Селекция и определение местоположения точечного источника Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

УДК 681.7

СЕЛЕКЦИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА

A.A. Акименко, А.Ю. Андросов, A.A. Аршакян

Разработай подход к оценке координат точечных источников, основанный на принципе согласованной фильтрации, Показано, что селекция может быть проведена с помощью свертки двумерного сигнала с любой осесимметричной функцией.

Кчючевые слова: сцена, точечный источник сигнала, помеха, селекция, местоположение, оптимальная фильтрация.

Понятие «точечный источник сигнала» широко применяется в теории пеленгации и радиолокации [1, 2, 3, 4]. Под точечным источником, как правило, понимается источник излучения электромагнитного сигнала, образ которого, поступающий на обработку, описывается унимодальной функцией, координаты максимума которой принимаются за координаты точечного источника [1, 2, 5]. В общем случае селекция точечного источника осуществляется в результате анализа сигнала u{Y, Z), в котором содержится информация не только о точечном источнике, но и о других предметах наблюдаемой сцены.

Модель u{Y, Z) может быть представлена в виде объединения непересекающихся областей

min (1)

Ju = 1

где и j \J,Z)>Uju inj[n - область модели, соответствующая ju-му предмету сцены; Uj п ит - 0, если ju Ф ти; Uj^ 1ШП - минимальное значение интенсивности сигнала, по которой идентифицируется ju -й предмет сцены;

Ju - общее количество предметов на сцене; У, 2 - координаты системы координат, приведенной к плоскости расположения приемников излуче-

ния.

На выходе аппаратных средств сигнал иу (У, 2 )> иу т^п внутри ]и

-й области может быть представлен в виде [5, 6, 7]

и] (У, 2) = и] (У, 2) • ти (У, 2) + аи (У, 2), (2)

«у и и

где иу (У, 2) - полезный сигнал, несущий информацию о уи -м предмете

сцены; ти (У, 2) - мультипликативный шум; аи (У, 2) - аддитивный шум.

Общепринятой практикой является сведение мультипликативного ти (У, 2) и аддитивного аи (У, 2) шума к суммарному эквивалентному аддитивному шуму пи (У, 2, t), и представлению сигнала (2) в виде

ии (У,2) = ии (У,2) + пи (У,2), (3)

пи (У, 2) - эквивалентный аддитивный шум, который считается стационарным по всей плоскости расположения преобразователя электромагнитного излучения в электрический сигнал.

Информативной составляющей при селекции точечного источника являются: вид области и у (У, 2 )> и у т^п е и '(У, 2), по которой может быть

произведена классификация «точечный источник/не точечный источник», на основании той или иной модели и пиковое значение сигнала в указанной области. Именно по координатам (Ущ , 2щу )= а^тах[иу (У, 2)] определяется местоположение точечного источника на наблюдаемой сцене.

Преобразование модели и(У, 2, t), полученной на выходе аппаратных средств, в множество информационных моделей областей и у (У, 2),

1 £ уи £ Ju, селекция из множества информационных моделей точечных источников и затем определение по отобранным моделям значений координат (Ущ , 2щу ), определяющие местоположение уи -го точечного источника ]и е{1,..., Ju}, производится программными средствами систем пеленгации/радиолокации, поэтому от сложности алгоритмов, закладываемых в программные средства, и точности их работы зависит эффективность функционирования всей системы в целом [8, 9, 10]. Этапами преобразования сигнала являются:

выделение из сигнала и(У, 2) области, и у (У, 2), являющейся моделью уи -го предмета на сцене;

проверка гипотезы, является ли уи -й предмет сцены точечным источником;

определение координат Ущу , 2щу местоположения уи -го точечного источника.

Любое алгоритмическое преобразование сводится к вычислению некоторой функции от сигнала u(Y, Z), например f[u(Y, Z)]. Критерий, по которому можно судить о качестве преобразования, имеет вид:

e= X Я Iм/ (Y, Z )—fL- (Y, Z )]}2 dYdZ ® min. (4)

Ju

Ju V "Ju min

Ju =1 Uu (Y, Z )>u

Исходя из критерия (4), преобразованный сигнал f[uj (Y, Z)] должен быть максимально приближен к исходному сигналу uj (Y, Z) в области uJu (Y,Z )> uJu min.

