CC BY
30
УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
УДК 681.3
МНОГОКАДРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ИМПУЛЬСНОЙ ПОМЕХИ
Разработан подход к фильтрации помех при наблюдении статических сцен, сформированных точечными источниками. Показано, что эффективным методом фильтрации импульсных помех является многокадровая фильтрация. Разработан метод оптимального выравнивания координат при многокадровой фильтрации.
Ключевые слова: сигнал, точечный источник, гауссиан, шум, сцена, наблюдение, многокадровая фильтрация, выравнивание координат, оптимизация.
Наблюдение групповых импульсных сигналов достаточно широко применяется в системах пространственной ориентации космических аппаратов, навигации, пеленгации и т.п [1, 2, 3]. На практике полезные импульсы сопровождается помехами [2]. Эффективное выделение полезной составляющей возможно при многократном наблюдении одной и той же сцены, если местоположение импульсов на оси аргумента не меняется, или меняется незначительно, а импульсы помехи при каждом наблюдении имеют новые случайные координаты.
Модель сцены наблюдения может быть построена с использованием следующих допущений [4]:
все импульсы на выходе сенсора имеет форму гауссиана; расстояние между импульсами настолько велико, что взаимовлияние двух соседних импульсов пренебрежимо мало.
сцена наблюдается N + 1 раз, при этом первое наблюдение имеет номер ноль и формирует базовую модель сцены, а все остальные наблюдения формируют приводимые модели сцены;
групповой полезный сигнал включает К импульсов, а количество импульсов помехи является случайной величиной.
В соответствии с принятыми допущениями базовая группа из К импульсов полезного сигнала описывается следующим выражением:
А.А. Аршакян, Ю.И. Луцков, А.С. Новиков
где А^ - фактор, определяющий величину (интенсивность) к-го импульса
при нулевом наблюдении; а0 - фактор, определяющий ширину (размытость) к-го импульса при нулевом наблюдении; Хк - смещение к-го импульса относительно начала отсчета оси аргумента; К - количество импульсов в группе.
При п-м наблюдении, 1 £ п £ N, за счет смещения начала отсчета по оси аргумента на величину Ап, приводимая группа из К импульсов полезного сигнала описывается следующим выражением:
К АП /п >А п )= X
к=1
л/2р
а
ехр
2К
(2)
где Ак и ак - факторы, определяющие величину и ширину импульса при п-м наблюдении сцены, соответственно; Ап - смещение начала отсчета по
оси аргумента при п-м наблюдении; 1 £ п £ N.
Последовательность импульсов помехи имеет вид
ьуп
§п()= X
Ь(п) А
п
1 (п)
/ (п )=1 л/^лаП
ехр
1 (п)
х/ (
п
2К(п)
(3)
где /(п) - индекс для обозначения 1-го импульса помехи при п-м наблюдении; Ь(п) - количество импульсов помехи при п-м наблюдении; А*Пп) и
- факторы, определяющие величину и ширину импульса при п-м на-
а1 (п)
блюдении сцены, соответственно; X/(П) - смещение к-го импульса от точки
начала отсчета оси аргумента при п-м наблюдении.
Пусть необходимо совместить по оси аргумента пару импульсов
вида
В0
л/2лЬ0
ехр
2Ь
В
о
и ^,А)= Д ехР л/2лЬ1
(' - а)2
2Ь?
(4)
где Во и В1 - факторы, определяющие величину совмещаемых импульсов; Ьо и Ь1 - факторы, определяющие ширину совмещаемых импульсов; А -
смещение импульса относительно нулевого.
Под совмещением понимается ситуация, когда ось симметрии гаус-сиана ¿о () совпадает с осью симметрии гауссиана ). Ошибка совме-
щения может быть определена по среднеквадратичному расстоянию между кривыми
2
2
2
I
&)= I
Вс
42кЪ(
ехр
2Ь,
оу
л/2рЬ!
ехр
¿-а)
2Ь,2
& .
(5)
Независимо от соотношения величин Во, В,, Ьо и Ь, ошибка (5) достигает минимума в точке А = 0.
