-адических чисел обозначаем А(р).

Будем называть полиадическое число Л полиадическим числом Лиувилля (или лиувилле-вым полиадическим числом), если для любых чисел п и Р существует натуральное число А такое, что для всех простых чисел р, удовлетворяющих неравенству р < Р выполнено неравенство

|А — AI <А-га

Точнее говоря, следовало бы писать

А(р) - А

< А-

р

однако мы условимся, что при рассмотрении поля р—адических чисел под символом А подразумевается сумма А(р)этого ряда.

2. Основные результаты

Теорема 1. Полиадическое число Лиувилля является трансцендентным элементом любого поля Qp. Иными словами, полиадическое число Лиувилля — глобально трансцендентное число.

Для доказательства этой теоремы предположим, что отличный от тождественного нуля многочлен Р(х) степени с! имеет целые коэффициенты. Предположим, что в некотором поле Qp выполняется равенство Р(А) = 0. Пусть А— произвольное натуральное число. Тогда либо Р(А) = 0, либо с некоторой постоянной С1 имеет место неравенство

|А — А|р > С\А-а.

Действительно, рассматривая разложение многочлена Р(х) по степеням переменной х — А, получаем

Р(х) = Р(А) + Р'(А)(х — А) + ... + Р(^„(А) (х — А)4.

а\

Все числа Р'(А),..., Р(— целые, поэтому их р-адические нормы не превосходят 1. По предположению, при подстановке А вместо х получаем равенство

Р(А) + Р (А)(\ — А) + ... + — А)л = 0,

которое можно переписать в виде

Р (А) = Р(Х — А) (1)

где И— некоторое целое р—адическое число. Если выполняется неравенство Р(А) = 0, то очевидно, что с некоторой постоянной Со выполняются неравенства

0 < |Р (А)| < СоАа.

Для отличного от нуля рационального числа В справедлива оценка | В \р > В-1, поэтому

|р> с^ = °1

Согласно (1),

^(А)^ <|А — р .

Таким образом,

|А — А|р >С1 А-л,

что и утверждалось. По условию, А—полиадическое число Лиувилля и для любых чисел п и Р существует натуральное число А такое, что для всех простых чисел р, удовлетворяющих неравенству р < Р выполнено неравенство

|А — А|р

Ввиду произвольности чисел п и Р для любого рассматриваемого простого числа р существует бесконечное множество пар чисел п,А,п > й, для которых выполняется это неравенство. Увеличивая число п получаем, что существует бесконечное множество чисел А таких,что

|А — А|р <С1 А-4,

следовательно, существует такое натуральное число А, что одновременно с этим неравенством выполняется неравенство Р(А) = 0. Согласно доказанному выше, это означает, что в поле Qp

выполняется неравенство Р(А) = 0. Ввиду произвольности многочлена Р(х) это означает трансцендентность суммы ряда А в поле Напомним, что число р — произвольное простое число. Глобальная трансцендентность полиадического числа Лиувилля доказана.

Сформулируем и докажем обобщение этой теоремы, аналог которого в работе [7] снабжен лишь очень краткой схемой доказательства. Теорема 2. Пусть р — простое число. Пусть

а.% е Zp, Аг е Z, г = 1,..., т.

Пусть Р(х1, ...,хт) ненулевой многочлен с целыми коэффициентами, степени которого по переменным Х1,г = 1, ...,т равны йг. Тогда если

Р («1 ,...,ат)=0, (2)

то либо для некоторой постоянной С2 выполняется неравенство

тах 1аг - АЛ > С2 ... , (3)

г=1,...,т '

либо выполняется равенство

Р (А1 ,...,Ат)=0. (4)

Следствие. Если для любого ненулевого многочлена Р(хх, ...,хт) с целыми коэффициентами, степени которого по переменным Xi,i = 1,...,т равны (^и, любой постоянной С2 существуют Ai € Z,i = 1,..., т такие, что

К - Л|р < С2 |А\|-d1 ... IAml-d™ ,i = 1,...,т (5)

и

Р (А\,...,Ат)=0, (6)

то ах, ...,ат- алгебраически независимые элементы Zp. Доказательство теоремы 2.

