О нелокальной асимптотике решения задачи Дирихле с малым параметром Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О НЕЛОКАЛЬНОЙ АСИМПТОТИКЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ

В. А. Шалаумов

В статье метод последовательного выделения регулярных частей для построения асимптотических разложений в целом решений задачи Дирихле, сингулярно зависящей от малого параметра, предложенный в работах [1], и реализованный в [2] ,[3] в более простой ситуации, распространяется на тот случай, когда старшие члены линейного дифференциального оператора зависят от различных степеней малого параметра.

Пусть у = у (х,є) , классическое решение краевой задачи:

Г2Г , 2 2у ап. .ф

Ь [у] = є ' ^

+ єаВ( х)-*- + С (х) у = 0, ах ах

(1)

2є2 р'2 - 2 В р'фа + 2С - єаВ' = 0,

Р\2 =■

В

,2(2-а )

+

22' 4С

є у у є

В - 2р’є2~а = р'є

2—-

(2)

(3)

(С)

у(а,е) _8 * 0, у(Ъ,е) _ 0.

Учитывая экспоненциально малый характер поведения у _ у (х,е) при а < х < Ъ и е —— 0, согласно преобразованиям, предложенным в [1], пусть р' 0 , р' 1 - решения уравнений:

Решение (3), удовлетворяющее условию р( х,е) > 0, а < х < Ъ; р (Ъ, е) = 0 имеет вид:

,, _ ад р _ Vв--2ет->{2С_е.в')

1 е 1р 0 £1-а , (5)

Р(Ъ,е)_ 0;

Также как в [1], [2], [3] полагаем: р (а, е) _ 0, Р- (х, е) _ -р (х, е), Р2(а,е) _ 0. Отметим, что р (х,е) > 0, х е (а, Ъ), / _ 0,2; р(х,е) + р2(х,е) _ С (е) и не зависит от х.

Тогда, согласно [1], (также как [2], [3]) решение краевой задачи (1) представимо в виде: у = у (х ,) =

= е

Е'

к=0

(к к + к *+1 к - *)],

(6)

функции Як _ Як (х, е) удовлетворяют следующим уравнениям и одному граничному условию:

а2 я0

ах2

Я0 (а,є) = 5 Ф 0;

К В - 2 Р' 2 ) 2pp- -(В '-Є 2 2 Р" 0 0 = 0,

ах 2

є Рк+і] = є

ах2 Я2к+і(Ь,є) = - Р к (Ь,є\

| єРк ] = 0,

і Рк (а,є) = -Рк-1(а,^),

А так как В(х) - 2 р' 0є2-а =

= -уІВ2 - 2є

2-а а2Рк+1 + (-в + 2р0є2-а) к

ах

+ 2(-В' + є2-а2" 0) Р к = 0,

к = 0,1,2,..

к = 1,2,...

,2(1-«)(2С -еав') < 0,

то коэффициенты переноса операторов Ре0 и Р направлены на ненулевые граничные условия, следовательно, Р _ Р (х, е) - асимптотические ряды

по некоторой асимптотической последовательности. Вид асимптотической последовательности, по

которой можно разложить Р в а.р., можно получить разлагая коэффициенты операторов р и р по некоторым степеням параметра еу('а). Основная

(7)

(8)

(9)

трудность при этом состоит в том , что вид этой асимптотической последовательности сильно зависит от конкретного значения величины а и, следовательно, от соотношений между а, 2(1 -а), 2 — а и их степеней.

Учитывая то, что В(х) — 2е2 аро _ е2—ар , то в (7) - (9) асимптотика коэффициентов определяется асимптотикой р . Асимптотику Р1(х,е) можно выписать, разлагая соотношение (5) по малому параметру, при этом получим следующую последовательность степеней е :

1 1 1 2—За 2—2а 2—а 4—5а 4—4а 4—3а

— 1,,е е ,е ,е е ,е .

~2—а ’ _а

ее

„8—9а „8_8а „8_1а л8_6а л8_5а „8_4а

е , е , е , е .е ., е ,

_4—2а 6—7а 6—6а _6—5а _6—4а 6—За

е ,е ,е ,е ,е ,е ,

(11)

Но эта последовательность не является асимптотической при е — 0 . В связи с этим рассмотрим отдельно случаи 0<а < 1, а _ 1 и а> 1.

