B-CПЛАЙН УСУЛЛАРИДАН ФОЙДАЛАНГАН ҲОЛДА ТЕМИР ЙЎЛНИ ГЕОМЕТРИК МОДЕЛЛАШТИРИШ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Ж

TDSHKEIMT DAVLAT TRANSPORT UNIVEHSITETI

Ташкентский гссударстмнчый транспортный университет

"Актуальные вопросы развития инновационно-информационных технологий на транспорте" АВРИИТТ-2021 1-Республиканская научно-техническая конференция (Ташкент, 24-25 ноября 2021 года)

в-ОПЛАИН УСУЛЛАРИДАН ФОИДАЛАНГАН ХОЛДА ТЕМИР ЙУЛНИ ГЕОМЕТРИК МОДЕЛЛАШТИРИШ

Абдували МУХАМАДИЕВ,

Ф.-м.ф.д., доцент, Мууаммад ал-Хоразмий номидаги Тошкент ахборот

технологиялари университети. Мухамадазиз РАСУЛМУХАМЕДОВ, ф.-м.ф.н., доцент, Тошкент Давлат транспорт университети Транспортда ахборот тизимлари ва технологиялари кафедра мудири

E-mail: mrasulmuxamedov@list.ru Дилнавоз САЙДУЛЛАЕВА, Магистрант, Мууаммад ал-Хоразмий номидаги Тошкент ахборот технологиялари университети DOI: https://d0i.0rg/10.47689/978-9943-7818-0-1-pp83-88

Аннотация: Турли вант шкалалари ва турли хил сигнал улчамлари шкалаларидан нушимча маълумот олиш нутнни анинлашнинг анинлигини ошириши мумкин. Нутнни анинлаш тизимларини нуришда юзага келадиган энг муцим масалалардан бири бу таснифлаш учун ишлатиладиган хусусиятлар базасини анинлашдир. %уллаш ноидасининг самарадорлиги ва пировардида нутнни анинлаш муаммосини цал нилиш сифати хусусиятларни тугри танлашга боглиц. Ушбу манола вейвлет-тацлил ёрдамида хусусиятларни ажратиб олишга багишланган булиб, нутн сигналларини тацлил нилишда вейвлет алмаштириши ва Фурье алмаштириши уртасидаги асосий фарнларни ниснача куриб чинилади.

Калит сузлар: информатив белгилар, Фурье алмаштириши, вейвлет алмаштириши, вейвлет-тацлил, нутн сигнали, локал максимум.

Темир йуллар ва ^аракатланувчи таркибнинг узаро таъсир курсаткичларини ба^олашда йулнинг режа ва профилдаги ^олатини белгиловчи нотекисликларнинг характери катта а^амиятга эга. Темир йулда "нотекислик" тушунчаси унинг пайдо булиш сабаблари ва параметрларига боглиц *олда киритилади [1]. Чунки темир йул режасида нотекисликларнинг мавжудлиги, айни^са, йулнинг эгри чизи^ли ^исмларида рельсларнинг эскириш тезлигига таъсир ^илувчи омиллардан ^исобланади [2, 3].

Темир йуллардаги нотекисликларнинг салбий таъсирини камайтириш учун унинг геометрик моделларидан фойдаланиб бажариладиган ишлар режалаштирилади ва амалга оширилади. Ушбу ма^олада режадаги йулнинг нотекисликларини текислашни амалга оширишда В-сплайн усулларидан фойдаланиш масаласи му^окама ^илинади. Маълумки, темир йулнинг геометрик модели - бу моделлаштирилган объектнинг (темир йулнинг) шакли ва улчамларининг ифодаси булиб, у ишлаб чи^илган алгоритмлар асосида олинган ^исоблашлар натижасига ва геометрик ухшашлик талабига мос келади [4-6].

