CC BY
54
112 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
MSC 76N15, 76М45
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ГАЗОДИНАМИКИ СТАЦИОНАРНЫХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Ю.П. Вирченко, И.И. Самойлова
Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: virchQbsu.edu.ru
Аннотация. Предлагается общая конструкция построения асимптотических разложений решений системы уравнений газодинамики, которые описывают безвихревые стационарные течения газа.
Ключевые слова: уравнение Навве-Стокса, стационарные задачи, сжимаемости, потен-циалвное течение, асимптотические разложения.
1. Введение. Как известно [1], полная система дифференциальных уравнений газодинамики (и гидродинамики ньютоновских сжимаемых жидкостей) состоит из уравнения Навье-Стокса
V- P ( 2 \
Uj + (u,V)uj =---1 b Vfcp ГVkUj + VjUk - -8jk j + (V,r/V)wy , j = 1,2,3; (1)
уравнения непрерывности
P+(V,pu) = 0 (2)
и уравнения переноса тепла
+ n(V, u)2 . (3)
Система уравнений (1-3), с физической точки зрения, записана с точностью до второго порядка по градиентам полей u, р, T. Она определяет эволюцию во времени t для поля скоростей u(x, t) в области П С R3, x G П, распределений плотноети p(x, t) и температуры T(x,t) при определенных граничных и начальных условиях, связанных со спецификой физической постановки задачи. Для полной постановки задачи, в этой системе уравнений должны быть заданы коэффициенты вязкости р и ц, давления P, теплоемкости при постоянном давлении cp и коэффициента теплопроводности к, которые, в общем случае, для каждой пространственно-временной точки, являются функциями от величин р и T, которые вычислены в этой точке. Заметим, что транспортные коэффициенты р,п не зависят от u, что как раз соответствует понятию ньютоновских сплошных сред.
При сформулированных условиях становится осмысленной постановка задачи Коши для системы уравнений (1-3), то есть поиска ее решения при заданных начальных значениях u(x, 0) p(x, 0) и T(x, 0). Однако, в настоящее время, неизвестно разрешима ли
pcp (T+ (u, V)T
(V, жу)г + |
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
ИЗ
задача Коши в сколько-нибудь общей постановке для этой системы уравнений (и даже для более простой системы, например, получаемой при T = const, д = 0 (V, u) = 0 и P ~ p n = const). При тех же общих условиях постановки задачи неизвестен также ответ на вопрос: если решение задачи Коши существует, то является ли оно единственным при заданных начальных условиях и глобальным (то есть возможно ли его продолжение на сколь угодно большие отрезки времени)? Само собой разумеется, что в этих условиях совершенно немыслимо ставить вопрос о построении аналитических решений в рамках сколько-нибудь общих условий постановки задачи. Что касается построения решений численным образом, то так как любое конструктивное доказательство существования решения у системы (1-3) и ее упрощений неявно должно содержать алгоритм численной схемы определения решения, и этот алгоритм обязательно должен сходиться, может быть, довольно медленно, то наличие сходящейся численной схемы содержит в себе конструктивное доказательство существования и единственности решения. Отсутствие такого доказательства в настоящее время указывает на то, что численные процедуры, применяемые в газодинамике, не являются математически строго обоснованными.
Остановимся отдельно на задаче поиска стационарных решений системы (1-3), которые не зависят от t и поэтому удовлетворяют этой системе при равенстве в ней производных по t нулю,
V- P / 2 \
(u,V)uj =--------b Vfcp ГVkUj + VjUk - -8jk j + (У,рУ)щ , j = 1,2,3; (4)
(V,Pu) = 0, (5)
pcp(u, V)T = (V, xV)T + | (VkUj + VjUk - jk j + p(V,u)2. (6)
Эта система, вообще говоря, не имеет единственного решения при заданных граничных условиях для полей u, р, T. Это связано с тем, что стационарные течения в сплошной среде, которые должны описываться решениями этой системы уравнений, всегда содержат вихревую составляющую (с отличными от нуля интегралами от поля u по некоторым замкнутым контурам). Примером такого положения является решение Бенара (см., например, [1]) в физических условиях стационарного переноса тепла в слое жидкости между двумя параллельными плоскостями с различными температурами на них, когда возникает вихревое конвективное течение в слое жидкости, наряду с существованием формального решения с нулевым полем u. Можно надеяться на единственность решения краевой задачи для системы (4-6) при исключении вихревой составляющей течения, то есть в условиях, когда поле u является потенциальным, когда существует скалярное поле Ф(х) на Q такое, что u(x) = VФ(x),
По описанным выше причинам, особое значение в газодинамике приобретают построение асимптотических разложений для полей u, р, T по каким-то параметрам, характеризующим среду и совершаемое ею движение. Это касается как построения решений задачи Коши с фиксированными начальными условиями для системы (1-3), так и стационарных задач - решений системы (4-6) с фиксированными граничными условиями. Неизвестно, являются такие разложения, удовлетворяющие с контролируемой