Минимум критерия (5) достигается в точке, в которой производная
йе(А)
йА
0:
йе(А)
йА
Вс
42жЬ(
ехр
2Ь,
В,
о
42кЬ\
ехр
(г -А)2
2Ь ,2
= 0. (6)
Выражение (6) путем эквивалентных преобразований приводится к
виду:
В0 В1
2%Ъ0Ъ
0Ь1
V
2Ь,
о У
(Г -А)2
2Ъ
1
В
2рЬ
ехр
1
(Г -А)2
2Ь
1
= 0. (7)
Второй член выражения (7) равен нулю, а для его первого члена справедливо равенство:
В0 В1
Нш
| ехр
( 2 ^ г2 й ехр 1 < с 1 1 1 = 0. (8)
2 2Ъ{
А——0 2рЬ(Ь,
Функция е(А) является монотонно возрастающей и имеет пределы:
Нш е(А):
В0Ъ1 + В12ьо
при А — ¥;
^л/рЬоЬ,
В§ь, + В,2 Ь( л/2В( в,
(9)
2л[кьоь1 ^ к(ь(2 + ь,2)
при А — 0.
Вид функции (5) для некоторого соотношения Во, В1, Ь( и Ь1 приведен на рис. 1.
Таким образом, и в том случае, если параметры В(, Ь( гауссиана Н( (г) не совпадают с параметрами В1, Ь1 гауссиана Н^г) минимальное значение е(А) достигается в точке в которой оси симметрии гауссианов совпадают, а следовательно ошибка е(А) может быть использована в качестве критерия при совмещении точек отсчета групп импульсов.
Для фильтрации помехи [5] необходимо совместить базовую группу (1), включая помеху (3), с п-й, 1 £ п £ Ы, приводимой группой (2), включая помеху (3), при этом должна минимизироваться ошибка приведения [6, 7]
2
2
I
оо
2
2
ОО
г
— оо
оо
2
оо
г
оо
оо
¥
е(А п )= ! И/Ь ( )+ &0 {* )]-[/и (,А п )+ &п )й2 & ® т1п- (10)
— ¥
е(А) «оЬ + 2л/я :
-В?Й0 ¿0Ь1 у'
/ /
/ / /
' / / У /
У В Ь + !>1 ¿0 V2^0 В А
24пЬф1 ^ Рь0 + ь2
Рис. 1. Вид функции (5)
При минимизации (10) вследствие того, что импульсы помехи в базовой и п-й приводимой группе не перекрываются, значение ошибки для каждого /(Ь)-го, 1 £ /(0) £ Ь(Ь) и /(п)-го 1 £ /(п) £ Ь(п) гауссиана стремится к
/ (0), °/(0), А/(п), и а/(п)
А
п
и а
п
постоянной величине, определяемой значениями
При перекрытии гауссианов из группы /0 () с соответствующими гауссиа-нами из группы /п (?, А п) значение ошибки будет стремиться к минимуму при Ап ® 0.
Задача совмещения начал отсчета с минимизацией ошибки е(Ап)
может быть решена любым методом, например, методом последовательных приближений [7].
После совмещения точек отсчета осей аргументов сигнал базовой группы импульсов остается неизменным и имеет вид
^0 (? ) = /0 (? ) + &0 (? ) =
к к=1
А
к
л/2ра0
ехр
(^ -^к)2
2 а
к
А
Ь(0)
+ £ Г-I (0)=1 л/2р<
/ (0)
ехр
I (0)
2а
(11)
Импульсы приводимых групп оказываются смещенными относиЛ*
тельно первоначального положения на величину - Ап , которая является
оптимальной оценкой необходимой величины смещения, полученной за счет минимизации критерия е(Д п ):
I («) = ^ («,Дп - Дп ) + £0 ( - Дп )= I гАк п exP
к=1л/2Ра
2(аП )2
Ь(п) А» )
I 1 (п)
I (п )=142ка
п 1 (п)
exp
х/ (п)
+ Д»
2а
ч(п)
*к
1 £ п £ N.