ж

ТОЙНКЕЫТ ОАУ1_ДТ ТЙДЫЁРйЙТ иЬНУЕЙЙНГП

Ташкентский государственный транспортный университет

"Актуальные вопросы развития инновационно-информационных технологий на транспорте" АВРИИТТ-2021 1-Республиканская научно-техническая конференция (Ташкент, 24-25 ноября 2021 года)

¡Баепсе

£А««уА акс( срлсе

Сплайн усулларидан фойдаланиш ра^амли моделларга ^уйилган асосий талабларга жавоб берадиган график тасвирларни олиш имконини беради [7-10]. В-сплайн усулларидан фойдаланиш ^уйидаги имкониятларни беради: махсус геометрик моделларни яратиш, уларнинг тузилишини ани^лаш, компьютер ёрдамида моделларни ^уришни амалга ошириш ва олинган ра^амли модел асосида та^лил ^илиш ва прогноз ^илиш [7, 11-13].

Маълумки, [7-13] В-сплайнлар - бу (т+1) со^адан таш^ари барча кичик со^аларда нолга тенг булган сплайн. В-сплайн узгармас ^ийматли булганда 1-кичик со^ада ^уйидаги ифодалар ёрдамида берилади:

< % ^ ^1+1*

N =

0, акс хрлда ва т-даражали булганда [Х|,Х|+т+1] со^ада

X Х[ Х1+Ш — Х1

х1+т+1 х х1+т+1-х1+1

1+1,т

-г(х)

(1) (2)

(1) ва (2) тенгламалардан паст даражали В-сплайнлар учун ифоданинг ани^ куринишини беришда фойдаланиш мумкин. Чизи^ли:

^гл(х) =

X Х[

х1+1-х1 х1+2-х

<х1+2-х1+1

агар х{ <х < х{+х, агар Х1+1 <х< х^+2.

(3)

Квадратик:

ЪЛх)

(х-х{)2

+

(Ч+2-Ч)(Ч+1-Ч) (х-хд(х1+1-х)

(х1+2-хС)(х1+2-х1+1)

(Х1+3-Х)2 (х1+3-х1+1)(х1+3-х1+2)

агар х{ < х < хи1;

(Х1+3-Х)(Х-Х1+1)

(х1+3-х1+1)(х1+2-х1+1)

, агар < х < ^1+2/

агар

х

1+2 < Х < Х1 + 3;

(4)

Бирлаштирувчи ну^таларни L узунликдаги сегментларда текис жойлаштирилса, келтирилган ифодалар анча соддалашади. Бу *олда ^улайлик учун XI = И деб ва меъёрланган узгарувчи киритилади.

и=(х-х)/и=хАч. (5)

Натижада В-сплайнлар ифодаси ^уйидаги куринишга келади: Текис чизи^ли:

( и ,

и1л((1 + и)1) = {2_и , Текис квадратик:

и ,агар 0 <и < 1 2 _и , агар 1 <и < 2

и1л((1 + и)Ь)=1и2

, агар

V\,2((I + и)Ь) = 3 _ (и _ , агар

" \2 о™« 2 <и < 3;

ии2((1 + и)Ь)=-(3_иУ

0 <и < 1;

1 < и < 2;

агар

(6)

(7)

Т

ТОйИНЕЫТ Г1АУ1_ДТ ТЙАНЗРОРТ иМ^ЕНЁНЁТ!

Ташкентский гссударстоенчый транспортный университет

"Актуальные вопросы развития инновационно-информационных технологий на транспорте" АВРИИТТ-2021 1-Республиканская научно-техническая конференция (Ташкент, 24-25 ноября 2021 года)

Агар бирлаштирувчи ну^талар текис та^симланган булса, (2) тенгламадан бевоста фойдаланиб, квадратик сплайн формуласидан кубик сплайн ифодасини олиш мумкин.

и13Ш + и)Ь) = -и3 , агар 0 < и < 1;

' 6

9 1

ииз((1 + и)Ь) =---(и - 2)3 - (и - 2)2 , агар 1 < и < 2;

о -1

ииз((1 + и)1)=2 + -(и-2)3-(и-2)2 ,агар 2<и<3; (8)

32

л

и13((1 + и)Ь) =-(4-и)2 , агар 3<и<4;

6

В-сплайнлардан асос сифатида фойдаланиб, ихтиёрий сплайн ифодасини оламиз.

