Асимптотические разложения стационарных решений уравнения конвекции с малой соленоидальной частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

182 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

MSC 76N15, 76М45

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ С МАЛОЙ СОЛЕНОИДАЛЬНОЙ ЧАСТЬЮ

И.И. Самойлова, Ю.П. Вирченко

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: virchQbsu.edu.ru

Аннотация. Предлагается конструкция асимптотических разложений общего решения стационарного уравнения Навье-Стокса при нулевой вязкости, слабо отличающихся от по-тбнциштьных течений.

Ключевые слова: уравнение Навве-Стокса, стационарные задачи, разложение Гелвмголв-ца, потенциалвное течение, асимптотические разложения.

1. Введение. Система дифференциальных уравнений газодинамики без учета теплопереноса состоит из уравнения Навье-Стокса [1]

в которых коэффициенты вязкости ц, п и давление P, в общем случае, являются функциями плотности р. Забегая вперед укажем, что мы будем в настоящем сообщении полагать ц и п равными нулю, что допустимо, как приближение, если газ обладает достаточно малой плотностью. Функцию P(р), для целей решаемой задачи, мы не будем конкретизировать и вместо нее будем использовать функцию д(р) такую, что dP/р = dg.

Известно, что даже для такой упрощенной формы системы уравнении (1), (2), в настоящее время, не имеется математических утверждений о разрешимости задачи Коши. В этой ситуации особую ценность приобретают асимптотические методы, в рамках которых удается контролировать точность приближенных решений [2]. Это положение имеет место и в частном случае, когда изучаются стационарные, не зависящие от времени t решения системы (1), (2). Следует признать, что для этого случая известна теорема существования решений, удовлетворяющих определенному типу граничных условий (см. [3]). Однако, по нашему мнению, математическая задача, анализируемая в ней, относится к гидродинамике несжимаемой жидкости и не совсем отвечает, по своей постановке, потребностям газодинамики с точки зрения приложения к исследованию конкретных физических ситуаций. Поэтому, даже относительно стационарных течений,

+ (ч,пЮиз, j = 1,23; (1)

j 1

и уравнения непрерывности ^

р + (V,pu) = 0

(2)

^Дадее везде жирными буквами мы обозначаем векторы в R3.

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 183

описываемых системой уравнений, которые получаются из (1), (2) обращением в нуль производных по времени

Vjg + (u, V)Uj = (ц + n)Auj + ЦVj{V, u), j = 1,2, 3 , (3)

(Vg, u) + (V, u) = 0 , (4)

в настоящее время, не имеется результатов о разрешимости соответствующих краевых задач в классическом смысле. В этом случае при решении конкретных газодинамических задач методы построения асимптотических разложений играют важную роль, так как позволяют находить аналитическую форму решений.

Наряду с отсутствием утверждений о разрешимости, укажем другую особенность проблемы изучения решений системы (3), (4). Исследование решений этой системы, даже в смысле построения асимптотических разложений ее решений, серьезно упрощается, если использовать предположение о потенциальности течений. В этом случае поле скоростей u(x) ищется в форме u(x) = V^(x), что допустимо, физически, в том случае, когда течения оказываются очень медленными и применимо приближение с постоянными (независящими от р) коэффициентами вязкости ц и ц. Очень часто предположение о потенциальности используется в практических расчетах. Однако, в условиях, когда в течениях газа появляется вихревая составляющая, даже построение асимптотических разложений решений системы (3), (4) вызывает затруднения. Это связано с тем, что, в соответствии со структурой уравнения (3), при наличии вихревой составляющей у поля скоростей u(x), оно должно подчиняться условию градиентности:

Сijk V j

(u, V)uk - (ц + g)Auk

0 , * = 1, 2, 3 ,

(5)

где tijk - символ Леви-Чивитта.

Уравнение (5) мы будем называть уравнением конвекции и его исследованию при условии ц = п = 0 посвящено настоящее сообщение. Мы укажем метод построения асимптотического разложения общего решения (безотносительно к граничным условиям) этого уравнения, когда поле u(x) представимо в виде

u(x) = v + w ,

где w - постоянный вектор, а поле v(x) является м^ым по сравнению с |w|. Асимптотическое разложение будет строится по этому малому параметру.

