Использование функций Баттерворта для описания точечных источников Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИЙ БАТТЕРВОРТА ДЛЯ ОПИСАНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ

А.А. Аршакян, Ю.И. Луцков, М.Л. Савин

Разработана универсальная модель точечного источника, позволяющая описать его сложную форму и крутизну границ. Получено выражение для источников сложной формой с осевой симметрией. Для обоих случаев получены выражения для спектральной плотности сечения источника произвольного направления.

Ключевые слова: точечный источник, модель источника, функция Баттервор-та, спектральная плотность, осевая симметрия, информативные параметры.

Задача дистанционного измерения местоположения точечных источников электромагнитного излучения сводится к общему измерению состояния наблюдаемой сцены и классификации состояния сцены по характеру пространственной модуляции системы информативных параметров [1, 2, 3]. Собственно задача селекции и определения координат точечных источников сводится к отнесению системы наблюдаемых информативных параметров к тому или иному классу на основании математического описания точечного источника и среды [4]. Подобная задача инвариантна к типу сенсора и отличается только размерностью сигнала и величиной пространственно-временных интервалов обрабатываемых данных. Ее решение сводится к построению математического описания точечного источника в пространстве/времени и проверке на соответствие наблюдаемого сигнала модели [5, 6].

Основным первичным информативным параметром электромагнитного излучения является его интенсивность ue (x, y, z, t), определяемая в

точке пространства с координатами x, y, z в момент времени t. Будем считать, что излучающая поверхность в пределах локализации точечного источника К мало отличается от плоскости и описывается зависимостью (рис. 1)

vnxK (x - xK )+ vnyK (У - УК ) + vnzK (z - zK )= ^ (1)

где vnxK, vnyK, vnzK - направляющие косинусы нормали к плоскости nK;

xk , yK, zk - координаты центра точечного источника.

В пространстве xKy u точечный источник сигнала представляет собой некоторую функцию от координат x , y :

u = u (x , y ) . (2)

Функция (2) является действительной, неотрицательной, ограниченной по амплитуде и мощности, т.е.

¥ ¥ 2

1т [и (х\ у')] = 0,Re [и (х', у')] > 0; | | |и (х', у')| dx'dy' <™.

—¥ —¥

Рис. 1. Распределение значения параметра и точечного источника по плоскости х Ку

В приведенных ограничениях функция может иметь произвольный вид. Для решения задачи идентификации точечного источника должна быть построена аналитическая параметрическая математическая модель:

и = и \х ', у', q), (3)

где q - вектор параметров модели и', элементы которого подбираются таким образом, чтобы наилучшим образом соответствовать функции (2).

К аналитическим параметрическим математическим моделям для их использования при идентификации точечных источников должны быть предъявлены следующие требования:

модели должны быть достаточно точными, адекватно представляющими суть явлений в оптико-электронных системах;

модели должны быть максимально простыми с точки зрения оценки пространственно-частотных характеристик сигналов;

модели должны допускать усложнение, если точечный источник имеет сложную форму;

модели должны естественным образом стыковаться с существующими моделями описания прохождения сигнала через аппаратно-программные средства измерительной системы.

Соответствие модели (3) и функции (2) может быть достигнуто путем минимизации среднеквадратичной ошибки:

¥¥

q = а^ттq | |[и'(х', у', q) — и(х , у )]2dx' dy . (4)

—¥ —¥

Существует ряд типовых математических моделей точечного источника [7], в частности, 5-функция Дирака, функция Гаусса, цилиндр и др. К недостаткам существующих моделей можно отнести невозможность вариации крутизны границы при заданных размерах точечного источника, что не позволяет достичь требуемой степени адекватности модели.