р(х)=^--тщЫит(х) (9)

Бу тенгламада (к + т) та параметр: а-т,а-т+1, ...,ак-1 бор. Р(х) сплайннинг *ар бир кичик со^адаги ^иймати купи билан (т + 1) та В-сплайн йигиндиси билан ани^ланади, яъни локаллик хусусиятига эга. (9) тенгламада ихтиёрий коэффициентини узгартириш эгри чизи^ куринишини фа^ат (т + 1) та булакда узгаришига олиб келади.

Таъкидлаш зарурки, (2) тенглама В-сплайннинг х ну^тадаги ^ийматини ани^лашнинг содда жараёнидир. Х,ар бир [хихи1] сегмент учун т даражали нолдан фар^ли (т+1) та сплайн мос келади. Бу сегментда Ыит(х) нинг ^иймати Мит-1(х) гагина богли^, чунки Ми1т-1(х) бу сегментда нолга тенг. ^1-1,т(х) (0 < 1 <т) эса Ы1-1т-1(х) га *ам, Ы1-1+1т-1(х) га *ам богли^ булади. Бу муносабатлар 2-расмда курсатилган. (сплайннинг *ар бир ^ади ю^ори сатрдаги бир ёки икки ^аднинг меъёрланган йигиндисини беради, йуналиш курсаткичи ^исоблаш йуналишини, вертикал чизи^лар (2) тенгламадаги биринчи купайтувчига купайтиришни билдиради). т - даражали В-сплайннинг ^ийматини ани^лаш учун чизмадаги олдинги (т - 1) бос^ични утиш ва уларнинг *ар бирида В-сплайннинг ^¿(х) ва Ы1-1](х) буйича ^ийматларини ани^лаш лозим. Бу ерда } узгарувчи В-сплайн даражасидир.

Фараз ^илайлик, (^у-^,^^^, ...,(ьп,уп) интерполяция куп^ади ёки сплайнни ^уриш учун берилган ну^талар булсин. Масалани ечишнинг турли йуллари маълум. Улардан бири *ар бир ну^тани сплайн тугуни деб ^исоблашдан иборат. Сплайн (к + т) та тургунлик даражасига эга булишини ^исобга олсак, кичикро^ т ларда (одатда, купинча шундай булади) к=п-1 деб, ь1,ь2,.,ьп ларни эса богловчи ну^талар деб ^араш мумкин. N *оли учун изланаётган эгри чизи^ берилган ну^таларни туташтирувчи тугри чизи^лар туплами билан тули^ ани^ланади. т=3 тургунлик даражалари сони т+2 та булади. Натижада эгри чизи^ шу ну^талардан утишни таъминловчи чекланишлар киритилгандан сунг иккита тургунлик даражаси фойдаланилмайди. Амалий масалалар ечилганда чет ну^талардан фойдаланилмайди ва уларда уринмалар берилмайди.

ж

ТОЙНКЕЫТ ОАУ1_ДТ ТЙДЫЁРйЙТ иЬНУЕЙЙНГП

Ташкентский государственный транспортный университет

"Актуальные вопросы развития инновационно-информационных технологий на транспорте" АВРИИТТ-2021 1-Республиканская научно-техническая конференция (Ташкент, 24-25 ноября 2021 года)

Бош^ача ёндашишда бирлаштирувчи ну^талар берилган ну^талар билан галма-гал алмашиб келади, баъзан к+т=п шарт *ам талаб этилиши мумкин. Бу *олни интерполяцион сплайн коэффициентларини ани^лаш учун В-сплайнларни ^улланганда батафсилро^ куриб чи^айлик. Ю^орида айтилганидек, бирлаштирувчи ну^талар сони к-1 та булсин. У *олда х1 < ^ < х1+1 учун ^уйидаги тенглама уринли:

аЛ^) + а^Ы^^) + ••• + а1-т^1-т:т{ь}) = у}, 1<)<п (10)

Жами шундай (к+т) узгарувчида п та тенглама булади. Х,ар бир тенглама (т + 1) *адга эга булади, яъни унга мос матрица камида т та пастки ва т та ю^ори диагоналлар билан ани^ланувчи ^атламларга булинган. Х,ар бир ну^та (7) ёки (8) тенглама билан нолдан фар^ли В-сплайнларнинг фа^ат т тасининг ^ийматлари ор^али берилади. Квадратик сплайн учун параметрлар ифодаси ^уйидагича булади:

щ + а1-1 = 2у0 I = 1,2, ...,п

кубик сплайнлар учун эса ифода ^уйидагича булади:

щ + 4щ-1 + щ-2 = 6уи 1 = 1,2,...,п (11)

Бу тенгламалар тизимига яна четки ну^таларга ^уйилган чекланишлар *ам кушилади. Акс *олда ечим тривиал булади. Агар изланаётган эгри чизи^ даврий деб фараз ^илинса, четки ну^таларга ^ушимча чекланишлар ^ушиш урнига узгарувчилар сони а0 = ап ^исобига камаяди. Умумий *ол бироз мураккабро^. Уз-узидан равшанки, *ар бир сегментда берилган ну^талар сони (т + 1) дан ошмаслиги лозим. Акс *олда, тизимда орти^чалик вужудга келади. Агар берилган ва бирлаштирувчи ну^талар аралашиб кетса, бу *ол учун фа^атгина (т + 1) та нолдан фар^ли диагонал булиши мумкин. Улар орасидаги (12) шарт уринли булиши му^имдир. Интерполяцион куп^ад тузиш масаласи фа^ат ва фа^ат

Щш^) Ф 0,] = 1,2.....п (12)

булсагина, ягона ечимга эга булади. Буни шундай тушунтириш мумкин. Х,ар бир ораливда бирлаштирувчи ну^талар орасида фа^атгина (т + 1) та нолдан фар^ли В-сплайнлар бор. (12) шарт бажарилиши учун бу ораливда (т+1) тадан орти^ ну^та берилиши мумкин эмас. Бу тизимда орти^чалик вужудга келмасликни таъминлайди. Яна В-сплайн (х]-,х]+т+1) кичик со^ада

нолдан фар^ли булиши ва шу сабали ^ берилган ну^тани уз ичига олган ягона кичик со^а эканлиги маълум. (9) тенгламадаги В-сплайнлар сони (п = к + т) га тенг булганлиги сабабли ^ушимча чекланиш вужудга келади. В-сплайнлардан /-

1fr

TDSHKENT DAVLAT TRÄN SPORT UNIVERSITETI

Ташкентский гссударстоенчый транспортный университет

"Актуальные вопросы развития инновационно-информационных технологий на транспорте" АВРИИТТ-2021 I-Республиканская научно-техническая конференция (Ташкент, 24-25 ноября 2021 года)

чиси фа^ат биринчи берилган бирор ну^тани уз ичига олувчи кичик со;адагина нолдан фар^ли булади. Худди шу гап охирги кичик со;а учун ;ам уринлидир. Агар бирнчи кичик со;а берилган икки ну^тани уз ичига олса, иккинчиси бирорта ;ам ну^тани уз ичига олмаслиги мумкин. Акс ;олда, иккинчи кичик со;а ;еч булмаганда берилган битта ну^тани уз ичига олади. Шундай ^илиб, темир йул ва ;аракатланувчи таркиб уртасидаги узаро таъсир жараёнлари урганишда сплайн-интерполяция усулларидан, хусусан, В-сплайнлар усулидан фойдаланиш ;исоблаш ишларини самарали ташкил этиш имкониятини беради [1, 4, 14]. Бу эса вагоннинг поезд таркибидаги ;аракати пайтида гилдирак-рельс тизимидаги узаро таъсирнинг динамик жараёнларига таъсир ^илувчи омилларни характерловчи курсаткичларни ба;олашга хизмат ^илади.

