Об асимптотике в целом решения задачи Дирихле сингулярно зависящей от малого параметра для двусвязных областей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ

[37] Heinonen, J. Quasiconformal maps on metric spaces with controled geometry / J. Heinonen, P. Koskela // Acta Math. - 1998. - V. 181. P. 1 -61.

[38] Heinonen, J. A note on Lipshitz functions, upper gradients and the Poincare inequality / J. Heinonen, P. Koskela // New Zealand J. Math.

- 1999. - V. 28. - P. 37 - 42.

[39] Heinonen, J. Sobolev classes of Banach space-valued functions and quasiconformal mappings / J. Heinonen, P. Koskela, N. Shanmugalingam, J. Tyson// J. D’Analyse Math. - 2001. - V. 85. -P. 87 - 139.

[40] Kauhanen, J. On function with derivatives in

a Lorentz space / J. Kauhanen, P. KoskelaP., J. Maly // Manuscripta Math. - 1999.-V. 100, №. 1. P. 87 -101.

[41] Maly, J. Sufficient Conditions for Change of Variables in Integral / J. Maly // Труды по анализу и геометрии. - Изд. ИМ СО РАН. - 2000. -С. 370 - 386.

[42] Stromberg, J. O. Weighted Hardy Spaces / J. O. Stromberg, A. Torchinsky// Lecture Notes in Math.- Berlin: Springer, №.1381. - 1989. - 193 p.

[43] Vodopyanov, S. K. Foundations of the Theory of Mappings with Bounded Distortion on Carnot Groups /S. K. Vodopyanov// Contemporary Mathematics. - 2007. - V. 424. - P. 303 - 344.

УДК 519.63

ОБ АСИМПТОТИКЕ В ЦЕЛОМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ СИНГУЛЯРНО ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ МАЛОГО ПАРАМЕТРА ДЛЯ ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ

В. А. Шалаумов

ON ASYMPTOTIC AS A WHOLE SINGULAR PERTURBATION DIRICHLET’S PROBLEMS FOR BICONNECTED DOMAIN V. A. Shalaumov

Для решения сингулярно возмущённой задачи Дирихле, имеющего экспоненциально малый характер, с помощью функций типа пограничного слоя строится формальное асимптотическое разложение в целом. Приводится явное выражение первых членов разложения.

For exponential small solution singular perturbation Diroichlet’s problem global formal asymptotic expansion are constructed by means of function of boundary layer type

Ключевые слова: регулярная часть асимптотики, функции типа пограничного слоя.

Keywords: regular part asymptotic, function of boundary layer type.

Пусть G - ограниченная область в Кп с двусвязной гладкой границей дG = Гі и Г2. На G = G и дG рассмотрим краевую задачу:

Le[y] = є y + (B(x), Vy) + C(x)y = f (x), y\ri = Ф(х), y|r2 = Ф(х), 0 <є < 1.

(1)

Предположим, что функции, входящие в (1), достаточно гладкие так, что существует единственное классическое решение и выполнено следующее основное предположение:

(А) Характеристики оператора = В(х), х(0) = Х0 Є G выходят на Гі за конеч-

ное время, не покидая при этом области С, причём(В(х), п(х)) > 0 Г1, (В(х),п(х)) < 0 на Г2, где п = п(х) вектор внешней нормали к области G (в дальнейшем эти характеристики выходят на Г1не особым образом).

При построении равномерного асимптотического разложения решения этой задачи методом пограничных функций вначале строится так называемое внешнее разложение (регулярная часть асимптотики) в виде формального ряда

К = К(х,е) = ^2 егуг(х), при этом задачи Коши,

¿=0

определяющие однозначно функции уг(х), получаются подстановкой ряда К = К(х,е) = ^ егуг(х)

¿=0

в уравнение с последующей группировкой слагаемых с одинаковыми степенями параметра £ и последующим сравнением правых и левых частей уравнения. Если выполнено условие (А), то регулярный ряд К = К(х, е) = ^2 егуг(х) асимптотиче-

г=0

ски удовлетворяет уравнению (1) и реализует граничное условие на границе Г1, в том смысле, что функции {уг(х)} г = 1, 2, ... являются решениями следующих задач Коши:

' Ь0[уо] = (В(х), Ууо) + С(х)уо = /(х),

Уо|г1 = ф(x), (2)

Ь0[ук] = (В(х), Ууи) + С(х)ук = -Аук-1,

ук |Г1 = к = 1, 2,...