(12)
Фильтрация импульсной помехи может быть произведена после приведения методом усреднения результатов из N + 1 наблюдений [5]:
N
I *п ( )
* )=
п=0
1
N +1
N I
N +1 п=0
к ап
I к „ exP
к=1-\12па
п
к
п
2а
+
п
/ (п )=1 л/2гёаП(
exp
1 (п)
х/(п)
-Д
п
Н,)
(13)
где Д 0=Д0= 0.
Если совмещение базовой и приводимых групп импульсов произво-
*
дится безошибочно, Дп - Дп = 0. В этом случае
(«-х к)2
к "
) =
1
N
I
N +1 п=0
;=1 л/2Р<
а
к
+
п
/ (п )=1 л12каП(
exp
( -х/(п)-д)2
2(а/(п)
(14)
Как видно из (14), после фильтрации полезный сигнал усредняется, а величина импульсной помехи уменьшается в N - 1 раз.
Использование (14) для решения целевых задач не вполне удобно, вследствие громоздкости выражения, поэтому для получения окончательного результата фильтрации первое слагаемое выражения 14 должно быть аппроксимировано функцией Г аусса вида
С
л/2Р
exp
(«-х к)2
2с
2
(15)
Без нарушения общности для упрощения выкладок при аппрокси-
£
>
>
мации можно считать, что все гауссианы симметричны относительно оси ординат. В этом случае аппроксимация принимает вид
1
N АП
-------I --------к— ехр
N +1 п=0 42жапк
г
2
2(акп
С
42%с
ехр
2 г2
2с"
(16)
При аппроксимации по методу наименьших квадратов за счет вариации факторов С и с, определяющих величину и ширину аппроксимирующего импульса, соответственно, должна быть минимизирована ошибка
е(с, с )= |
1
N АП I-^- ехр
N + 1 п=0л/2Р
са
г
2
2(а,
с
л/2Р
ехр
Ж. (17)
В точке оптимума должны выполняться условия:
,2
N +1
п=0
л/2Ра
х
ехр
г'
л/2го
ехр
2(а»
' г2
С
с
2с
2
л/2Рс Жг = 0;
ехр
А г2 л
“2с2
х
N +1
п=0
х
С
42%с2 у
л/2Ра
ехр
ехр
V У
г2
2(а»
С
л/2Р<
ехр
2 г2
2
С г + —¡=------ехр
с
г
2
лЙРс с 3
г
V 2
х
V
2с
2
2с Жг = 0.
(18)
Условия (18) дают следующую алгебраическую систему нелинейных уравнений для расчета С и с:
1
N +1 л/2Р
1 N
1 I
Ап
Ак
С
п=0 с 2 + (а»
2л/яс
0;
1 с N
—________ I -
N +1 л/2Р п=0
Ап
Ак
(а, Г + с2
С
3 4л/Рс2
= 0.
(19)
Из первого уравнения системы (19) может быть выражено значение
С
4л/Рс 2
2
2
оо
г
— оо
I
— оо
1
оо
I
— оо
2
г
11 N АП C
—-------/=- I , k -— —. (20)
N +1 2^2pc п—о I 2 + (an j2 4л/Рс
Подстановка полученного значения во второе уравнение дает N Ап с2 -(ап
1 ______k________^ k' = о (21)
п-о^Чг)2(anf «2 '
Из (21) может быть найдено значение с, подстановка которого в
(20) позволяет вычислить С. В частном случае, когда условия наблюдения
k-го импульса не меняется и выполняется равенство аП — constп— а^, из
1 N
(21) следует, что с — а^ и C — - IАП . Аппроксимация множества на-
N + 1П—0
блюдаемых импульсов гауссианом показана на рис. 2.
Рис. 2. Аппроксимация линейной комбинации гауссианов
гауссианом Нф
На рис. 2 штрихпунктирной линией обозначены составляющие линейной комбинации гауссианов, сплошной линией показана усредненная сумма гауссианов, а штриховой линией - результат аппроксимации.