2. Постановка задачи. Мы будем анализировать уравнение (5) при п = ц = 0, которое в векторной форме имеет вид

[V,(u, V)u]=0 (6)

и, соответственно, в тензорной форме,

СijkVjulVluk — 0 *

184 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

Уравнение второго порядка (6) эквивалентно уравнению первого порядка

(V, u)u = Уф

(7)

с произвольной функцией ф(х). Таким образом, общее решение уравнения (6) строится на основе общего решения уравнения (7) для каждой фиксированной функции ф(х), которая, таким образом, является дополнительным «параметром» общего решение уравнения (6).

Для каждого решения уравнения (7) справедливо разложение Гельмгольца u = v + Vrf, в котором (V, v) = 0, каждое слагаемое в котором определено с точностью до градиента гармонической функции. В случае v = 0, на основе известных фактов теории уравнений с частными производными, строится общее уравнения (7), так как имеет место

В этом случае общее решение уравнения (7) сводится к решению уравнения эйконала следующего вида

из которого усматривается условие на существование потенциальных решений в виде условия неотрицательности функции ф(х). Общее решение уравнения эйконала анализируется, например, в [4].

По указанной причине, имеет смысл исследовать общее решение уравнения конвекции (6) подстановкой в (7) разложения Гельмгольца с произвольной функцией ф(х), которая сводит его к уравнению

для поля v(x).

Физический смысл такой постановки задачи состоит в том, что ее решения описывают течения газа, существующие довольно продолжительное время без заметного изменения стационарности, длительность которого велика в меру малости коэффициентов вязкости. Более того, при таком подходе, вихревые изменения внутри потенциального течения можно считать вызванными внешним условием в виде потенциала ф(х).

Уравнение (8) можно исследовать на основе разложений по малому параметру, в качестве которого нужно принять малость поля v то сравнению с полем У'ф в подходящей метрике, то есть изучать, с физической точки зрения течения со слабой завихренностью. Однако, уже в линейном приближении, при пренебрежении квадратичным по v слагаемом в (8), и когда градиент разности в правой части является малой функцией, получается в общем случае, довольно сложное линейное уравнение относительно векторного поля v с переменными коэффициентами. Поэтому в настоящем сообщении мы ограничиваемся исследованием уравнения (8), в котором ф(х) является линейной формой ф(х) = (w, х), где w - заданный постоянный вектор. В этом случае, мы предлагаем алгоритм последовательного построения членов асимптотического разложения по степеням малого параметра, который регулирует величину |v|.

(v, V)v + (Уф, V)v + (v, VV = V (ф - 1 (Уф)2)

(8)

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 185

3. Общее решение уравнения первого приближения. Общее решение мы будем строить на основе исходного уравнения конвекции, которое, после подстановки разложения u = v + w, в первом приближении по v, дает уравнение

[V, (w, V)v] = 0 . (9)

С целью анализа этого уравнения, рассмотрим, сначала, линейное дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка и постоянными коэффициентами относительно функции f (x), имеющее следующий вид:

(w, V)f = 0 . (10)

Используя метод характеристик (см., например, [5]), построим общее решение этого уравнения в виде

f (x) = 9([w,x]), (11)

где g(x) - произвольное гладкое скалярное поле на R3. Это связано с тем, что общее решение линейного уравнения первого порядка для функции f от трех переменных должно определяться двумя интегралами характеристической системы, которая в данном случае имеет вид

X(s) = w,

что приводит к прямолинейным характеристикам X(s) = ws + Xo. Откуда следует, что два интеграла характеристической системы имеют вид [w, X(s)] = [w, X0], Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений с частными производными (см.

[5]), получаем формулу (11) для общего решения уравнения (10).