Пусть преобразование ф[...] проводится для всей плоскости YОZ расположения преобразователя электромагнитного излучения в электрический сигнал, которую в данном случае будем считать бесконечной, как по координате Y, так и по координате Z. Целью преобразования является поиск области u / (Y, Z )> u / min, в которой содержится информация о Ju -м

uu

точечном источнике, сигнал которого имеет вид uj (Y, Z). Вся прочая информацию о других предметах наблюдаемой сцены считается, в контексте решаемой задачи, шумом. Сведем функциональное преобразование f[uj (Y, Z)] к вычислению корреляционного интеграла

¥ ¥

u'(Y,Z) = ф/ [u(Y,Z)]= J Ju(~,Z)• fju [(Y + Y),(Z + Z)]dYdZ , (5)

— ¥ —¥

где fj (Y, Z) - импульсный отклик фильтра, обеспечивающего селекцию

Ju -го точечного источника; Y, Z - вспомогательные аргументы; фsj [u(Y, Z)] - функция селекции Ju -го точечного источника.

Импульсный отклик фильтра fj (Y, Z) должен быть подобран таким образом, чтобы минимизировать ошибку

¥ ¥

e2 = J J [u (Y, Z) — u(Y, Z )]2 dYdZ ® min. (6)

-¥ —¥

Очевидно, что зависимость (6) будет выполняться, если в результате обработки в сигнале и (У, 2) будет обеспечиваться максимальное соотношение сигнал/шум.

Пусть с помощью фильтра с импульсным откликом (у, 2) обрабатывается белый шум, корреляционная функция которого определяется 5-функцией Дирака. В этом случае мощность шума после обработки, определяется зависимостью

= 1 1

— ¥ —¥

¥ ¥

1 15(~,2)• ] [(У + У),(2 + 2)

—¥ —¥

2

аУа2 =

= 1 1 /? (у , 2

(7)

Соотношение сигнал/шум, формируемое в результате функционального преобразования, определяется в виде

2

N

и

1 1 и и У2 )• [(у+~ И (2+2)

йУсО.

— ¥ —¥

N

(8)

пи

1 1 ¡2 (у, 2 )йУй2

и

—¥ —¥

где Nu - мощность сигнала после преобразования; Nnu - мощность шума после преобразования; и у (~, 2) - полезная составляющая сигнала до обработки.

Согласно неравенству Шварца-Буняковского [11]

2

1 1 [(у + У) (2 + 2 )]У2

N

N

£

1 1 и к (У, 2 )с1Ус12

пи

1 1 ¡2 (У, 2 )йУй2

и

—¥ —¥

Подставляя в (10) выражение (9), получим

¥¥

1 1 ии (у2> ¡и [(У + ~),(2 + 2рЖ

£

1 1 ¡2 (У, 2 )Мд2

и

(9)

£

1 1 и у (У, 2 )йУй2

—¥ —¥

22 ¥¥

1 1 ¡и (У, 2 ^У2

—¥ —¥

1 1 ¡2 (У, 2 )йУй2

и

—¥ —¥

Равенство в (10) имеет место в случае, когда

](У,2) = К ]ииуи (У, г),

где к у - выравнивающий коэффициент.

Ju

(10)

¥ ¥

¥ ¥

¥ —¥

¥ ¥

¥ —¥

¥ —¥

¥ ОО

2

¥ —¥

¥ ¥

¥ —¥

¥ ¥

Таким образом, в функциональном преобразовании (5) оптимальное соотношение сигнал/шум обеспечивается, если импульсный отклик фильтра fj (7,Z), обеспечивающего селекцию ju -го точечного источника, имеет форму полезного сигнала. Смещение фильтра в процессе вычисления корреляционного интеграла является переменной величиной, и поэтому можно утверждать, что максимального значения выходной сигнал достигает, когда пространственные координаты фильтра совпадают с пространственными координатами сигнала. Это свойство оптимального фильтра может быть использовано для поиска точечного источника и идентификации его местоположения.