Из (2)следует, что многочлен Р(х\, ...,хт) можно представить в виде

Р (хг,...,хт) = Bh,..,im Ы - ах)11 ...(хт - ат)1т, (7)

где суммирование в правой части равенства (7) производится по всем наборам неотрицательных целых чисел li,...,lm, удовлетворяющих условиям li < di,i = 1,...,т, коэффициенты Bh_lm € Zp, причем В0,...,о = 0. Равенство (7) при Xi = Ai,i = 1, ...,т дает

Р(Аь..., Ат) = ^ Bh!„,lm(Ai - ai)h...(Ат - ат)1™, откуда, ввиду равенства = 0, получаем

т

Р (Ai,...,Am) = ^ Рг(Аг - аг), (8)

i=i

где Di € Zp,i = 1,..., т. Из (8)следует, что

|Р(Ai,...,Am)lv < max - AiL max |ДI < max ^ - AiL . (9)

' i=i,...,m 1 i=i,...,m ' i=i,...,m '

С другой стороны, если Р(Ai, ...,Ат) = 0, то выполнено неравенство

^ (Ai,...,Am)K С3 |Ai|dl ... ^^ . (10)

По свойству р-адической нормы, если целое число М отлично от нуля, то |М|р > М-1, поэтому (9), (10) дают (3). Теорема 2 доказана.

Докажем следствие. Неравенства (5),(6), справедливые для любого ненулевого многочлена Р(ж1,..., хт—) с целыми коэффициентами означают,что не выполнены соотношения (3) и (4), следовательно, ни для какого ненулевого многочлена с целыми коэффициентами не выполнено равенство (2). Это и доказывает следствие теоремы 2.

Для всех г = 1, ...,т обозначим

а.г = ^ аьп, аьп е N (11)

п=0

N

Аг,м = ^ (12)

йг

п=0

те

Гг,М = ^ (13)

п=К +1

Теорема 3. Пусть для простого числа р при N > где Мр— натуральное число, зависящее от р, выполнены неравенства

1гг,м\ < ( тах Аг,м)-^(м),1 = 1,...,т, (14)

' {=1,...,т

где 7Р(^) ^ при N ^ Кроме того, пусть

1п |

Ит -—:—-—= 0,г = 1,...,т — 1. (15)

N ^+те 1п 1П+1,М 1р

Тогда ряды (11)сходятся к алгебраически независимым элементам Zp.

Следствие. Если условия теоремы 3 выполнены для любого простого числа р то ряды (11) — глобально алгебраически независимые полиадические числа.

Доказательство теоремы 3. Пусть р — простое число. При N > рассмотрим числа ^^= 1,...,т. Из (12), (13), (14) следует, что ряды (11)сходятся и для любой постоянной С*2 и любых неотрицательных целых чисел йг,г = 1, ...,т выполнется неравенство

К — |р < С2 ^... 1Ат>NГЛт ,1 = 1,..., т.

Если при некотором N выполнено неравенство

Р (А1,м ,...,Ат,м) = 0,

то по следствию теоремы 2 ряды (11)сходятся к алгебраически независимым элементам Zp. В противном случае, если для всех N > Ир имеем равенство

Р(А1,м,..., Ат,м) = 0, (16)

то при переходе в равенстве (16) к пределу при N ^ получаем

Р («1 ,...,ат)=0. (17)

Как и в (7) имеем равенство, справедливое при всех N >

Р(Х1, ...,хт) = ^ в11,...,1т (Х1 — а1)11 ...(хш — ат)1т,

из которого с учетом (16) и (17) при подстановке XI = Авытекает:

0 = ^ (А1,м — а.1)11 ...(Ат,н — ат)1т, (18)

