CC BY
23
Изв. вузов «ПНД», т. 13, № 1-2, 2005 УДК 621.382:538.915:532.529.2
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЙ АНАЛОГ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ЛОРЕНЦА В КОЛЬЦЕВОЙ ТЕРМОКОНВЕКТИВНОЙ ЯЧЕЙКЕ
Р.А. Браже, О.Н. Куделин
Получена система нелинейных уравнений, приближенно описывающих явление тер-моэлектрогидродинамической конвекции в полупроводниковой кольцевой ячейке, сводимая к модели Лоренца. Исследованы зависимости параметров модели от материала и размеров кольца, напряженности приложенного электрического поля и градиента температуры.
1. Постановка задачи
В работах [1, 2] авторами была построена теория термоэлектрогидродинами-ческой конвекции (ТЭГДК) в субмикронных полупроводниковых слоях с учетом рассеяния носителей заряда на ионах кристаллической решетки. Такое явление является аналогом хорошо известной термоконвекции Бенара в слое вязкой жидкости. Далее в [3] были исследованы устойчивые и неустойчивые режимы ТЭГДК, а также появление детерминированного хаоса, аналогичного предсказанному Э. Лоренцом [4] для конвекции Бенара.
Одной из причин, затрудняющих экспериментальную проверку разработанных модельных представлений о ТЭГДК в плоских полупроводниковых слоях, является отсутствие простых и надежных способов визуализации конвективных токов свободных носителей заряда. В связи с этим представляется обнадеживающим обращение к модели ТЭГДК в кольцевом слое полупроводника (рис. 1). Такая конвекция, если она существует, аналогична термоконвекции в тороидальной ячейке, заполненной вязкой жидкостью [5, 6]. Остроумная техника экспериментального исследования этого явления предложена в [7]. В случае полупроводникового кольца о наличии ТЭГДК и направлении конвективного тока можно судить по возникающему в кольце магнитному полю, что должно облегчить экспериментальное исследование данного явления.
В связи с этим интересно было бы также рассмотреть задачу с системой вложенных друг в друга полупроводниковых колец, в том числе выполненных из различных материалов. Это позволило бы исследовать возможность хаотической синхронизации конвективных режимов в различных кольцах и иные кооперативные явления, возникающие вследствие взаимодействия магнитных полей конвективных токов. Для начала, однако, необходимо рассмотреть возможность существования обсуждаемой конвекции в отдельном кольце.
Система уравнений, описывающая движение свободных электронов в кольце, в гидродинамическом приближении получается из кинетического уравнения Больцмана и уравнений Максвелла в ходе процедуры усреднения скоростей электронов и пренебрежения рекомбинацион-ными процессами в масштабах характерных времен наблюдения [8, 9]. В итоге получается 5 законов сохранения для первых 13 моментов функции распределения электронов по координатам и импульсам:
• закон сохранения концентрации частиц (скаляр), который сводится к уравнению непрерывности
Рис. 1. Исследуемая модель: 1 - полупроводниковый слой (п-типа); 2 - диэлектрическая подложка; 3 - металлические электроды, между которыми создан градиент температуры
дп . ,
Ж + У ^
0;
(1)
• закон сохранения потока импульса (вектор, имеющий 3 компоненты), который сводится к модифицированному уравнению Навье - Стокса (здесь для угловой компоненты в цилиндрических координатах)
дУф + ^ дщ + щ дщ + уг Уф дг г дг г дф г
1 др
— я! + П г дф
1 дуф + д2Уф + 1 дщ + 2 дУг г дг дг2 г2 дф г2 дф
Уф
(2)
— пеЕ эт ф —
т^пУф
• закон сохранения плотности энергии (скаляр);
• закон сохранения плотности потока импульса (тензор второго ранга, 5 независимых компонент);
• закон сохранения плотности потока энергии (вектор, 3 независимых компоненты).
Последние три закона сохранения сводятся к уравнению теплопереноса
т*пТ
дз дз Уф дз д1 г дг г дф
п (+ дУк +
2 \дхк дxi 3
кДТ + ^ + ^ Ък Ду) + с О^)2 + jE +
2
2
*
т п
2
г
т
р
т
р
В выражениях (1)-(3) приняты следующие обозначения: п - концентрация свободных электронов, т* - их эффективная масса (считается изотропной), V - гидродинамическая скорость электронов, р - давление электронной квазижидкости, п и £ - соответственно коэффициенты ее объемной и сдвиговой вязкости, Е - напряженность электрического поля, тр - время релаксации импульса (через него учитывается рассеяние электронов на фононах), Т - абсолютная температура, в - удельная энтропия, к - коэффициент теплопроводности, ] - плотность тока, Ь - время.