Замечание. Несмотря на то, что поле g(x) произвольно, его зависимость от третьей координаты, параллельной w, как это видно из (11), несущественна. Тот факт, что представленная формула дает нам решения уравнения (11) проверяется непосредственно. Полагая £j = [w, xj, j = 1, 2, 3, имеем VkСj = tjikЩ- Тогда подстановка (11) в (10) дает

wk V k g = wk (dg/d£j )Vk £j = (dg/d£j j Wk wi = 0.

Из проделанного анализа следует, что общее решение системы линейных уравнений первого порядка относительно векторного поля f (x) следующего вида

(w, V)f = 0 (12)

описывается формулой

f(x) = g([w,x]), (13)

где g(x) - произвольное гладкое векторное поле на R3. Оно получается применением формулы (11) для каждой декартовой проекции уравнения (12).

Построим, теперь, общее решение уравнения первого приближения (9), которое, очевидным образом, записывается в эквивалентном виде

(w, V)[V,v] = 0

186 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

и которое имеет форму (12) при f = [V, v]. Тогда, из (13) следует

[V,v] = g([w, х]), (14)

где для разрешимости этого уравнения необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие соленоидальности поля g, (V, g) = 0. В свою очередь, для выполнимости условия соленоидальности, необходимо и достаточно, чтобы с точностью до градиента гармонической функции поле g было представимо в виде g = [V, h], где h(x) - дважды дифференцируемое векторное поле. Подстановка этого представления в (14) приводит к уравнению

[V,v - h([w,х])] = 0 ,

общее решение которого выражается в условии потенциальности векторного поля на которое действует дифференциальный оператор [V, •]. Поэтому, вводя потенциал Ф(х), в результате, получаем общее решение уравнения (9) в виде

v = h([w, х]) + VФ , (15)

где Ф(х) и h(x) - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые скалярное и векторное поля.

4. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотри общее решение неоднородного уравнения первого порядка

(w, V)Z(х) = 9<х),

(16)

где д(х) - заданное непрерывное скалярное поле. Общее решение этого уравнения является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения (10) и его частного решения. Таким образом, для построения общего решения нам достаточно найти какое-либо частное решение уравнения (16). Построим это частное решение в

ВИД6

(x,n)

f (х) = / д(х — п(х, n) + sn)ds , (17)

о

где n = w/|w|. Проверим, что эта функция, действительно, удовлетворяет уравнению (16). Во первых, так как Vk(х — п(х, n))j = j — njnk, то при y(s) = х — п(х, n) + sn имеем

nkVkq(y(s)) = nk(dq/dyj)V kyj = щ(j — Щnk) = 0 .

Во- вторых, дифференцирование по верхнему пределу интеграла дает q^). Тогда

(x,n)

nk Vk f (х) = q^nk Vk (х, n) +

nk Vk q(y(s))ds = q^).

о

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 187

Следовательно, учитывая, что общее решение однородного уравнения определяется формулой (13), заключаем, что общее решение уравнения (16) имеет вид

(x,n)

f (х) = g([w, х])+ J q(x - n(x, n) + sn)ds 0

(18)

с произвольным гладким полем g(x).

Построенное общее решение позволяет нам утверждать, что общее решение системы уравнений относительно векторного поля f (х)

(w, V)f (х) = q(x) (19)

с заданной правой частью - векторным полем q(x) описывается формулой

(x,n)

f(x) = g([w, x]) + J q(x - n(x, n) + sn)ds (20)

0

с произвольным гладким векторным полем g(x), так как уравнение (19) для каждой из компонент имеет вид (16). Таким образом нами доказана следующая

Теорема 1. Общее решение уравнения

(w, V)f (x) = q(x)

при заданном непрерывном ноле q(x) имеет вид

(x,n)

f(x) = g([w, x]) + J q(x - n(x, n) + sn)ds 0

с произволвным гладким полем g(x).

С целью вычисления членов асимптотического разложения общего дважды непрерывно дифференцируемого решения конвективного уравнения найдем общее решение неоднородного уравнения

(w, V)[V, v] = q(x) (21)

при непрерывной правой части. Сразу же заметим, что это уравнение разрешимо только в том случае, если непрерывное поле q соленоидально (хотя бы в слабом смысле), то есть (V, q) = 0.