В случае, если селекция точечного источника производится по одной координате, (11) принимает вид

fjSY>4,"i,M)' (и)

где fj (7) - импульсный отклик фильтра в одномерном случае; Uj (7) -

форма сигнала от импульсного источника в одномерном случае.

Таким образом, процедура определения местоположения точечного источника сводится к двум операциям:

вычислению корреляционного интеграла (5);

определению точки на плоскости расположения преобразователя электромагнитного излучения в электрический сигнал, в которой корреляционный сигнал достигает максимума.

Применение согласованного фильтра вида (9) на практике ограничивается следующими обстоятельствами:

вид функции, описывающей точечный источник, и ее параметры заранее неизвестны;

процедура вычисления корреляционного интеграла имеет высокую вычислительную сложность.

Покажем, что в случае неизвестных видов функции и параметров точечного источника он может быть выделен путем вычисления корреляционного интеграла с функцией Гаусса. Для этого будем полагать:

1) импульсный отклик фильтра и модель точечного источника строятся вдоль координаты р = y¡Y2 + Z2 , откладываемой в направлении 7

ф = arceos

л/72 +Z2

модель точечного источника и^ (р) кроме того, что обладает осевой симметрией, представляется гладкой дифференцируемой функцией, для которой выполняется условие Дирихле (абсолютная интегрируемость)

|[г/Л(Р)]2ф<оо; (13)

импульсный отклик фильтра fj (р) содержит конечное множество точек разрыва первого рода р_n , • ••, Р-n , • ••, Р-1, Pl,-, Pn,•••, РN таких, что

-р-n=Pn; (14)

в точке (Y, Z) = (0,0) импульсный отклик фильтра fj (р) не имеет разрыва, т^

lim f (р)= lim f (р); (15)

р®0, Ju р®0, Ju р<0 р>0

импульсный отклик фильтра fj (р) на любом участке,

-¥<р<р-n, •••, р-n <р<р-n+1, •••, р-1 <р<0, 0<р<рь •••, рп-1 < р < рп, •••, рn < р < ¥ является гладкой дифференцируемой функцией;

вследствие симметрии для любой пары участков р-n < р < р-n+1, рп-1 < р < рп выполняется равенство

fju (-р)=fj,, (р); (16)

для импульсного отклика фильтра f j (р) выполняется условие Дирихле

jк, (р)]2 Ф<

(17)

Рассмотрим корреляционный интеграл j u, (р )• fj (р + р)^р • Ука

занный интеграл может быть представлен в виде

¥

j uju (р> f,u (р + р )d5 =

N+1

= I

n=1

р-П+1 р р рП р р

Juju ^ fju (р + р)^р + juju (Р^ fju (р + р)^р

-р-П рП-1

(18)

где р_ N _ =-¥; р N+1 =¥.

Каждая пара интегралов из (18), помещенная под знак суммы существует, поскольку для (р) и Ы; (р) выполняется условия (13), (17).

«УН и

Вследствие справедливости равенств (15) и (16), для каждой пары интегралов, помещенных под знак суммы, в окрестностях точки (7,2 ) = (0,0), выполняется свойство

р-

-n+1 р n

Juju (р) • fju (P)dP = juju (р) • fju (р)^р •

'n-1

¥

— ¥

¥

—¥

р

n

Необходимым условием существования экстремума в точке (7,2 ) = (0,0) будет равенство нулю производной от (16). Продифференцируем (18) по р в окрестностях точки р = 0, будем иметь:

dр

р_п+1

и]„ (р)' fL (р +

Л

_р_п

Ju dр

=А

р = 0 dP

р _п+1

I и

_р_п

Л

(р) (р + рЬр (р^—ф

dр

р=0

рп

I

рп_1

«и (_ р)-

(р_р)

dр

d (_ р)

р = 0

А dр

|«

рп_1

]и

(р)- !]и (р№

(20)

р = 0

Таким образом, для любой пары интегралов, помещенных под знак суммы в (18) выполняется равенство