От этого недостатка свободна функция Баттерворта г-го порядка, которая имеет следующий вид:

q(t )• R 2г (ф)

u(x', y ,q)

R 2r (j)

ix'2 + y 2

dx dy

x2 + y2 J + R 2r (j)

(5)

^ / 00 R 2 (ф) + (д

где q = ),R(ф), г] - вектор параметров; qв(t) - параметр, характеризующий «вес» функции; R(ф) - параметр, характеризующий ширину функции Баттерворта в направлении, определяемом углом ф между осью ^ и осью р полярной системы координат с центром в точке K, по которой измеряется ширина функции; г - параметр, характеризующий крутизну границ функции Баттерворта.

Координаты x', у в координаты р, ф пересчитываются по известным зависимостям:

р

*2 , 2 x + y

j = arceos

x

22

x + y

Функция (5) нормирована по объему. Целочисленный параметр r позволяет изменять крутизну границ от уровня, приближающегося к функции Гаусса (размытые границы точечного источника при r = 1, 2), до уровня, соответствующего цилиндру (контрастные границы при r > 5).

Наряду с моделью (5), построенной в сигнальной области, в ряде приложений целесообразно построение модели точечного источника в пространственно-частотной области [6, 7, 8].

Для определения спектральной плотности выберем направление оси р в диапазоне углов j, равном - p £ j £ p. Построим сечение функции (5) плоскостью x sin j + y'cos j = 0 . В этом направлении функция Баттерворта будет иметь вид

u '(р, q)

q(t)

íí

R2r (j)

oo r 2r (j)+x2 + y2)

dx dy •

R 2r (j+

р 2r + R 2r (j+ 1, при р = 0;

s, при р < 0;

R 2r ((

(6)

j

р 2r + R 2r (j

, при р < 0.

В положительном направлении оси р параметр R имеет значение

)

я(ф+), а в отрицательном направлении - значение я(ф+). Спектральная

плотность функции (3.19) имеет вид

и(юр, q) = 3[и '(р, q)] = 3[u'+ (р, q) + и (р, q)], (7)

где 3[и ' (р, q)] - преобразование Фурье; Юр - круговая частота в пространственной области; и'+ (р, q) - значение функции и '(р, q) в положительном

направлении оси р; и — (р, q) - значение функции и '(р, q) в отрицательном

направлении оси р.

Подставляя в (7) значения функции и '(р, q) из (6), получим

= и(Юр,q) =--4 7

¥¥

я2г (ф)

И

X

с

1

X — 2

V

я2г (ф+) ¿ГГ^

к =1 (С++— С+

31

0 я 2г (ф) + (х 2 + у2

ехР(— 1Юр С++)-

dxdy

П ^к + сп к+

п=0, п фк

с + сп—

+ п—

— ехр(— г'ЮрС+—)-

1

г

+ к

п=0, п фк

П С+—— С

+

п+

)с+— С+—)

1

+ я2г(ф—)£

к =1 \ск +— ск — )

ехр1

ехр(— г'ЮрС—+)-

П (с—+— сп+)с—+ — сп—)

п=0, п фк

г- -| —1 \

Ч У \

— Шрск —У П \ск — — сп +Кск — — сп —) >

п=0, п фк )

(8)

где д(ю) - спектральная плотность изменяющегося во времени параметра ); ю - круговая частота, соответствующая аргументу

с

+ к+

я(ф+)ехр 1^(2к +1)

Ск += Я(ф )ехр

. р

I —

2г

(2к +1)

; с+—= я(ф+)ехр ; с—— = Я(ф—)ехр

1 — (2к +1) 2г

— 1—(2к +1) 2г '

В частном случае, когда источник обладает симметрией относительно оси и, в модели (6) я(ф+ )= я(ф— ), построенная на основе функций Баттерворта г-го порядка, будет иметь вид

0

1

1

q(t )Я 2Г (ф)

,, ч р2г + Я2г (ф)

u (р,q)=¥¥ (л„2г()

и

00

q(t )Я 2Г (ф)

р 2г + я 2г (ф)

(9)

йх йу

По оси р спектральная плотность сигнала (9) принимает вид

и (wр, а)