Полагая в (19), что f = [V, v], имеем на основании (20)

(x,n)

[V, v](x) = g([w, x]) + J q(x - n(x, n) + sn)ds = G(x) (22)

0

188 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

с произвольным гладким векторным полем g(x). Для разрешимости же полученного уравнения (22) необходимо и достаточно, чтобы дивергенция поля в правой части (22) была равна нулю. Это дает условие

(x,n)

(V, g([w,x])) = -(V, J q(x - n(x, n) + sn)ds) = Q(x), (23)

0

которое можно рассматривать как уравнение относительно поля g(x).

Преобразуем левую часть (23). Так как

(V, g([w, x])) = tjmlWm = |w|(n, [V, g])([w, x]) ,

то условие разрешимости уравнения (23) принимает вид

|w|(n [Vg])([w,x]) = Q(x) ■ (24)

Так как

VkQj(x - n(x, n) + sn) = - ЩПк) ’

то, применяя оператор (V, •) в правой части (23), получим

(x,n)

Q(x) = (n q(x)) - 2 У (V, q)(y(s))ds-

0

Учитывая же, что (V, q) = 0, находим, что условие разрешимости уравнения (22) формулируется следующим образом:

|w|(n, [V, g])([w,x]) = -(n, q(x)). (25)

При заданном поле q(x), его можно рассматривать как уравнение относительно поля g(x), относительно которого также возникает вопрос о его разрешимости. Очевидно, что разрешимость уравнения (25) возможна только в случае, когда (n, q(x)) = q([w, x]), то есть эта функция зависит только от [w, x]. При выполнении этого условия, уравнение (25) в координатах (х1,х2) в плоскости, ортогональной w записывается следующим образом:

d9i д92

дх2 дх1

w| 1q(xi,Х2).

Его общим решением является (91,92,93) = g, ^де фикция - произвольная и

9i

dh

дх2

+

д

дх1

Ф(Х1,Х2) ,

92

дh

дх1

+

д

дх2

Ф(х1,х2)

(26)

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 189

с дважды непрерывно дифференцируемыми на плоскости функциями h и Ф, причем функция Ф - произвольная, a h удовлетворяет уравнению Пуассона

d2 h d2h

dx{ + дХ2 = —|w| q(xi,x2^■ (27)

В случае, если условия на разрешимость уравнения (22) выполнены, поле G(x) представимо в виде G(x) = [V, H(x)], где H(x) - дважды непрерывно дифференцируемое векторное поле, и из (22) находим, что его общее решение записывается в виде

v(x) = [V, H(x)] + VФ(x), (28)

где $(x) - произвольное дважды дифференцируемые скалярное поле. На выбор поля H(x), в силу выполнимости для него разложения Гельмгольца H = [V, A] + VX, можно наложить дополнительное условие (V, H(x)) = 0. Подчинение поля H(x) этому условию сведется только лишь к переопределению потенциала Ф^). Поле H(x), при выполнимости условия (V, H(x)) = 0, является решением векторного уравнения Пуассона

AH(x) = G(x) ,

в чем можно убедиться подействовав оператором [V, •] на обе части уравнения (22).

Сформулируем полученный результат в виде отдельной теоремы, так как он представляет собой самостоятельный интерес.

Теорема 2. Для разрешимости уравнения

(w, V)[V, v] = q(x)

относительно v(x) при заданном ноле q(x) необходимо и достаточно, чтобы (V, q(x)) = 0 и компонента (n, q)(x) зависела только от [n, x]. Его общее решение имеет вид

v(x) = [V, H(x)] + VФ(x),

где поля H(x) и Ф(x) - дважды непрерывно дифференцируемые, ноле H(x) - соленои-далъное, (V, H) = 0 и удовлетворяет уравнению

AH(x) = G(x) ,

в котором

(x,n)

