CC BY
3
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 24. Выпуск 5.
УДК 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-5-237-243
Трансцендентность некоторых 2-адических чисел1
В. Г. Чирский
Чирский Владимир Григорьевич — доктор физико-математических наук, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова; Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации (г. Москва). e-mail: vgchirskiiQyandex. ru
Аннотация
В работе доказывается трансцендентность в поле 2-адических чисел хотя бы одного из двух 2-адических чисел, представляющих собой суммы в поле Q2 рядов типа Эйлера
ш = ^(A)„z",/1(z) = + 1 )nzn,
п=0 п=0
где А представляет собой некоторое полиадическое лиувиллево число, я = 1. Как обычно, символ Похгаммера обозначается (7)„, по определению, (7)0 = 1 , а при п > 1 имеем (7)„ = 7(7 + 1)...(7 + п — 1). Рассматриваемые ряды сходятся в любом поле Qp . Мы рассматриваем поле Q2. Параметром рассматриваемых рядов типа Эйлера является полиадическое чмсло Лиувилля. Напомним, что каноническое разложение полиадического числа А имеет вид
l
А апп\, ап € Z, 0 < ап < п.
п=0
Этот ряд сходится в любом поле р— адических чисел Qp . Будем называть полиадическое число А полиадическим числом Лиувилля( или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел п и Р существует натуральное число А такое, что для всех простых чисел р , ^^^^^^^^^^^^^щих неравенству р < Р выполнено неравенство
|А — А|р <
Ранее было доказано простое утверждение о том, что полиадическое число Лиувилля является трансцендентным элементом любого поля Qp. Иными словами, полиадическое число Лиувилля - глобально трансцедентное число. Это позволяет, используя некоторое тождество для обобщённых гипергеометрических рядов и предыдущие результаты автора доказать, что существует бесконечное множество полей Qp , в которых трансцендентностно хотя бы одно из значений рядов f0(z), f1(z). В этой работе доказывается трансцендентность
Q2
Ключевые слова: трансцендентность, полиадическое число,полиадическое число Лиувилля.
Библиография: 16 названий. Для цитирования:
2
2023, т. 24, вып. 5, с. 237-243.
1 Работа выполнена при поддержке проекта «Ведущие научные школы МГУ».
238
B. r. ^iipcKHH
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 5.
UDC 511.36 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-5-237-243
Transcendence of certain 2-adic numbers
V. G. Chirskii
Chirskii Vladimir Grigor'evich — doctor of physical and mathematical sciences, Lomonosov Moscow State University; Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration (Moscow). e-mail: vgchirskiiQyandex. ru
Abstract
We prove here that at least one of the two 2-adic numbers which are the values at z = 1 of the sums in Q2 of the series
/c(A) = ¿(A)nA",/i(A) = ¿(A + 1)„A"
where A is a certain polyadic Liouville number. The series considered converge in any field Qp .We deal here with Q2. The symbol (7)« denotes Pochhammer symbol, i.e. (7)0 = 1 , and for n > 1 we have(7)n = 7(7 + 1)...(7 + n — 1). The values of these series were also calculated at polyadic Liouville number. The canonic expansion of a polyadic number A is of the form
A ann\, an € Z, 0 < an < n.
n=0
This series converges in any field of p— adic numb ers Qp .
We call a polyadic number A a polyadic Liouville number, if for any n and P there exists a positive integer A such that for all primes p ,satisfying p < P the inequality
|A — A|p <
holds.
It was proved earlier that the Liouville polyadic number is transcendental in any field Qp. In other words,the Liouville polyadic number is globally transcendental. It allowed to prove using some equality that there exists an infinite set of p—adic fields Qp where at least one of the numbers f0(z), f1(z). Here we prove the transcendence of values in the field Q2.
Keywords: transcendence, polyadic number,polyadic Liouville number,
Bibliography: 16 titles.
For citation:
V. G. Chirskii, 2023, "Transcendence of certain 2-adic numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 5, pp. 237-243.