В теории конвекции обычно используется приближение Буссинеска, состоящее в предположении о постоянстве силового поля (в нашем случае электрического) в среде. Это позволяет не учитывать влияние возмущений ее плотности (в нашем случае плотности заряда) на само поле и не использовать уравнение Пуассона, ограничиваясь анализом системы (1)-(3).
Отметим, что никаких особых требований к используемым полупроводниковым материалам, в частности, к ширине запрещенной зоны, проводимости и пр., пока не предъявляется. Имеются в виду невырожденные примесные полупроводники п- или р-типа (в теоретическом описании - п-тип). Изотропность эффективной массы электронов в плоскости кольца может быть достигнута в ходе такого напыления полупроводниковой пленки на подложку, при котором оптическая ось перпендикулярна поверхности. Что касается оптимизации остальных параметров, то на этом вопросе мы остановимся ниже, в ходе анализа модели.
2. Уравнения Лоренца
Умножая (1) на R2 и интегрируя по ф, получаем
jdt = —R2wj) m*n sin ф^ф — ^h + —^ m, (4)
2п P
где J = 2nm*nR3 - момент инерции электронной квазижидкости, приходящийся на единицу площади сечения кольца; h = 2nRn - коэффициент трения, обусловленный вязкостью среды; w = eE/m* - ускорение, обусловленное электрическим полем; m - угловая скорость вращения частиц среды.
В уравнении (2) пренебрежем диссипативным членом и предположим, что теплообмен между электронной квазижидкостью и диэлектрической подложкой пропорционален разности их температур. Учитывая, что ds = cpdT/T (cp - удельная теплоемкость), получаем
dT dT щ дТ dt r дг r дф
х d2T
Х — K [T (ф,у) — Th (ф)]. (5)
R2 дф2
Здесь ТЦф) - температура электронной квазижидкости при у = Ь(ф) (рис. 1); X = к/(т*п0ср) - коэффициент температуропроводности; К - коэффициент теплопередачи. Предположим также, что концентрация свободных электронов зависит от температуры по закону
п = по [1 - а (Т - То)] , (6)
где а = Еа/(2квТ2) - коэффициент теплового расширения, полученный из температурной зависимости концентрации электронов (Еа - энергия активации доноров, к в - постоянная Больцмана); Т0 - значение температуры, при которой концентрация электронов равна п0.
Далее по аналогии с [10], где исследовалась классическая гидродинамическая модель в тороиде с жидкостью, разложим ТЦф) и Т(ф, Ь) в ряды Фурье по углу ф с учетом четности функции Т^ (ф):
Тн (ф) = То + £ Тп соэ пф,
п= (7)
Т (ф, Ь) = То + ао (Ь) + Е [ап (Ь) соэ пф + Ьп (Ь) эт пф].
п=1
В частности, при п = 1 температура на «нижней» границе образца (ф = = 0°) ТН = Т0 + а0(Ь) + Т1, а температура на «верхней» границе (ф = 180°) ТВ = Т0 + а0(Ь) — Т1. Разность температур на образце ДТ = ТН — ТВ = 2Т1.
Подставляя (6), (7) в (4) и (5), получаем систему, состоящую, вообще говоря, из бесконечного числа уравнений. В частности, для п = 1
зс = атп2^Ь1 — (Л + с, а 1 = — сы — (К + К) а1 + КТЪ
ат*п0^2ь, — (ъ + Л т а, = — сЬ, — (к + ,
(8)
и,
К2,
и для п = 2, 3, 4,...
Ь1 = та, — (к + К^) Ь1,
а 0 = —Ка0, ап = —п
Ьп = псап — (к + п
2-М Ь
К2) Ьп'
В полученной системе уравнений верхняя группа (8) не зависит от всех остальных. Когда амплитуды всех мод, кроме трех, равны нулю, эта группа преобразуется к уравнениям Лоренца для выбранной выше геометрии ячейки:
' ОХ '— X>•
^ = гх — г — гх, (9)
ах
¥ = хг — г,
ах
где параметры о и г определяются из следующих выражений:
П +----* г, 2
хр ат*п0тК2
Лк+Ю' 2(к+1)(„+хР)
Т,. (10)
а
п
п
п
о
Решение системы (9) имеет вид
X =-; У =-(-^ Ьц Z = г---ац
к + * 2К " + г) +г) (ц)
V тр/ \ ьр/ (11)
т = (к + £)
В случае конвективной ячейки более общей, эллиптической формы в последнем уравнении системы (9) появляется новый параметр [11, 12]
Л4 = ХУ - Ьг.
ат
Здесь Ь = 4/(1 + а2), где величина а определяет характерный масштаб мод, раньше других теряющих устойчивость. Для ячейки круговой формы а = \/3 и Ь = 1.