Сингулярная часть разложения (пограничный слой), компенсирующая невязку в гранич-

Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ

ных условиях, строится в окрестности границы Г2 так, что сумма регулярной части и сингулярной части дают равномерное асимптотическое представление решения. Указанная процедура остаётся неизменной и в том случае, когда коэффициенты регулярно зависят от малого параметра.

При ф(х) = 0 и /(х) = 0 регулярная часть разложения тождественно равна нулю, а разложение пограничного слоя описывает поведение решения лишь в окрестности границы Г2.Но в ряде задач возникает необходимость построения асимптотики и в этом случае, в целом, на всей рассматриваемой области, например, для того, чтобы описать пове-

дение решения, встречающееся в теории диффузионных процессов в указанной постановке. Процедура построения асимптотики и её обоснование в одномерном случае описана в работе [1] ( метод последовательного выделения регулярных частей).

Опишем формальную процедуру построения при ф(х) = 0 и /(х) = 0.

Представим решение в виде у = у(х, є) =

= ехр{—Ро(х,є)}до(х,є) так, что Ро(х,є)\г2 = 0, Ро = Ро(х,є) > 0 при х Є О, ехр{— Ро(х,є)} —

- функция типа пограничного слоя в окрестности Г2. Нетрудно проверить, что до = до(х,є) является решением следующей краевой задачи:

Щ[до\ = єАдо + (в(х) — 2є^Ро, Vgо) + до(є ^Ро\ — (В(х), Vpо) + С(х) — єАРо) = °, до\гі =0, до\г2 = Ф(х)-

При подходящем подборе Ро = Ро(х,є) (уравнение, определяющее Ро(х, є), будет приведено ниже) характеристики оператора Щ будут не особым образом выходить на Г2, на границу с ненулевым граничным условием, а коэффициенты оператора регулярно зависеть от малого параметра так, что у до = до(х,є) возможно выделение ненулевой регулярной части в виде До = До(х,є) =

(3)

ет уравнению (3) и реализует граничное условие на Г2. Поэтому представим д0 в виде д0 = Но + ехр{—Р^х,е)} • дх, где ехр{—Р1 (х,е)} - функция типа пограничного слоя в окрестности Г1. Если положить

vp1 = — IV Ро,

Р1(х, є) \Гі = 0, Р1(х, є) > 0, х Є О,

єгу°(х), которая асимптотически удовлетворя-

г=о

то нетрудно убедиться в том, что дх = дх(х, е) удовлетворяет условиям

Г -МЫ = єДді + (—В(х) + 2є^Ро, vді) + ді(є \Vpо\ — (B(x), Vpо) + С(х) — ¿іув + єАРо) = 0 1 ді\гі = —До (х,є)\гі ,ді ІГ2 = 0-

Очевидно, что характеристики оператора -1 выходят на Гі, на границу с ненулевыми граничными условиями, не особым образом и коэффициенты оператора регулярно зависят от малого параметра так, что у д1 = д1(х,є), возможно выделение ненулевой регулярной части в виде Д1 = Д1(х,є) = ^2 єгу}(х), которая асимп-і=о

тотически удовлетворяет уравнению и реализует граничное условие на Г1. Поэтому представим

(4)

д1 = д1(х,е) в виде дх = Д1 +ехр{—Р2(х,е)}д2, где ехр{—Р2(х, е)} - функция типа пограничного слоя в окрестности Г2. Если положить

| УР2 = — + 2УРо = —УР1,

\ Р2(х, е)|г2 = 0, Р2(х, е) > 0 при х € О,

то, нетрудно убедиться в том, что д2 = д2(х, е) удовлетворяет условиям:

—о [д2] = єАд2 + (В(х) — 2^^ v д2) + д2 (є \VPо\ — (B(x), VP0) + С (х) — єАРо) = 0

д2 \Гі = 0 д2\Г2 = —Д1(х,є)\г2 ■

Уравнение в (5) то же, что и в (3), но с другим граничным условием на Г2 так, что процедуру последовательного выделения регулярных частей можно продолжить.