1. Введение
Работа относится к теории трансцендентных чисел в неархимедовски нормированных областях. Теория трансцендентных чисел достаточно подробно освещена в [1]. Лиувиллевы числа, с изучения которых фактически и началась теория трансцендентных чисел, изучались во многих работах. Отметим две из них, [2],[3], наиболее близких по содержанию к настоящей работе. Объекты, названные в этой работе полиадическими числами Лиувилля, рассматриваются относительно недавно. Они представляют собой важную составляющую работ автора [4], где параметром рассматриваемого ряда типа Эйлера является полиадическое число Лиувилля и [5], где значения рядов рассматриваются в полиадической точке Лиувилля. В работах [6]- [10] содержатся результаты автора, относящиеся к развитию метода Зигеля-Шидловского и ряду других вопросов теории трансцендентных чисел в областях с неархимедовскими нормированиями. Отметим работу Е.Ю. Юденковой [11], в которой значения F — рядов рассматриваются в полиадических точках Лиувилля,работу В.Ю. Матвеева [12], работу Е.С. Крупицына [13], где установлены оценки многочленов от совокупностей полиадических чисел Лиувилля. В упомянутых выше работах доказывалось существование бесконечного множества полей р— адических чисел, в которых заданный многочлен от значений рассматриваемых рядов не обращается в ноль. Исследования арифметических свойств рядов рассматриваемого типа в конкретном поле р— адических чисел представляет собой значительно более трудную задачу. См. например, [14]. В работе автора [15] установлено существование бесконечного множества полей р— адических чисел, в которых хотя бы одно из двух значений некоторых гипергеометрических рядов трансцендентно.
Напомним, что каноническое разложение полиадического числа А имеет вид
те
А = ^ апп\, ап е Z, 0 < ап < п.
га=0
Этот ряд сходится в любом поле р— адических чисел Qp.
lim т \annlI = 0.
га^-те V
Так как ап е Z, имеем \ап\р < 1, кроме того,
in ^га „
\П \Р = Р ^ 0
при п ^ ж. Здесь Sn обозначает сумму цифр р—ичного разложения числа п. Разумеется, ряд, члены которого - целые числа, сходящийся во всех полях р— адических чисел, представляет собой целое полиадическое число.
Кольцом целых полиадических чисел называется прямое произведение колец целых р— адических чисел по всем простым числам р. Элементы А этого кольца, таким образом, можно рассматривать как бесконечномерные векторы, координаты которых п соответствующем кольце целых р— адических чисел обозначаем А(р).
Будем называть полиадическое число А полиадическим числом Лиувилля( или лиувил-левым полиадическим числом), если для любых чисел п и Р существует натуральное число А такое, что для всех простых чисел ^удовлетворяющих неравенству р < Р выполнено неравенство
\А — А\р < \А|-га
Точнее говоря, следовало бы писать
А(р) — А < \А\-га,
V
однако мы условимся, что при рассмотрении поля р—адических чисел под символом А подразумевается сумма А(р) этого ряда.
2. Основное тождество и его следствия
Для гипергеометрических рядов общего вида
ад = £ (Ып-^)пг„
п=0
Шп .../За)п
V ^ ^ ((«1 +1) п ■■■«г + 1)га п 1( )= ¿0 ((/ + 1)га-/ + 1)п
справедливо тождество
Р М = ! + а^'™'
Это равенство означает, что если все числа «1, ■■■,аг,/1, ■■■, / и значение г - алгебраические, то оба значения Ро(г), Р^) либо одновременно алгебраические, либо трансцендентные числа. Если же число г трансцендентное и число Р1(<г) = 0, то хотя бы одно из этих чисел явля-
ется трансцендентным. Высказанные выше утверждения относятся как к полю комплексных чисел, так и к любому полю Qp■ В работе [15] рассмотрены ряды
те
фо(-г) = J2((al)n■■■am)nZn
п=0
Ф1(^) = Е(( «1 + + 1)" ^
п=0
и доказано, что если а1, ■■■, ат - полиадические числа Лиувилля и если £ - натуральное число или если 2 - полиадическое число Лиувилля, то существует бесконечное множество полей Qp, в которых хотя бы одно из чисел Ф0Ю, Ф1(£) ( соответственно,Ф0(2), Ф1(2) является трансцендентным числом. Цель этой работы - рассмотрение конкретного поля Q2■
3. Формулировка и доказательство теоремы
Пусть
те те
/0( г) = £(Х)пгп, /1(г) = £( А + 1)пгп.
