CC BY
14SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 1 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22257
БУЛАЖАК БОШЛАНГИЧ СИНФ УЦИТУВЧИЛАРИНИНГ КРЕАТИВ КОБИЛИЯТИНИ РИВОЖЛАНТИРИШДА ТУПЛАМЛАР НАЗАРИЯСИНИНГ ТАДБЩЛАРИГА ДОИР МАСАЛАЛАР ЕЧИШ
Б. К. Мамадалиев
Андижон давлат университети укитувчиси
АННОТАЦИЯ
Ушбу маколада математик масалалар ечишда предикатлар алгебраси ва тупламлар назарияси формулаларидан фойдаланишнинг ахамияти курсатиб берилган. Бу ерда келтирилган масалалардан талабаларнинг тупламлар мавзусига доир билимларини мустахкамлашда, хамда математика фанидан тугарак машгулотларини ташкил килишда хам фойдаланиш мумкин.
Калит сузлар: туплам, предикат, тупламлар устида амаллар, тенг кучли формулалар, туплам элементлар сони, мантикий масала.
Математика фанини чукур урганишда математик мантик фани конуниятларини ва тупламлар назарияси элементларини атрофлича билиш мухум хисобланади. Шунинг учун хам математика дарсларида талабаларга математик мантик ва тупламлар назарияси конуниятларини, айникса тупламлар устида амалларнинг хоссаларини, бу хоссаларнинг исботларини ва масалалар ечишга тадбикларини янада чукуррок ургатиб бориш керак.
Тупламлар устида амаллар куплаб хоссаларга эга булсада, математика фани дарсликларида бу хоссаларнинг баъзилари урганилган. Шуларни эътиборга олиб биз куйида тупламлар устида амалларнинг хоссаларини, бу хоссаларнинг исботларини ва масалалар ечишга тадбикларини атрофлича куриб чикамиз.
Тупламларни лотин алфавитининг бош харфлари А, В, С,... лар билан ва чекли А тупламнинг элементлари сонини n(A) билан белгилаймиз.
Тупламлар устида амалларнинг таърифларини эслатиб утамиз.
1-таъриф. А тупламга ёки В тупламга тегишли булган барча элементлардан ташкил топган тупламга А ва В тупламларнинг бирлашмаси дейилади (AUB-каби белгиланади).
2-таъриф. А ва В тупламларга тегишли булган барча элементлардан ташкил топган тупламга А ва В тупламларнинг кесишмаси дейилади (АПВ-каби белгиланади).
3-таъриф. А тупламга тегишли ва В тупламга тегишли булмаган барча элементлардан ташкил топган тупламга А ва В тупламларнинг айирмаси дейилади (А \В-каби белгиланади).
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 1 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22257
4-таъриф. Агар А тупламга тегишли хар бир элемент В тупламга тегишли ва В тупламга тегишли хар бир элемент А тупламга тегишли булса, А ва В тупламлар тенг тупламлар дейилади (А=В-каби белгиланади).
5-таъриф. В тупламнинг хар бир элементи А тупламга тегишли булса, В туплам А тупламнинг кисм туплами дейилади (В сА-каби белгиланади).
1-хосса. A=B ^n(A)=n(B) (1)
2-хосса. ADB=0^ n(AUB)=n(A)+n(B) (2)
3-хосса. BcA ^ n(A\B)=n(A)-n(B) (3)
4-хосса. А \В=А \АПВ (4)
1-4-хоссаларнинг исботи бевосита 1-5-таърифлардан келиб чикади.
5-хосса. Ихтиёрий А ва В тупламлар учун n(A\B)=n(A)-n(Ar\B) (5) n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AC\B) (6)
тенгликлар уринли.
Исбот. (3) ва (4) тенгликлардан ва АПВсА муносабатдан фойдаланиб n(A \B)=n(AAnB)=n(A)-n(AnB) (5) тенгликни хосил киламиз. (6) тенгликни исботлаш учун АиВ ни узаро кесишмайдиган тупламлар бирлашмаси АиВ=(А \В)ЩАГ\В)ЩВА) куринишда ёзиб оламиз ва (2), (3) ва (5) тенгликлардан фойдаланамиз.
n(A UB)=n((A \B)U(Ai)B) U(BA))=n(A \B)+n(AC\B)+n(BA) = =n(A)-n(AC\B)+n(AC\B)+n(B)-n(BCA)=n(A)+n(B)-n(AC\B) Шундай килиб (6) тенглик хам уринли экан.
