Автомодельные течения вязкого проводящего газа в канале при наличии скрещенного электромагнитного поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОГО ПРОВОДЯЩЕГО ГАЗА В КАНАЛЕ ПРИ НАЛИЧИИ СКРЕЩЕННОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Здесь х, у—расстояние, измеряемое вдоль оси и по нормали к оси капала-и, V — продольная и поперечная составляющие скорости; ^ — давление; {> — плотность, Л — энтальпия, ,и — коэффициент вязкости, Рг— число Прандтля, •/.— показатель адиабаты, Ну—напряженность магнитного поля, Ег — напряженность электрического поля, /г—величина плотности тока, о — коэффициент электропроводности газа, — магнитная проницаемость вакуума. Давление р и напряженность магнитного поля Ну принимаются равными их средним значениям в сечении канала; величина //у задана по длине канала, давление является искомой веЛИЧИНОЙ, £'г=СОП8!.

Систему уравнений (I) необходимо дополнить соотношениями, определяющими зависимость коэффициентов вязкости, электропроводности и числа Прандтля от параметров состояния газа. Будем предполагать их заданными в следующем виде:

И- = И- (л); ’ = о/, (Ь)-Яр(рУ, Рг — сопв!.

(2)

где [л. (//) — Л"; оЛ (Л)—'Л"1; т, п — положительные константы; ор (р) — произвольная функция р.

Для слабоионизировамного газа с малой примесью паров щелочного металла проводимость определяется выражением вида (см., например, (4));

(Р!Р*)

I 2

■2кТл '

где г — энергия ионизации добавляемой в поток присадки; к - постоянная Больцмана; о*, />*. Л*, 7*—характерные значения величин. Поэтому принятый вил функции лишь качественно отражает реальную зависимость проводимости от температуры. Уравнения (I) и (2) должны решаться при следующих граничных условиях:

ди дН „ _ _ )

при у — 0; I

(3)

и — V = О,

Л = Л„,(дс) при у=ут,

где {х) — заданный закон изменения энтальпии газа на стенке канала. Кроме того, должны быть заданы начальные условия задачи.

Перейдем в уравнениях (])—(3) к безразмерным переменным по формулам

— X

I

Уи* Не ’ Р

Р =

_ /У„

Н, - *

- У

■У = 7»Т

- р -

_ а

; и =--------

1 И*

_ Л

Л = лГ ’

— V V = -

«*

Re;

1

где и*,

Р».

Ну *

А/.,

/*-■

Д*

с* IV Чу *

9

в*

Я,,

(О

л — значения соответствующих величин на оси

канала в начальном сечении, ут * — половина высоты канала в начальном сече* нии; Яе = р* и*Уи, — постоянное число Рейнольдса.

При этом уравнения (I) с учетом выражения для закона Ома примут следующий вид (черту в обозначениях опускаем):

ди

дх

ди

дм

‘<Р

/!х

На2аЯу(П + иНу) + ^

д (,£■//) д (ри)

дх

ду

Т~ ~0'

№

э / , *-• „2 .\ , д ( . 1 * \ I д I дН\

(Л + “2“ М* “*) + ^ НУ (Л + 2“ М*“3) = Т7 ~ду~ («* ду )

»Г д I ди \

■| ду (!А// ду )

+ (*•- 1)М? -з-г + На*Ш (П + и//,)

М; = ;>Л.

На- = Re Rem Єи„, — число Рейнольдса,

Здесь М,—число М, определенное по значениям н* и Л*; квадрат числа Гартмана; Яет = о* * м*—магнитное Еит = у.е /г - магнитное число Эйлера;

нагрузки.

Перейдем далее в системе (5) от независимых переменных х, у к новым переменным Ї = х4, г,=у/ут и будем искать решение в виде

П = £**/(*„ и* Ну* — параметр

где

и = ы, (S) и, (г;), h = A, (5) А., (т().