где суммирование в правой части равенства (18) производится по всем наборам неотрицательных целых чисел 11,..., 1т, удовлетворяющих условиям ^ < йг,г = 1,..., т, коэффициенты Вк....и £ Zp, причем Во,...,о = 0. Кроме того, так как рассматриваемый многочлен ненулевой, среди коэффициетов В11...,1т есть отличные от нуля. Равенство (18) перепишем в виде

0 = ^ В11_1т (—п,м У1 ...(—гт,м У™. (19)

Рассмотрим любые два отличных от нуля слагаемых в правой части равенства (19), пусть это

Вк ,...,1т (—Г1,м)11 ...(—гт,мУ- (20)

и

Вк1,...,кт (—Г1,М)к1 ...(—Гт,М)кт , (21)

причем наборы чисел (11, ...,1т) и (й1, ...,кт) различные. Тогда из (20) и (21) следует

1п \в>......,„ (—Г,л )-■■■(—г,,^. I=1п +£№—^ 1п ■ (22)

Среди чисел и — кг есть отличные от нуля. Пусть 8— наибодьшее из чисел г удовлетворяющих такому условию, т.е. пусть 13 — к3 = 0, но эти разности с большими, чем 8 номерами (если такие есть) равны нулю. Из условия (14) следует, что

|р ^ 0,1п ^ ^ —ж, N ^ +ж, г = 1,. . . , т.

Из равенства (22) и условия (15) получаем, что главным членом правой части формулы (22) является (13 — к3) 1п |r3.N|р. Тогда, в зависимости от знака числа 13 — к3 = 0, правая часть формулы (22) стремится либо к +ж либо к —ж. Это означает,что отношение р-адических норм величин (20),(21) стремится либо к бесконечности, либо к нулю при стремлении N ^ +ж. Поскольку отличных от нуля коэффициентов В11...,1т конечное число, при достаточно большом N одно из соответствующих слагаемых в правой части равенства (19)имеет р-адическую норму большую, чем остальные слагаемые и р-адическая норма правой части этого равенства при рассматриваемом N равна р-адической норме этого слагаемого и отлична от 0, что противоречит равенству (19). Теорема 3 доказана.

Следствие теоремы 3 не требует отдельного доказательства.

В следующей теореме приведен пример применения теоремы 3 к явно заданной совокупности полиадических чисел. Выберем произвольным образом натуральные числа

П1.0 < П2.0 < ... < пт.о. (23)

Пусть для некоторого неотрицательного целого числа N определены натуральные числа

П1.М < П2.М < ... < пт.м. (24)

Положим

Мм+1 = тт -—, (25)

р — 1

где минимум в правой части равенства (23)взят по всем простым числам, удовлетворяющим неравенству

Р < пт,м.

Пусть 7(Ж) ^ при N ^ Потребуем, чтобы число п1,м+1 удовлетворяло неравенству

+1Мм+1 - 1пт,м+1 > 7(Ж) 1п(2(пт,м!)) (26)

и чтобы натуральные числа ъ = 1,..., ш - 1 удовлетворяли условиям

Пг,М+1 < <р№)т+1,м+1, (27)

где

<Р№) ^ ^ = 1,..,т - 1. (28)

Пусть

те

аг = ^(щ>к)! (29)

к=0

N

Аг,м = ^К*)! (30)

к=0 оо

Гг,М = ^ (Щ'к)! (31)

к=И +1

Теорема 4. Пусть натуральные числа , г = 1,..., т,к = 1,2,... удовлетворяют условиям (23) - (28). Тогда для любого простого числа р ряды (29) сходятся к алгебраически независимым элементам Ър. Иными словами, полиадические числа (29) глобально алгебраически независимы.