6-хосса. Ихтиёрий А, В, С тупламлар учун (АПВ)ПС=АПСШПС (7) тенглик уринли.
Исбот. Vx£(AUB)HC булсин. Бундан
(хeАUВ)Л(хeС)^(хEАУхeВ)Л(хeС)^(xeA)Л(xeC)y(xeB)Л(xeC)^ ^(xEA П C)V(xEBn CJ^xEA nCUBnC.
Энди (7)-тенгликни унг томонига тегишли ихтиёрий х элемент унинг чап томонига тегишли булишини курсатамиз. VxGAnCUBHC булсин. Бундан
(XEAПC)V(XEBПC)^(XEA)Л(XEC)V(XEB)Л(XEC)^(XEAVXEВ)A(XEС)^ ^(хЕ AUB) Л(хЕС)^хЕ(АиВ)ПС. Шундай килиб (7)-тенглик тугри экан.
7-хосса. Ихтиёрий А, В, С тупламлар учун
n(AUBUC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AПB)-n(AПC)-n(BПC)+n(AПBПC) (8) тенглик уринли.
Исбот. (6)- ва (7)-тенгликлардан фойдаланамиз.
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 1 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7
n(A UB UC)=n((A UB) UC)=n(A UB)+n(C)-n((A UB) Г\С) = =n(A)+n(B)-n(Af)B)+n(C)-n(Af)CUBf)Q = =n(A)+n(B)+n(C)-n(ArB)-(n(ArC)+n(BrC)-n(ArcrBrC))= =n(A)+n(B)+n(C)-n(ArB)-n(ArC)-n(BrC)+n(ArBrC). Демак, (8)-тенглик тугри экан.
Бундай тенгликларни кушилувчилар сони 4 та, 5 та ва хоказо, n та булганда хам келтириб чикариш мумкин. Масалан, кушилувчилар сони 4 та булганда n(AUBUCUD) ни хисоблаш учун (6), (7) ва (8) тенгликлардан фойдаланиб куйидаги формулани келтириб чикариш мумкин.
n(AUBUCUD)= n(A)+n(B)+n(C)+n(D)- n(ArB)-n(ArC)--n(ArD)-n(BrC)-n(BrD)-n(CrD)+n(ArBrC)+n(ArBrD) + +n(ArcrD)+n(BrcrD)-n(ArBrcrD) (9)
Тупламлар устида амалларнинг куйидаги хоссалар хам юкоридагидек исботланади.
8-хосса. А U(Br С)=(А UB) Г (А UC)
9-хосса. А\(ВUC)=(A\B)r(A\C)
10-хосса. А\(ВГС)=А\АГЖ)С
11-хосса. А\(BrC)=(Ä\B)U(Ä\C)
12-хосса. АГ(В\С)=(АГВ)\С
13-хосса. п(Л \ (ßUC) ) = п(Л) - п(Л П (ßUC) )
14-хосса. А т\С=(А\С) U(B\C)
15-хосса. (А\С)Г(В\С) = АГВАГВГС.
Юкорида куриб чикилган хоссаларнинг тадбикларига доир масалалар куриб чикамиз.
1-масала. //={ 1 , 2 , 3 ,. . ., 2 5 } - тупламга тегишли 2 ва 3 га булинадиган барча сонлар тупламини ёзинг.
Ечиш: { ае// | а ! 2 Л 3} = {а£// | а = 6 к, к = 1 ,4 } = { 6 , 1 2 , 1 8 , 2 4} Жавоб: { 6, 1 2 , 1 8 , 2 4}.
2-масала. //={ 1 , 2 , 3 ,.. .,2 5 } - тупламга тегишли 2 ва 3 га булинмайдиган барча сонлар тупламини ёзинг.
Ечиш: Бу масалани 2 хил усулда ечамиз.
1-усул. { ае / | агтлз} = {ае / | аГ2 V аТЗ} =
= {а е / | OT^Ufa е / | 0Г3} = {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25}U U{1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25} = = {1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17,19,20,21,22,23,25}.
2-усул. { ае / | а ! 2 Л 3 } = /\{ а е / | а ! 2 в а 3 } = /\{6,12,18,24}= ={1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17,19,20,21,22,23,25}.
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 1 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7
Жавоб: {1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17,19,20,21,22,23,25}.