А, (ч) = Л А0;

«I (;) = «о. «з (ч) = “/«о. *1 (?) = Лц. индекс .0" отвечает условиям на оси канала.

В результате тождественных преобразований уравнения количества движения и энергии в переменных 5, т, с использованием уравнения состояния и граничных условий для поперечной составляющей скорости запишутся следующим образом:

Уи> “

и, А?

УІР'

"I*','

(Л7 <)•;

л

І.Я + 1 Л.,

+

<м?Г

Ма ,Л

= -і-(Л2яЛ'Г

+-

(■/. — !) м2 [(A2 «2 н2)

h'\~n

°РНУ

Іаг

и, Н

у \«. ну 1 V.

(6),

Здесь штрих означает дифференцирование по своему аргументу.

Из (Ь) следует, что искомые решения будут иметь место при выполнении условий

Ухи Р

«, Л?

= а — const;

Уи>111 иI А?

у2 Л"*-яс

і Н~ — const I;

= 3 = const; —“’--I = ft* = const; A? + 1

м, Hy=consl = I; н,/Л, = const = 1.

(?>■

Заметим, что выполнение условия u,Hv— I не требуется, если электрическое поле отсутствует (11=0).

Последнее условие (7) означает, что для рассматриваемых течений профили чисел М в поперечном сечении канала не меняются по длине канала; при этом = 2£.

Связь между продольной и поперечной составляющими скорости имеет вид v=y'w r,u. а линии г, = const являются линиями тока |1|, [2].

Полученную систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно величин м2 и Л» будем решать как систему с начальными данными

и, (0) = Л, (0) = 1, и2 (0) = Л2 (0) = 0. (8)

Величины 3, На, П при заданных т, п, Рг и х будут параметрами рассматриваемой системы. Величина з определится в результате интегрирования уравнений (6) из условия равенства нулю скорости на стенке канала [м., (1) = 0|, Ал (I) будет искомой величиной.

Используя условие постоянства расхода через поперечное сечение канала, которое для автомодельного случая примет вид

pi-tiiyw = «,. (9)

а также выражения для параметров а и J), можем далее определить законы изменения давления, скорости, энтальпии и высоты канала по его длине.

По определении законов изменения р (£), yw (j), ut (;) вид зависимости Ну(;) найдем из четвертого условия (7).

2. Некоторые результаты расчетов. Как следует из второго условии (7), значения параметра_ 3 <0 будут соответствовать течению с падением скорости и энтальпии по длине канала, — течению с нарастанием скорости и энтальпии и £ = 0 — течению с не изменяющимися скоростью и энтальпией по длине.

Для заданного 3-<!0 »а ЭЦВМ проведено численное интегрирование уравнений (6) и (7) с граничными условиями (8).

При расчетах принималось, что rn=n — I; Рг = 0,7; * = 5/3 (одноатомпый газ>.

Рассмотрим отдельно случаи при '1 = 0 и 3 <[ 0.

Случай Э = 0. Как ясно из изложенного, автомодельные течения при [1 = 0 существуют при произвольной зависимости коэффициентов вязкости и электропроводности от температуры. Однако для простоты будем полагать, что и в этом случае р. и о определяются условиями (2) при т — п = I.

" При значении параметра II ■= 0, который соответствует режиму короткого замыкания боковых электродов, независимо от закона вязкости, получаем простую связь между Л» и а2:

*■> = 1+7(1 - “г)- 7 = Рг

М-.

где М — число М на оси канала.

Как видно из формулы, в этом случае отсутствует тепловой поток на стенке. На фиг. 2 для 11=0, числа М = 1 и чисел Наот 0 до 8 представлены профили скорости в поперечном сечении канала. Видно, что при На =: 1 вязкость преобладает над индукционным торможением и профили скорости близки

V

1.0

р=0>П’0 ■, М-1,0

=5 :—

N

ч

N ч. N ч ч ч \

N N N N Ч \

N \ \ N \ N

\ \ ч \ \

чЧ N. \ \ \ \

ч Чч N. \

На « ч Л \ \

0 2,311 \ 0 Л

? -5.84? На* 8^ \ \

4 -17,02 6' \ \ \

6 -36.46 Ч'' и \\ \

8 -61.18 2' - л Л 1

О^

*

•

0,8

0.6

0.6

О."