п=0 п=0
Мы рассматриваем р = 2, т.е.поле Q2, однако будем рассматривать ряд, сходящийся в любом поле Qp■ Положим
А0 = 1,80 = [ехрА0] + 1 = 3-
А1 р,
творяющего неравенству
р < 80 + 2А0
выполняется неравенство
огйрА1 > 21п 80
и положим
= [ ехр А1] + 1
Для к > 1 пусть Ак+1 - произвольное натуральное число такое, что для любого простого числа р,
р < в к + 2 А2к = 5
выполняется неравенство
огйрХк+1 > 2зк 1п вк
и полагаем
вк+1 = [ех'р\к+1] + 1.
Ряд
те
Л = £ Хк
к=0
сходится в любом поле Qp.
Теорема.Хот,я бы одно из 2-адических чисел /о(1), /1(1) - трансцендентное 2-адическое число.
Для доказательства теоремы заметим, что ввиду тождества
/0(2) = 1 + ХгШ
достаточно доказать, что, во-первых, А - трансцендентное 2-адическое число и, во-вторых, что /1(1) = 0 в поле Q2. Докажем, что А - полиадическое число Лиувилля. Пусть выбраны величины п и Р. В качестве натурального числа А выберем число Хк при достаточно большом к. Предполагаем, что
Р < вк + 2\1 ,п < 2вк.
Тогда
|А - Хк 1Р < |А^+1|р < р-2-^1п^^ < Х-2зк,
что и утверждалось. В работе [16] доказана теорема.
Теорема 1.Полиадическое число Лиувилля является трансцендентным элементом любого поля Qp. Иным,и словам,и, полиадическое число Лиувилля - глобально трансцедентное число.
Таким образом,А - трансцендентное 2-адическое число. Для доказательства того, что /1(1) = 0 в поле Q2 рассмотрим разложение
/1(1) = 1 + (А + 1) + (А + 1)(А + 2) + ....
Заметим, что при п > 1 выполняется неравенство ог^(А + 1)п > 1. Действительно,
А0 = 1,огй2Х1 > 61п3 > 6. Более того, по условию, значения ог(12Хк быстро возрастают. Поэтому
огй2(Х + 1) > 1.
Ряд /1(1) сходится и представляет собой сумму числа 1 и 2-адического числа
(А + 1) + (А + 1)(А + 2) + ...,
для которого
огй2((Х + 1) + (А + 1)(А + 2) + ...) > 1. Из этого следует неравенство /1(1) = 0 и доказываемая теорема.
4. Заключение
Полученная теорема представляет собой первый результат подобного типа. Здесь удалось не только доказать существование бесконечного множества полей, в которых хотя одно из значений рассматриваемых рядов трансцендентно, но и доказать это утверждение в конкретном поле.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа.-М.: «Наука».-1987.-448 с.(Английский пере-вод:[3] Andrei B.Shidlovskii. Transcendental Numbers. W.de Gruvter.-Berlin.-New York.-1989.-467pp.).
2. Adams W. On the algebraic independence of certain Liouville numbers.//J.Pure and Appl. Algebra. -1978.-13.-pp.41-47.
3. Waldschmidt M. Independance algebrique de nombres de Liouville.//Lect.Notes Math.-1990.-1415.-pp.225-235.
4. Чирский В. Г. Арифметические свойства рядов эйлерова типа с полиадическим лиувил-левым параметром.// Доклады Академии наук, сер. матем.информ. проц. управл.-2020.-т.494, с. 69-70.( Английский перевод Chiskii V. G., Arithmetic Properties of Euler-Tvpe Series with a Liouvillean Polvadic Parameter. Dokl. Math. 2020.-v.l02,no.2. pp.412-413.)
5. Чирский В. Г. Арифметические свойства значений в полиадической лиувиллевой точке рядов эйлерова типа с полиадическим лиувиллевым параметром.//Чебышевский сборник.-2021,-т. 22,- вып. 2.-е. 304 - 312
6. Чирский В. Г. Обобщение понятия глобального соотношения.//Труды по теории чисел. Зап.научн.сем.ПОМИ.-322.-Г10МИ,Спб.-2005.-220-232.
7. Чирский В.Г.О рядах, алгебраически независимых во всех локальных полях. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. Матем.,мех.-1994.-№ З.-с.93-95.
8. Chirskii V. G. Product Formula, Global Relations and Polvadic Integers. // Russ. J. Math. Phvs. 2019,- v.26, no.3, pp.286-305.
9. Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hvpergeometric F- series. // Russ. J. Math. Phvs. 2020,- v.27, no.2, pp.175-184.