Продолжая последовательно процедуру выделения регулярных частей в (5) с вышевыбранными Р1(х,є), Р2(х, є), последовательно имеем:

д2(х,є) = Д2 + е-Рі дз =

(5)

= Д2 + е-Рі ( Дз + С-Р2д4) =

= Д2 + е-Рі (Дз + е-Р2 (Д4 + е-Рі д5)) =

= (Д2 + е-Рі Дз) + е-(Рі+Р2')(Ді + е-Рід5)) =

= (Д2 + е-Рі Дз) + е-(Рі+Р2\Д4 + е-Рі (Д5 +

+е-Р2 де)) =

= (Д2 + е-Рі Дз) + е-(Рі+Р2\Д4 + е-Рі Д5)+ +е-2(Рі + Р2'>(Де + е-Рі д7)) = ■■■ то есть, формально решение можно представить в

Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ

виде:

У = У(х,е) =

£№к + Д2к + 1е-Р1 )е-к(Р1+Р2) к=0

На этом этапе выберем Р0(х,е) так, чтобы коэффициенты при свободном члене в (4) и (5) были равны по модулю и имели противоположные знаки (это так для членов при первых производных в силу выбора Р1(х,е)), то есть е\VPof - (В(х), УРо) + С (х) - <ИуВ(х) + еДРо = = -(е \УРо\2 - (В(х), УРо) + С(х) - еДРо), тогда Ро (х,е) - решение уравнения эйконала:

е \УРо\2 - (В(х), УРо) + С(х) - 1 &уВ(х) = 0, Р0(х, е)\Г2 = 0, Р0(х, е) > 0 при х £ О.

(6)

Предполагаем, что выполнено следующее условие:

(В) уравнение (6) имеет единственное классическое решение.

Асимптотически решение (6) представимо в виде:

Ро = _— + Ао + еА + ...,

= Аг(х) г =-1,0,1, 2,...

Ао(х)

0 Ао(х) = 0, х є О.

2(УБ(х), УАі) + (УАо, УАо) = 0,

А\(х)\г2 = 0 Аі(х) = 0, х є О.

Так как

Б (х) — 2єУР0 =

Б(х) — 2УА-1 + єУА0 + є2УА1.... =

= —Б(х) — є2УА0 — є22УА1 — ...,

(7)

Подставляя (7) в (6), с учётом граничных условий нетрудно выписать задачи Коши рекуррент-но определяющие Лi(x). Задачи Коши для первых приближений имеют вид:

\УЛ-!\2 - (В(х),Л-г)=0, А-1 (х)\г2 =0,

Л-1(х) > 0, х £ О, то есть УЛ-1 = В.

2(УБ(х), УАо) + С(х) — 1 (ЦуБ(х) = 0

то, действительно, характеристики оператора Ь0 выходят на Г2 не особым образом ( с отличным от нуля граничным условием), и коэффициенты оператора регулярно зависят от малого параметра,

следовательно, Н0 = Я0(х,є) = ^ єіу0(х) явля-

і=0

ется ненулевой регулярной частью (внешним разложением) в асимптотическом представлении решения краевой задачи (3).

Так как

— Б(х) + 2єУР0 =

= —Б(х) + 2УА-1 + є2УА0 + є22УА1 + .... =

= Б(х) + є2УА0 + є22УА1 — ...,

то характеристики оператора Ь\ выходят на Г1 не особым образом ( с отличным от нуля граничным условием), и коэффициенты оператора регулярно зависят от малого параметра, следовательно, в представлении д1 = Д1 + ехр{—Р(х, є)}д2, Д1 = Д1 (х, є)является ненулевой регулярной

частью (внешним разложением) краевой задачи

(4),то есть К1 = ^ єіу1(х).

і=0

Нетрудно проверить, что Ек = Ек(х,є) =

= ^2 єгуІ~(х) асимптотически удовлетворяют сле-

і=0

дующим уравнениям и реализуют одно из граничных условий, а именно:

ЩД2к] = еДЯ2к + (В(х) - 2еУРо, В-2к ) + 2 д2к (<ИуВ(х) - 2еДРо) = 0, Яо(х,е)\г2 = Ф(х), В-2к (х,е)г2 = -Е2к-1(х,е)г2 ,к = 1, 2,...;

[Д2к-1] = еДН.2к-1 + (-В(х) + 2еУРо, Д2к-1) + \В2к-1(-&уВ (х) + 2еДРо) = 0 Д2к-1 (х, е)г! = -Р-2к-2(х, е)г! ,к = 1, 2, ...