0.2

о,1*

0.6

0.8

1.0 и_

а.

Фиг. 2

к параболическим; с увеличением числа На профиль скорости становится более полным. Приведены также рассчитанные значения а для соответствующих чисел На; при больших числах На величина « — На-'.

На фиг. 3 представлены профили скорости и энтальпии для числа М = 1. На = 2 и значений П = — 0.5 (режим генерирования электроэнергии) и П = 0,5 (режим подвода электроэнергии). Для сравнения нанесены также кривые, отвечающие П = 0 — режиму короткого замыкания.

Из кривых для энтальпии следует, что при П=—0,5 для генерации электрической энергии в данном автомодельном течении необходим подвод тепла от стенки к газу; при П = 0,5 для поддержания постоянства внутренней энергии и скорости вдоль линии тока необходим отвод тепла от газа к стенке.

Профиль скорости при П = 0,5 вследствие заметного охлаждения газа у стенки получается более полным.

Следует сказать, что в случае ГГ Ф 0 может иметь место ограничение режимов автомодельных течений по числам М н На из-за достижения стенкой тем-

пературы абсолютного нули. Такие ограничении легко анализируются при т = п=0, когда уравнении (6) и (7) интегрируются в замкнутом виде:

сЬ На т, — сИ На

1 — ch Н а '

, / ch На \ I—ch hi

Л, = I + Tf (1 — и\) - 7На* П (п - ) г;2 + 2П-(

П (1—ch На) — ch На

—ch I I а г; На-

а = — На2 . . и .

1-сЬНа

Здесь профиль скорости описывается формулой Гартмана.

Законы изменении давлении р и высоты канала уш по его длине для рассматриваемого здесь случая Э = 0 опрделяются выражениями |1]

Р = ^ I —яёхМ* £ ’ Лг-'-«М*5. (Ю)

Фиг. 3

Используя условия (7), далее получаем

при II — 0; I „„

| (П)

Ну = const =1 при П ф 0. >

Отметим, что при И ф 0 функция (/>) не может быть произвольной и определяется четвертым условием (7): в рассматриваемом случае (3 = 0) ор = р-.

Ограничение на вид функции з/; (/>) при наличии электрического поля можно снять, если величину Ег принять по длине переменной. Хотя с точки

зрения точного удовлетворения соотношениям Максвелла это предположение

не будет строгим, оно допустимо при малых изменениях Ег.

В такой упрощенной постановке условия автомодельности течении выполняются при изменении электрического поля по закону Ez = Ну = Чут [эр (р)]1 где zp (/;) является произвольной функцией р.

Полученные результаты при '1 = 0 соответствуют течениям, которые являются обобщениями па случай газа течения Гартмана.

)

//у “ yw lJp (А»)!1 2

Случай 8<0. В данном случае законы распределения давления, скорости н высоты канала по его длине получаем в следующем виде [2):

о — —— и* г м’^- V - и' -•* •

Р ~ *М- 1 • Учи —и1 >

и, = (I—• 7. = а7-М2/3 4-2/1 — I при п ф 0; И| — е>: при п = 0.

Зависимость Ну (;) будет определяться выражением

_ I

Уи>“?~ \*,>

1

(12)

Нм — ---------т---п---------Тп При Н = 0;

Л, =

при П ф 0.

(13)

В случае П ./ 0 вид функции а/( (/?) определяется четвертым условием (7).

При переменном электрическом поле <зр (р) может быть любой, а электрическое поле должно изменяться по закону £* = «1 = 1/и™_/,_'.Уш (г/> (0)11(2 •

Остановимся на частном случае автомодельного течения — течение в канале постоянной высоты, которое для газа с заданным показателем адиабаты у. может быть реализовано при 3/а = хМ2 [см. (12)].

