Асимптотические разложения стационарных потенциальных течений в газодинамике Текст научной статьи по специальности «Математика»

MS С 76X15, 76М45

Аннотация. В рамках общей конструкции построения асимптотических разложений стационарных решений системы уравнений газодинамики, предложенной ранее, доказывается возможность построения таких разложений для потенциальных течений с учетом граничных условий. Доказывается, что граничные условия непротекания мшут быть удовлетворены в задаче о течении в бесконечно широком слое с параллельными ограничивающими полуплоскостями.

Ключевые слова: уравнение Навье-Стокса, стационарные задачи, уравнение непрерывности, потенциальное течение, асимптотические разложения.

1. Введение. Как известно (см., например, |1|), система дифференциальных уравнений газодинамики без учета теплоперепоса состоит из уравнения Навье-Стокса

в которых коэффициенты вязкости р, п и давление Р, в общем случае, являются функциями плотности р. Мы будем в настоящем сообщении полагать р и п постоянными, а для функции Р(р) использовать линейную аппроксимацию, справедливую в некотором диапазоне плотностей, довольно малых с физической точки зрения, Р = р0 + v2(р — р0), где V - скорость звука.

Известно, что даже дня такой упрощенной формы системы уравнении (1), (2), в настоящее время, не имеется математических утверждений о разрешимости задачи Ко-ши, В этой ситуации особую ценность приобретают асимптотические методы, в рамках которых удается контролировать точность приближенных решений |2|, Это положение имеет место и в частном случае, которому посвящено настоящее сообщение, когда изучаются стационарные, не зависящие от времени £ решения системы (1), (2). Следует признать, что дня этого случая известна теорема существования решений, удовлетворяющих определенному тину граничных условий (см. |3|). Однако, при решении конкретных газодинамических задач методы построения асимптотических разложений играют важную роль, так как позволяют находить аналитическую форму решений.

В предыдущей публикации |4| был предложен общий подход дня построения асимптотических разложений решений стационарных задач газодинамики в том случае, когда малыми являются некоторая усредненная скорость течения и плотность газа. Этот

и уравнения непрерывности

р+ (V,pu) = 0

(2)

подход, по мнению авторов, может быть использован не только в случае стационарных задач дня системы уравнений (1) и (2), но применен также к стационарным задачам дня расширенной системы, описывающей течения с учетом теилоперепоса. При применении предложенной схемы разложений оказалось, что возникают определенного вида препятствия, связанные с необходимостью удовлетворения граничным условиям па стенках, ограничивающих течение. Сложившееся положение поставило вопрос о том, в каких же конкретно случаях предложенная схема разложений оказывается эффективной. Довольно затруднительно дать ответ па этот вопрос в общем случае. В настоящем сообщении, мы доказываем возможность построения предложенных асимптотических разложений па примере решения конкретной задачи математической физики.

2. Асимптотические разложения стационарных потенциальных течений.

Мы будем изучать решения u(x), p(x) системы уравнений

z/2 Vj9 + (u, V)Uj = (р + rj)AUj + |V,(V, и), j = 1, 2, 3 , (3)

(Vg, u) + (V, u) = 0 , (4)

где g = ln p/p0, Более того, как и в работе [4], мы ограничимся изучением т.н. потенциальных течений, для которых u(x) = VФ(x), и поэтому, ввиду тождества ^Ф, V)VjФ^ = Vj^Ф)2/2, система (3), (4) принимает вид

v2g + -2{V Ф)2= (4р/3 + /?)АФ, (5)

(Vk g)(V^) + ДФ = 0. (6)

При построении конкретных решений этой системы уравнений газодинамики необходимо учесть граничные условия, которые, с одной стороны, должны содержать в себе условие пенротекапия газа через ограничивающие течение стенки, а с другой - позволяли бы выделить решение однозначно. Условие пенротекапия состоит в отсутствии компоненты скорости течения u, нормальной к ограничивающей поверхности S, Оно формулируется в терминах потенциала Ф следующим образом: (дФ/ди)^ = 0,

Решения системы (5), (6) мы будем строить в виде асимптотических разложений

те те

ФМ = £ ekФ^), g(x) = £ ekg(k)(x), (7)

k=1 k=1

e

g(0) = о, то есть p(0) = p0 = const.