Таким образом, формальное представление решения запишется в виде следующего ряда:

(9)

(10)

У = У(х,є) = ехр{-р0}і ^ єг[^ (у2к + уїк+1 ехр{ — })ехр{—к(Р1 +Р2 }] } , х є О.. (11)

чг=0 к=0

Отметим, что в (11) в силу выбора Р1(х,є) + ем:

+ Р2(х,є) = С (є) не зависит от х є О.

Для Рі = Рі (х,є), і = 1, 2 асимптотически име- Р2

С

Р1 —-+С0 +єС\ + ..., Сі — Сі(х) і — —1,0,1,...

є

Р-1

є

+ В0 + є^1 + ..., О і — Ві(х) і — —1, 0,1...

г

2

Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ

I VPi = - 2VPo = - - 2VAo - e2Ai - ..

\ Pi(x, e)|ri = 0, Pi(x, e) > 0, x E G.

i VP2 = - + 2VPo = + 2VAo + e2Ai + ..

\ P2(x, e)|r2 = 0, P2(x, e) > 0, x E G.

Отсюда, задачи Коши определяющие Ci = Ci(x), Di = Di(x) имеют вид:

I VC-i = -B(x), ( VCo = -2Ao,

I C_i(x)|ri = 0; I Co(x)|ri = 0;

| VD_1 = B(x), I VDo = 2Ao,

\ D—1(x) 1 г2 =0; \ Do(x)|r2 = 0 ;

1 VCi = -2Ai,

I Ci(x)|ri = 0

| VDi = 2Ai,

\ D i(x) | Г2 = 0 . ...

Отметим, что по построению, Ci(x) + Di(x) = = Ki = const, * = -1,0,1, 2...

Далее уже нетрудно выписать задачи, однозначно определяющие yk. Так как B(x) - 2eVPo = B(x) - 2VB_i + ... =

= -B(x) - e2VAo - e22VAi - ...

divB(x) — 2еДР0 = divB(x) — 2ДА—1 — е2ДА0 —

—е22ДА1 — ... = —divB(x) — е2ДА0 — е2 2ДА1 — ..., а коэффициенты при младших членах в (9),(10)

., равны по модулю и имеют противоположные знаки, нетрудно теперь выписывать уравнения, определяющие последовательные члены асимптотики.

Так задачи Коши, определяющие ук = Уо(х) в нулевом приближении, то есть при е0 в (11), имеют вид:

| £°[У°] = (B(x), '^У°) + 1 МуВ(х) ■ у0 = °

1 у°(х)1г2 = Ф(х);

| ¿0[Уо] = (B(x), Vy(1) + 1 уВ(х) ■ У1 = 0

\ Уо1(х)1г1 = — У0(х)|Г1;

( Ь0[у2к] = (В(х), Уу2й) + 2сНуВ(х) ■ У2к = 0,

I у2 (х)1г2 = — уГ1(х)|Г2;

Ь0[у°2й+1] = (В(х), Уу0к+1) + 1 С1уВ(х) ■ у0к+1 = 0,

у0к+1 (х)|г 1 = — у0к(х)|Г1 ; к = 1, 2,...

Отсюда вытекает, что у0к(х) = —у^+^х) при х € О, так что главный член формального асимптотического разложения (11) имеет вид:

Jo = exp{-f}[£ (y2k(x) + y02fc+i(x) exp{-f-}) exp-}] }

k=o

= exp {- f }y°(x)(1 - exp{- f- })[£ exp{-k }] = (12)

k=o

= exp{—^ }у00(х) 1 {<р,Й)} =

= ехр{ — ^ — А 0 (х)}у0(х)(--------------------------------1 — еХ|,!/;' ' — С М-(1 + 0(1)).