Доказательство теоремы 4. Из (24),(29) - (31) вытекают равенства

|р = |(гс»,^+1!)|р = 1,...,ш. (32)

Из условия (27)следует, что

тах 1п,м I = |(П1,м+1!)1 (33)

г=1,...,т у у

и мы используем формулу для вычисления р-адической нормы факториала

1п р р - 1

Кп^м+^Х = ехР(—^—7(П1,м+1 - БП1М+1)), (34)

где БП1 м+1 обозначает сумму цифр р-ичного разложения числа п1,м+1. Очевидно неравенство

< (р - 1) 1ogp П1,м+1 = (р - . (35)

Ввиду (34) и (35)

1пКп1,м+1!)^ < ——7П1,м+1 + 1пт,м+1. (36)

1п р р - 1'

Для простого числа р выберем число Кр наименьшим натуральным числом N, для которого выполняется неравенство пт,м > р. Тогда из равенства (25)следует, что при N > Мр

Мм+1 < . (37)

р - 1

Из неравенств (26)и (37)следует ln р

р — 1 Согласно (36),(38

ni,N+1 + lnni,N+1 < —MN+ini,N+i + lnrn,N+1 < —7(N) ln(2(nm,N!)). (38)

l(ni,N+i% < exp(—7(Ж) ln(2(nm,N!))). (39)

Для всех i = 1,...,m — 1,согласно (30)

! = (<n.„ лЛ!(1 + (Пт,°)! +

(nm,N )!

Л /Л ^^ M i \ Мл I (n-,o)!, . (nm,N-i)!, ^

Ai,N < Am,N = > (n-,k)! = (nm,N)!(1 + 7-+ ... + —) <

, , , , (n-,N)! (n-,N)!

< (пт.м)!(1 + (М — 1)(^-1)') < 2(пт,м)!. (40)

(Пт. N )!

Из (32), (39), (40) следует, что при N > выполнены неравенства (14). Соотношения (15) сразу следуют из условий (27) и равенств (32),(33). Применение теоремы 3 завершает доказательство теоремы 4.

3. Заключение

Полученные результаты будут полезны при исследовании арифметических свойств полиадических рядов, коэффициенты которых связаны с полиадическими числами Лиувилля. Это относится как к развитию метода Зигеля-Шидловского, так и к применениям аппроксимаций Эрмита-Паде первого и второго рода.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа.-М.: «Наука».-1987.-448 с. (Английский перевод: Andrei B. Shidlovskii. Transcendental Numbers. W.de Gruyter.-Berlin.-New York.-1989.-467 pp.).

2. Adams W. On the algebraic independence of certain Liouville numbers. //J. Pure and Appl. Algebra.-1978.-13.-pp.41-47.

3. Waldschmidt M. Independance algebrique de nombres de Liouville. // Lect.Notes Math.-1990.-1415.-pp.225-235.

4. Чирский В. Г. Арифметические свойства рядов эйлерова типа с полиадическим лиувил-левым параметром. // Доклады Академии наук, сер. матем.информ. проц. управл.-2020.-т.494, с. 69-70. (Английский перевод Chiskii V. G., Arithmetic Properties of Euler-Type Series with a Liouvillean Polyadic Parameter. Dokl. Math. 2020.-v.102,no.2. pp.412-413.)

5. Чирский В. Г. Арифметические свойства значений в полиадической лиувиллевой точке рядов эйлерова типа с полиадическим лиувиллевым параметром. // Чебышевский сборник.-2021.-т. 22.- вып. 2.-с. 304 - 312

6. Чирский В. Г. Обобщение понятия глобального соотношения. // Труды по теории чисел. Зап.научн.сем.П0МИ.-322.-П0МИ,Спб.-2005.-220-232.

7. Чирский В. Г. О рядах, алгебраически независимых во всех локальных полях. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. Матем.,мех.-1994.-№3.-с.93-95.

8. Chirskii V. G. Product Formula, Global Relations and Polyadic Integers. // Russ. J. Math. Phys. 2019.- v.26, no.3, pp.286-305.

9. Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hypergeometric F- series. // Russ. J. Math. Phys. 2020.- v.27, no.2, pp.175-184.