Как и при отсутствии электрического и магнитного полей, такие течения возможны при отводе тепла от газа к стенке ([40>. При этом существует предельно возможное число М, соответствующее достижению стенкой температуры абсолютного нуля.

На фиг. 4 для течения в канале постоянного сечения приведены профили •скорости и энтальпии в поперечном сечении. Кривые соответствуют числу М па оси канала, равному 0,5; для сравнения представлено два случая, характеристики которых указаны на графиках.

Видно, что для случая, когда вырабатывается электрическая энергия, охлаждение газа более интенсивное.

3. Точное решение ураинений Навье—Стокса для течения проводящего газа в канале с учетом собственного магнитного поля. Как и выше, будем рассматривать течение вязкого электропроводного газа в канале между электроизоли-рованными стенками.

Если предположить, что коэффициенты вязкости и теплопроводности не зависят от температуры (я = 0), то при отсутствии электрического и магнитного полей существует класс автомодельных решений уравнений Навье—Стокса для течения газа в канале постоянного сечения с непроницаемыми стенками |5|. С учетом магнитогидродинамических эффектов условия автомодельности выполняются, если электропроводность также не зависит от температуры и зависит от давления как Чр, т. е. т = 0 и = 11р

Особенностью рассматриваемых течений является отсутствие поперечной составляющей скорости (и=0).

При этом уравнения количества движения, неразрывности, энергии состояния и магнитного поля примут вид

ди др , I ( 4 д- и д* и \

Р“ дх — -- 0Х — Е“т Кст 1г Ну + ^ з 0Х1 + ду: J ;

др , , I I д* н

О = — JT7 + Еит ^em *t х + рГ"

'I

Re 3 длду '

О {<■“) дх

+ <*-!) м2 {—

/1. 1 i L м ^ ..п* | l..._ i /<) -’ Л д- Л , 1 I _____ 1

1 /I о— *'•* и I “ Re Рг 1 v дх* + ду-

4 ALI _ё_ I дк \

3 дх~ \п дх ) + ду ду)

*м! = рЛ;

д [ 1 дНЛ

х [ а \ дх ду }

д (иНу) дх

£//„, Re„, П£

(11)

дН дну дх + ду =

I (дНу дНЛ ~ Rem ■ дх ~ ду ) ’

ПЕ, = -f - uHv.

Здесь все величины безразмерные и связаны с размерными формулами (4). ■однако масштабом длин в продольном и поперечном направлениях является половина высоты канала.

Будем искать решения уравнений (14) в следующем виде:

и = а, (х) и, (у); Л = А, (.г) Аз (у)',

Р — —^2 Р, (*) Рч (у); Нл = Нх , (л ) Нх , (у);

где

и | (-<Г) = е~

Л, (д) = е

—Зим:,

Р = Pi Ну = НуХ(х)Ну2(у),

Pi (*) =

(15)

/’I (•«■) = «

Нх , (.г) = е

Н V | (-*■) — I!

а «> — параметр, подлежащий определению.

Из первых двух выписанных условий (15) следует, что числа М должны быть постоянны вдоль линий тока, так что профиль чисел М будет одним и тем же в различных сечениях канала. Кроме того, числа Ие, Яет, На, определенные по параметрам потока на оси и по высоте канала, также должны быть постоянными по длине канала. Такие течения, соответствующие отыскиваемым решениям, возможны при отводе тепла от газа к стенке, т. е. при и> >0. Послед-лее подтверждается и дальнейшими численными расчетами.

Начальными условиями системы (16) будут «г(0) = Л2 (0) = р« (0) = Hv j(0) — I; Нх 2 (0) = 0; //2 (0) = h2 (0) = 0. (17)

Значение параметра определим в результате интегрирования системы (16) при заданных *, Рг и числе Re, На, Rem и чисел М на оси капала из условия равенства нулю скорости на стенке [««(I) s0].

