CC BY
43
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ
УДК 681.7
БАЗОВЫЕ ФУНКЦИИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ
ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ
A.A. Аршакян, А.Ю. Андросов
Предложено использовать для селекции целей типовые модели точечных источников. Даны двумерные модели идеального точечного источника, цилиндра и гаус-сиана. Для полученных функций даны двумерные спектральные характеристики.
Кчючевые слова: точечный источник сигнала, двумерная дельта-функция, цилиндр, гауссиан.
Абстракция «точечный источник сигнала» достаточно широко применяется в теории радиолокации, пеленга и т.п. [1]. В реальности точечный источник представляет собой некоторый физический объект конечной площади, излучающий электромагнитный сигнал определенной интенсивности. Для идентификации точечного источника должна быть сформирована его математическая модель, параметры которой формируют пространство признаков, в котором производится классификация сигналов. В общем случае, точечный источник, для того чтобы быть узнаваемым с помощью информационно-измерительной системы должен иметь определенные отличия от других предметов наблюдаемой сцены по наблюдаемым параметрам. Одним из важных факторов, определяющих эффективность селекции сигнала, является базовая модель, положенная в основу его описания.
Простейшей моделью точечного источника К является 5-функция Дирака
где (/5 - вектор параметров; q§(t) - интенсивность функции; у, z - пространственные координаты; t— время.
244
Пространственно-частотный спектр 5-функции Дирака имеет вид
иъ (со у, со -, со) = 3 Ь5 (0 • 5(7, 2)} = \- (со), (2)
где соу, со- - круговые пространственные частоты, соответствующие координатам у и г; ¿75(00) = 3 [#§(/)] - преобразование Фурье от параметра со-крутовая частота, соответствующая координате Более точным приближением к реальному точечному источнику является цилиндр:
ис(у, 2,чс) =
2яЯ(ф)
О О
1ири у!у2+г2 < Д(<р>, О при л!у2+г2 > Д(ф);
(3)
ф^агссоБ
У
V
2 2 У +1
(4)
где т]у2 +12 <Я(ф) - точки, попавшие внутрь основания цилиндра; Чс = [яс -^(ф)] _ вектор параметров, которые характеризуют форму основания цилиндра (Я(ф)), «вес» или энергетику данной функции (дс(/)).
Пространственно-частотный спектр функции (3) имеет следующий
вид:
, ч 2дс (со) • д(ф) • вше содД(ф) • ехр[- /0)д Ад (ф)] ^
I ^(ф)ж(ФУФ
и,
о о
где
~(ф)=51ПСО^(Ф) содД(ф)
В частном случае, когда в основании цилиндра лежит эллипс с полуосями, равными Ях, Яг, зависимость (3) приобретает вид
.2 2
2 2 соЛ = д/сох + соу ; 81ппсо^
ис(у,г,цс)=
лЯ'Я.'
у 2
у
1 при +
<1;
О при
Я2, Я2, У '
У2 -2 + — >1,
Я?
(6)
где Яу,Я-\.
Если угол между выбранным направлением и осью дс равен ф, то радиус эллипса в этом направлении
R( ф) =
RVR.
Ry cos^ ф + i?? sin^ ф
(7)
В этом направлении одномерный пространственно-частотный спектр функции (6) имеет вид
2 qc (со) • i?(cp) • sine co^ i?((p)
uñ{(úR,(ü)-
nRvR-
(8)
В другом важном частном случае, когда в основании цилиндра лежит прямоугольник со сторонами, равными 2ЯУ, импульсный отклик
фильтра имеет вид:
9 ей
4 RVRZ
1 при \у\ < Ry, |z| < О при \у\ > Ry, |z'| > Rz,
(9)
где
Пространственно-частотный спектр для этого случая определяется произведением пространственно-частотных спектров по осям у и 2:
й/ДсОу, со-, со)= с[с(со)• 'БшсС0у7?у ^тссо-Я^. (10)
Следующей базовой функцией, широко используемой для описания источника сигнала, является функция Гаусса [2]. В общем случае модель, построенная на основании гауссиана и учитывающая сложную форму точечного источника, имеет вид (рис. 1)
1в(*)
uG(y,z,qG) =
оо оо
í Í ехр
-оо —оо
2а"
arceos
У
Í
х ехр<
у +z
-i
dydz
2&
arceos
7
Vi
(И)
где qG =
Y
arceos
У
Vi
У
вектор параметров; qcv) - параметр,
1У +z
характеризующий «вес» функции; <j
arceos
У
i
2,2 У + -
параметр, который
характеризуют форму гауссиана, в зависимости от направления
У
ф = arceos
í
2 , 2 у +z
относительно оси у.