10. Юденкова Е.Ю. Арифметические свойства рядов некоторых классов в полиадической лиувиллевой точке. // Чебышевский сборник.-2021.-т. 22.- вып. 2.-с. 536 - 542

11. Юденкова Е.Ю. Бесконечная линейная и алгебраическая независимость знгачений F-рядов в полиадических лиувиллевых точках. // Чебышевский сборник.-2021.-т. 22.- вып. 2.-с. 334 - 346

12. Матвеев В.Ю., Алгебраическая независимость некоторых почти полиадических рядов // Чебышевский сборник.-2018.-т.17.- вып. 3.-с. 156 - 167

13. Матвеев В. Ю., Свойства элементов прямых произведений полей // Чебышевский сборник. 2019.-т.20.- вып. 2.-с. 383 - 390

14. Крупицын Е. С. Арифметические свойства рядов некоторых классов. // Чебышевский сборник. 2019.-т. 20.- вып. 2.-с. 374 - 382

15. Самсонов А. С. Арифметические свойства элементов прямых произведений p-адических полей, II. // Чебышевский сборник. 2021.-т. 22.- вып. 2.-с. 334 - 346

16. Муньос Васкес А. Х. Арифметические свойства некоторых гипергеометрических F-рядов.. // Чебышевский сборник. 2021.-т. 22.- вып. 2.-с. 519 - 527

REFERENCES

1. Shidlovskii, A.B. 1989."Transcendental Numbers", W.de Gruyter.-Berlin.-New York.467pp.

2. Adams. W. 1990."0n the algebraic independence of certain Liouville numbers", J.Pure and Appl.Algebra., Vol, 13, pp. 41-47.

3. Waldschmidt. M. 1990."Independance algebrique de nombres de Liouville.",Lect.Notes Math., Vol, 1415, pp. 225-235.

4. Chirskii V. G., 2020. "Arithmetic Properties of Euler-Type Series with a Liouvillean Polyadic Parameter", Dokl. Math., Vol.102,no.2. pp. 412-413.

5. Chirskii V. G., 2021."Arithmetic properties of values at polyadic Liouvillean point of Euler-type series with polyadic Liouvillean parameter", Chebyshevsky sbornik, Vol. 22, no.2, pp. 304-312.

6. Chirskii V. G., 2006. "Generalization of the Notion of a Global Relation", (J. Math. Sci(N.Y)), Vol. 137, no. 2,pp. 4744-4754.

7. Chirskii V. G. 1994. "Qn series which are algebraically independent in all local fields", (Vestn. Mosc. univ. Ser. 1.,Math., mech.), no. 3, pp. 93-95

8. Chirskii V. G. 2019. "Product Formula, Global Relations and Polyadic Integers", Russ. J. Math. Phys., Vol.26, no.3, pp. 286-305.

9. Chirskii V. G. 2020. "Arithmetic properties of generalized hypergeometric F- series", Russ. J. Math. Phys., Vol.27, no.2, pp. 175-184.

10. Yudenkova E. Yu. 2021 "Arithmetic properties of series of certain classes at polyadic Liouvillean point", Chebyshevsky sbornik, Vol. 22, no.2, pp. 536-542

11. Yudenkova E.Yu. 2021. "Infinite linear and algebraic independence pf values of F-series at polyadic Liouvillean point", Chebyshevsky sbornik, Vol. 22, no.2, pp. 334-346.

12. Matveev V. Yu. 2016. "Algebraic independence of certain almost polyadic series", Chebyshevsky sbornik, Vol. 17, no.3, pp. 156-167.

13. Matveev V. Yu. 2019. "Properties of elements of direct products of fields", Chebyshevsky sbornik, Vol. 20, no.2, pp. 383-390.

14. Krupitsin E. S. 2019. "Arithmetic properties of series of certain classes", Chebyshevsky sbornik, Vol. 20, no.2, pp. 374-382.

15. Samsonov A. S. 2021. "Arithmetic properties of elements of direct products of p-adic fields. II", Chebyshevsky sbornik, Vol. 22, no.2, pp. 236-256.

16. Munjos Vaskes A.H. 2021. "Arithmetic properties of certain hypergeometric F-series", Chebyshevsky sbornik, Vol. 22, no.2, pp. 5 19-527.

Получено 11.06.21 г.

Принято в печать 20.09.2021 г.