Пусть 0 <а < 1. Последовательность (11) и в этом случае не образует асимптотическую последовательность (следующий член не есть о-малое от предыдущего). Выписать общий вид асимптотической последовательности (а.п.) затруднительно, так как правильное расположение степеней е зависит от величины а ,укажем лишь первые члены асимптотической последовательности до е0 в зависимости от а . Правильное расположение положительных степеней е более сложным образом зависит от а .

2

Пусть 0<а <— .Тогда следующие члены по-

1 1 1 2—За

следовательности (11) ,----,1, е образуют

е а еа

а.п.(все следующие члены в (11) будут о(е2 _3а). Ес-

2 4

ли — <а < — , то а.п. имеет вид:

3 5

1 1 1 л 4—5а

—~. о- ,1, е . И вообще, если

~2—а 5 а За—2

е ее

2к ,2 к + 2

< а <-----------, то а.п. имеет вид:

2 к +1 2 к + 3

111

„2— а а * „За—2

& & е:

______^______ 1 е 2к + 2 —(2к + 3)а

,(2 £+1)а-2 к , ,

рг0 _

р\ _

л/в2:-4^ 2(1— + +е

2-(— —

В 2С В'

■2-“ Веа В

2е (1+«(1));

(12)

В — 2е2-ар’0 _ —л1 В2 — 4е2(1-“)С + 2еаВ' _

= —В В — е2-2а В — е2-а В 0{е4-4а).

В В

Полагая

К, _ к, (х,е) _р0 (х) + ех'-р (х) +

+ е2 а рк2(х) +..., подставляя его последовательно в (7),(8), (9) получим для (6) представление:

да

у _ у(х,е) _ е~р0 {£ ((р20к + р2^^- )е—(р+р2) +

к _0

+е2(1—)а рк +р12к+1е-р)е-к(р+р2)}(1 + 0(е2(1—))) _

к _0

= е-р0{(р00 +р1 е-р) +

(13)

+е

(р0 +р1е-р)}(1 + 0(е е )),

(остальные члены в (11) есть о( е2к+2 (2к+3)а)).

Реализуем построение асимптотического разло-

2

жения решения при 0< а < — .

С точностью до е° из (4) - (6), имеем:

В В ВВ2 - 4.е2(1~“)С В 2е2-аВ'

а для р , I _ 0,1 следующие краевые задачи, однозначно их определяющие:

к>[о0]— вВ—В-р = 0,

ах 2

ф0 (а) _ 3;

IР0 [ ] = — 0 (0 ) — (В) — ^0

р>°(а) _ О;

Р[РР В- 1,

ах 2

р0( Ъ) = -Ъ 00 Ъ); р рр _ а0,

I Р1Ъ) = -р10Ъ);

[ р0[_р0к0 = о, р0 а = -<р0к—\а;

Г р [] = - ^0 ,

[рс а = -<рК а;

р-[P22k+-] в 0, р В1( й ) = -р0( й );

(14)

[ь1[ р2 к+1] _ С0,

р+-(=) _-р^(Ъ); А:_ 1,2,3,... .

Учитывая то, что определяющие операторы связаны соотношением Р0 _ — ^ так же, как и в [1], [2], получим, что:

2 2 2 0 0 0 0 [В(а) р>0 2 х _ р?0 0 х _ 8.1

Ф0

7. к +1

В ( х )

(х) = -ф°(х\ ^_ 1,2, ;

р2 к р _

______ О0< и)

л/ВСх) £ л/В(м)

1 х ^0 С «)

—и +

2 к + 1 ъ 00 (и)

ррк+1 _ — —~Г — ^ , 0 —и В

л/ВСх) а л/В (и)

/

^рВСх) Ъ у/В Си')

—и,

О0С и )

л/ВСх) { л]В(и)

л X

=х

—и,к _ 0,1,2,...

Подставляя в (11), получим первое и второе приближения, удовлетворяющее граничным условиям исходной задачи:

у _ у(х е) _ е-р' {(р0(=)(- - е~р) + е»-.)[ 1 Ъ

у у(^ е { 1 -е_,р+^ +е I /BС=— |

0». . (1 - е-р)0 + e-(P-ВP■))

<УВ( х) а 24В(и)

—и

(1 — е-(р + Pк))2

+

+

кх

°0(и)-аи (1+е~р)

-](1 + о]2^))}.

