CC BY
11
Сапки/1 Юрий Николаевич, доктор технических наук. профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и
статьи в ооласти механики сплошных сред. теории колебаний и устойчивости движения;
Явкин Сергей Александрович, аспирант Ульяновского государственного технического университета. имеет статьи в области динамики упругих систем.
УДК 621.382:538.915:532.529.2 Р. А. БРАЖЕ, О. Н. КУДЕЛИН
АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА В НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ ТЕРМОЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ КОНВЕКЦИИ В ПЛОСКОМ СЛОЕ ПОЛУПРОВОДНИКА
Построено приближённое решение нелинейных уравнении электрогидродинамической конвекции в полупроводниках. сводимое к уравнениям Лоренца. Получен явный вид выражения для критического числа Рэлея.
В работах [1,2] была рассмотрена теория электрогидродинамической конвекции (ЭГДК) в полупроводниках с учётом рассеяния носителей заряда на ионах и дефектах кристаллической решетки (через время релаксации импульса). Поставленная задача решалась путём линеаризации системы уравнений, описывающих данное явление. Хотя такое решение и позволяет определить необходимые условия для наблюдения ЭГДК в полупроводниках, оно не позволяет определить закономерности возникновения изучаемого процесса.
Здесь мы рассмотрим тонкий слой полупроводника, который помещён в постоянное, однородное электрическое поле. Дополнительно в нём создаётся градиент температуры. Запишем систему уравнений ЭГДК в приближений Буссинеска:
электрического поля; хр - время релаксации импуль-
1 дп
са; а =---- коэффициент ооъёмного расширено зг
ния; (3 - градиент температуры; j - плотность электрического тока; х - коэффициент температуропроводности; /-время.
Будем считать, что движение носителей зарядов в поперечном направлении полупроводника отсутствует, тогда можно упростить нашу систему, положив v — 0 . Применим, для исключения давления, к (1)
операцию rot rot. Вводя малый параметр |i2
и делая замену переменных и = (iwl, w - fiw,, Т = , получим
+ (vV)v =--1— V/? + vAv —— - осТ ,
dt дТ
dt
m п,
е v
+ v УГ = хДГ + ——vE + — + |3vs,
m
m с
Vv = О,
(1)
где V - компоненты скорости; Т - отклонение температуры от стационарного значения = Т0 ; п0 -
концентрация свободных носителей заряда; тп - их эффективная масса; v - коэффициент кинематической вязкости; е - элементарный заряд; Е - напряжённость
дАw , , Aw еЕ о2Т
---vA Aw + — -f- а
dt т
• 2
m ох
д
- — |_i — (и Aw + wAu),
дх
Ллп
— -XAT-?>KPw--6—wE =
dt
m с
г
дТ дТ
UVV - и--W--h-
N
Ч
дх
dz
j
ди ow л — + — = 0.
дх dz
(2)
Браже Р. А., Куделин О. Н., 2004
При ЭГДК возникают колебания с пространственным периодом, характеризуемым волновым числом ко. Будем искать решение (2) в следующей форме
[3]:
„> , ч . nz , inx w = W,, (/) sin — exp(—7=) +
L
V2 L
El ir , \ • / W^v
№(') S1!1 — eXP(--Г") +
wmx
un:
L
L
í
i—
и - -i-J 2
, , 71Z , Í7ÍX .
lVu(t) eos — exp(- —) -f
Л
L
л/2L miz
Zn „, . . miz . vmlx.
- K„ (0cos—exP(——)
^ /r//i w ld j
-f K.C.
(3)
T = 0,, (0 eos exp(- —L) + + 10 (0 sin + ,0 (f) sin —— +
L
L
+
Zn Л MIZ ífMLX.
— 6.....(0 eos —- exp(--—) + K.C.
m L L
)Wt
Подставляя их в (2) и приравнивая члены при одинаковых гармониках, получаем
дИ7 11} -Зутст
и _
р
dt дО
21} х
3 т
dt дв
21
г 11 20
L т с
(4)
20 _
4тт2^е,„ 2тг
20
Зг
L
L
W
гг п.
Полученная система уравнений описывает ЭГДК к случае свободных границ. Легко преобразовать данную систему уравнений к известным уравнениям Лоренца [4]. Для этого введём следующие обозначения:
11
%¡2\iL
Г
1-
2 ls
\
V
ЗУТГТ
У
27p¿rü3 4rcp.2i?a
2L2
t --гт,а =
3Jbc2
/
1-
2 L
\
\
3V7l4
У
Pr,
(5)
4Rae 3vti т 8
Г =-77—----\>b = ~.
2771 (2/r-3VTT T;J 3 После подстановки (5) в (4) получаем
ах
5/ дУ
dt
5Z
= a(F - Х),
= rX -Y - ZX,
dt
-=XY-bZ.
Эта система неустойчива на бесконечности. Фазовые траектории входят в объём шара радиуса
и - х1 + у1 + (г - г - а)2. При г < 1 система находит-
Рис. 1. Фазовая траектория системы при различных создаваемых напряжённостях электрического поля (а - 11,2-103В/м. б - 31,2-103В/м, в-101,2-103В/м)
1,0
z 0,6-
0,5 -1,0
Рис. 2. Фазовая траектория системы при различных толщинах полупроводникового слоя (а - 0,2 мкм, 6 - 0,6 мкм)
ся в состоянии равновесия, но при г > 1 система становится неустойчивой.