3. Анализ модели
Для оценки возможных значений параметров о, г полученного полупроводникового аналога модели Лоренца, основанного на квазигидродинамических уравнениях, воспользуемся принятыми в рамках такого подхода [2, 9] кинетическими представлениями относительно коэффициентов вязкости, температуропроводности и времени релаксации импульса. Иначе говоря, предполагается, что свободные электроны полупроводника сохраняют характеристики одноатомного электронного газа независимо от нашего усредненного описания их движения. Поскольку в газах коэффициенты кинематической вязкости V и температуропроводности х равны по величине коэффициенту диффузии В, то в соответствии с формулой Эйнштейна
V = х = В = цквТ/ е,
где ^ - подвижность электронов.
Таким образом, в нашей модели число Прандтля Рг = v/x ~ 1. Введенный в (10) параметр о в допущении К < %/В? можно представить в виде
о = Н^ (1 + г ^ = Рг (1 + г
г V трн) V ТрЬ
Проведем теперь численные оценки величины этого параметра в полупроводниковом кольце, взяв в качестве примера материал с высокой подвижностью электронов - антимонид индия (1и8Ь), легированный медью (Си). Он обладает следующими интересующими нас характеристиками [13, 14]: ш* = 0.12 • 10_31кг; Еа = 0.056 эВ; ^ = 7.8м2/(В • с); и0 ~ 1017м_3. Значение о существенным образом зависит от соотношения величин Н и Г/тр. В соответствии с вышеизложенным, Н = 2лЯщш* В, а тр = цш*/е, так что
Г = е2К2 трН ^,2ш*квТ
Задав в качестве минимально возможного из технологических соображений радиуса кольца Я — 10-3м, при Т = 300 К получаем для нашего примера значение ,]/(%рН) — 108. Уменьшить эту величину подбором материала, размеров кольца и температуры на 8 порядков нереально, так что в нашей модели эффективное число Прандтля о ^ 1 всегда.
Заметим, что при термоэлектрогидродинамической конвекции в плоском слое [1-3] толщина полупроводниковой пленки может быть доведена до сотых долей микрометра. Это позволяет реализовать в ней близкий к бесстолкновительному (баллистическому) режим движения свободных носителей заряда в конвективных ячейках, когда тр » ]/Н и о & Рг — 1.
С учетом сделанной оценки эффективное, нормированное к критическому значению число Рэлея
am*nowR2XpTl
2(к+Ю]'
что для Я — 10-3м, Т = 300 К дает
г — 10-5ЕДТ,
где, как указывалось в разделе 2, ДТ = 2Т1 - разность температур на образце (Е и ДТ измеряются в единицах СИ).
Как следует из полученного соотношения и рис. 2, при выбранном размере кольца и разумных разностях температур значение г > 1. Когда начинается конвективный ток в кольце, величина напряженности приложенного к образцу электрического поля должна быть весьма малой: Е — 103 104 В/м. Увеличение напряженности поля и размеров кольца приводит к быстрому увеличению г (рис. 2, 3).
Устойчивость конвективного тока в круговом кольце (Ь = 1) сохраняется до значений г < г* [11, 12], где
о(о + Ь + 1) о(о + 4)
*
г =
о Ь 1 о 2
Рис. 2. Зависимость параметра г от напряженности приложенного электрического поля и разности температур на электродах при фиксированном радиусе кольца (К = 10~3 м)
Так как о ^ 1, то г* & о ^ 1. Тогда
г г аш*и^К2трТ1 аи,2ш*ЕДТ 12
— & - =--— = —--10 ЕДТ
г* о 23 8пеК
(при К ~ 10_3м). Отсюда следует, что вплоть до предпробойных значений напряженности электрического поля в полупроводнике (Е < 108 В/м) и разностей температур ДТ < 102 К конвективный ток свободных электронов в кольце будет протекать в условиях, далеких от неустойчивого режима.
Естественно, как и в классическом примере (когда о = Рг = 10, Ь = 8/3, г* & 24.74 [12]), при некотором г2 < г* на фазовом портрете системы должен возникнуть странный аттрактор (в классическом примере г2 & 24.06 [12]). Так как численное решение уравнений Лоренца (9) на основе трехмодовой аппроксимации для г ^ 1 неправомочно, то соответствующее условие для г2 в рамках данной модели не может быть найдено. Строить же более сложную теорию для отыскания г2 не имеет смысла, так как требуемый режим, как показали наши оценки, в экспериментальных условиях все равно недостижим.
Ситуация здесь такая же, как если бы мы в гидродинамической модели Лоренца залили в тороид не воду (Рг = 6.77), а глицерин (Рг = 1.09 • 104). Большая вязкость глицерина при почти одинаковой с водой температуропроводности приводит к быстрому уменьшению амплитуды и частоты колебательных мод возмущений и, в конечном счете, увеличивает устойчивость конвективного потока.