^/BС=— =^/BСU— (1 - е~(р1+р2))

Используя асимптотические разложения для р, р имеем:

1 хс

е - В

г 1 г С

у = у(х,) = ехр{—в—^ В(и) —и + —а] - —и}

В ( а )

X

°(и) —и х- 8 ,В(а)

4Щ7) {урт ^ В(х)

1 - ехр!-^^! В(и) —и + ^1 -—и}

В Сх)

1

+е

+

k(--а)

В В(Ъ)

^ —и 1-ехР{-тЪг|ад йи+-аЩаи}в(х)

л/В(х) а у1В(и)

В В (Ъ)

кт —и 1 + еХР{—е)В(и) —и + еа|СВ—и} BСx—

\/В(х) WB(u)

В В(Ъ)

}}(1 + ОВ20"00)).

(15)

(16)

Так же, как в [1], [2], теперь можно выписать асимптотику для производной и логарифмической производной.

Если рассматривать задачу

р2[у] ве^^г + еаВ(х) —у + С(х)у _ 0

, В — V В2 — 4е20-“)С + 2е2~аВ'

р _ 1 0

2е2

< 0,

(18)

р0(Ъ,е) _ 0.

(11)

УВ&- 4 е2^ + 2 е2

2—а

р (х, е) _ е2-а > (19)

Р(а,е) _ 0.

В — 2P0е2в _ —4В2 — 4е2(1—)С + 2е2—В' < 0. (20)

у(а,е) _ 0, у(Ъ,е) = 8* 0,

то теперь явление пограничного слоя необходимо рассматривать в точке х = Ь.В связи с этим рассмотрим второе решение уравнения (2) . Тогда имеем:

Тогда имеем:

Рее ] в В— + (—В + 2р'„В- - — + 00 0В0 - В— 2р"000 _ о,

<лх —х 2

К (Ъ,) = 8 ф 0;

Р1 [ К2 к+1 ] в ^

2—— — Вkв1

+ (В — 2р'002—. — — ——В' + е2 200к + _ 0,

—х2 <00 2

К2 к+1 (a, е) _ — К2 к (a, е), ^ _ 0,1, 2,...; р][ К2к ] _ 0,

К2 к (Ъ,е) _—Ккk--(=,е) к _ 1,2,... .

X

Асимптотика Р0, р - коэффициенты при

младших членах операторов р и Р] имеет следующий вид:

С

с + 2е а

в-

2е2

0(1),

Веа 2 В

В 2С В' ,лл

Р.'=—------------------------1-ь о(1).

1 е2—“ Вгг“ В в

Определяющие операторы, для функций входящих в (11), равны по модулю и имеют разные знаки. Уравнения, определяющие члены двух первых приближений:

Р[р°0 - В00

в’

—х

р0 = 0,

р>0(Ъ) _ 8;

Р[ рР _ (р00)' ++С СВ

в в

р0( Ъ) _ 0;

L„[р- - В?1 +1 р1= 0,

—х 2 а1 = -р00 а 0

Ь0 [р ] _ С0, р 1а ) _ — р0 ( а 0 .

Асимптотика тогда имеет вид:

у _ у(хе) _ ехр{-а |св—и} /в(а)

,в( х)

+е

+

k(--а)

1 г ^(и) —и 1 — ехр{—^Гв(и) —и}ехр{—а Г2С —и}В(а) +

^/BС=— J=^/BСU— I е г ] г в В(х)]

^Г С\ш I—и -1+ехР{—е]^') —и}ехр{—еаГв(а)

{4т

В В( х)

]}(1 + о]20-00)).

Пусть а _ 1.

В этом случае уравнения (2),(3) позволяют выписать полное асимптотическое разложение для р'0 и

+да

Р\. Полагая р'0 = ^ А.В — и подставляя в (2),

к _0

получим следующую рекуррентную систему уравнений для коэффициентов Вк :

2 В'

В2 — ВВ0 + С _ 0, 2ВД — ВВ1 + — _ 0,

2 В0 В2 — ВВ2 + В2 = 0,

2В0В3 -ВВ3 +2В!В2 =0,...