114 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
степенью точности системе уравнений по параметру (ам) разложения, сходящимися, так как их сходимость, как раз, и приводила бы к доказательству существования решения. Однако, ввиду их прикладной ценности, они являются самостоятельным объектом математического исследования. В настоящей работе предлагается схема построения асимптотических разложений по малому параметру решений стационарной системы уравнений в том частном случае, когда уравнение (6) исключается из рассмотрения. При этом мы ограничиваемся постоянными коэффициентами ц и ц, а в уравнении состояния газа (жидкости) функция Р(р) (T = const) полагается линейной, то есть
Р = v2(p — Ро) + р0 ,
где v - скорость звука в среде. Таким образом, физически, допустимы только очень малые изменения плотности р в процессе движения. Исследуемая система уравнений в этом случае приобретает вид
2
— Vfcp + (u, V)uk = (р + rj)Auk + д Vfc(V, и), (7)
р 3
(Vp, и) + p(V, и) = 0 . (8)
Ввиду сказанного выше, поле и предполагается потенциальным. Покажем, что такая постановка задачи является самосогласованной для системы (7), (8), так как в условиях потенциальности поля и система (7), (8) становится переопределенной. Положим в этой системе уравнений и = VФ, Тогда она преобразуется в систему
2
^Vfcp + Vm ФУтУйФ = У^4р/3 + р)ДФ, (9)
(Vmp)(Vm^)+ рДФ = 0. (10)
Здесь и далее мы используем соглашение о применении повторяющихся индексов, принятое в тензорной алгебре. Система уравнений (9),(10) — переопределенная, так как она представляет собой 4 уравнения для двух функций Ф и р. Так как Vkр/р = Vkg, то для самосогласованности системы (9), (10) нужно, чтобы выражение
V^VmVfc Ф являлось градиентом какой-то функции. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
£jklVkVmФVmV 1Ф = 0 j
где £jki ~ тензорный символ Леви-Чивитта, Выражение в левой части преобразуется к виду
£jkl(ykVтф (VmVl^ + Vm^Vm{^jklVkV 1ф j
из которого его тождественное равенство нулю становится очевидным, так как антисимметричный символ Леви-Чивитта сворачивается по индексам k,l с симметричными в обоих слагаемых по этим индексам выражениями.
2. Построение асимптотических разложений. Будем изучать стационарные течения газа в следующих физических условиях. Во-первых, будем предполагать малой
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
115
в каждой пространственной точке х абсолютную величину скороети |u|. Кроме того, будем считать малыми все пространственные производные от этих величин. Причем, если ввести малый параметр е, который является мерой малости указанных физических величин, то мы положим, что u ~ е, Vjuk ~ е2, Vjр ~ е2 (для этого градиента такое положение связано с тем, что в задаче предполагаются малыми отклонения (р-р0)). Соответственно, вторые производные по пространственным координатам предполагаются пропорциональными е3. Тогда, для формулировки системы уравнений, для которой будут строиться асимптотические разложения решений произведем в уравнениях (7), (8) замены u ^ ей Vjuk ^ е2Vjuk, Vjр ^ е2Vjр и, соответственно, умножим частные производные второго порядка от р и u на е3. Тогда, вводя, вместо р функцию 1пр = д так, что Vg = Vр/р получим исследуемую в дальнейшем систему уравнений
(V, u)+ е(Vg,u) = 0 , (11)
v2Vkg + e(u, V)uk = e(p + r])Auk + e|vfc(V, u), k= 1,2,3. (12)
Для построения асимптотического разложения по степеням параметра е решений этой системы нужно, чтобы были однозначно разрешимы уравнения нулевого приближения
Vkд = 0 , д = const; (V, u) = 0 .
Отсюда следует, что для однозначности построения конструируемых нами асимптотических разложений необходима потенциальность поля u = VФ, В этом случае последнее уравнение принимает вид ДФ = 0, которое однозначно (с точностью до постоянной) разрешимо при заданных граничных условиях для VФ.
Производя замену поля u на VФ в уравнения (11), (12) или, что то же самое, вводя параметр е в уравнения (9), (10) получим исходную систему уравнений для построения асимптотических разложений решений системы (7), (8):
е(Чд, VФ) + ДФ = 0 , (13)
KVk д + е^Ф, V^ = е^4ц/3 + ^ Vk ДФ , к = 1, 2, 3 . (14)
Заметим, что для плотности р (и, соответственно, для функции д) граничные условия не задаются. Ее достаточно задать хотя бы в одной пространственной точке. Это тесно связано с тем, что исходная система уравнений содержит только частные производные первого порядка от р.
Наконец, укажем, что в совокупность граничных условий для поля скоростей u нужно обязательно включить условие непротекания газа (жидкости) через границу области П,С точки зрения потенциала Ф это означает, что нормальная по отношению к границе производная от него должна обращаться на границе ЗП. Однако, это условие не 1
1 Мыслимы постановки задачи с полупроницаемой границей, где придется отказаться от этого усло-
вия.
