Фазовый спектр импульсной помехи

Аршакян Александр Агабегович; Ларкин Евгений Васильевич

УДК 62.50

ФАЗОВЫЙ СПЕКТР ИМПУЛЬСНОЙ ПОМЕХИ

А. А. Аршакян, Е.В. Ларкин

Разработана методика определения фазового спектра импульсной помехи при наблюдении импульсного полезного сигнала. Показано, что фазовый спектр импульсной помехи может быть сведен к сумме гармоник со случайной амплитудой и случайной частотой. Получены зависимости, связывающие расположение импульсов помехи в наблюдаемой области сцены и фазовую частотную характеристику спектра.

Ключевые слова: сигнал, импульсная помеха, преобразование Фурье, амплитудная составляющая спектра, фазовая составляющая спектра, спектр импульсной помехи

Анализ фазовой характеристики сигнала является эффективным инструментарием для обнаружения факта движения объекта по наблюдаемой сцене [1]. Однако, в реальных условиях сигнал, несущий полезную информацию о сцене, сопровождается импульсной помехой, что затрудняет его идентификацию [2, 3]. Поэтому для эффективной настройки датчика движения необходимо иметь математическую модель фазового спектра импульсной помехи.

В самом общем сигнал во временной области и(ґ) может быть представлен его спектральной характеристикой

и(ю) = 3[и(ґ)] = А(ю)- ехр[іф(ю)], (1)

где 3[и(ґ)] - прямое преобразование Фурье [4] сигнала и(ґ); ґ - время; ю -

круговая частота; А(ю) - амплитудная характеристика спектра; ф(ю) - фазовая характеристика спектра; і = 4—1.

Помеха представляет собой серию из N импульсов

N

40= Ё Vп(), (2)

п=1

где vn (ґ) - п-й импульс.

Каждый импульс представлен его спектральной характеристикой, вследствие чего в целом помеха может быть представлена в виде

N

К (ш) = ЗИґ )]= Ё Ап (ю)ехр[іф п(ю)], (3)

п=1

где Ап(ю) - амплитудная характеристика спектра п-го импульса помехи; фп(ю) - фазовая характеристика п-го импульса помехи.

Если помеха является аддитивной, то сигнал и его спектр имеют вид, соответственно

N

w(

(t )= u(t)+ I vn (t).

v n=1

(4)

N

W (w) = A^exp^^)] + I An ^exp^ n (w)].

(5)

n=1

В области пространственного аргумента сигнал u (x, y) спектр сигнала представляется в виде

U (wx, wy ) = ^ [u ( x, y )] = A (wx , wy )• exp іФ(Юг , wy ) , (6)

где x, y - пространственные координаты; wx , wy - пространственные круговые частоты, соответствующие координатам x, y; A(wx, wy ) и

Ф (wx , wy ) - амплитудная и фазовая характеристика пространственного

спектра, соответственно.

Импульсы помехи при пространственном аргументе представляются в виде

N

I

n=1

v (x y )= I vn (x, y),

(7)

где vn (X, у ) - п-й импульс.

Каждый импульс представлен его спектральной характеристикой, вследствие чего в целом помеха может быть представлена в виде

N

V ( x,y ) I An (wx, wy ) exp іФn (wx, wy )

n=1

(8)

где An (юx, Юу) - амплитудная характеристика спектра п-го импульса помехи; Фп (юx,Юу ) - фазовая характеристика п-го импульса помехи.

Если помеха является аддитивной, то сигнал и его спектр имеют вид, соответственно

N

w ( x, y ) = u ( x, y )+ I vn ( ^ y )

(9)

n=1

N

W (wx, Wy ) A (w) exp iф(wx, Wy ) + I An (wx , wy ) exp іФn (wx, Wy ) . (10)

n=1

В обоих случаях фазовая характеристика спектров сигналов W (w), W (wx, Wy) имеет вид:

N

A sin Ф + I An sin Ф

n

Ф w = arctan-

n=1

N

(11)

A cos Ф+ X An cos Фn

n=1

Разделим числитель и знаменатель дроби (6) на A(w), будем иметь:

Ф w = arctan

N

sin Ф + I an sin Фn

_________n=1______________

N

cos Ф+ I an cos Фn

n=1

(12)

A

n

где аи = —^ - отношение уровня и-го импульса помехи к величине полез-

A

ного сигнала.

Разложим Фw в ряд Тейлора в окрестностях точки Ф = Фи, а1 = 0,

an = 0

a n = 0, будем иметь

N

фw Ы = фЫ + Ian sin[фn Ы-Фu(w)]

(13)

n=1

для фазового спектра одномерного сигнала, и

N

Фw (®х,®у ) ф(«X,®у )+ I аи sin[Фи (®х,®у ) Фи (®х,®у )] (14)

и=1

для фазового спектра двумерного сигнала.