ХУЛОСА

Ю^орида келтирилган маълумотларга асосланиб, темир йулларнинг ^узгалмас ну^талар орасидаги участкасининг тугрилаш ишларини режалаштиришда уларнинг геометрик моделларини ишлаб чи^иш талаб ^илинади. Дастлабки ;исоблашлар натижаси шуни курсатадики, темир йуллар билан богли^ купгина амалий масалаларни ;ал ^илишда, шу жумладан, нотекис жойларни текислашда рамка кучларини камайтириш учун геометрик моделлар ёрдамидан фойдаланиб ^уллаш ма^садга мувофи^, деган хулосага келиш мумкин. Моделлаштирилгандан сунг В-сплайн функциялари буйича олинган ^ийматлар позицияни танлашда ^улланилиши мумкин ;амда белгиланган ну^талар орасидаги йуллар ва белгилашда уч ёки турт ну^тали текислаш бос^ичларини амалга ошириш имконияти пайдо булади.

ФОЙДАЛАНИЛГАН АДАБИЁТЛАР РУЙХАТИ:

1. Сидорова Е.А. Исследование влияния геометрических параметров железнодорожного пути в плане, представленных в виде геометрических моделей, на показатели динамического взаимодействия пути и подвижного состава // Вестник научно-исследовательского института железнодорожного транспорта. Москва, 2017. Т., 76. № 4. - С. 243-248.

2. Певзнер В.О., Белоцветова О.Ю., Потапов А.В. Результаты наблюдений по оценке влияния эксплуатационных факторов на боковой износ рельсов // Вестник научно-исследовательского института железнодорожного транспорта. Москва, 2016. Т., 75. № 4. С. 242-247.

3. Романов А.В., Шехтман Е.И. К вопросу о взаимодействии пути и подвижного состава при высокоскоростном движении поездов // Бюллетень результатов научных исследований. Санкт-Петербург, 2013. № 3 (8). - С. 4853.

4. Ленченкова Е.П. Разработка математической модели трассы железнодорожного пути для реконструкции плана. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. - Москва: (МГУПС (МИИТ), 2018. - 20 с. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://www.dissercat.com/content/razrabotka-matematicheskoi-modeN-trassy-zheleznodorozhnogo-puti-dlya-rekonstruktsii-plana/read/pdf (дата обращения: 05.10.2021).

fr

TDSHKENT DAVLAT TRANSPORT UNIVERSITÄT I

Ташкентский государственный транспортный университет

"Актуальные вопросы развития инновационно-информационных технологий на транспорте" АВРИИТТ-2021 1-Республиканская научно-техническая конференция (Ташкент, 24-25 ноября 2021 года)

5. Щербаков В.В., Ковалева О.В., Щербаков И.В. Цифровые модели пути -основа геодезического обеспечения проектирования, строительства (ремонта) и эксплуатации железных дорог // Геодезия и картография. - Москва, 2016. -№ 3. - С. 12-16.

6. Шкурников С.В., Морозова О.С. К вопросу о взаимодействии подвижного состава и геометрических параметров трассы высокоскоростных железнодорожных магистралей // Бюллетень результатов научных исследований. - Москва, 2017. - № 3. - С. 96-104.

7. Лёвин Б.А., Круглов В.М., Матвеев С.И., Цветков В.Я., Коугия В.А. Геоинформатика транспорта. - М.: ВИНИТИ РАН, 2006. - С. 336.

8. Роджерс Д. Математические основы машинной графики / Д. Роджерс, Дж. Адамс. - М.: Мир, 2001. - С. 227.

9. Möller T., Hamann B., Russell R.D. Mathematical foundations of scientific visualization, computer graphics, and massive data exploration. - New York: Springer, 2009. - P. 348.

10. Janke S.J. Mathematical Structures for Computer Graphics. - New Jersey: Wiley, 2014. - P. 410.

11. Salomon D. Curves and Surfaces for Computer Graphics. - New York: Springer, 2009. - P. 348.

12. Boissonnat J.D., Teillaud M. (Eds.) Effective Computational Geometry for Curves and Surfaces (Mathematics and Visualization). - New York: Springer, 2006. - P. 351.

13. Gallier J.H. Curves and surfaces in geometric modelling: theory and algorithms. 2nd Edition. - Morgan Kaufmann, 2018. - P. 502.

14. Ромен Ю.С. Факторы, обуславливающие процессы взаимодействия в системе колесо-рельс при движении поезда в кривых // Вестник научно-исследовательского института железнодорожного транспорта. Москва, 2015. № 1. - С. 17-26.