Бундай масалаларни ечишда соддадан мураккабга утиб бориш тамойилига амал килиш керак. Агар талабаларга 1-масалани ечишни ургатмасдан уларга 2-масала берилса, бу масалани ечишда "2 ва 3 га булинмайдиган сонлар" деган жумлани мазмунини "2 га булинмайдиган сонлар ва 3га булинмайдиган сонлар" деб нотугри тушунишлари мумкин. Натижада масалани куйидагича:
{aei/ I а ! 2 Л 3 } = {a£ü | а ! 2 Л а ! 3} = = {а е U | а77}П{а e U | 073} = {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25}П П{1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25} = = {1,5,7,11,13,17,19,23,25} нотугри ечишлари мумкин.
Юкоридаги масалаларни тугри ечиш усулларини тулик урганган талабалар куйидаги масалаларни хам кийинчиликларсиз тугри ечишлари мумкин.
3-масала. U={1,2,3, ...., 100}-тупламга тегишли, 3 ва 4 га булинмайдиган сонлар нечта.
Ечиш: U тупламдан 3 ва 4 га булинадиган ушбу
{3 ■ 4 ■ к| к = 18} = {12,24,36,48,60,72,84,96} тупламдаги 8 та сонни чикариб юборсак, U тупламда колган 92 та сон 3 ва 4 га булинмайди.
Жавоб: 92 та.
4-масала. U={1,2,3,...., 100}-тупламнинг нечта элементи 2 га булинади ва 3 га булинмайди.
Ечиш: Бу масалани ечиш учун куйидаги белгилашлардан фойдаланамиз: А = {2к |к = 1 , 5 0},В = {3к |к = 1 , 3 3} бу белгилашларга асосан 4-масала A\B туплам элементлари сонини хисоблашга келади. (5) тенгликдан фойдаланамиз.
n(A\B)=n(A)-n(A^B)=50-\6=34.
Жавоб: 34 та.
5-масала. 100 нафар карокчилар билан булган жангда 70 нафар карокчи кузидан, 75 нафар карокчи кулогидан, 80 нафар карокчи кулидан ва 85 нафар карокчи оёгидан яраланган булса,
a) камида неча нафар карокчи кузидан ва кулогидан яраланган;
b) камида неча нафар карокчи кузидан, кулогидан ва кулидан яраланган.
c) кузидан, кулогидан, кулидан ва оёгидан яраланган карокчилар камида неча нафар булиши мумкин.
Ечиш: Бу масалани ечишда А харфи билан кузидан яраланган карокчилар тупламини, В харфи билан кулогидан яраланган карокчилар тупламини, С харфи билан кулидан яраланган карокчилар тупламини ва D харфи билан оёгидан яраланган карокчилар тупламини белгилаймиз. У холда масала п(А П В),
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 1 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=222ff7
nC), n C nD) coHnap KaHgafi coHnapgaH khhhk 6yna onMacnHrHHH
aHHKnamra KenagH.
ByHH aHHKnam ynyH (6) (8) (9) TeHrnHKnapgaH Ba Macana mapTHgaH KenHÖ HHKagnraH
n(4 Uß)< 100 (14)
n(^UßuCuD)<100 (15)
n(^nßuc)< 100 (16)
n(4 nß n C UD) < 100 (17)
TeHrcronHKnapgaH $oöganaHaMH3:
a) (6), (14) ^ n(4 n ß) = n(4) + n(ß) - n(4 U ß) > 70 + 75 - 100 = 45. n(4 n ß) > 45 (18)
^eMaK, Ky3HgaH Ba KynoFHgaH apanaHraH KapoKnHnap KaMHga 45 Ha^apHH TamKHn KHnagH.
b) (6), (16) ^ n(4 n ß n C) = n(4 n ß) + n(C) - n(4 n ß U C) > > 45 + 80- 100 = 25.
n ß n C) > 25. (19)
^eMaK, Ky3HgaH, KynoFHgaH Ba KynHgaH apanaHraH KapoKnHnap KaMHga 25 Ha^apHH TamKHn KHnagH.
c) (6), (17) Ba (19) ^ nCA n ß n C n D) = n(4 n ß n C) + n(D) --n(4 n ß n C U D) > 25 + 85 - 100 = 10.
n(4 n ß n C n D) > 10 (20)
^eMaK, Ky3HgaH, KynoFHgaH KynHgaH Ba oerngaH apanaHraH KapoK^nnap KaMHga 10 Ha^apHH TamKHn KHnagH.
roKopnga Kypuö nHKHnraH MacananapHH Ba ynapHH enHm ycynnapHHH TynHK ypraHraH Tanaöanap KyfiHgarH MacananapHH x,aM KHHHHHHnHKnapcro TyrpH enHmnapH MyMKHH.
