Моменты стационарного распределения вероятностей в стохастической генетической модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

107

MSC 80А30

МОМЕНТЫ СТАЦИОНАРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В СТОХАСТИЧЕСКОЙ ГЕНЕТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Фам Минь Туан, Ю.П. Вирченко

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: virchQbsu.edu.ru

Аннотация. Вычисляется асимптотика статистических моментов стационарного распределения вероятностей стохастической модели бинарной циклической химической реакции при неограниченном увеличении их порядка. Показвтается согласованноств вычисленной асимптотики со стационарным состоянием цепочки эволюционных уравнения для моментов распределения.

Ключевые слова: стохастическая модели, уравнение Фоккера-Планка, стационарная плотности распределения, статистические моменты.

1. Введение. Существует целый ряд моделей теоретической физики, которые связаны со стохастическими динамическими системами. Математическое исследование таких моделей и получение физических следствий из результатов такого исследования обычно является объектом статистической физики. Одной из таких стохастических моделей является т.н. генетическая модель, которая, в частности, имеет отношение к описанию кинетики бинарных циклических химических реакций при наличии катализаторов [1]. Потребность введения стохастических возмущений в рамках этой модели связана е учетом влияния тепловых флуктуаций среды на протекание реакции, что предопределяет использования именно стохастической модели для теоретического описания ее эволюции во времени t в виде семейства марковских диффузионных процессов для относительной концентрации x £ [0,1] двух участвующих в реакции реагентов. Это семейство параметризуется физическими параметрами а £ (0,1) А £ R а2 > 0 и каждый процесс определяется математически посредством соответствующего уравнения Колмогорова (ем. [1])

dp(x, t) dt

(Яp)(x,t),

(1)

л д / г ^

(Hp)(x,t) = — — [ а—х+\х(А— х) + — х{\—х)(А— 2х) p(x,t) v ' дх V L 2

а

а

д2

2 дх2

[х2(1 — x)2p(x, t)]

(2)

для плотности распределения p(x, t) частного одноточечного распределения вероятностей или плотности условных вероятностей перехода. В физической терминологии такое уравнение, обычно, называют уравнением Фоккера-Планка. Стохастическая система в виде указанного диффузионного процесса обладает стационарным состоянием, то сеть уравнение (1) имеет стационарное решение p(x) при граничных условиях отсутствия потока через границы пространства концентраций - отрезка [0,1]. Известно, что это

108 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

стационарное состояние обладает бифуркацией при изменении параметров а, А, а2, которая состоит в том, что плотность p(x) из унимодальной перестраивается в бимодальную. Довольно полное исследование этого перехода дано нами в работах [2], [3]. Однако, до настоящего времени неизвестно: является ли это состояние равновесным, т.е. финальным для марковского процесса. Иными словами, вопрос состоит в том, является ли плотность p(x) предельной при t -д то для решений p(x,t) уравнения (1) с произвольными начальными условиями, представляющими собой плотности распределения на отрезке [0,1] и подчиненных указанным граничным условиям. Одним из мыслимых подходов к решению этой математической проблемы является изучение системы эволюционных уравнений для моментов

1

pn(t) = xnp(x,t)dx , n £ N

о

(3)

плотности распределения, которая, в случае, если p(x) является равновесным решением уравнения (1), с необходимостью, должна обладать равновесным решением <pn, n £ N.

Настоящая работа посвящена доказательству того, что моменты рп, вычисленные на основе p(x),

1

<рп = J xnp(x)dx (4)

о

как раз, представляют такое равновесное решение, и вычислению асимптотики значений этих моментов при n -д то,

2. Уравнения для моментов pn(t). Найдем уравнения для моментов <pn(t) исходя из уравнения (1). Запишем действие оператора (Йp) (x,t) в виде

(dip)(x,t)

д_

dx

J [p](x,t)

5

где J[p](x,t) - поток вероятности,

J [p](x,t)

а

a — x + Ax{l — x) + —x{l — x){l — 2x) p(x,t)

a^d_

2 dx

[x2(1

x)2p(x,t)] . (5)

Исследуемый случайный процесс хорошо определен в том случае, если поток J[p](x,t) равен нулю при x = 0,1.