Вычитая из (13), (14) текущее значение фазы полезного сигнала, получим выражение для фазового спектра помехи одномерного и двумерного сигнала:

N

ФV Ы= Iаи sm[фи Ы-Фи Ы];

и=1

N

а и и=1

В частном случае полезный сигнал и помеха могут быть описаны функциями Гаусса [5]:

для одномерного сигнала -

\2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

фv (wx,wy ) I an ^п[фn (wx,wy ) фu (wx,Wy )]. (15)

u

(t) = B exp

N

v(t)= I Cn exp

n=1

(t - T )2 2b 2

(t - Tn)

2c

n

(16)

2

где Ь, с - параметры, определяющие ширину функции Гаусса; Т, Тп - смещения импульсов относительно начала координат; для двумерного сигнала -

\2

и (х, у )= В ехр

(х - X )2 +(у - Г )

2

2Ь

2

N

Их, у )= Е сп ехр

п=1

(х - Хп )2 + (у - Гп )

2с

п

(18)

(19)

где Х, Хп, Гп - смещения импульсов относительно начала координат.

Спектры несмещенных функций Гаусса имеют нулевой фазовый

сдвиг:

3

В ехр

' _ і! Л 2Ь 2

= ВЬ л/2р ехр

22 © Ь

2

= Л(©) > 0;

3

В ехр

сп ехр

2 і2

2с2 V ^п

= Спсп л/2Р ехр

V У

22 © с

п

2

= Лп (©) > 0 ;

(20)

(21)

2Ь

2

у

3

сп ехр

V

22 х2 + у2

V

2с

п

=2рВЬ ехр

2рВЬ ехр

Ь 2 (©2 +©2 2

сп©+©2)

2

Поэтому, в соответствии с теоремой о смещении [4], фазовый сдвиг смещенных гауссианов полностью определяется местоположением центра импульса одномерного/двумерного сигнала.

(г - Т )2

3

В ехр

2Ь

3<!

3

Сп ехр 1 1 1 п 2 1

2с _ ^п _|

В ехр

3-

Сп ехр

(х - X )2 + (у - Г )2

2Ь 2

(х - X )2 +(у - Г )2 2с 2

► (26)

пу^х^у,

©хХ + © уГ ]

427)

Подставляя полученные зависимости в (15), получим: фазовый спектр помехи одномерного сигнала -

N

и=1

фазовый спектр помехи двумерного сигнала -

и=1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Вид одномерного и двумерного фазового спектра помехи приведен на рис. 1 а, б соответственно. Фазовый спектр помехи представляет собой набор гармоник, амплитуды и частоты которых являются случайными величинами, и поэтому он имеет вид случайного сигнала.

а б

Рис. 1. Фазовый спектр помехи сигнала а - одномерного, б - двумерного

Спектры, приведенные на рис. 1, были получены путем моделирования при следующих условиях:

а и - случайная величина, распределенная равномерно в интервале

0 - 0,1;

Ти - случайная величина, распределенная по экспоненциальному

3 1

закону с показателем, равным 10 с" ;

Хи, Уи - случайные величины, распределенные по экспоненциаль-

1 -1

ному закону с показателем, равным 1 мм .

Список литературы

1. Ларкин Е.В., Аршакян А.А., Будков С.Н. Использование фазовой составляющей спектра сигнала для идентификации движения // Известия

ТулГУ. Сер. Технические науки. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 315 - 320.

2. Аршакян А. А., Ларкин Е.В. Определение соотношения сигнал-шум в системах видеонаблюдения // Известия ТулГУ. Сер. Технические науки. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 168 - 175.

3. Ларкин Е.В., Аршакян А.А., Будков С.Н. Эффективность селекции точечных сигналов, сопровождаемых импульсной помехой // Известия ТулГУ. Сер. Технические науки. Вып. 12, ч. 2. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 239 - 244.

4. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. - М.: Физматлит. 2001. 336 с.

5. Ларкин Е.В., Аршакян А. А., Будков С.Н. Математические модели точечных источников сигнала в полярной системе координат // Известия ТулГУ. Сер. Технические науки. Вып. 10. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 163 - 168.

Аршакян Александр Агабегович, канд. техн. наук, elarkin@mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

Ларкин Евгений Васильевич, зав. кафедрой, докт. техн. наук, профессор, [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет

PHASE SPECTRUM OF IMPETUS NOISE A.A. Arshakyan, E. V.Larkin

The method of impetus noise phase spectrum definition, when impetus effective signal is observed, is worked out. It is shown that a phase spectrum of impetus noise may be reduced to the sum of harmonics with probable amplitudes and probable frequencies. Dependencies which link position of noise impetuses in observed domain of scene and phase frequency characteristic of spectrum are obtained.

Key words: signal, impetus noise, Fourier transform, amplitude characteristics of spectrum, phase characteristics of spectrum, impetus noise spectrum.

Arshakyan Alexander Agabegovich, postgraduate, candidate of technical science, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University

Larkin Eugene Vasilyevich, head of chair, doctor of technical science, professor, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University

Фазовый спектр импульсной помехи Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

PHASE SPECTRUM OF IMPETUS NOISE

Текст научной работы на тему «Фазовый спектр импульсной помехи»