Справедливо следующее утверждение, которое является некоторым уточнением аналогичного утверждения из |4|,

Теорема 1. Для того, чтобы асимптотические степенные ряды (Т) для потенциала Ф и функции g удовлетворяли системе (5), (6), необходимо и достаточно, чтобы при

каждом п Е N функции ф(п+1); удовлетворяли системе линейных относительно

ф(п+1); д(п+1) неоднородных уравнений

п

п € N (8)

1=1

1 п

у2д{п+1) + - ^ (уФ(/), УФ(га+1"г)) = (п + 4р/3)АФ(,г+1) , (9)

1=1

таких, что для нахождения функций ф(п+1); д(п+1); как решений этой системы, достаточно задать функции Ф(к); д(к); к = 1,..., п.

□ Подстановка рядов (7) в уравнения (5), (6) дает

те те к— 1

^ £кДф(к) = — ^ £к ^ ( У^(1), УФ(к—г) к=1 к=2 1=1

те те к—1 те

к=1 2 к=2 1=1 к=1

£к

го из уравнений, получим две бесконечные системы уравнений, которые при каждом фиксированном значении п € N совпадают с (8), (9), соответственно.

£

ДФ(1) = 0, £(1) = 0. (10)

Рассуждая индукцией по п € заметив, что при п = 1 функция Ф(1) подчинена линейному однородному уравнению, допустим, что определены все функции Ф(к) и д(к), к = 1,..., ш, как удовлетворяющие линейным уравнениям (8), (9) при п = 1,...,ш — 1. Тогда уравнение (8) при значении п = ш представляет собой линейное относительно функции ф((т+1)) неоднородное уравнение, правая часть которого зависит только от функций Ф(к), д(к) с к = 1,..., ш. После нахождения функции ф(т+1); функция д(т+1) определяется (9) при п = ш, ■

Замечание. При п =1 уравнения (8), (9) имеют следующий вид:

ДФ(2) = 0 , г>У2) + ^(УФ(1))2 = 0

1

2

откуда g(2) = const. Это дает, в следующем приближении, неоднородное, что очень важно, уравнение для Ф(3), даже в случае, если граничные условия таковы, что Ф(2) = const,

ДФ(3) = (Vg(2), УФ(1)) =0 , v2g(3) + (V^(2), УФ(1)) = (п + 4р/3)ДФ(3).

Здесь сначала решается первое уравнение для Ф(3), а затем на основе известной функции Ф(3) вычисляется g(3) из второго уравнения. Таким образом, конструируемые асимптотические ряды пе являются тривиальными, равными тождественно пуню.

Доказанная теорема является основой дня построения асимптотических рядов дня решений системы уравнений (5), (6). Реальное же построение таких асимптотических рядов регламентируется возможностью удовлетворить заданным граничным условиям.

( дФ \

в число которых обязательно входит условие пенротекапия —— = 0 на совокупности

\ди J s

S

Ф и приравнивая нулю отдельно коэффициенты ряда при каждой степени ek, k £ N,

( дФ(k) \

получим совокупность граничных условий ~— = 0. к £ N. которым должны

\ ди ) s

удовлетворять приближения Ф(^, k £ N. На вопрос о том, в рамках каких постановок граничных задач, действительно, есть возможность, чтобы все приближения Ф(^, k£N

время пе удается дать положительный ответ дня какого-то сколько-нибудь обширного класса некомпактных областей Q, в которых происходит течение. Что касается компактных областей Q, когда стенки, ограничивающие течение, составляют границу дQ, то граничные задачи в этом сну чае, порождаемые совокупностью уравнений (8), (9) с