Умножая обе части уравнения на xn и интегрируя от 0 до 1 по частям, получим, используя явное выражение для действия оператора И и пользуясь граничными условиями для потока J[p](x,t):

ф n(t)

а

п у (и + l)ipn+2(t)

а2 / 1

т("+2

+ А

Фп+ 1(t) +

+

а2

"т + А

1 )фn(t) + афn-l(t)

1

n е N.

(6)

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

109

В уравнении при n = 1 нужно положить ^0(1) = 1, согласно свойству плотности p(x,t). Согласно своему определению, моменты <pn(t) образуют монотонно убывающую, стремящуюся к нулю и сосредоточенную на (0,1) последовательность при любой интегрируемой плотности p(x,t), Более того, для них справедливы неравенства Ляпунова ^V(n+i) < /n (СМ-) например, [4]).

Равновесные етатиетичеекие моменты рп плотности распределения обязаны, соответственно, удовлетворять системе уравнений

— {п + l)ipn+2 - f ~2 (П + 2) + ^п+1 +

+ (^п~2 ^ — ^Рп + oupn-i — 0 , п Е N. (7)

Исходя из этой системы, можно вычислить все равновесные моменты рп, если задать значения первых двух моментов <р1 и <р2.

Замечательно, что только для фиксированных значений р17 разностное урав-

нение, определяемое системой уравнений (7), определяет последовательность моментов какой-либо плотности распределения. В противном случае, существовали бы две различные стационарные плотности распределения, удовлетворяющие уравнению (7) и граничным условиям J[p](x) = 0 при x = 0,1.

Так как плотность распределения p(x) является стационарной, то моменты рп, вычисленные на ее основе, должны удовлетворять этой системе уравнений. Если, кроме того, она является равновесной, то решения системы уравнений (6) в том случае, когда они соответствуют начальным условиям <^п(0), вычисленным на основе какой-либо начальной плотности распределения p(x, 0), должны стремится к моментам рп. Обратно, если последнее имеет место, то говорят, что соответствующее решение уравнения (1) -плотность p(x, t) слабо стремится к плотноети p(x). Это связано с тем, что, одновременно со стремлением pu(t) к рп при t ^ то, выполняется также предельное соотношение для характеристических функций плотностей p(x,t) и p(x) (это связано с тем, что эти плотности определены на компактном отрезке).

3. Вычисление асимптотики моментов распределения. Плотность распределения вероятностей p(x), которая удовлетворяет уравнению Hp(x) = 0 и граничным условиям J[p](x) = при x = 0,1, определяется явной формулой (см. [2])

p(x)

А

x(1 — x)

x A e

----- exp

1 — x )

2 /1 — а a

a2 \ 1 — x x

(8)

A

1

ГХР

+/51n

a2

1 — a

a

4 r— a2

a)

n -1

1

где K-e(•) - модифицированная функция Бесселя второго рода с показателем (—в) в = 2(2a + А — 1)/a2,

и

110 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

В интеграле (4), определяющем моменты ^п совершим замену переменной интегрирования х = 1 — у/у/п. В результате, получим

^п

Ane/2

!-J7=) n J

\ в+n—1

exp

a

a2 Vl - у/у/п

1 — a У

dy

У

в+1

Для вычисления асимптотики этого интеграла при n -д то применим метод Лапласа (ем., например, [5]). Во-первых, воспользуемся предельным соотношением (1 — у/у/п)^ —> е~у при п —> то, что допустимо при вычислении главного члена асимптотики, а затем определим функцию

ж \ 2 1 - «

S(y) = -j

У-

о У

Тогда, для вычисления главного члена асимптотики, представим последний интеграл в виде