2Во В2 * — ВВ2 * + 2В1В2 к—1 +----------

(20)

+2 В2 к—1в* + +к —=■>

2В0 В2/к ВВ2* + 1

+2+ В^ + = 0,

2В1 В2 к

0 В ^х/В2^—4С _

В0 =----------------> 0, для задачи (16):

В0 =

< 0.

Для р'- соответственно имеем:

у! В2 — 4С

+ 2 (—2 Вк )ек-1 в^ Дек—

Р,1 = +

е к=1 к=0

Тогда в представлении (7) для решения задачи (1) функции Кк = Кк (х, е), удовлетворяющие уравнениям:

р] [Ко ] в в Вв + + ^1 ++ = 0,

—х —х 2

К0 (от, ]) = 8 * О,

k = 2,3,....

Решение первого уравнения системы, задающего рекуррентную последовательность, выбирается в зависимости от рассматриваемой задачи. Для задачи (1) следует считать:

а 2 к+1 ах2

- є к+, =0, (21)

ах 2

-^2к+1 ((?є) -^2* С(

к = 0,1,2,... .

| «к ] = 0,

1 Я2к(а,є) = - Рк-Мєі к = 1 2,... ,

ОТ

представимы в виде Я.к = ^ є р\ (х) . Система ре-

к=0

куррентных краевых задач, однозначно определяющих функции рк (х), абсолютно аналогична соответствующим системам из § 2 и § 3 с определяющим операторами

Ц =-^1 в2 - СС — - -(VВ2 - СС )' =-Ц. Та-

0 —х 2 М

ким образом, решение краевой задачи (1) представимо в виде:

2 к+1

1 - 'з2 СС

2є2-^ ^ ^ —2а-2

[В + V В2 - є2а-2 + 2є2 -аВ'] =

-[ В +

л/г

2(а-1) 7э2

В2 - СС + 2єаВ'

2є2 ~а

В 2У/\СГ

„а-1

] =

„2-а

+

+ 0(є

тіп(1,а-1)

2^~ “ £Г

Для Р (х, є) имеем, в соответствии с (3) 1

).

Р' = =

1 „2-а

В2 - СС + є2—аB, =

Для того, чтобы выписывать приближения, необходимо найти вид определяющего оператора. Имеем:

є є - +<=^^1

+оо-1'))О - 1(^7ТС+

ах 2

++“

В'

■ + 0 (+ 2(а-1)))’Я0 = 0.

2^\С

Таким образом, определяющими операторами для членов регулярной части для задачи служит пара операторов:

і0\:'\--24С\ — - (ТС)', - - ОД

ах

Так как а > 1, то с точностью до экспоненциально малых:

у = ехр{-Р0 } (ро (0(1 - ехр{-Р1}) +

Ь ґ^0\ГГ (р0 )

1 г

+є(1 -ехр{-"1})іт х

—и

у = у(х,е) = ехр{-р0}Е] [Е (р * р2

;=0 к=0

■ ехР{-P0})eХP{- к ( Р1 + Р2)}].

Случай а > 1. Рассмотрим для задачи (1) (для задачи (16) построение асимптотики аналогично). Имеем:

В + У В 2 - 4е 2(1~а) — + 2е 2——— =

0 = 2еk—а =

, -^рр^=—и]}(1 + 0(ехр{——}).

2у1 Г(х) Г VГ(и) є

1 х

і_______г.

г37Та л

Далее нетрудно выписать первые приближения для производной и логарифмической производной.

Литература

1. Шалаумов, В. А. Об одном преобразовании линейного дифференциального оператора второго порядка / В. А. Шалаумов // Вестник КемГУ. - 2005. -Вып. С. - С. 169 - 17С.

2. Шалаумов, В. А Об асимптотике в целом решений задачи Дирихле с переносом сингулярно зависящей от малого параметра / В. А. Шалаумов // Наука и образование: материалы VII Международной конференции (28 - 29 февраля 2008 г.) - Вып. 5. - Ч. 1. - С. 685 - 688.

3. Шалаумов, В. А Об одном классе экспоненциально малых асимптотик / В. А. Шалаумов // Наука и образование: материалы VI Международной конференции (2 - 3 марта 2006 г.) - Вып. С. - Ч. 1. -С. 585 - 588.

2^\С

+ єє

В2

2#І

+ 0(1).