G(x) = g([w>x])+ I q(y(s))ds,

0

y(s) = x — n(x, n) + ns n = w/|w| n g(x) - гладкое ноле. При этом должно выполняться условие (V, G) = 0, для выполнимости которого необходимо и достаточно, чтобы

КОМПОНЕНТЫ ПОЛЯ g., ОрТОТОНОЛВНЫЕ n., ИМЕЛИ ЕЛЕДуЮТЦНН ВИД'

gi

dh

dx2

+

д

дх1

Ф(Х1,Х2) ,

g2

dh

дх1 +

д

дх2

Ф(Х1 ,Х2)

1

190 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

где функции h и Ф - дважды непрерывно дифференцируемые на плоскости, в Ф произвольная, h удовлетворяет уравнению Пуассона

d 2h d2h

dx\ + dx\

w| lq(xi,X2) •

При этом компонента g3 - произвольна.

5. Асимптотические разложения стационарных течений с малой завихренностью. Построим асимптотическое разложение

v(x) = £ е%(Дх) (29)

n=1

с некоторым малым параметром е решения уравнения конвекции (6), в рассматриваемом нами случае, когда u = w + v,

[V, (v, V)v] + (w, V)[V, v] = 0.

(30)

Подставляя (29) в (30) и производя баланс коэффициентов при одинаковых степенях параметра е, получаем систему уравнений для последовательности функций (v(n);

n е N),

(w, V)[V, v(1)] = 0 , (31)

n— 1

(w, V)[V, v(n)] = [V, (v(m), V)v(n—m)] = q(n) , n> 1 , (32)

m=1

где в правой части (32) отсутствует функция v(n). Следовательно, все уравнения этой системы относятся к уравнению типа (22). Поэтому все коэффициенты v(n) асимптотического разложения существуют в том случае, когда для каждого n = 2, 3,... будут выполнены условия разрешимости (V, q(m)) = 0 и (n, q(m)) зависят только от [n, x], m = 2, 3,... .

Решение уравнение (31) запишем в виде

v(1) = h(1)([w,x]) + VФ(1) , (33)

где h(1) и Ф(1) - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые поля. Для возможности построения асимптотического разложения нам нужно удостовериться, что выполнено условие разрешимости уравнения (32) при любом n > 1. Условие бездивер-гентности поля q(n) выполнено тривиальным образом, так как оно представляет собой ротор некоторого другого поля.

Далее, последовательно, могут быть построены посредством выбора функций g(n), Ф(п) все приближения v(n) при n = 2, ...,m.

v(n) = [V, H(n)] + VФ(n) ,

(V, H(n)) = 0 , AH(n) = G(n),

(34)

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 191

(x,n)

G(n)(x) = g(n)([w,x])+ / q(n\y(s))ds. (35)

0

Условие разрешимости уравнения для H(n) - независимость (n, q(n)) от продольной координаты обеспечивается подходящим выбором всех градиентов УФ(га), n = 2, 3, Индукцией по m = 2, 3,... доказывается, что все поля q(ra), n = 2, 3,... удовлетворяют условиям независимости компонент (n, q(n)) от продольной координаты и при этом все поля G(n) не зависят от продольной координаты, что позволяет выбрать все поля H(n) также независящими от этой координаты. Это обеспечивается таким выбором градиентов УФ(га), чтобы та поперечные части УФ(га) — n(n, УФ(га)) не зависели от продольной координаты при произвольной зависимости продольных компонент. В свою очередь, это приводит к тому, что все приближения v(n) также имеют поперечную часть, независящую от продольной координаты.

Рассмотрим случай m = 2. В этом случае

q(2) = — [v, (v(1), v)v(1)].