Ф=

g=0

ния газа между параллельными полуплоскостями граничные задачи для функций Ф(^, k £ N k

3. Течение газа между параллельными полуплоскостями. Рассмотрим течение газа в области П = [0, то) х [0, 2й\ х К, то > й > 0 (либо, в «ограниченном» случае П = [0, Ь\ х [0, 2й\ х К). Течение будем считать таковым, что поле и(х) не зависит от третьей координаты. По этой причине, функция д также не зависит от третьей координаты. Первые две координаты пространственной точки х будем обозначать х, у. Значения векторного поля также будем считать двухкомпонентными (их, иу), а само поле - потенциальным, то есть их = дФ/дх,иу = дФ/ду с потенциалом Ф(х,у), Такое стационарное течение будем изучать па основе асимптотических разложений предыдущего раздана. Стенками, ограничивающими течение будем считать полуплоскости [0, то) х {0} х К, [0, то) х {2й} х К (плоские пол осы [0,Ь\ х {0} х К [0,Ь\ х {2й} х К в ограниченном случае). Граничное условие при х = 0 будем считать таковым, что их > 0, то есть течение осуществляется слева направо. Граничное условие непротекания на стенках

записывается в виде ( —— ) = ( —— ) = 0. Это приводит к необходимости выпол-

V ду / у=о V ду / у=2й

нения следующих граничных условий для каждого /-го приближения Ф(1) потенциала т дФ(1) л " т дФ(1) л

—— = ~— =0. Так как нотепциан Ф. и функцию д. в виду их гладкости. V ду / у=о V ду / у=2^

всегда можно представить в виде сходящихся к ним рядов Фурье, и, соответственно,

представить такими же рядами Фурье их приближения,

У) = X Ф™^ ехр у)' у^= ^ ^^ехр ОРг У)

в которых, учитывая условие вещественности Ф(х,у), Ф(1)(х,у), должно выполняться (т(х) = (-т(х), (т*(х) = (—т(х). Принимая во внимание граничные условия на стенках, коэффициенты (т(х), (х) должны быть подчинены условию т = 0. Однако, с целью упрощения рассмотрений, мы будем считать, что граничные условия при х = 0 (и х = Ьв ограниченном случае) обладают симметрией относительно преобразования у ^ 2! — у, Тогда, такой симметрией должны обладать решения задачи, и поэтому ряды Фурье для Ф и Ф(1), I Е N учитывая граничные уеловия при у = 0, 2а!, положим в виде

те

у) = X 008 У) ' У) = X V™№ 008 (^р у

т=0

т=0

(11)

Сформулируем утверждение о существовании асимптотических рядов, сконструированных в предыдущем раздело, дня решения граничной задачи, определяющей течение и(х,у).

Теорема 2. Асимптотические степенные ряды (7) для потенциала Ф(х, у) и фупк-

( дФ \

ции д(х,у), удовлетворяющие системе (5), (6) и граничным условиям ( —— ] = 0 для

V дП /

области П со стенками Б, которые представляются полуплоскостями [0, то) х {0} х М, [0, то) х {2!} х М (соответственно, [0,Ь] х {0} х М, [0,Ь] х {2!} х М) существуют, то есть в этих условиях, для любого п Е N существуют функции Ф(га+1)(х, у), у(га+1)(х, у), определяемые системой (8), (9).

□ Подставим разложения (11) в (10). Тогда, коэффициенты ряда Фурье, получившегося в результате подстановки, должны обращаться в нуль. Поэтому имеем следующую систему уравнений для функций (х),

(«"(хН^т/а)2^).

(12)

Так как

д_

дх

то

Ф(0(х,у)

^ «V/ N пт

<Рт (Х) СОв — у

т=0

д_

ду

Ф(/) (х, у) = X ~Т У

!