116 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
означает, что решение уравнения ДФ = 0 сведется к постоянной, так как такое положение имеет место, главным образом, для компактных областей П, в которых строиться решение.
Выясним теперь, наконец, структуру асимптотических разложений решений. Докажем следующее утверждение.
Теорема. Асимптотические степенные ряды для потенциала Ф и плотноети р вида
ГО
Ф 'у (-2кф(2к), к=0 (15)
ГО
: g0 + £ е2к'-у2к-1) к=1 (16)
удовлетворяют системе уравнений (13), (14) и заданным граничным условиям краевой задачи, если Ф(0) удовлетворяет этим же граничным условиям и уравнению ДФ(0) = 0, a. g(0) = const.
При определении каждого приближения Ф(2к), g(2fc-i) п0рЯдКа к е N сначала, вычисляется градиент Vg(2fc-1) по формуле
к-1
v2Vmg(2k-1) = — ^Ф(2(к-1-1)), V)V^(2l) + (4ц/3 + П^ДФ(2(к-1)) , m = 1, 2, 3 ,
1=0
(17)
а затем находится решение неоднородного уравнения
ДФ(2к) = Qk (Vg(l), VФ(m))
с нулевыми граничными условиями, в котором правая часть полностью определяется приближениями ф(2(1-1)), g(2l-1), l = 1 У к.
□ Доказательство производится непосредственной подстановкой (15), (16) в уравнения (13), (14) и балансом по степеням параметра е, Из уравнения (13) получаем
ГО ГО ГО к-1
(Vg, VФ) = ЕЕ-е 2m+2l-1(Vg(2m-1), VФ(2l)) = е2к-1^(Vg2(k-l)-1, VФ(2l)),
m=1 l=0 к=0 l=0
к-1
ДФ(2к) + ^(Vg2^-0-1, VФ(2l)) = 0
l=0
где в правую часть входят только функции g(2l+1) и Ф(2б с l = 0 У (к — 1). Из уравнения (14) имеем
ГО
2 ^2 e^+Vmg^^ + е^2-2к^2(VФ(k-l), V)V^(l) = е(4ц/3 + ц) ^]е2к VmДФ(2k),
к=0
к=0 l=0
к=0
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
117
так, что степенной баланс приводит к формуле (17), в правую часть которой входят только функции д(21-1) и ф(2(1-1)) с l = 1 У к, Ш
3. Пример. В заключение рассмотрим точно решаемый пример, который несколько проясняет смысл построенных асимптотических разложений. Рассмотрим одномерное течение (например по трубе без трения о стенки и с перепадом давления на концах трубы) так, что скорость течения и заменяется на и, которая является функцией только одной координаты х, Тогда уравнения (11), (12) при е = 1 запишутся в виде
ии' + v2g' = (4ц/3ц + ц)и'' , д'и + и1 = 0 .
Из второго уравнения имеем и'/и = —д' или, после интегрирования, и = и0р0/р. Подстановка в первое уравнение приводит к уравнению
и
ии1 — ь>2— = (4д/3 + д)и" , и
которое решается в квадратурах
и2
—— V2 In и + с = (4д/3 + rj)и',
где c - постоянная интегрирования, которая может быть как положительной, так и отрицательной,
,0 , Г йи
(4д/3 + ц) ^--— =х.
JU0 и2/2 — v2 In и + c
Если ввести в уравнения малый параметр е, как это сделано в (11), (12), то
и'
- + ед' = 0 (18)
и
еии' + v2g' = е(4д/3 + ц)и'', (19)
н, следовательно, квадратура заменится на следующую
. fU йи
4ц/3 + д) — ----— = ж ,
Ju0 и2/2 — (v2/е2) In и + c
которая не допускает разложения по степеням малого параметра. Однако, если действовать напрямую, то есть строить ряд по степеням е исходя из уравнений (18), (19), то получим особое решение, которое не содержится в квадратуре, ввиду обращения в нуль знаменателя. Оно в нулевом приближении по е дает и' = 0 и = и0, д' = 0, а все последующие приближения, как легко проверить, равны нулю.
Литература
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика / М.: Наука, 1986.
2. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости / М.: Мир. 1967. — 310 с.
118 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
3. Хаппель Дж., Бреннер X. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / М.: Мир, 1976. (пер. с англ. Happel J., Brenner Н. Low Reynolds Namber Hydrodynamics /Prentice-Hall: Englewood Cliffs, 1965).
4. Найфе А. Введение в методы возмущений / М.: Мир. 1984. - 535 с.
ASYMPTOTIC EXPANSIONS OF GAS-DYNAMICS EQUATIONS SOLUTIONS OF STATIONARY POTENTIAL FLOWS Yu.P. Virchenko, N.N. Samoilova Belgorod State University,
Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: virchQbsu.edu.com
Abstract. It is proposed the general construction of asymptotic expansions of gas-dynamics equations solutions which describe stationary vortex-free flows.
Key words: Navier-Stokes equation, stationary problems, compressibility, potential flow, asymptotic expansion.