Я

q(t )я 2г (ф)

йх'йу'

Я2 г ф

к=1 (с к + с к -) ,(- *

р2 г + Я2г (ф)

ехр(- 1а>р с к +1 П (с к + - с и + )(с к + - с и -)

и=0,и^к

-1

ехр- тр ск -

П(ск -

с

п+

)(ск -- сп -)

т=0, п ^ к

-1

(10)

где

ск+Я(ф)ехр

. р

* —

2г

(2к +1)

ск - = Я(ф)ехр

. р

* —

2г

(2к +1)

Следует отметить, что если зависимости (5), (6), (9) нормированы по объему, то спектральные плотности функций (8), (10) нормированы по значению.

Таким образом, получены выражения, позволяющие моделировать точечные источники сложной формы с произвольной крутизной границы. Задача моделирования формы является задачей вариационного исчисления [9] и решается посредством вариации Я(ф). Задача моделирования крутизны границ является задачей целочисленного программирования и решается путем подбора параметра г, одинакового для всех направлений оси р.

Список литературы

1. Аршакян А.А., Ларкин Е.В. Наблюдение целей в информационно-измерительных системах // Сб. науч. тр. Шестой Всерос. науч.-практ. конф. «Системы управления электротехническими объектами «СУЭТО-6». Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 222 - 225.

2. Аршакян А.А., Ларкин Е.В. Определение соотношения сигнал-шум в системах видеонаблюдения // Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. 3. С. 168 - 175.

3. Горшков А. А., Ларкин Е.В. Расчет наблюдаемой площади в системе с множеством видеокамер // Фундаментальные проблемы техники и

62

1

г

технологии. Орел: ГУ УНПК. 2012. № 4. С. 150 - 154.

4. Аршакян А.А., Будков С.А., Ларкин Е.В. Эффективность селекции точечных сигналов, сопровождаемых импульсной помехой // Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. 12. С. 198 - 204.

5. Аршакян А. А., Ларкин Е.В. Оценка координат точечных источников сигналов // Известия ТулГУ. Технические науки. 2013. Вып. 2. С. 3 - 10.

6. Аршакян А.А., Будков С.А., Ларкин Е.В. Использование фазовой составляющей спектра сигнала для идентификации движения // Известия ТулГУ. Технические науки. 2013. Вып. 3. С. 315 - 320.

7. Аршакян А.А., Будков С.А., Ларкин Е.В. Математические модели точечных источников сигнала в полярной системе координат // Известия ТулГУ. Технические науки. 2012. Вып. 10. С. 163 - 168.

8. Аршакян А.А., Ларкин Е.В. Фазовый спектр импульсной помехи // Известия ТулГУ. Технические науки. 2013. Вып. 7. Ч. 2. С. 130 - 136.

9. Основы теории оптимального управления / В.Ф. Кротов [и др.] / под ред. В.Ф. Кротова. М.: Высшая школа, 1990. 430 с.

Аршакян Александр Агабегович канд. техн. наук, докторант, elarkinamail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Луцков Юрий Иванович, канд. техн. наук, доц., elarkinamail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Савин Максим Леонидович, асп., elarkina mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

USE OF BUTTERWORTH FUNCTIONS FOR DESCRIPTION OF POINT SOURCE А.А. Arshakyan, Yu.I. Lutskov, M.L. Sanin

An universal formalism, which permits to descript complex shape and steepness of borders of point source is worked out. Expression for sources of complex shape with axis symmetry is obtained. For both cases expressions for spectrum densities of source arbitrary direction cross-section are worked out.

Key words: point source, formalism of source, Butterworth function, spectrum density, axis symmetry, informative parameters.

Arshakyan Alexander Agabegovich, candidate of technical science, postgraduate, elarkina mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Lutskov Yuriy Ivanovich, candidate of technical science, docent, elarkina mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Savin Maxim Leonidovich, postgraduate, elarkinamail. ru, Russia, Tula, Tula State University