6-Macana. U={1,2,3, ...100}-TynnaMga 2ra öynHHyBHH, 3 Ba 5ra öynHHMafigHraH coHnap HenTa?
7-Macana. U={1,2,3, ...., 100}-TynnaMga 2 ra KappanH, 3, 5 Ba 11 coHnapra KappanH öynMaraH coHnap HenTa?
8-Macana. U={1,2,3, ...., 100}-TynnaMra TerHmnH 2, 3 Ba 5ra öynHHMaögHraH coHnap HenTa?
9-Macana. U={1,2,3, ...., 100}-TynnaMra TerHmnH 2, 3, 5 Ba 11ra 6ynHHMafigHraH coHnap HenTa?
10-Macana. MaKTaögarH MareMarHKa eKH HH^opMarnKa TyrapaKnapHra KaTHamyBHH 100 Ha^ap yKyBHHnapHHHr 75 Ha^apH MaTeMaTHKa TyraparHra Ba 65
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 4 I ISSUE 1 I 2023 _ISSN: 2181-1601
Scientific Journal Impact Factor (SJIF 2022=5.016) Passport: http://sjifactor.com/passport.php?id=22257
нафари информатика тугарагига катнашади. Бу укувчиларнинг неча нафари иккала тугаракка катнашади.
11-масала. 100 нафар тугарак аъзоларидан 80 нафари математика тугарагига 70 нафари информатика тугарагига катнашади. Факат математика тугарагига катнашувчи укувчилар неча нафарни ташкил килади.
12-масала. 200 нафар тадбиркорларнинг 140 нафари парандачилик билан, 150 нафари баликчилик билан шугулланади. Камида нечта тадбиркор парандачилик ва баликчилик билан шугулланади.
13-масала. 200 нафар тадбиркорларнинг 140 нафари туфли ишлаб чикариш билан, 150 нафари куйлак ишлаб чикариш билан ва 160 нафари шим ишлаб чикариш билан шугулланади. Камида неча нафар тадбиркор уч хил (туфли, куйлак ва шим) махсулот ишлаб чикариш билан шугулланади.
14-масала. 200 нафар тадбиркорнинг 140 нафари туфли ишлаб чикариш билан, 150 нафари куйлак ишлаб чикариш билан, 160 нафари шим ишлаб чикариш билан ва 170 нафари кастюм ишлаб чикариш билан шугулланади. Камида неча нафар тадбиркор турт хил (туфли, куйлак, шим ва кастюм) махсулот ишлаб чикариш билан шугулланади.
Юкорида куриб чикилагн масалаларнинг хар бирини параметрик куринишда ёзиб олишимиз ва пареметрларни ихтиёрий натурал сонлар билан алмаштириб, тупламлар назарияси тадбикларига доир куплаб масалалар тузишимиз мумкин. Бу масалалардан талабаларга тупламлар назарияси ва унинг тадбикларини ургатишда, математика фанидан тугарак машгулотларини утказишда ва талабаларнинг креатив кобилитини ривожлантиришда фойдаланиш мумкин.
REFERENCES
1. Н.Хамедова, З.Ибрагимова. Метематика. Олий укув юртлари учун дарслик. Тошкент. Турон икбол, 2007.
2. Yunusov A.S. Matematik mantiq va algoritmlar nazariyasi elementlari. T.: "Yangi asr avlodi" , 2006.
3. B.K.Mamadaliyev, K.B.Mamadaliyev. Use of Elements of Predicate Algebra in Solving Proof Problems. Central asian journal of theoretical and applied sciences. Volume: 02 Issue: 08 | Aug 2021 ISSN: 2660-5317. https://caiotas.centralasianstudies.org/index.php/CAJOTAS/article/view/219.
4. B.K.Mamadaliyev, K.B.Mamadaliyev. Solving problems of applications of collection theory. academicia globe: Inderscience Research. issn: 2776-1010 Volume 2, Issue 5, May, 2021.
https: //agir.academiascience.org/index.php/agir/article/view/126/115 Uzbekistan www.scientificprogress.uz Page 329