Большие по сравнению с баллистической длиной размеры полупроводниковой кольцевой ячейки приводят к многократному увеличению эффективной вязкости электронного газа из-за столкновений электронов с кристаллической решеткой. В результате в кольце возникает устойчивый в широком диапазоне рабочих парамет-
Рис. 3. Зависимость параметра г от напряженности приложенного электрического поля и радиуса полупроводникового кольца при фиксированной разности температур на электродах (ДТ = 60 К)
ров конвективный ток одного из двух возможных направлений. При выключении и повторном включении электрического поля направление тока может изменяться хаотически. Можно ожидать, что степень этой хаотичности будет зависеть от частоты переключений поля.
Съем информации о колебаниях тока в кольцевой полупроводниковой ячейке может быть осуществлен при помощи датчика магнитного поля. Практическая значимость данной работы, в случае экспериментального подтверждения модельных представлений, может быть связана с использованием таких колебаний в качестве несущего сигнала для передачи конфиденциальной информации в современных системах связи с использованием динамического хаоса [15-16].
Работа поддержана ФЦП «Интеграция» (код проекта Б0107).
Библиографический список
1. Браже Р.А., Куделин О.Н. Условия наблюдения термоэлектрогидродинамиче-ской конвекции в реальных полупроводниках // Электронная техника. Сб. науч. тр. Ульяновск, 2003. С. 3.
2. Браже Р.А., Куделин О.Н. Математическая модель термоэлектрогидродинами-ческой конвекции в полупроводниках с учетом столкновительных процессов // Мат. моделирование. 2005. Т. 17, № 2. С. 109.
3. Браже Р.А., Куделин О.Н. Аттрактор Лоренца в нелинейном режиме термоэлектрогидродинамической конвекции в плоском слое полупроводника // Вестник УлГТУ. Сер. «Естественные науки». 2004. Вып. 2. С 27.
4. Lorenz E.H. Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. 1963. Vol. 20, № 2. P. 130.
5. Welander P. On the oscillatory instability of a differentially heated fluid loop // J. Fluid Mech. 1967. Vol. 29. P. 17.
6. Моторова Э.А. Неймарк Ю.Н. Об устойчивости нелинейной распределенной модели естественной циркуляции // Автомеханика и телемеханика. 1974. № 3. С. 28.
7. Creveling H.F., De Paz J.F., Baladi J.Y., Schoenhals R.I. Stability characteristics of a single-phase free convectional loop // J. Fluid Mech. 1975. Vol. 67. Part 1. P. 65.
8. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П.Теоретическая физика. Физическая кинетика. М.: Наука, 1972.
9. Anile A.M., Romano V., Russo G. External hydrodynamical model of carrier transport in semiconductor // SIAM J. of Appl. Math. 1997. April, 12.
10. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука. 1997. С. 417-418.
11. ХакенГ. Синергетика. М.: Мир. 1980.
12. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2001.
13. Емцев В.В. Примеси и точечные дефекты в полупроводниках. М.: Наука. 1986.
14. Кикоин И.К. Таблицы физических величин. М.: Наука. 1989.
15. Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1997. № 10. С. 4.
16. Дмитриев А.С., Старков С.О. Передача сообщений с использованием хаоса и классическая теория информации // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1998. № 11. С. 4.
Ульяновский государственный Поступила в редакцию 24.12.2004
технический университет После доработки 22.03.2005
SEMICONDUCTOR ANALOGUE OF LORENZ TURBULENCE MODEL IN THE CIRCULAR THERMOCONVECTIVE CELL
R.A. Brazhe, O.N. Kudelin
A set of the nonlinear equations, approximately describing thermoelectrohydrodyna-mical convection in circular semiconductor cell, which comes to Lorenz model, is obtained. The dependences of the model parameters of materials and ring size, of affixed electric field and of temperature gradient are investigated.
Браже Рудольф Александрович - родился в 1948 году в селе Ковалево Омской области, окончил Саратовский государственный университет в 1971 году и там же аспирантуру по специальности «Радиофизика» в 1974 году. С 1974 работает в Ульяновском государственном техническом университете (с 1993 года - заведующий кафедрой физики). Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в СГУ (1975) и доктора физико-математических наук в УлГТУ (2002) в области радиофизики и математического моделирования нелинейных волновых процессов. Автор более 200 научных трудов, в том числе 1 монографии и нескольких учебных пособий. Член корреспондент РАЕН.
Куделин Олег Николаевич - родился в 1979 году в городе Ульяновске, в 2001 году окончил Ульяновский государственный университет по специальности «Физика твердого тела». Работает на ФГУП НПО «Марс» инженером-программистом, аспирант кафедры физики УлГТУ, автор 12 научных работ.