Приведенная энтальпии газа на стенке канала Лз(1) будет при этом искомой величиной.

Как показали результаты расчетов, имеет место ограничение режимов течений по числам М и На из-за достижения стенкой температуры абсолютного нуля.

Для примера на фиг. 5 и 6 приведены результаты расчетов, отвечающие значениям -л = 5/3, Pr = 0,7, М = 0,25, Re = 10, На=3 и Re„, = 0,1; 10. На фиг. 5 представлены профили скорости, энтальпии и давления в поперечном сечении канала (г, = .у/у^,, индекс .0" отвечает условиям па оси), на фиг. 6—профили величин Нх/Ну0, Ну1Ну0.

Видно, что при ReOT = 0,l давление р и величина Ну практически не меняются по сечению. При этом результаты расчетов распределения скорости и энтальпии на основе приближенной системы уравнений (для т = п = 0), приведенной в разд. I, и полной на графике не различимы.

Для больших значений числа Рейнольдса (практически уже при Re> 10) v) ~ I^'Re.

Укажем еще один случай, когда возможно получение решения уравнений Навье—Стокса для течения проводящего газа в канале при произвольном Rem.

Анализ формулы (10; и выражения для а при т — п — 0, полученных на основе приближенной системы уравнений и {1 = 0, показывает, что о = 0 при ch На ^ 1 — cli На ‘

При этих условиях автомодельное течение должно реализоваться в канале постоянного сечения, причем не только скорость н температура, по и давление не меняется по длине канала.

Магнитное поле должно быть однородным, а движение газа осуществляется под действием поидеромоторной силы.

В рамках полных уравнений Навье—Стокса при произвольных Ren Ег = const, Ну — const такое течение будет описываться уравнениями

О = — На2 о (II -(- и) -|-

др

На2

Re

° = — Их а(п + и);

1 д I dh\ Г д / ди \

0= РГ Ту (* ъ) + <* -:»)'м‘ [ду (»" W)+ На= Пз (П +

">

д Н

~sf = — с Re„ (И h«)

с граничными условиями

u(0) = /i(0)= I, р (0) =

г М-

Нх (0) = О, и' (0) Л’ (0) = 0.

(19)

Искомое значение II определим из решения системы (1Й) с граничными условиями (19), используя условие для скорости на стенке — и(\) = 0.

В общем случае при произвольной зависимости коэффициентов у, а от параметров состояния газа решение задачи может быть получено численно. Если предположить, что ц = const, о = const, то решение имеет вид

ch На у — ch На

“ I - ch На '

I — ch На у

Л = И- 7 (I - «-) + 2П7 |_ёИ"нГ

Re„

sh2 На v

‘ Re (ch На - I)2 ch На

11 =

I — ch На

^сш_____

Н* ~ На (ch На — I)

sh На у.

Отсюда видно, что П < — I и должен иметь место отвод тепла от газа к стенке. Как и в рассмотренных выше случаях, здесь также имеет место ограничение режимов течения по числам М.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бы р кии А. П., Меж и ров И. И. О некоторых автомодельных течениях вязкого газа в канале. МЖГ, 1969, № I.

2. Бы р кин А. П. Об автомодельных течениях вязкого газа в канале при наличии теплообмена. МЖГ, 1969, № 5.

3. Кук и н И. К.. С м о л и и Г. Г. Некоторые задачи двумерного течения несжимаемой жидкости в канале при наличии электрического и магнитного полей. „Магнитная гидродинамика", 1965, № I.

4. К а л и х м а и Л. Е. Элементы магнитной газодинамики. М., Атомиздат, 1964.

5. 13 ы р к и н А. П. О точных решениях уравнений Павье—Стокса для течения сжимаемого газа в каналах. „Ученые записки ЦАГИ‘, 1970, т. I, № 6.

Рукопись поступила 8,IV 1971 г.