Для определения спектральной плотности выберем некоторое направление - 71 < ф < 71 и построим в этом направлении ось р. В положительном направлении оси р параметр а имеет значение
( \
у
агссоБ—р= = о + , а в отрицательном направлении - значение
V (
i
arceos
у + zA У
i
2 2 У + -
у
+ 71
Ф
= о
Ф
Одномерная функция Гаусса, полученная в сечении поверхности (11) плоскостью _у8тф + 2созф = 0, имеет вид
ехр
2 о
при р > 0;
1 при р = 0;
ехр
Ф
при р < 0.
Преобразование Фурье от функции (11) имеет вид
(12)
ф = ф + 71
Рис. 1. Несимметричная функция Гаусса
247
3[I/G(P>íg)]= í 4gM í exP
—oo —oo
л
2<5¿
Ф У
exp(- /(Dp'p)¿/p +
+ [ exp
2a
Ф+ J
exp(- mpp)dpdt = q( со) •
V exp
2_2
copa
Ф"
+ o + exp Ф
2 2 юра +
Ф
1 + erf
'/cop<V Л
л/2
+
1-erf
/ • _ Л
/cona +
p Ф
V2
(13)
? £
где ег^Ь-^ГЧ-
В более простом случае, когда функция Гаусса является центрально симметричной, она принимает вид
UG (у> z> <1G) = ехР
2яо vaz
2 2 .У z
2Су 2a?
(14)
где <ус = [д^{{), ау, ог]; ау, О- - устанавливают ширину гауссиана по осям
у и г соответственно; - параметр, характеризующий «вес», или
энергетику данной функции.
Пространственно-частотный спектр функции Гаусса имеет вид
uG (соv, С0_-, qG) = 3[uG (у, z, qG)] = qG (t)exp
1 L2„2
a? со?)
(15)
Следует отметить, что зависимости (1), (3), (6), (9), (11), (14), представляют функции, нормированные по объему. Зависимости (2), (5), (8), (10), (13), (15) нормированы по значению.
Использование типовых функций для описания точечных источников позволит разрабатывать рациональные алгоритмы их обработки, что, в свою очередь, позволит повысить эффективность решения задачи идентификации [3].
Список литературы
1. Ларкин Е.В., Аршакян А.А., Луцков Ю.И. Селекция целей по наблюдаемым признакам // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. Вып. 9. Ч. 1. С. 74 - 81.
2. Аршакян А.А., Будков С.А., Ларкин Е.В. Математические модели точечных источников сигнала в полярной системе координат // Известия Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. Вып. 10. С. 163 - 168.
3. Аршакян А.А., Будков С.А., Ларкин Е.В. Эффективность селекции точечных сигналов, сопровождаемых импульсной помехой // Известия Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. Вып. 12. С. 198 - 204.
Аршакян Александр Агабегович канд. техн. наук, докторант, elarkin@,mail ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Андросов Алексей Юрьевич, асп., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
BASIC FUNCTIONS, USED FOR POINT SIGNAL SOURCES SIMULA TION
А.А. Arshakyan, A. Yu. Androsov
It is proposed to use for selection of targets typical formalisms of point sources. Models of ideal point source, cylinder and Gauss function are given. For given functions Fourier spectrums were obtained.
Key words: point signal source, two-dimension delta-function, cylinder, Gauss function.
Arshakyan Alexander Agabegovich, candidate of technical sciences, person working for doctor's degree, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Androsov Alexey Yurievich, postgraduate, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