т=1

УФ(1), УФ(га+1-1)) (х,у)

кп

X сов ^ у X + (5) т(к + т)^(х)^Г1)(х)

й=1

т=й—1

7Г\ 2

+

те , к

1 кп

к=0 т=0

+

т=0

Здесь было использовано правило перестройки суммирований

те к

Л+(т, т' + т) = Л+(т, к)

т=0,т'=0

к=0 т=0

(13)

Е Л-<'

те

те те

'|) = 5>_(т, 0) + 2^ £ Л_(т,к).

1_(т, |т — т

т=0,т'=0 т=0 к=1 т=к_1

Подставляя разложение (11), (13), а также разложение

9{1) (х, У) = Е СОЙ ЕГ у '

т=0

в (9) и приравнивая одноименные коэффициенты Фурье в обеих частях полученного таким образом равенства, находим систему уравнений

(V + 4^/3)^£+1)0г) = У2ь£+1\х) +

п те

¿=1 ¿=т_1

+

+1ЕЕ - (5) Лт-^и^Г'^)

¿=1 ¿=0

+

?(п+1_г)'

1=1 к=0

Точно также подставляя в уравнение (8) разложение

те N.

+.

(14)

Уд(1), УФ(п+1_1^ (х,у) =

тете

кп

к=1 т=к_1

1 те к к 2

к=0 т=0

+

+

m=0

(15)

получаем

1 2

" ¿то) £ £ [^'И^1"0'^) + Q Ю +

¿=1 j=m-1

1

-, n m

¿=1 j=0

n <x

(n+1-l)' m-j

П

И - ( ^ ) - j)hf (x)<pKnl

(n+1-1) m-j

(x)

1=1 k=0

(n+1-1)' k

(x)

(n+1-1) k

(x)

m G N+

(16)

Рассуждая индукцией по n G N сначала находим решение уравнения (12) для ^^(x) с краевыми условиями на границах области П с x = 0и x ^ œ (соответственно, x = L), При этом = 0, Положив затем, что функции ^m(x), hm(x) определены при l = 1,...,n с использованием граничных условий для них на указанных границах области П, находим на основе линейных уравнений (14) и (16) их решения - функции

(n+1) / \ 7 (n+1) / \ г\

^m (x) и hm (x) с использованием граничных условии для них при x = 0 и x ^ оо (соответственно, x = L), Сначала решается уравнение (16) вычислением двукратного интеграла от правой части, а затем, подстановкой выражения для d2^m+1)(x)/dx2 в (14), находятся функции hm+1)(x). И

Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика / М.: Наука, 1986.

2. Хаппель Дж., Бреннер X. Гидродинамика при малых числах Гейнольдса / М.: Мир, 1976.

3. Ладыженская О.А. Исследование уравнения Навье Стокса в случае етационаржи'о движения несжимаемой жидкости / Успехи математических наук. 1959. XIV. 3(87). С.75-97.

4. Вирченко Ю.П., Самойлова Н.Н. Асимптотические разложения решений уравнений газодинамики стационарных потенциальных течений / Научные ведомости. Математика. Физика. 2015. №5(202);38. С.112-118.

ASYMPTOTIC EXPANSIONS OF STATIONARY POTENTIAL FLOWS IN GAS-DYNAMICS N.N. Samoilova, Yu.P. Virchenko

Belgorod State University, Studericheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. In frameworks of earlier proposed general construction of stationary solutions asymptotic expansions in gas-dynamics, it is proved the possibility of building such expansions of potential flows. At the application the expansion scheme, the nontransparency boundary condition plays the central role. It consists of the gas does not pass through "walls" limiting the flux. It is proved that such a boundary condition may be satisfied for the flow in infinitely wide layer with parallel limiting semi-planes.

Key words: Navier-Stokes' equation, stationary problems, continuity equation, potential flow, asymptotic expansion.