е 0^ )}УоУ Д1 — ехр{— С-1(х)+/-1(х) — (с 0(х) + В0(х)}

Следует отметить, что так найденное прибли- дартным образом из (9)и (10) группировкой слага-жение сохраняет граничные условия исходной за- емых с одинаковыми степенями малого параметра дачи, то есть равно нулю на Г1 и равно ф(х)на Г2. с учётом специфического способа выбора гранич-Начальные задачи, определяющие следующие ных условий. Так, задачи Коши, определяющие члены асимптотики в (11) выписываются стан- ук = ук (х) в первом приближении, имеют вид:

Li[y o] = Ду§ - ((Bi(x), Vyg) + idivBi(x) ■ y§) = Gi - G2,

yi (x)

L[y2k i] = Gi + G2,

L[y2k] = Gi - G2,

(13)

У2к-1(Х)|Г2 = —У2к-2(Х)|Г2; I У2к(х)

Для того, чтобы получить удобные для сравнения в (11) выражения, представим решения в (13) в виде у0(х) = Уи(х)+ Уп(х) + У12(х), где функции являются решениями следующих задач Коши:

2k_i

-У1

(x)

к = 1, 2,

Li[y”i]

Gi

Li[y?i]=0,

yi i(x) | Г2 = 0; 1 yi i(x)|ri = -y{ i |ri;

Li[yi2] = - G2,

У12 x)|ri = 0

тогда yl(x) = y”i(x) - y°i(x) - yn(x). Индукцией

нетрудно установить, что тогда:

У 2к (х) = Уп (х) + (2к + 1)у 0 1 (х) + у 12 (х),

У 2к+ 1 (х) = Уп1 (х) — (2к + 1)у ° 1 (х) — у 1 2(х), к = 1, 2,...

(14)

Подставляя (14) в (11) для первого приближения имеем:

Т = уп (Х) (1 —ехр{ —Р1})(1 +ехр{-(р1+р2)}) +

Т1 = у 11(Х) (1—ехр { — (Р1+Р2)})2 +

+уо (Х) (1+ехР{ —р1}) I +У11(Х) (1—ехр{ —(Р1 + Р2)}) +

+У12(Х)_____(1—ехР{—р1})

+У12(Х) (1— ехр{ — (Р1 + Р2)}) .

г

г

Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ

Отметим, что полученное выражение равно нулю на обеих границах рассматриваемой области, так что вместе с (12) сохраняет граничные условия исходной краевой задачи.

Последующие приближения выписываются стандартным образом из (9) и (10) группировкой слагаемых с одинаковыми степенями малого параметра.

Наконец, справедливо следующее утверждение

Теорема.Если выполнены условия (А) и (В), то ряд в (11) равномерно асимптотический на О.

Доказательство. Представим (11) в виде:

( П

У = у(х,е) = еМ-Ро}\1: £г^2(ф2гк +

Из (3) - (5) имеем:

LE[y] = LE[exp{-Po}go]

: exp{-Po}L0[go] = ехр{-Ро}Ц[gn + rn]

= exp{-Po}(L0o[gn] + Ц[Гп]) =

exp(-po)(L0^ £1^^{Фік + U=o k=o

+ фік+1 exp(—pi)) exp(-fc(pi+p2))] } +Lo[rn(x, є)])} = 0

^ i=o k=o +ф2к+1 exp{-Pi}) exp{-k(Pi + P2)}]+

+ rn(x, &)} exp{—Po}(gn + rn)■ Вычислим:

LE[gn] = Lo[. £ (E єіф2к +exp{-Pi}J2 £i^2k+i])exp{-k(Pi + Pi)}} =

k=o i=i і 2к

i=i

E (LoE £ІФ'2ік] + exp{-Pi}LFi[J2 єiФ2k+1])exp{-k(Pl + Pi)}]

к= i=i

i=i

= £n+1 J2 gk(x)exp{-k(P1 + P2)}+£n+1 exp{-Pi} J2 g2(x)exp{-k(P1 + ^2)}= 0(en+1),

k=0 k=0

равномерно на G, так как ряды в последнем со- Отсюда, в силу принципа максимума,

отношении равномерно сходящиеся. Нетрудно ви- suprn(x,e) = O(en+1) равномерно на G, что дока-деть, что в силу выбора граничных условий для зывает теорему.

фк (х) = фк, Р^(х,е), г = 1, 2, 3,..., имеют место равенства: гп(х, е) |г =0 г = 1, 2.

Таким образом, остаток является решением краевой задачи:

Lo[rn] = -Lo[gn]',

o rn Гп(х,є)\гі

o gn 0 i = 1, 2■■

Литература

[1] Шалаумов, В. А. Об асимптотике в целом экспоненциально малых решений задачи Дирихле сингулярно зависящей от малого параметра / В. А. Шалаумов // Электронный журнал ’’Исследовано в России”. - 2009. - Т. 108. - C. 1430 - 1440.