Наряду с усредняющей процедурой (13) при фильтрации может быть применены и другие виды фильтрации, например, взвешенное усреднение, или медианная фильтрация [5].
Таким образом, выделение импульсного полезного сигнала, сопро-
вождаемого импульсной помехой может быть достаточно эффективно проведено с выполнением следующих операций: совмещения начал отсчета осей аргументов для различных экспериментов наблюдения, усреднения импульсов, относящихся к группе с подавлением импульсной помехи и аппроксимации импульсов с усредненной формой гауссианом по методу наименьших квадратов.
Список литературы
1. Ларкин Е.В., Акименко Т.А., Лучанский О.А. Оценка «смаза» изображения в системе технического зрения мобильного колесного робота // Вестник РГРТУ. Рязань: РИЦ РГРТУ, 2008. С. 77 - 80.
2. Аршакян А. А., Ларкин Е.В. Определение соотношения сигнал-шум в системах видеонаблюдения // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 168 - 175.
3. Аршакян А.А., Ларкин Е.В. Наблюдение целей в информационно-измерительных системах // Сборник научных трудов Шестой Всероссийской научно-практической конференции «Системы управления электротехническими объектами «СУЭТО-6» Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 222 - 225.
4. Аршакян А.А., Будков С.А., Ларкин Е.В. Математические модели
точечных источников сигнала в полярной системе координат. // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 10. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012.
С.163 - 168.
5. The Method of Multiframe Image Filtering // E.V. Larkin at alE.V., Abuzova I.V., Ignatyev V,M,, Kotov V.V. // Machine Graphics & Vision: International Journal. Poland, 1998. Vol. 7. N 3. P. 645 - 654.
6. Купер Дж., Макгиллем Н. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. М.: Мир, 1989. 379 с.
7. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977. 343 с.
Аршакян Александр Агабегович канд. техн. наук, докторант, elarkin@mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Луцков Юрий Иванович, канд. техн. наук, доц., elarkin@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
Новиков Александр Сергеевич, канд. техн. наук, elarkin@mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
MULTIFRAME FILTERING OF PULSE NOISE A.A. Arshakyan, Yu.I. Lytskov, A.S. Novikov
An approach to filtering of noise, formed with pulse sources, when a static scenes are observed. It is shown, that effective method of filtering of pulse noise is multiframe filtering. Method of optimal co-ordinates straighten out for multiframe filtering is proposed.
Key words: signal, point source, Gaussian, noise, scene, observation, multiframe filtering, co-ordinates straighten out, optimization.
Arshakyan Alexander Agabegovich, postgraduate, candidate of technical science, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Lutskov Yuriy Ivanovich, docent, candidate of technical science, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Novikov Alexander Sergeevich, candidate of technical science, elarkin@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 621.383
НАБЛЮДЕНИЕ ОБЪЕКТОВ В ДИСПЕРСНОЙ СРЕДЕ
А. А. Аршакян, С. А. Будков, С.В. Думчев, Ю.И. Луцков
Исследуется вопрос построения импульсного отклика пары «среда распространения света/объектив». Показано, что наличие диспергента в среде распространения ухудшает разрешающую способность объектива. Определены параметры импульсного отклика объектива при его аппроксимации функцией Гаусса как при наличии, так и при отсутствии диспергента.
Ключевые слова: оптическая система, световой поток, разрешающая способность, дифракция, изображение, диспергент.
Одним из важных факторов, определяющих потребительские свойства оптических систем, является разрешающая их способность [1, 2], которая существенно зависит от условий эксплуатации системы [3].
Пространственная динамика объектива определяется двумя факторами:
1) дифракцией света от точечного источника в высококачественных объективах;
2) наличием технологических погрешностей при изготовлении объектива.
В первом случае точечный источник К проецируется на плоскость расположения фоточувствительных элементов в виде т.н. «кружка Эри», представляющего дифракционную картину точки [4]. Причиной подобного представления точки является волновая природа света. Вид кружка Эри приведен на рис. 1 а.