2а \ а2

^п

Дехр ^ nfi^{ 1 + о(1)) f ехр [—

dy

Д+1

0

Согласно методу Лапласа вычислим стационарную точку показателя экспоненты. Так как S'(y) = 1 — 2(1 — a)/a2y2, то стационарная точка у*, удовлетворяющая S'(y*) = 0 единственна. Она равна

y*

2(1 — а)

о

S(y*) = 2у* •

При этом

S"(v) = 4 ^

о2 y3

S"Ы

2о2

1---->0’

1 — а

что дает возможность применить для вычисления асимптотики интеграла основную теорему метода Лайлса (см. [5]). Единственным препятствием для ее непосредственного применения, является наличие особенности на левом конце интервала интегрирования, из-за чего невозможна замена в подинтегральном выражении функции S(y) на ее разложение в окрестности стационарной точки. Это связано с тем, что S(y) обеспечивает сходимость интеграла в окрестности этой особенности и замена ее на квадратичную функцию приведет к расходимости интеграла. Поэтому применим основную формулу метода Лапласа к интегралу

exp [— y/nt

dy

(//3+1

2л \ 1/2 exp ( - y/nS(y*))

S"(y*)

n1/4y(e+1)

(1 + o(1))

(9)

где 0 < e < y*. После этого оценим остаточный интеграл

ехр [— у/п

dy

exp

2у/п а2у .

dy

у У+1

n

-в/2

exp

dy

a2yJ ye+1

<

£

2

0

0

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38

111

< п112е (-/3+1') ехр ( — ,

V ва2 )

что, при достаточно малом в, асимптотически более высокого порядка, чем выражение в правой части в (9). Таким образом, окончательно, получаем, что

ехр [— л/nt

dy_

(z/3+l

0

( 2тг \ 1/2 ехр ( - y/nS(y*))

и, следовательно,

2 \2(i-a>; exp(-^)"s/2“1/4exp(-2(?!5V^)1/2)(1+0(1))- (10)

Легко показать, что это асимптотическое выражение удовлетворяет уравнению (7)

'•fin — ТЕ/

с точностью до O(n 1). С этой целью, исходя из полученного выражения (10), вычисляется асимптотика отношения

АЕуС)1/2(дт- уд)

/3-1/2 , Д(1-МД2 , 1-Л + 0(п-з/2)'

г2

Pn V nj

1 +

2 n

+ 0(п-2)) (l - (:

па2

па2

= 1 - (Утл!)1/2 + + 0(„->/2,,

V па2 / па2

подстановкой которой в (7) получаем требуемое тождественное равенство.

Литература

1. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы: Теория и применение в физике, химии и биологии / Пер. с англ. /М.: Мир, 1987. - 400 с.

2. Фам Минь Туан, Вирченко Ю.П. Анализ стохастической модели химической кинетики бинарной автокаталитической реакции // Belgorod State University Scientific Bulletin Mathematics & Physics. - 2013. - 11(154);31. - C.130-146.

3. Фам Минь Туан, Вирченко Ю.П. Анализ критической поверхности стохастической модели бинарной циклической реакции с фазовым переходом // Belgorod State University Scientific. Bulletin Mathematics & Physics. - 2014. - №25(196); 37. - C. 108-118.

4. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей / М.: Эдиториал, УРСС, 2005. - 448 с.

5. Федорюк М.В. Метод перевала / М: Наука, 1977. - 368 с.

STATISTICAL MOMENTS OF STATIONARY PROBABILITY DISTRIBUTION DENSITY IN STOCHASTIC GENETIC MODEL Pham Minh Tuan, Yu.P. Virchenko Belgorod State University,

Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: virchQbsu.edu.ru,

Abstract. Asymptotic dependence of statistical moments of stationary probability distribution density in the stochastic model of binary cyclic chemical reaction proposed by Horsthemke W. and Lefever R. is calculated when order of the later tends to infinity. It is shown that such a calculated asymptotic corresponds to stationary state of the evolution equation system of the moments.

Key words: stochastic model, Fokker-Plank’s equation, stationary distribution density, statistical moments.