а

ар

р_п+1 р р р рп р р р I и1и (р)- f1u (р + р)Ар + I и1и (р)- f1u (р + р)Ар

_р_ п

рп_1

= 0. (21)

р = 0

Производная от корреляционного интеграла (18) в точке (7,2) = (0,0) обращается в ноль, а следовательно в указанной точке имеет место его экстремум. Таким образом, гипотеза об оптимальном выделении точечного источника, обладающего осевой симметрией, из сигнала, содержащего белый шум, с использованием фильтра, импульсный отклик которого также обладает осевой симметрией, может считаться доказанной. Функция, обеспечивающая оптимальное определение координат точечного источника с осевой симметрией, может быть произвольной. Минимальные требования к указанной функции являются следующими: функция должна быть обладать осевой симметрией; функция должна быть неотрицательной, на всей области определения;

функция должна эффективно подавлять аддитивный белый некоррелированный шум;

процедура вычисления корреляционного интеграла с использованием функции должна иметь низкую вычислительную сложность.

Применение функций с подобными свойствам позволяет эффективно выделять сигнал точечного источника, расположенного среди других предметов сцены.

Список литературы

1. Аршакян А.А., Андросов А.Ю. Базовые функции, используемые для моделирования точечных источников // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2015. Вып. 7. Ч. 1. С. 244 - 250.

2. Аршакян А.А., Будков С.А., Ларкин Е.В. Математические модели точечных источников сигнала в полярной системе координат // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. Вып. 10. С. 163 - 168.

3. Горшков А. А., Ларкин Е.В. Расчет наблюдаемой площади в системе с множеством видеокамер // Фундаментальные проблемы техники и технологии. Орел: ГУ УНПК. 2012. № 4. С. 150 - 154.

4. Ларкин Е.В., Котов В.В., Котова Н.А. Система технического зрения робота с панорамным обзором // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2009. Вып. 2. Ч. 2. С. 161 - 166.

5. Аршакян А.А., Будков С.А., Ларкин Е.В. Эффективность селекции точечных сигналов, сопровождаемых импульсной помехой // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. Вып. 12. С. 198 - 204.

6. Ларкин Е.В., Аршакян А. А., Луцков Ю.И. Селекция целей по наблюдаемым признакам // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. Вып. 9. Ч. 1. С. 74 - 81.

7. Аршакян А. А., Ларкин Е.В. Определение соотношения сигнал-шум в системах видеонаблюдения // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2012. Вып. 3. С. 168 - 175.

8. Аршакян А. А., Ларкин Е.В. Оценка координат точечных источников сигналов // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2013. Вып. 2. С. 3 - 10.

9. Ларкин Е.В., Лагун В.В. Классификация как информационный процесс // Известия Тульского государственного университета. Проблемы специального машиностроения. Тула: ТулГУ, 2001. Вып. 4. Ч. 2. С. 21 - 25.

10. Котов В.В., Ларкин Е.В. Поиск целей на тепловизионных изображениях // Известия Тульского государственного университета. Проблемы специального машиностроения. Тула: ТулГУ, 2001. Вып. 4. Ч. 2. С. 25 - 29.

11. Купер Дж. Макгллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. М.: Мир, 1989. 378 с.

Акименко Татьяна Алексеевна, канд. техн. наук, доц., tantan72@,шаИг«, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Андросов Алексей Юрьевич, асп., elarkin@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Аршакян Александр Агабегович канд. техн. наук, докторант, elarkin@,mail ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

SELECTION AND DEFINITION OF A POINT SIGNAL SOURCE CO-ORDINATES

T.A. Akimenko, A. Yu.Androsov, A.A. Arshakyan

An approach to evaluation of co-ordinates of point signal source, based on optimal filtration principle, is worked out. It is shown, that selection may be executed with use of convolution of observed signal with arbitrary axis-symmetrical function.

Key words: scene, point signal source, noise, selection, co-ordinates, optimal filtration.

Akimenko Tatiana Alekseevna, candidate of technical sciences, docent, tcintan 72 a ma.il. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Androsov Alexey Yurievich, postgraduate, elarkin@,mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Arshakyan Alexander Agabegovich, candidate of technical sciences, postgraduate, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University