В предыдущих работах [1, 2] было рассмотрено явление ЭГДК для случая тонкого полупроводникового слоя в одномерном случае. В них не удалось получить в явном виде выражение для критического числа Рэлея из-за сложности конечного выражения. Приравняв г к единице, найдём критическое число Рэлея, при котором происходит возникновение ЭГДК свободных носителей заряда:
9л2(2Л2 -ЗугсЧ )
4vt
(б)
р
Значения критических чисел Рэлея (6) в сравнениями с результатами работы [5] для ряда полупроводниковых соединений приведены в таблице 1.
Теперь рассмотрим поведение системы со временем в зависимости от прикладываемого напряжения к образцу, толщины полупроводникового слоя и создаваемого градиента температуры. При критическом числе Рэлея фазовая траектория системы сразу попадает в устойчивое положение, из которого она впоследствии не выходит.
Таблица 1
Критические значения числа Рэлея для ряда типичных полупроводниковых соединении
Материал Es. эВ m*, 10"31 к г (.1, м"У(Вс) L, мкм т,„ nc Tp, nc Rmin 10'
m„* »ip * M« M/> L» Ln линейный случай нелинейный случай
Элементарные полупроводники
Si 1,11 3,00 7,37 0,300 0,050 0,14 0,10 0,562 0.230 0,825 0,827
Ge 0,66 2,00 3,54 0,380 0,182 0,14 0,10 * 0,475 0,403 0,806 0,808
Соединения Ац BVj
ZnSe 2,70 1,37 5,46 0,026 0,002 0,14 0,10 0,022 0,007 41,899 46,797
ZnTe 2,10 1,10 5,91 0,035 0,010 0,14 0,10 0,024 0,037 33,673 36,803
CdS 2,52 1,82 12,20 0,035 0,005 0,13 0,10 0,040 0,038 15,954 18,019
CdSe 1,67 1,00 5,70 0,058 0,005 0,15 0.10 • 0.036 # 0.019 • 15,954 17,914
CdTe 1,50 0,91 3,64 0,12 0,008 0,14 0,10 0,068 0,018 3,563 3,839
Соединения Am Bv
GaP 2,27 1,10 4,90 0,030 0,008 0,2 0,10 0,021 0,024 42,549 42,549
GaAs 1,43 0,61 4,55 0,850 0,042 0,14 0.10 • 0,324 0,119 0,756 0,757
GaSb 0,70 0,43 3,55 0,400 0,140 0,24 0,10 0,107 0,311 2,586 2,592
InP 1,34 0,66 5,80 0,460 0,015 0,24 0,10 0,189 0,054 1,477 1,523
InAs 0,36 0,21 3,00 3,300 0,046 0,33 0,10 r 0,433 0,086 0,779 0,782
InSb 0.18 0 0,12 1,80 7,800 0,075 0,20 0,10 0,585 0,084 0,672 0,672
2. Куделин ,0. Н. Компьютерная модель гермо-электрогидродинамической конвекции свободных носителей заряда в полупроводниках // Тез. докладов школы-семинара «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» У О ИРЭ РАН. -2003.-С. 28.
3.Ланда^П. С. Нелинейные колебания и волны / П. С. Ланда. - М.: Наука, Физматлит, 1997. - 416 с.
4. Lorenz, E.H. Deterministic nonperiodic flow П J. Atmos. Sei. - 1963. - V 20. - №2. - P. 130-141.
5. Браже,Р. А., Куделин,О. Н. Условия наблюдения термоэлектрогидродинамической конвекции в реальных полупроводниках // Электронная техника-2003.-С. 3-6.
Браже Рудольф Александровичу доктор физико-математических наук, доцент, чл. -корр. РАЕН, зав. кафедрой «Физика» Ульяновского государственного технического университета. Область научных интересов: нелинейные волновые процессы, синергетика, радиофизика, физика полупроводников и диэлектриков.
Куделин Олег Николаевичу аспирант кафедры «Физика» Ульяновского государственного технического университета. Область научных интересов: нелинейные волновые процессы, синергетика, физика полупроводников и диэлектриков.
Будем изменять величину прикладываемого напряжения, рассматривая лишь те значения параметров, при которых возникает конвективное движение зарядовой жидкости, т. е. при которых число Рэлея будет равно или больше критического. В качестве материала будем рассматривать примесный кремний. Толщина Ь = 0,14 мкм, градиент температуры А =36 К. Из приведённого графика (рис. 1) видно, что с увеличением прикладываемого напряжения происходит увеличение времени, в течение которого система приходит в состояние равновесия. Максимальное напряжение в данном случае ограничивается пробойным значением.
С увеличением толщины образца сначала всё идёт по аналогии с предыдущим вариантом, однако, начиная с некоторых толщин, возникает странный аттрактор Лоренца, т. е. движение носителей заряда становится хаотичным (рис. 2).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Браже,Р. А., Куделин р. Н. Математическая модель термоэлектрогидродинамической конвекции в полупроводниках с учётом столкновительных процессов // Математическое моделирование (в печати).