10. Чирский В. Г. Арифметические свойства значений обобщенных гипергеометрических рядов с полиадическими трансцендентными параметрами .//Доклады Академии наук, сер. матем.информ. проц. управл.-2022.-т.506.-с.95-107.
11. Юденкова Е. Ю.Бесконечная линейная и алгебраическая независимость знгачений F-рядов в полиадических лиувиллевых точках.//Чебышевский сборник.-2021.-т. 22.- вып.
2.-е. 334 - 346
12. Матвеев В. Ю., Свойства элементов прямых произведений полей // Чебышевский сборник. -2019. -т.20. - вып. 2.-е. 383 - 390
13. Крупицын Е. С. Арифметические свойства рядов некоторых классов // Чебышевский сборник. -2019. -т. 20. - вып. 2.-е. 374 - 382
14. Ernvall-Hvtonen A.-M.;Matala-aho T.;Seppala I. Euler's factorial series, Hardy integral, and continued fractions.//J.Number Theory. 2023.-v.244.-pp.224-250.
15. Чирский В. Г.Трансцендентность р-адических значений обобщенных гипергеометрических рядов с трансцендентными полиадическими параметрами .//Доклады Академии наук, сер. матем.информ. проц. управл.-2023.-т.510.-с.29-32.
16. Чирский В. Г. Полиадические числа Лиувилля.//Чебышевский сборник.-2021.-т. 22.- вып.
3.-с. 245 - 255
REFERENCES
1. Shidlovskii, А. В. 1989, "Transcendental Numbers", W.de Gruyter.-Berlin.-New York.467pp.
2. Adams. W. 1990, "On the algebraic independence of certain Liouville numbers", J.Pure and Appl.Algebra., Vol, 13, pp.41-47.
3. Waldschmidt. M. 1990, "Independance algebrique de nombres de Liouville", Lect.Notes Math., Vol, 1415, pp.225-235.
4. Chiskii V. G. 2020, "Arithmetic Properties of Euler-Tvpe Series with a Liouvillean Polvadic Parameter", Dokl. Math., Vol.102,no.2. pp.412-413.
5. Chiskii V. G.,2021, " Arithmetic properties of values at polvadic Liouvillean point of Euler-tvpe series with polvadic Liouvillean parameter", Chebyshevsky sbornik, Vol. 22, no.2, pp.304-312.
6. Chiskii V.G. 2006, "Generalization of the Notion of a Global Relation", J. Math. Sci(N.Y), Vol.137, no.2, pp.4744-4754.
7. Chiskii V. G.V. G. 1994, "Qn series which are algebraically independent in all local fields", Vestn.Mosc.univ.Ser. 1.,Mat,h.,mech., n0.3, pp.93-95.
8. Chirskii V. G. 2019, "Product Formula, Global Relations and Polvadic Integers", Russ. J. Math. Phys., Vol.26, no.3, pp.286-305.
9. Chirskii V.G. 2020, " Arithmetic properties of generalized hvpergeometric F- series", Russ. J. Math. Phys., Vol.27, no.2, pp. 175-184.
10. Chirskii V.G. 2022, " Arithmetic properties of the values of generalized hvpergeometric series with polvadic transcendental parameter", Dokl. Math., Vol. 106, no.2, pp.386-397
11. Yudenkova E.Yu. 2021, " Infinite linear and algebraic independence pf values of F-series at polvadic Liouvillean point", Chebyshevsky sbornik, Vol. 22, no.2, pp.334-346.
12. Matveev V. Yu. 2019, " Properties of elements of direct products of fields", Chebyshevsky sbornik, Vol. 20, no.2, pp.383-390.
13. Krupitsin E. S. 2019, " Arithmetic properties of series of certain classes", Chebyshevsky sbornik, Vol. 20, no.2, pp.374-382.
14. Ernvall-Hvtonen A.-M.;Matala-aho T.;Seppala I. 2023, " Euler's factorial series, Hardy integral, and continued fractions", J.Number Theory, Vol. 244, pp.224-250.
15. Chirskii V.G. 2023, "Transcendence of p-adic values of generalized hvpergeometric series with transcendental polvadic parameter", Dokl. Math., Vol. 107, no.2, pp.109-111.
16. Chirskii V.G. 2021, " Polvadic Liouvillean numbers", Chebyshevsky sbornik, Vol. 22, no.3, pp.245-255.
Получено: 15.10.2023 Принято в печать: 21.12.2023