Потребуем, чтобы (n, q(2)) не зависела от продольной координаты. Ввиду того, что от продольной координаты не зависит поле h(1)([w, x]), то подстановка (33) в выражение для q(2) сводит это требование к тому, чтобы от этой координаты не зависело выражение

(n, V, ^Ф(1), v)[v, h(1)([w, x])]]) + (n, [V, ([v, h(1)([w,x])], V)VФ(1)]), (36)

которое применением к нему дифференциального оператора (n, v) приводится к линейному уравнению для Ф(1). Оно, в свою очередь, обладает обширным множеством решений. Условие (36) может быть, в частности, удовлетворено, если поперечная часть VФ(1) — n(n, VФ(1)) градиента зависит только от [w, x] и при этом продольная часть n(n, VФ(1)) может быть произвольной. Последнее связано с тем, что в (36) эта продольная часть не входит. В самом деле, в первом слагаемом, при подстановке продольной части VФ(1), действие дифференциального оператора (VФ(1), v)(-) на h(1)([w, x]) осуществляется дифференцированием по продольной координате этого поля, от которой оно не зависит. Во втором слагаемом, после подстановки вместо градиента VФ(1) его продольной части n(n, VФ(1)) действие внешнего дифференциального оператора (n, [v, •]) заменяется на действие дифференциального оператора (n, [v, n])(-), который тождественно равен нулю.

Покажем, что в общем случае указанный выше выбор всех полей обеспечивает разрешимость задачи вычисления приближений v(m) при любом значении т. Это достигается применением к выражению для поля q(ra), определенному формулой (32), рассуждений, аналогичных тем, что были использованы в случае т = 2. С этой целью подставим в это выражение разложения v(n) = [v, H(n)] + VФ(”'). Тогда требование независимости продольной компоненты от продольной координаты сводится к требованию независимости от этой координаты выражения, аналогичного (36)

П— 1

£{(n, [v, (VФ(m), v)[v, H('—m)([w, x])]]) + (n, [v, ([v, H(m)([w,x])], v^(“—m)])} .

m=1

192 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

Точно такими же рассуждениями как и при анализе случая cm = 2 доказывается, то продольные составляющие градиентов УФ1-™), m = n — 1 не содержатся в этом выражении, а так как, по предположению, их поперечные составляющие не зависят от продольной координаты, то этот факт доказывает, что выписанное выражение не зависит от продольной координаты и поэтому от этой координаты не зависит (n, q(m)).

Сформулируем доказанное утверждение.

Теорема 3. Если при построении последовательных приближений Vm\ m £ N решений уравнения конвекции, определяемых разложением (29), на основе списка определяющих их уравнений (35), (36), все градиенты УФ(га), n £ N обладают поперечными компонентами, не зависящими от продольной координаты (n, x), то тем самым удовлетворены все условия разрешимости (n, q(ra)) = (n, g(ra)([w, x])), n £ N и поэтому все приближения v(n существуют.

Замечание. Заметим, что при выборе Ф(П = 0 Ф(П = 0 n £ N, индукцией по n £ N доказывается, что все поля q(n и, следовательно, G(n), H(n зависят только от [w, x]. В этом случае для каждого n £ N выполняется (У, v(n)) = 0, и ряд (29) дает нам бездивергентное решение уравнения конвекции.

Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика / М.: Наука, 1986.

2. Хаппель Дж., Бреннер X. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / М.: Мир, 1976.

3. Ладыженская О.А. Исследование уравнения Навье—Стокса в случае стационарного движения несжимаемой жидкости / Успехи математических наук. - 1959. - XIV. - 3(87). -С.75-97.

4. Курант Р. Уравнения с частными производными // М.: Мир, 1964. - 830 с.

5. Смирнов В.И. Курс высшей математики т.4, II // М.: Наука, 1981. - 550 с.

ASYMPTOTIC EXPANSIONS OF STATIONARY CONVECTION EQUATION WITH SMALL SOLENOIDAL PART

N.N. Samoilova, Yu.P. Virchenko

Belgorod State University,

Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: virchQbsu.edu.com

Abstract. It is proposed the construction of asymptotic expansions of Navier-Stokes’ stationary equation general solution at zero viscosity which are weakly distinguished from potential flows, и, слабо отличающихся от потенциальных течений.

Key words: Navier-Stokes’ equation, stationary problems, continuity equation, potential flow, asymptotic expansion.